小升初专题 长方体和正方体（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学苏教版

专题22 长方体和正方体 知识点01：长方体和正方体的认识： 形体 相同点 不同点 关系 长方体 面 棱 顶点 面的特点 面的大小 棱长 正方体是特殊的长方体，是长、宽、高都相等的长方体。 6个 12条 8个 6个面一般都是长方形，也可能相对的面是正方形。 相对的面的面积相等。 每一组互相平行的四条棱长度相等。 正方体 6个面都是完全相同的正方形。 6个面的面积都相等。 12条棱的长度都相等。 [提示]长方体中相对的面的面积相等，如果有两个相对的面是正方形，那么另四个面的面积都相等。长方体不可能有两个相邻的面是正方形；如果相邻两个面是正方形，那么6个面就都完全相同，是正方体。 知识点02：长方体和正方体的面积和体积： 名称 侧面积和表面积公式 体积公式 侧面展开图是一个长方形或正方形，侧面积等于底面周长乘高。 【例1】小明爸爸打开了一个长方体的快递包装盒，如图是其表面展开图。经测量，厘米，厘米（、、表示线段的长度），求这个长方体的表面积和体积。 【答案】112平方厘米；64立方厘米 【分析】设长方体的长、宽、高分别为，，，根据图形条件可得，（厘米），即（厘米）；（厘米）；厘米；故可得，（厘米），（厘米），（厘米），再根据和计算公式即可解答。 【详解】解：设长方体的长、宽、高分别为，，。 （厘米） （厘米） （厘米） （厘米） （厘米） （厘米） 长方体表面积： （平方厘米） 长方体体积为： （立方厘米） 答：这个长方体的表面积是112平方厘米，体积是64立方厘米。 1．一个长方体纸盒的长、宽、高分别是3厘米、2厘米、1厘米，将它展开成平面图形，那么这个平面图形的周长最小是多少？最大是多少？ 【答案】最小22厘米；最大34厘米 【分析】如图1所示，要使周长最小，尽量剪开高与宽，剪1条长3厘米（红色），2条宽2厘米（紫色），4条高1厘米（绿色），那么周长最小是（3×1＋2×2＋1×4）×2厘米； 如图2所示，要使周长最大，尽量剪开长与宽，剪4条长3厘米（红色），2条宽2厘米（紫色），1条高1厘米（绿色），那么周长最大是（3×4＋2×2＋1×1）×2厘米。 【详解】 周长最小： （3×1＋2×2＋1×4）×2 ＝（3＋4＋4）×2 ＝11×2 ＝22（厘米） 周长最大： （3×4＋2×2＋1×1）×2 ＝（12＋4＋1）×2 ＝17×2 ＝34（厘米） 答：这个平面图形的周长最小是22厘米，最大是34厘米。 【点睛】把长方体纸盒剪开后展开，需剪开它的七条棱才可能展开成平面图。关键看剪的方法，要是平面图周长最小，剪开的7条棱的长度要尽量小；要使平面图周长最大，剪开的7条棱的长度就要尽量的大。 2．一块长23厘米、宽20厘米的长方形铁皮（如图），从四个角各切掉一个边长为4厘米的正方形，然后做成一个无盖长方体盒子，这个盒子的容积是多少？ 【答案】720毫升 【分析】做成长方体盒子的长是（23－4×2）厘米，宽是（20－4×2）厘米，高是4厘米，根据长方体体积公式，再把体积单位转化为容积单位即可。 【详解】（23－4×2）×（20－4×2）×4 ＝15×12×4 ＝180×4 ＝720（立方厘米） 720立方厘米＝720毫升 答：这个盒子的容积是720毫升。 3．认真审题，操作设计。 王师傅准备用一张长8分米，宽4分米的长方形映皮，做一个深1分米的无盖长方体容器。请你画出不同的焊接方案图，并算出各自的容积，这个长方体容器的容积最大是多少升？（焊接处和缺皮的厚度忽略不计） 【答案】图见详解，12升；14升；16升 最大容积是16升 【分析】方案一：在四个角各剪去一个边长为1分米的正方形。长：（8－1×2）分米，宽：（4－1×2）分米，高：1分米，容积：长×宽×高； 方案二：在长方形的一条宽边上剪去两个边长为1分米的正方形，焊接到另一条宽边上，长：（8－1）分米，宽：（4－1×2）分米高：1分米，容积：长×宽×高； 方案三：在长方形的宽边上剪去2个长4分米，宽1分米的长方形，再把这2个长方形分别放于原长方形的长边上，长：（8－4）分米，宽4分米，高1分米，容积：长×宽×高；再把三种方案的结果计算出来比较大小即可。 【详解】 （8－2）×（4－2）×1 ＝6×2×1 ＝12（立方分米） 12立方分米＝12升 （8－1）×（4－2）×1 ＝7×2×1 ＝14（立方分米） 14立方分米＝14升 （8－4）×4×1 ＝4×4×1 ＝16（立方分米） 16立方分米＝16升 12升＜14升＜16升 答：这个长方体容器的容积最大是16升。 【点睛】解题关键在于巧妙构思铁皮裁剪拼接：通过多样的裁剪拼接方法，构造不同尺寸的长方体。精准计算与比较容积：依据公式算出各方案容积并比大小，得出最大值。 【例2】将1、2、3、4、5、6分别填在如图中的每个方格内，使折成的正方体中相对的2个面的数之和相等。 【答案】见详解 【分析】1、2、3、4、5、6这6个数字，如果分成三组，每组两数之和相等，只有1＋6＋2＋5＋3＋4，即1与6相对，2与5相对，3与4相对。根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方展开图的“1－4－1”型，折成正方体后，第一行与第三行的两个正方形相对，中间一行的第一个与第三个正方形相对，第二个与第四个正方形相对。据此可将1、2、3、4、5、6分别填在如图中的每个方格内，使折成的正方体中相对的2个面的数之和相等。 【详解】 （填法不唯一）。 【点睛】弄清此图折成正方体后，哪些面相对，1、2、3、4、5、6这6个数字中哪两个数字相加和相等是关键。 1．下面是一个无盖的正方体纸盒，底面标有“O”，沿图中粗线将正方体剪开。 （1）你认为（    ）号图形是这个无盖纸盒的展开图。 （2）在你选择的展开图中标出“O”的位置。 【答案】（1）③； （2）见详解 【分析】（1）无盖的正方体纸盒展开是由5个相同正方形连成的平面图形。这个无盖的正方体纸盒展开图是“1－4－1”结构少一个“1”，且这个“O"与“4”的四个正方形中的第二个正方形对齐，上层为“4”，下层的“1”，即为“O”面正方形；据此选择即可。 （2）根据题意，这个无盖的正方体纸盒，底面标有“O”，沿图中粗线将正方体剪开后的图形为：。 【详解】（1）根据分析可知，这个无盖的正方体纸盒，底面标有“O”，沿图中粗线将正方体剪开后的图形为③； （2）根据分析可得： 在展开图中标出“O”的位置，如下：。 【点睛】解答此时，可根据图中做一个无盖正方体纸盒，沿着图中粗线剪开，看看是什么形状。 2．如下图，这是一个无盖的正方体纸盒展开图。 (1)如果“”所在的面是前面，那么“”所在的面是________面。 (2)现在要给这个盒子加一个盖子，请你把盖子的位置画在展开图中。（画出一种即可） 【答案】(1)右 (2)图见详解 【分析】（1）从前面作为解决问题的突破口，如图： （2）根据正方体展开图的11种类型，任选一合适的作图即可，如盒子的上面可以在平面展开图的右侧。 【详解】（1）如果“”所在的面是前面，那么“”所在的面是右面。 （2）根据正方体展开图的特征，可作图如下： （答案不唯一） 3．西周时期的士人学习的“六艺”是“礼、乐、射、御、书、数”。在正方体的6个面上分别写着“六艺”中的一种，正方体展开后如下图，与“御”字相对的是哪个字？ 【答案】“数”字。 【分析】通过折纸方法还原正方体，可以找出相对的面。 【详解】通过折纸方法还原正方体可知： “礼”与“射”相 对；“御”与“数”相 对；“乐”与“书”相 对。 答：与“御”字相对的是“数”字。 【点睛】可以用折纸方法还原正方体降低难度来解决。 【例3】学校要给新建的游泳池贴瓷砖。游泳池长40米，宽30米，深2米。池底和四壁都要贴瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？ 【答案】 1480平方米 【分析】游泳池是一个无盖的长方体，贴瓷砖的面积包括一个底面和四个侧面，根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”计算即可求出贴瓷砖的总面积。 【详解】40×30＋40×2×2＋30×2×2 ＝1200＋80×2＋60×2 ＝1200＋160＋120 ＝1360＋120 ＝1480（平方米） 答：贴瓷砖的面积是1480平方米。 1．聪聪要过生日了，爸爸想动手制作一个小板凳送给他。请你仔细阅读制作要求。 凳面：我是一个长30厘米，宽20厘米，高2厘米的长方体。 凳腿：我需要4条，板凳腿长4厘米，宽2厘米，高25厘米。 (1)做这个小板凳至少用了多少立方分米木材？（损耗忽略不计） (2)为了美观，想在组装前给板凳面的上面和四周涂上油漆（底面不涂），至少需要涂多少平方厘米？ 【答案】(1)2立方分米 (2)800平方厘米 【分析】（1）小板凳所用木材的总体积＝凳面的体积＋4条凳腿的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算求解。注意单位的换算：1立方分米＝1000立方厘米。 （2）给板凳面的上面和四周涂上油漆，底面不涂，即需要计算凳面的上面和4个侧面的面积之和，根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”，代入数据计算求解。 【详解】（1）凳面的体积：30×20×2＝1200（立方厘米） 4条凳腿的体积：4×2×25×4＝800（立方厘米） 小板凳的体积：1200＋800＝2000（立方厘米） 2000立方厘米＝2立方分米 答：做这个小板凳至少用了2立方分米木材。 （2）30×20＋30×2×2＋20×2×2 ＝600＋120＋80 ＝800（平方厘米） 答：至少需要涂800平方厘米。 2．跳水是奥运会的竞赛项目之一，一个长方体形状的跳水池，其底面是周长为104米的正方形，池深5米。如果给这个跳水池的四周和底部贴瓷砖，需要贴瓷砖的面积是多少平方米？ 【答案】 1196平方米 【分析】本题考查长方体表面积的实际应用。跳水池没有上面，因此需要贴瓷砖的面包括1个底面和4个侧面。已知底面是正方形且周长为104米，首先根据正方形周长公式求出底面边长。贴瓷砖的总面积等于底面积加上侧面积，其中侧面积可以用底面周长乘高来计算。 【详解】底面边长：（米） （平方米） 答：需要贴瓷砖的面积是1196平方米。 3．一种长方体茶叶盒，长为8分米，宽6分米，高4分米，现在要在四周贴上与长方体等高的商标纸，至少需要多少平方分米的商标纸？ 【答案】112平方分米 【分析】本题考查长方体侧面积的计算在实际生活中的应用。求“至少需要多少平方分米的商标纸”，即求该长方体茶叶盒的侧面积（不考虑接缝重叠部分）。长方体侧面积的计算公式为：底面周长×高，代入数据解答即可。 【详解】（8＋6）×2×4 ＝14×2×4 ＝28×4 ＝112（平方分米） 答：至少需要112平方分米的商标纸。 【例4】有一段铁丝，正好能做一个长9厘米，宽5厘米，高7厘米的长方体框架，如果用这段铁丝做一个正方体框架，这个正方体的棱长是多少厘米？表面积是多少平方厘米？ 【答案】7厘米；294平方厘米 【分析】铁丝长度不变，说明长方体的棱长总和与正方体的棱长总和相等。先根据长方体棱长总和公式：（长＋宽＋高）×4，求出铁丝的总长度，再根据正方体棱长总和公式：棱长×12，求出正方体的棱长，最后根据正方体表面积＝棱长×棱长×6计算出表面积。 【详解】 ＝ （厘米） （厘米） （平方厘米） 答：这个正方体的棱长是7厘米，表面积是294平方厘米。 1．边长为5分米的正方体上切去一个边长为1分米的小正方体，剩下图形的体积和表面积分别变为多少？ 【答案】 体积：124 立方分米；表面积：150 平方分米、152 平方分米或 154 平方分米 【分析】1. 体积分析：物体的体积是指物体所占空间的大小。从大正方体上切去一个小正方体，无论切在什么位置，剩下部分的体积都等于大正方体的体积减去小正方体的体积。 2. 表面积分析：物体的表面积是指物体所有外表面的面积之和。切去小正方体后，原大正方体的表面会减少部分面积，同时切口处会增加新的表面面积。表面积的变化取决于小正方体切去的位置： （1）若在顶点处切去，减少个面，增加个面，表面积不变。 （2）若在棱上（非顶点）处切去，减少个面，增加个面，表面积增加个小正方形面的面积。 （3）若在面中心（非棱、非顶点）处切去，减少个面，增加个面，表面积增加个小正方形面的面积。 由于题干未说明切去的具体位置，因此表面积有三种可能的情况。 【详解】1.计算剩下图形的体积 大正方体的体积： （立方分米） 小正方体的体积： （立方分米） 剩下图形的体积： （立方分米） 2. 计算剩下图形的表面积 大正方体原来的表面积： （平方分米） 小正方体一个面的面积： （平方分米） 分情况讨论剩下图形的表面积： （1）情况一：在顶点处切去 表面积不变，仍为平方分米。 （2）情况二：在棱上（非顶点）处切去 表面积增加个小正方形面的面积： ＝150＋2 ＝152（平方分米） （3） 情况三：在面中心（非棱、非顶点）处切去 表面积增加个小正方形面的面积： ＝150＋4 ＝154（平方分米） 答：剩下图形的体积是立方分米，表面积可能是平方分米、平方分米或平方分米。 2．水陆缸是以山水脉络为基础构建的微型生态景观系统，由水上景观与水下景观共同构成。王叔叔想利用一个正方体玻璃缸制作一个水陆缸，且这个正方体玻璃缸是无盖的，棱长为5分米。若制作一个这样的正方体玻璃缸，至少需要多少平方分米的玻璃？ 【答案】125平方分米 【分析】玻璃的面积＝棱长×棱长×5。 【详解】5×5×5＝125（平方分米） 答：至少需要125平方分米的玻璃。 3．凉山国际火把节的庆祝仪式需要用正方体的灯笼装饰街道，焊接一个灯笼框架要用去一根长480厘米的铁丝（不计损耗），再给这个正方体框架的5个表面糊上彩纸，每个灯笼至少需要多少平方厘米的彩纸？ 【答案】8000平方厘米 【分析】铁丝长度相当于正方体棱长总和，正方体棱长＝棱长总和÷12，每个灯笼需要的彩纸面积＝棱长×棱长×5。 【详解】480÷12＝40（厘米） 40×40×5＝8000（平方厘米） 答：每个灯笼至少需要8000平方厘米的彩纸。 【例5】如图所示，从长、宽、高为15，5，4的长方体中切除一块长、宽、高为y，5，x的长方体（x，y为整数），余下部分的体积为120，求和。 【答案】； 【分析】根据题意可得等量关系为：原长方体的体积－切除部分的体积＝余下的体积。根据长方体体积＝长×宽×高分别计算原长方体的体积和切除部分的体积，根据等量关系列方程并求解xy的乘积，再根据x、y为整数且满足实际取值范围，来求解。 【详解】 解： 从图中可知，x是切除部分的高，因此（且x为整数）；y是切除部分的长，因此（且y为整数）。 对进行整数分解： 时，（，符合） 答：，。 1．一个边长为24厘米的正方形纸片，把它的四个角各剪去一个小正方形可做一个无盖的长方体盒子，这个长方体盒子的体积最大是多少？（接头处忽略不计） 【答案】1024立方厘米 【分析】分析题目，剪去的正方形的边长可以为1厘米、2厘米、3厘米、4厘米，做成的无盖的长方体的长为24－正方形的边长×2、宽为24－正方形的边长×2和高为正方形的边长；再利用长方体的体积＝长×宽×高，分别计算求出四种情况的纸盒的体积，比较即可。 【详解】①当小正方形的边长为1厘米时， （24－1×2）×（24－1×2）×1 ＝（24－2）×（24－2）×1 ＝22×22×1 ＝484（立方厘米） ②当小正方形边长为2厘米时， （24－2×2）×（24－2×2）×2 ＝（24－4）×（24－4）×2 ＝20×20×2 ＝800（立方厘米） ③当小正方形的边长为3厘米时， （24－3×2）×（24－3×2）×3 ＝（24－6）×（24－6）×3 ＝18×18×3 ＝972（立方厘米） ④当小正方形的边长为4厘米时， （24－4×2）×（24－4×2）×4 ＝（24－8）×（24－8）×4 ＝16×16×4 ＝1024（立方厘米） ⑤当小正方形的边长为5厘米时， （24－5×2）×（24－5×2）×5 ＝（24－10）×（24－10）×5 ＝14×14×5 ＝980（立方厘米） 1024＞980＞972＞800 答：这个长方体盒子的体积最大是1024立方厘米。 2．在一个长20分米、宽9分米、高7分米的长方体容器内注入3.6分米深的水，然后放入一个棱长为6分米的正方体铁块，则水位上升了多少分米？ 【答案】0.9分米 【分析】水深是3.6分米，放入的铁块是棱长6分米的正方体，6分米大于3.6分米，铁块不一定完全浸入到水中，需通过计算来判断。 长方体的体积＝长×宽×高＝底面积×高，注入3.6分米的水，水的体积＝20×9×3.6； 放入铁块之后，假设水面高度低于6分米，现在水的底面积＝20×9－6×6， 再根据现在水的高度＝水的体积÷现在水的底面积，计算出来现在水的高度之后，判断假设是否成立；、 若成立，上升的水位高度＝现在水的高度－3.6分米； 若不成立，也就是铁块完全浸入水中，现在水高＝（水和铁块总体积）÷底面积（20分米×9分米），据此分析即可。 【详解】假设把铁块放入水中之后，水没有淹没铁块。 ＝180×3.6÷144 ＝648÷144 ＝4.5（分米） 6分米＞4.5分米，说明水没有淹没铁块，假设成立。 4.5－3.6＝0.9（分米） 答：水位上升了0.9分米。 【点睛】整个过程水的体积不变，铁块没有完全浸入，则水的底面积会有变化，进而计算出现在的水高，求出上升的高度。 3．有甲、乙两种长方体容器。甲容器长、宽、高分别为10厘米、3厘米、10厘米，乙容器长、宽、高分别是5厘米、4厘米、15厘米。已知甲容器中装有水，将其倾斜，水面刚好如下图所示。乙容器是空的。如果将甲容器中的水倒一部分到乙容器，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么需要从甲容器中倒出多少水？ 【答案】60立方厘米 【分析】根据左图可知，甲容器中装水的体积是甲容器体积的一半，根据长方体的体积公式V＝abh，即可求出水的体积；将甲容器中的水倒一部分到乙容器中，使甲、乙两个容器中的水面高度相同，此时水的总体积不变。用甲容器中水的体积除以甲、乙容器的底面积之和，即可求出此时水面的高度；再根据长方体的体积公式V＝abh，求出乙容器中水的体积，即是从甲容器倒出的水的体积，据此进行解答。 【详解】甲容器中水的体积：10×3×10÷2 ＝30×10÷2 ＝300÷2 ＝150（立方厘米） 底面积之和：10×3＋5×4 ＝30＋20 ＝50（平方厘米） 高：150÷50＝3（厘米） 乙容器中水的体积：5×4×3 ＝20×3 ＝60（立方厘米） 答：需要从甲容器中倒出60立方厘米的水。 【点睛】本题的核心是抓住两个不变量：一是水的总体积不变，二是最终甲、乙容器中水面的高度相同。利用这两个条件，才能将“倒出部分水”的问题，转化为“总体积÷总底面积＝共同高度”的简单计算。 【例6】一个长方体水槽，水里面浸没了一个铁球，把这个铁球完全从水中拿出时（水的损耗忽略不计），水槽里面的水下降了5毫米。现将一块棱长是3厘米的正方体铁块浸没在这个水槽的水中，水槽里的水面上升了3毫米。这个铁球的体积是多少立方厘米？（用比例解） 【答案】45立方厘米 【分析】根据题意，铁球的体积等于水下降部分的体积，正方体铁块的体积等于水上升部分的体积。由于水槽的底面积不变，体积与水面变化的高度成正比例，因此可设铁球的体积为x立方厘米，根据比例关系求解。据此解答 【详解】5毫米＝0.5厘米，3毫米＝0.3厘米 正方体铁块体积：3×3×3＝27（立方厘米） 解：设铁球的体积是x立方厘米： ＝ 0.3x＝27×0.5 0.3x＝13.5 0.3x÷0.3＝13.5÷0.3 x＝45 答：这个铁球的体积是45立方厘米。 1．从一个长、宽、高分别是21厘米、15厘米、12厘米的长方体上面，尽可能大地切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？ 【答案】1107立方厘米 【分析】已知长方体长、宽、高分别是21厘米、15厘米、12厘米。根据长方体体积公式：V＝a×b×h（a、b、h分别为长、宽、高）计算出原长方体的体积。 每次切割的正方体棱长由剩余长方体的最小棱长决定。第一次切下的正方体棱长是12厘米，剩余部分较大的长方体的长为21－12＝9厘米，宽为15厘米，高为12厘米。所以第二次切下的正方体棱长是9厘米，剩余部分较大的长方体的宽为15－9＝6厘米，长为9厘米，高为12厘米。所以第三次切下的正方体棱长是6厘米。根据正方体体积公式：V＝a×a×a（a为棱长），把数据代入公式计算三个正方体的体积。剩余体积为原长方体体积依次减去三次切割的正方体体积。 【详解】21×15×12＝3780（立方厘米） 21＞15＞12 第一次：12×12×12＝1728（立方厘米） 第二次：21－12＝9（厘米） 15＞12＞9 9×9×9＝729（立方厘米） 第三次：15－9＝6（厘米） 12＞9＞6 6×6×6＝216（立方厘米） 剩余体积：3780－1728－729－216＝1107（立方厘米） 答：剩下的体积是1107立方厘米。 【点睛】掌握长方体的特征，以及长方体体积的计算公式，是解答本题的关键。 2．把一个棱长为10厘米的正方体铁块铸成一个底面直径是20厘米的圆锥形铁块。这个圆锥形铁块的高约是多少？（得数保留一位小数） 【答案】9.6厘米 【分析】由题意可知，正方体的体积等于圆锥的体积，根据，可得正方体的体积即圆锥的体积，再根据圆锥的体积公式的逆运算，可求出圆锥的高，得数采用“四舍五入法”保留一位小数。 【详解】 （厘米） 答：这个圆锥形铁块的高约是9.6厘米。 3．一种立体的米形玩具，三个长方体的长宽高都分别为10厘米、2厘米、2厘米。这个米字形玩具的体积是多少立方厘米？ 【答案】104立方厘米 【分析】由图可知，这个玩具由三个长方体组成，但其中2个长方体中间少了一个边长为2厘米的正方体。根长方体的体积＝长×宽×高，正方体体积＝边长×边长×边长，先求出三个长方体的体积之和，再减去两个小正方体的体积即可。 【详解】10×2×2×3－2×2×2×2 ＝120－16 ＝104（立方厘米） 答：这个米字形玩具的体积是104立方厘米。 【例7】一个由棱长2cm的小正方体搭成的棱长18cm的大正方体，给这个大正方体涂上色彩，三面涂色、两面涂色、一面涂色和没涂色的块数各有多少个？ 【答案】8个；84个；294个；343个 【分析】先用大正方体棱长除以小正方体棱长，计算出大正方体每条棱上包含多少个小正方体。根据正方体的特征进行分析： 三面涂色的小正方体位于大正方体的顶点处，正方体有 8 个顶点。所以三面涂色的小正方体有8个。 两面涂色的小正方体是位于大正方体的棱上除去两端的顶点上的小正方体。所以每条棱上有9－2＝7（个）两面涂色的小正方体； 一面涂色的小正方体位于大正方体的6个面上，需要除去四周的棱上的正方体。 没涂色的小正方体位于大正方体的内部，长、宽、高方向上各去掉外层的一排即均减去2个小正方体。 【详解】大正方体每条棱上小正方体的个数： （个） 三面涂色的小正方体位于顶点处，正方体有 8 个顶点，所以三面涂色的小正方体有8个； 两面涂色的小正方体： （9－2）×12 ＝7×12 ＝84（个） 一面涂色的小正方体： （9－2）×（9－2）×6 ＝7×7×6 ＝49×6 ＝294（个） 没涂色的小正方体： （9－2）×（9－2）×（9－2） ＝7×7×7 ＝49×7 ＝343（个） 答：三面涂色的有8个，两面涂色的有84个，一面涂色的有294个，没涂色的有343个。 1．把若干个体积相同的小正方体堆成一个大的正方体，然后在大正方体的表面涂上颜色，已知两面涂上颜色的小正方体共有24个，那么这些小正方体一共多少个？ 【答案】64个 【分析】大正方体中，两面涂色的小正方体只在棱上（不含顶点），正方体有12条棱。先用24÷12计算出每条棱上两面涂色的小正方体个数，再用每条棱涂两面的小正方体数量＋2（顶点处的两个）计算出每条棱上小正方体的总个数，最后用“总个数＝每条棱个数×每条棱个数×每条棱个数”计算。 【详解】24÷12＝2（个） 2＋2＝4（个） 4×4×4 =16×4 ＝64（个） 答：这些小正方体一共64个。 2．在一个正方体木块的6个面都涂上红色后，把它分割成若干个棱长是1厘米的小正方体木块，有两面涂红色的共有108个，那么只有一面涂红色的小正方体共有多少个？提示：根据两面涂红色的个数，可推算出一条棱上有多少个两面是涂红色的。 【答案】486个 【分析】用n（n≥3）表示正方体每条棱上小正方体的个数，两面涂红色的小正方体位于棱上，每条棱上有（n－2）个，共有12×（n－2）个，有两面涂红色的共有108个，即12×（n－2）＝108，据此可求出n。将n代入6×（n－2）2即可求出一面涂红色的小正方体的个数。 【详解】用n（n≥3）表示正方体每条棱上小正方体的个数，则12×（n－2）＝108。 108÷12＋2 ＝9＋2 ＝11（个） （11－2）2×6 ＝92×6 ＝81×6 ＝486（个） 答：只有一面涂红色的小正方体共有486个。 3．操作想象。 如图，用一些棱长为1cm的小正方体组成一个大长方体。 (1)至少要补充( )个这样的小正方体。 (2)搭好的长方体的前面的面积是( )cm2，左面的面积是( )cm2。 (3)计算搭好的长方体的体积时，小美用5×3×4＝60（cm3）来计算，其中5是指长方体底层一行摆了5个小正方体，3是指( )，4是指( )，60是指( )。 (4)如果给这个搭好的长方体表面涂上颜色，那么2个面被涂色的小正方体有( )个。 【答案】(1)50 (2) 20 12 (3) 长方体底层一列摆了3个小正方体 长方体竖着摆了4个小正方体 摆长方体一共用了60个小正方体 (4)24 【分析】（1）由图可知，长有5个，宽有3个，高有4个，用5×3×4即可求出一共有多少个小正方体的个数，再减去现有的10个，即可求出至少要补充多少个这样的小正方体。 （2）前面是一个长5cm，宽4cm的长方形，左面是一个长4cm，宽3cm的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，把数据代入公式即可求解。 （3）长方体底层一行摆了5个小正方体即为长，长方体底层一列摆了3个小正方体即为宽，长方体竖着摆了4个小正方体即为高，根据长方体的体积＝长×宽×高，用5×3×4＝60（cm3）来计算长方体的体积，也就是拼成长方体的小正方体的个数。 （4）2个面涂上颜色的是12条棱上除了8个顶点的几个正方形，长有5－2＝3个，4条长时3×4＝12个，宽上3－2＝1个，4条宽是1×4＝4个，高上4－2＝2个，4条高是2×4＝8个，一共有12＋4＋8＝24个，据此解答即可。 【详解】（1）长有5个，宽有3个，高有4个，一共是 5×3×4 ＝15×4 ＝60（个） 60－10＝50（个） 所以，至少要补充50个这样的小正方体。 （2）前面：5×4＝20（cm2） 左面：4×3＝12（cm2） 所以，搭好的长方体的前面的面积是20cm2，左面的面积是12cm2。 （3）由分析可知： 计算搭好的长方体的体积时，小美用5×3×4＝60（cm3）来计算，其中5是指长方体底层一行摆了5个小正方体，3是指长方体底层一列摆了3个小正方体，4是指长方体竖着摆了4个小正方体，60是指摆长方体一共用了60个小正方体。 （4）由分析可知： 如果给这个搭好的长方体表面涂上颜色，那么2个面被涂色的小正方体有24个。 【例8】为了美化图书馆环境，图书管理员在网上购买了一个青花瓷瓶来装饰图书馆大厅（如图）。商家在发货时需要根据青花瓷瓶的尺寸选择合适的长方体包装盒（长、宽、高均为整分米数），这个长方体包装盒的表面积至少是多少平方分米？（包装盒的厚度不计） 【答案】378平方分米 【分析】要确定长方体包装盒的最小表面积，需先明确包装盒的长、宽、高至少为多少，因为花瓶腹部最大直径是7分米，所以长方体包装盒的长和宽至少要能容纳花瓶的腹部，即长和宽最少是7分米，又因为花瓶高是10分米，所以长方体包装盒的高最少是10分米，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，将长7分米、宽7分米、高10分米代入公式即可求出长方体包装盒的表面积，据此解答。 【详解】（7×7＋7×10＋7×10）×2 ＝（49＋70＋70）×2 ＝（119＋70）×2 ＝189×2 ＝378（平方分米） 答：这个长方体包装盒的表面积至少是378平方分米。 1．一个装玩具飞机的盒子长30cm，宽20cm，高5cm，把两个这样的盒子包成一包。有三种方案，分别算出各种方案所需的包装纸的大小。哪种方案最节省包装纸？（接头处不计） 第一种方案： 第二种方案： 第三种方案： 【答案】2200；3200；3100；第一种方案最节省包装纸。 【分析】先明确三种包装方案中组合后长方体的长、宽、高，再根据长方体表面积公式分别计算每种方案的包装纸面积，即S＝（长×宽＋长×高＋宽×高），最后比较大小确定最节省包装纸的方案。 【详解】第一种方案：（） 第二种方案：（） 第三种方案：（） 答：第一种方案最节省包装纸。 2．园园家的超市批发了一批牙膏。图①是牙膏包装盒的展开图，由于快递运输需要，现定做长方体纸箱来存放牙膏，纸箱内侧的尺寸如图②。（单位：cm） （1）牙膏包装盒的表面积是（    ）cm2。 （2）纸箱中最多能放多少盒牙膏？ 【答案】（1）198 （2）400盒 【分析】（1）由图①牙膏包装盒展开图可知，其长为15厘米，宽为3厘米，高为3厘米，根据长方体的表面积公式，求出牙膏包装盒的表面积。 （2）由图②可知纸箱的长为60厘米、宽为30厘米、高为30厘米，分别计算纸箱的长、宽、高是牙膏包装盒长、宽、高的几倍，再将倍数相乘，即可得到能放牙膏的盒数。 【详解】（1） （平方厘米） 所以牙膏包装盒的表面积是198平方厘米。 （2） （盒） 答：纸箱中最多能放400盒牙膏。 3．消费者通过网络途径购买商品已经成为一种习惯。小明在网上商城买了如图所示的可乐，共买了两箱，要将两箱可乐叠放包装起来，商家最少需要多少平方分米包装纸？ 【答案】122平方分米 【分析】将两箱可乐最大的两个面拼起来，表面积最小，也就是用的包装纸最少，则拼起来的大长方体长7分米、宽3分米、高（2×2）分米，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，列式计算即可。 【详解】（7×3＋7×2×2＋3×2×2）×2 ＝（21＋28＋12）×2 ＝61×2 ＝122（平方分米） 答：商家最少需要122平方分米包装纸。 【例9】科学课上，同学们用一个从里面量长是5分米、宽是4分米、高是3分米的长方体水槽做实验。先往水槽里倒入40立方分米的水，再把一块不规则的雨花石完全浸没在水中（水没有溢出），这时水面高度是2.3分米。这块雨花石的体积是多少立方分米？ 【答案】6立方分米 【分析】已知水槽的长和宽和放入石头后的水面高度，可先求出放入雨花石后的总体积， 雨花石的体积等于放入雨花石后的总体积减去原来水的体积，这里会用到长方体体积公式V＝abh（a为长，b为宽，h为高）。 【详解】 （立方分米） 答：这块雨花石的体积是6立方分米。 1．一辆汽车的油箱，从里面量长12分米，宽5分米，高4分米。 (1)做这个油箱至少要用多大面积的铁皮？ (2)如果当前汽油每升8.5元，加满整个油箱一共需要多少钱？ 【答案】(1)256平方分米 (2)2040元 【分析】（1）求做油箱需要的铁皮面积，即求长方体的表面积。长方体表面积公式为：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。油箱是封闭容器，需要计算6个面的面积。 （2）要求计算加满油的费用，需要先求油箱的容积。长方体容积公式为：长×宽×高。计算出容积后，根据1立方分米＝1升进行单位换算，最后用容积乘每升汽油的单价即可得出总费用。 【详解】（1）（12×5＋12×4＋5×4）×2 ＝（60＋48＋20）×2 ＝128×2 ＝256（平方分米） 答：做这个油箱至少要用256平方分米的铁皮。 （2）12×5×4 ＝60×4 ＝240（立方分米） 240立方分米＝240 升 240×8.5＝2040（元） 答：加满整个油箱一共需要2040元钱。 2．王丽把工艺品进行收纳展示，要购买一款圆柱形的展示桶，如图1。 （1）展示桶的下底面是彩色塑料板，侧面和上底面是透明塑料板。制作这样一个展示桶需要透明塑料板多少平方厘米？（拼接处忽略不计。） （2）王丽买了4个这样的展示桶，这4个展示桶恰好可以放在一个长方体纸箱中，如图2，这个纸箱的容积是多少立方厘米？ 【答案】（1）301.44平方厘米；（2）2560立方厘米 【分析】（1）根据题意可知，透明塑料板的面积相当于圆柱的侧面积加上一个底面积，根据无盖的表面积公式：S＝πr2＋πdh，代入数据解答即可。 （2）根据题意可知，长方体纸箱的长相当于2个圆柱底面直径的长度，宽相当于2个底面直径的长度，高相当于圆柱的高，根据长方体的容积＝长×宽×高，代入数据解答。 【详解】（1）3.14×（8÷2）2＋3.14×8×10 ＝3.14×42＋3.14×8×10 ＝3.14×16＋3.14×8×10 ＝50.24＋251.2 ＝301.44（平方厘米） 答：制作这样一个展示桶需要透明塑料板301.44平方厘米。 （2）8×2＝16（厘米） 16×16×10＝2560（立方厘米） 答：这个纸箱的容积是2560立方厘米。 3．小红家新买了一个长8分米、宽6分米、高6分米的长方形玻璃鱼缸，小红在这个鱼缸内放入了体积约4立方分米的养鱼装饰物。正常情况下，鱼缸水位至少要比鱼缸口低0.5分米，照此计算，最多还能再加入多少升的水？（鱼缸玻璃厚度忽略不计） 【答案】260升 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，据此计算鱼缸的有效装水容积，即水位最高时的体积，再减去装饰物的体积，即可得到最多能加入的水量。 【详解】6－0.5＝5.5（分米） 8×6×5.5－4 ＝264－4 ＝260（立方分米） 260立方分米＝260升 答：最多还能再加入260升的水。 一、填空题 1．一个长方体的长是8分米，宽是6分米，高是4分米，如果把这个长方体的长、宽、高都缩小到原来的，那么现在的长方体的体积是原来长方体体积的( )。 【答案】 【分析】一个长方体的长是8分米，宽是6分米，高是4分米，如果把这个长方体的长、宽、高都缩小到原来的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法解答，则变化后的长方体的长宽高分别为8×＝4分米，6×＝3分米，4×＝2分米，由此利用长方体的体积公式计算出变化前后的长方体的体积，再相除即可解答问题。长方体体积＝长×宽×高。 【详解】8×＝4（分米） 6×＝3（分米） 4×＝2（分米） 4×3×2÷（8×6×4） ＝12×2÷（48×4） ＝24÷192 ＝ 所以现在的长方体的体积是原来长方体体积的。 2．一个正方体的棱长扩大到原来的3倍，表面积扩大到原来的( )倍，体积扩大到原来的( )倍。 【答案】 9 27 【分析】假设正方体的棱长为1，根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，算出原来的表面积和现在的表面积，用现在的表面积除以原来的表面积算出它们的关系；根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，算出原来的体积和现在的体积，用现在的体积除以原来的体积算出它们的关系。 【详解】假设原来正方体的棱长是1，那么现在的棱长是3。 表面积关系：（3×3×6）÷（1×1×6）＝54÷6＝9 体积关系：（3×3×3）÷（1×1×1）＝27÷1＝27 3．一个正方体木料的高减少5cm，它的表面积就减少200cm2，原来的这个正方体木料的体积是( )cm3。如果将这块木料切成一个最大的圆柱，则这个圆柱的体积是( )cm3。 【答案】 1000 785 【分析】正方体木料减少的表面积÷减少的高＝底面周长，正方体底面周长÷4＝正方体棱长，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出这个正方体木料的体积；将正方体切成最大的圆柱，圆柱的底面直径和高都等于正方体棱长，根据圆柱体积＝底面积×高，即可求出圆柱的体积。 【详解】200÷5÷4＝10（cm） 10×10×10＝1000（cm3） 3.14×（10÷2）2×10 ＝3.14×52×10 ＝3.14×25×10 ＝785（cm3） 原来的这个正方体木料的体积是1000cm3。这个圆柱的体积是785cm3。 4．用棱长为1厘米的正方体木块在桌面上拼摆出如图所示的模型，它的体积是( )cm3，在此基础上继续拼摆成一个长方体的模型，最少需要添加( )个正方体木块。 【答案】 8 16 【分析】求模型的体积：数图中正方体的个数，通过观察可得，模型由8个棱长为1厘米的正方体组成。因为每个正方体体积是1×1×1＝1（cm3），所以模型体积是8×1＝8（cm3）。 求最少需要添加的正方体木块数量：观察模型，要拼成长方体，最小的长方体的长应该是4厘米（横向最多有4个正方体的长度），宽是3厘米（纵向最多有3个正方体的长度），高是2厘米（有两层，最高为2个正方体的高度）。那么这个长方体所需正方体总数为4×3×2＝24（个）。已有8个正方体，所以最少需要添加24－8＝16（个）。 【详解】1×1×1＝1（cm3） 8×1＝8（cm3） 4×3×2＝24（个） 24－8＝16（个） 用棱长为1厘米的正方体木块在桌面上拼摆出如图所示的模型，它的体积是8cm3，在此基础上继续拼摆成一个长方体的模型，最少需要添加16个正方体木块。 5．把下面这个展开图围成一个长方体。 (1)如果面是下面，那么________面是上面。 (2)已知图中三条边的长度，围成的长方体的表面积是________cm2。 【答案】(1)F (2)298 【分析】（1）根据长方体的特征可知，相对的面完全相同。想象把这个展开图围成一个长方体，如果A是下面，则B是前面，C是右面，D是后面，F是上面，E是左面，据此解答。 （2）已知围成的长方体的长为15cm，宽为7cm，高为2cm，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算，求出它的表面积。 【详解】（1）如果面是下面，那么F面是上面。 （2）（15×7＋15×2＋7×2）×2 ＝（105＋30＋14）×2 ＝149×2 ＝298（cm2） 已知图中三条边的长度，围成的长方体的表面积是298cm2。 6．在一个边长为4厘米正方体的前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个底面半径为1厘米、高为1厘米的圆柱，则挖去后物体的表面积为________平方厘米。（π取3.14） 【答案】133.68 【分析】正方体表面积公式为S＝6a2（a为正方体的棱长），已知正方体棱长为4厘米，则原正方体表面积为：6×42＝6×16＝96（平方厘米）。圆柱侧面积公式为S＝2πrh（r为底面半径，h为高，π取3.14），已知圆柱底面半径为1厘米，高为1厘米，则一个圆柱的侧面积为：2×3.14×1×1＝6.28（平方厘米）。因为有6个这样的圆柱，所以6个圆柱的侧面积之和为：6.28×6＝37.68（平方厘米）。挖去后物体的表面积等于原正方体的表面积加上6个圆柱的侧面积，据此计算即可。 【详解】6×42 ＝6×16 ＝96（平方厘米） 2×3.14×1×1＝6.28（平方厘米） 6.28×6＝37.68（平方厘米） 96＋37.68＝133.68（平方厘米） 挖去后物体的表面积为133.68平方厘米。 7．一个棱长为3dm的正方体可以分成( )个棱长为1dm的小正方体，表面积会增加( )；把这些小正方体排成一行，长( )。 【答案】 27 108 27 【分析】根据正方体体积公式V＝a×a×a（a为棱长），大正方体体积为3×3×3＝27（dm3），小正方体体积为1×1×1＝1（dm3）。则能分成小正方体的个数为27÷1＝27（个）。 正方体的表面积公式为：S＝6×a2（a为棱长），原来大正方体的表面积为6×32＝6×9＝54（dm2）。27个小正方体的表面积之和为27×6×12＝27×6×1＝162（dm2）。表面积增加了162－54＝108（dm2）。 每个小正方体棱长为1dm，27个排成一行的长度为1×27＝27（dm）。 【详解】3×3×3＝27（dm3） 1×1×1＝1（dm3） 27÷1＝27（个） 6×32 ＝6×9 ＝54（dm2） 27×6×12 ＝27×6×1 ＝162（dm2） 162－54＝108（dm2） 1×27＝27（dm） 一个棱长为3dm的正方体可以分成27个棱长为1dm的小正方体，表面积会增加108dm2；把这些小正方体排成一行，长27dm。 8．小芳先把一个棱长为8厘米的正方体表面涂上了红色，再切成棱长为2厘米的小正方体，切好后数一数发现两面涂上红色的有( )个。 【答案】 24 【分析】大正方体表面涂色后，切割时只有暴露在外的小正方体面会被涂色。两面涂色的小正方体位于大正方体的棱上（非角位置），因为每条棱中间部分的小正方体恰好暴露在两个相邻面上。计算时，先确定每条棱上的两面涂色小正方体数量（去掉两个角），再乘总棱数（12 条）。 【详解】8÷2＝4（个） 4－2＝2（个） 12×2＝24（个） 两面涂上红色的有24个。 9．一个正方体的六个面分别涂上红、黄、绿三种颜色，任意抛一次，使红色面朝上的可能性最大，黄色面和绿色面朝上的可能性相等，需要有( )个面涂上红色。 【答案】4 【分析】根据题意，一个正方体的六个面分别涂上红、黄、绿三种颜色，要使红色面朝上的可能性最大，则涂红色面的数量最多；黄色面和绿色面朝上的可能性相等，则涂黄色面和绿色面的数量相同；据此解答。 【详解】如果黄色面和绿色面各1个，则红色面有6－1－1＝4（个）； 4＞1，1＝1；红色面数量需最多，黄色和绿色面数量相等，符合题意。 如果黄色面和绿色面各2个，则红色面有6－2－2＝2（个）； 三种颜色的面都是2个，不符合题意。 所以，需要（4）个面涂红色。 10．把一个棱长为6厘米的正方体实心木料削成一个最大的圆锥体（不计损耗），圆锥的体积是( )立方厘米，削去部分的体积是( )立方厘米。 【答案】 56.52 159.48 【分析】已知把一个正方体实心木料削成一个最大的圆锥体，则圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长6厘米；根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出圆锥的体积； 根据正方体的体积公式V＝a3，求出正方体木料的体积；再用正方体的体积减去圆锥的体积，即是削去部分的体积。 【详解】×3.14×（6÷2）2×6 ＝×3.14×32×6 ＝×3.14×9×6 ＝56.52（立方厘米） 6×6×6＝216（立方厘米） 216－56.52＝159.48（立方厘米） 圆锥的体积是（56.52）立方厘米，削去部分的体积是（159.48）立方厘米。 11．用一些长5cm、宽4cm、高3cm的小长方体木块，搭成一个正方体，这个正方体的体积最小是________cm3。 【答案】216000 【分析】根据长方体、正方体的特征可知，用一些长5cm、宽4cm、高3cm的小长方体木块，搭成一个正方体，这个正方体的棱长最小是长方体的长、宽、高的最小公倍数，根据求几个数的最小公倍数的方法求出这个正方体的棱长，再根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，把数据代入公式解答。 【详解】 （cm） （cm3） 用一些长5cm、宽4cm、高3cm的小长方体木块，搭成一个正方体，这个正方体的体积最小是216000cm3。 12．一个表面涂色的大正方体，用激光把它切割成若干个体积是1立方厘米的小正方体。已知一面涂色的小正方体24个，未涂色的小正方体有( )个，这个大正方体的体积是( )立方厘米。 【答案】 8 64 【分析】根据正方体涂色问题的规律，一面涂色的小正方体位于大正方体的面上。其数量公式为6×（n－2）2，其中n为大正方体的棱长小正方体个数。因此可以推断出n＝4，根据未涂色的小正方体的个数＝（n－2）³，代入计算即可。大正方体的每条棱上有4个小正方体，说明正方体的棱长是4厘米，再根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，计算出结果。 【详解】24÷6＝4（个） （4－2）×（4－2） ＝2×2 ＝4（个） （4－2）³ ＝2³ ＝8（个） 4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方厘米） 所以，未涂色的小正方体有8个，这个大正方体的体积是64立方厘米。 13．如图是一个正方体的展开图，把这个展开图折叠成一个正方体，折叠后与点A重合的是点( )。 【答案】C 【分析】 根据正方体展开图知识，属于正方体展开图的“1－4－1”型，把这个展开图折叠成一个正方体，据此解答即可。 【详解】 属于正方体展开图的“1－4－1”型，把这个展开图折叠成一个正方体， 折叠后与点A重合的是点C。 14．一个正方体木块的棱长是6cm，把它削成一个最大的圆柱。圆柱的体积是( )cm3，再把这个圆柱削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是( )cm3。 【答案】 169.56 56.52 【分析】由题意知，削成的最大圆柱体的底面直径是6cm，高也是6cm，可利用圆柱的体积公式V＝Sh求得圆柱的体积；把这个圆柱体削成一个最大的圆锥体，则圆锥体与圆柱体是等底等高的，所以求圆锥的体积可直接用圆柱的体积乘。 【详解】圆柱底面半径：6÷2＝3（cm） 圆柱体积： 3.14×32 ＝3.14×9×6 ＝169.56（cm3） 圆锥体积：169.56×＝56.52（cm3） 所以，圆柱的体积是169.56cm3，再把这个圆柱削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是56.52cm3。 15．一个底面是正方形的长方体，侧面展开后也是正方形。如果它的底面积是6平方分米，那么它的表面积是( )平方分米；如果它的底面边长是6厘米，那么它的体积是( )立方厘米。 【答案】 108 864 【分析】根据题意可知，侧面展开也是正方形，说明长方体的高等于底面边长的4倍，由此可知，一个侧面积等于底面面积的4倍，已知一个底面积是6平方分米，则一个侧面积等于（6×4）平方分米，4个侧面积，再乘4，再加上两个底面积，即可求出这个长方体的表面积；如果底面正方形的边长是6厘米，则长方体的高是（6×4）厘米，根据长方体的体积公式：长×宽×高，代入数据，即可求出长方体的体积。 【详解】6×2＋6×4×4 ＝12＋96 ＝108（平方分米） 6×6×（6×4） ＝6×6×24 ＝36×24 ＝864（立方厘米） 一个底面是正方形的长方体，侧面展开后也是正方形。如果它的底面积是6平方分米，那么它的表面积是108平方分米；如果它的底面边长是6厘米，那么它的体积是864立方厘米。 【点睛】利用长方体表面积公式、体积公式进行解答，关键明确底面积与长方体的高之间的关系。 16．将表面积分别为54、96、150平方厘米的三块正方体橡皮泥合在一起制成一个大正方体，这个大正方体的表面积为( )平方厘米。 【答案】216 【分析】首先根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，求出棱长，再分别计算每个小正方体的体积（正方体体积＝棱长×棱长×棱长），再将它们相加得到大正方体的体积，最后根据大正方体的体积求出大正方体的棱长并计算表面积。 【详解】第一个：54÷6＝9，因为9＝3×3，所以棱长为3厘米； 第二个：96÷6＝16，因为16＝4×4，所以棱长为4厘米； 第三个：150÷6＝25，因为25＝5×5，所以棱长为5厘米。 第一个体积：3×3×3＝27（立方厘米）； 第二个体积：4×4×4＝64（立方厘米）； 第三个体积：5×5×5＝125（立方厘米）； 大正方体的体积： 27＋64＋125 ＝91＋125 ＝216（立方厘米） 因为216＝6×6×6，所以大正方体的棱长为6厘米。 大正方体的表面积： （6×6）×6 ＝36×6 ＝216（平方厘米） 因此，将表面积分别为54、96、150平方厘米的三块正方体橡皮泥合在一起制成一个大正方体，这个大正方体的表面积为216平方厘米。 【点睛】本题核心是通过小正方体的表面积求出棱长，再结合体积关系确定大正方体棱长，最终利用表面积公式求解。关键在于熟练运用正方体的表面积与体积公式，把握“体积不变”这一隐含条件。 17．《新华字典》的长、宽、高分别是10厘米、13厘米和3厘米，老师要用纸把2本《新华字典》包起来，要求包装方法最省纸，那么需要包装纸至少( )平方厘米。 【答案】536 【分析】要使包装纸最少，就要让面积最大的两个面重叠在一起，包装成一个长是10厘米，宽是13厘米，高是3×2＝6厘米的长方体。要求包装纸的面积就是求这个长方体的表面积，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。 【详解】3×2＝6（厘米） （10×13＋10×6＋13×6）×2 ＝（130＋60＋78）×2 ＝（190＋78）×2 ＝268×2 ＝536（平方厘米） 18．有一个长方体储碗柜，内部尺寸如图1。现在柜子里放置相同规格的碗，其中2只碗和6只碗叠起来的高度如图2所示。 (1)若有只碗叠起来，它的高度是( )cm（用含有字母的式子表示）。 (2)若按图所示摆放，这个储碗柜最多可摆放( )只这种规格的碗。 【答案】(1)1.5n＋4.5 (2)75 【分析】（1）观察图2，6只碗叠起来的高度－2只碗叠起来的高度＝4只碗露出部分的高度，除以4求出叠起来1只碗露出部分的高度，2只碗叠起来的高度－1只碗露出部分的高度＝1只碗的高度，根据总高度＝（碗的数量－1）×1只碗露出部分的高度＋1只碗的高度，用字母表示出n只碗的高度即可； （2）根据第（1）题的分析，可得碗的数量＝（总高度－1只碗的高度）÷1只碗露出部分的高度＋1（结果用去尾法保留整数），求出每叠碗的数量，储碗柜的长÷碗的宽度＝沿长放的数量，储碗柜的宽÷碗的宽度＝沿宽放的数量，沿长放的数量×沿宽放的数量×每叠碗的数量＝这个储碗柜最多可摆放的数量，据此列式计算。 【详解】（1）（13.5－7.5）÷（6－2） ＝6÷4 ＝1.5（cm） 7.5－1.5＝6（cm） （n－1）×1.5＋6 ＝1.5n－1.5＋6 ＝（1.5n＋4.5）cm 若有只碗叠起来，它的高度是（1.5n＋4.5）cm。 （2）（13－6）÷1.5＋1 ＝7÷1.5＋1 ≈4＋1 ＝5（只） 60÷12＝5（只） 36÷12＝3（只） 5×3×5＝75（只） 这个储碗柜最多可摆放75只这种规格的碗。 【点睛】关键是看懂图示，先求出1只碗的高度。 19．在高度是32厘米的长方体容器中装满水，平放在桌上，现在把它像如图这样斜放，水流出，则此时AB的长度是( )厘米。 【答案】12 【分析】由图可知，把这个长方体容器斜放，水流出，如果再流出，那么空白部分就可以看成高是AB、长和宽与原来长方体一样的长方体，此时流出的水是原来长方体的＝，将长方体容器的容积看作单位“1”，则可看成将长方体容器平均分成8份，也就是将高平均分成了8段，AB的长是其中的3段，即AB的长是高的。求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用32乘即可计算AB的长度。据此解答。 【详解】＝ ＝12（厘米） 所以AB的长度是12厘米。 【点睛】本题关键在于将不规则的空白部分转换成规则的长方体，并熟练应用分数的意义进行理解和解答。 20．一个长方体的展开图如图所示（单位：厘米）。涂色部分的面积之和为35平方厘米。这个长方体的表面积是________平方厘米。 【答案】94 【分析】通过观察长方体展开图的可知，这个长方体的宽是4厘米，高是3厘米，涂色部分是长方体上面和后面，上面的面积＝长×宽，后面的面积＝长×高，已知上面和后面的面积和是35平方厘米，据此可以求出长方体的长，再根据长方体的表面积表面积＝（长＋宽＋长×高＋宽×高）×2，把数据代入公式解答。 【详解】上面的面积＝长×宽，后面的面积＝长×高， 上面的面积＋后面的面积＝长×（宽＋高） 所以长＝35÷（4＋3） ＝35÷7 ＝5（厘米） （5×4＋5×3＋4×3）×2 ＝（20＋15＋12）×4 ＝47×2 ＝94（平方厘米） 所以这个长方体的表面积是94平方厘米。 【点睛】明确长方体展开图中涂色部分的面与长方体长、宽、高的对应关系，通过涂色部分面积和求出长方体的长；熟练运用长方体表面积公式，代入长、宽、高的值即可求出表面积。 二、选择题 21．下图是一个长方体的四个面，另外两个面的面积和是（    ）平方厘米。 A．20 B．28 C．35 D．70 【答案】D 【分析】根据长方体的特征：长方体有6个面，有三组相对的面完全相同。已经给出了2个“7×2”和2个“5×2”共四个面，还缺少2个长为7厘米，宽为5厘米的面，根据长方形的面积＝长×宽，求出一个面的面积，再乘2即可。 【详解】7×5×2＝70（平方厘米） 另外两个面的面积和是70平方厘米。 故答案为：D 22．用铁丝焊接一个棱长4厘米的正方体框架，至少需要铁丝（    ）厘米。 A．48 B．64 C．96 D．32 【答案】A 【分析】由题意可知，求需要铁丝的长度就是求正方体的棱长之和，利用“正方体的棱长之和＝棱长×12”求出正方体的棱长之和即可。 【详解】4×12＝48（厘米） 所以，至少需要铁丝48厘米。 故答案为：A 23．妈妈刚收到的快递包装纸盒，规格为“”，估计这是妈妈最近网购的（    ）。 A．保温杯 B．洗脚盆 C．冰箱 D．乒乓球拍 【答案】A 【分析】快递包装纸盒的规格单位是mm，为便于结合生活实际判断，将mm转换为cm，即包装盒的规格转换为“18cm×7.2cm×7.2cm”,据此结合生活实际判断每个选项即可。 【详解】180mm×72mm×72mm＝18cm×7.2cm×7.2cm A．保温杯的常见尺寸通常高度在18到25cm左右，直径在6到8cm左右，题目中的包装尺寸接近保温杯的直径范围，该尺寸与保温杯的包装尺寸较为匹配，该选项符合； B．洗脚盆是用于洗脚的容器，需要容纳双脚，其常见尺寸通常长、宽、高均在30cm以上，远大于题中的包装尺寸，与包装盒的尺寸不匹配，该选项不符合； C．冰箱是大型家电，其高度通常在1.5m以上（即150cm以上），宽度和深度也有几十厘米，远大于题中的包装尺寸，与包装盒的尺寸不匹配，该选项不符合； D．乒乓球拍的尺寸相对较小，全长通常在25cm左右，但其拍面类似于圆形，直径约20cm，厚度较小约为1cm，整体较为扁平，与包装盒的尺寸不匹配，该选项不符合。 故答案为：A 24．一间我们平时上课的教室，它的内部所占空间大约是（    ）。 A．1500m3 B．150m3 C．1500dm3 D．150dm3 【答案】B 【分析】估计平时上课的教室的长、宽、高，根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，求出教室内部所占空间的大小。 【详解】教室长约10m，宽约5m，高约3m。 10×5×3 ＝50×3 ＝150（m3） 因此它的内部所占空间大约是150m3。 故答案为：B 25．一个长方体的长、宽、高分别是a米、b米、h米。如果高增加2米，体积比原来增加（    ）立方米。 A．2ab B．2abh C． D．8 【答案】A 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，分别算出原来长方体的体积和高增加后的体积，用增加后的体积减去原来的体积即可。 【详解】ab×（h＋2）－abh ＝abh＋2ab－abh ＝2ab 所以，体积比原来增加2ab立方米。 故答案为：A 26．把一个圆柱的底面平均分成若干个扇形，然后切开拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加了200cm2，已知圆柱的高是20cm，圆柱的体积是（    ）cm3。 A．314 B．628 C．1570 D．6280 【答案】C 【分析】将圆柱体切开拼成长方体，表面积比原来增加了两个面，每个面的宽是圆柱的底面半径，长是圆柱的高，那么圆柱的底面半径＝增加的表面积÷2÷圆柱的高；据此求出圆柱的底面半径，再根据圆柱的体积＝底面积×高，把数据代入圆柱的体积公式计算即可。 【详解】200÷2÷20 ＝100÷20 ＝5（cm） 3.14×52×20 ＝3.14×25×20 ＝1570（cm3） 圆柱的体积是1570cm3。 故答案为：C 27．四个杯子中均装有一定量的开水，如果把50克糖融于水中，含糖率最高的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆柱的体积＝底面积×高×；长方体体积＝长×宽×高；正方体体积＝棱长×棱长×棱长，圆柱的体积＝底面积×高，代入数据分别求出四个选项的体积，再进行比较，含糖率＝糖的质量÷糖水的质量，糖的质量相同，则谁的水体积小，谁的含糖率高，据此解答。 【详解】A． 3.14×（6÷2）2×6× ＝3.14×32×6× ＝3.14×9×6× ＝28.26×6× ＝169.56× ＝56.52（立方厘米） B．4×4×6 ＝16×6 ＝96（立方厘米） C．6×6×6 ＝36×6 ＝216（立方厘米） 3.14×（4÷2）2×6 ＝3.14×22×6 ＝3.14×4×6 ＝12.56×6 ＝75.36（立方厘米） 56.52＜75.36＜96＜216，圆锥的体积最小，所以含糖率最高的圆锥。 如果把50克糖融于水中，含糖率最高的是。 故答案为：A 28．把一个长、宽、高分别是a厘米、b厘米、h厘米的长方体的高增加2厘米，那么这个长方体的表面积会增加（    ）平方厘米。 A．2ab B．2（a＋b） C．4（a＋b） D．4（a＋b）＋ab 【答案】C 【分析】长方体高增加2厘米后，表面积的变化仅与前后、左右四个面相关。每个前面的面积增加量为2a，每个左面的面积增加量为2b，共有两个前面和两个左面，再将前面×2＋左面×2即可。 【详解】2×2a＋ 2×2b ＝4a＋4b ＝ 4（a ＋ b） 则这个长方体的表面积会增加4（a＋b）平方厘米。 故答案为：C 29．下面几句话中，正确的有（    ）句。 （1）把连续五个自然数按从大到小的顺序排列，中间的数就是这五个数的平均数。 （2）这个正方体（如图）的黑色部分应该是一个锐角三角形。 （3）如果a是一个偶数，b是一个奇数，那么3a＋2b的结果是奇数。 （4）一杯糖水的含糖率是25%，再加入5克糖和20克水，这杯糖水的含糖率不变。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】（1）用这组数据的和除以数据的个数，就是平均数；假设这五个自然数中间的数是a，再用含有字母的式子表示出其它四个自然数，最后求出它们的平均数； （2）正方体的六个面都是正方形，连接正方形的对角线会把正方形分成两个完全相同的等腰直角三角形； （3）如果a是一个偶数，那么3a也是偶数，b是一个奇数，2b是偶数，偶数与偶数的和还是偶数； （4）假设出原来这杯糖水的质量，原来糖的质量＝原来糖水的质量×含糖率，现在糖水的含糖率＝（原来糖的质量＋新加入糖的质量）÷（原来糖水的质量＋新加入糖的质量＋新加入水的质量）×100%，最后比较大小，据此解答。 【详解】（1）假设这五个自然数中的中间数是a，则这五个自然数分别为：a＋2，a＋1，a，a－1，a－2。 （a＋2＋a＋1＋a＋a－1＋a－2）÷5 ＝[（a＋a＋a＋a＋a）＋（2＋1－1－2）]÷5 ＝5a÷5 ＝a 所以，把连续五个自然数按从大到小的顺序排列，中间的数就是这五个数的平均数。原题说法正确。 （2）从上面看的黑色部分应该是一个等腰直角三角形。原题说法错误。 （3）根据分析可知，3a和2b都是偶数，偶数＋偶数＝偶数，所以如果a是一个偶数，b是一个奇数，那么3a＋2b的结果是偶数。原题说法错误。 （4）假设原来这杯糖水的质量是100克。 （100×25%＋5）÷（100＋5＋20）×100% ＝（25＋5）÷125×100% ＝30÷125×100% ＝0.24×100% ＝24% 因为24%＜25%，所以这杯糖水的含糖率变低了。原题说法错误。 正确的有1句。 故答案为：A 30．一个立体图形，从前面看是一个正方形，这个立体图形可能是“长方体、正方体、圆柱体、球体、圆锥体”这五种图形中的（    ）种。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】长方体有6个面，6个面都是长方形，相对的面形状相同，特殊情况下有两个相对的面是正方形，其它四个面都是形状相同的长方形，长方体从前面看可能是一个正方形；正方体有6个面，6个面都是正方形，正方体从前面看一定是一个正方形；当圆柱的底面直径和高相等时，从前面看是一个正方形；球体从前面看是一个圆形；圆锥体从前面看可能是三角形或者圆形，据此解答。 【详解】分析可知，一个立体图形，从前面看是一个正方形，这个立体图形可能是“长方体、正方体、圆柱体、球体、圆锥体”中的长方体、正方体或者圆柱体，一共3种。 故答案为：B 31．下面这些立体图形中，能用公式“底面积×高”来计算体积的有（    ）种图形。 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】易知柱体的体积＝底面积×高，锥体的体积＝底面积×高×，再在图中找到柱体个数即可。 【详解】因为柱体的体积＝底面积×高，锥体的体积＝底面积×高×，所以找到柱体个数即可。图中长方体、正方体、圆柱体、空心圆柱体均为柱体，所以能用公式“底面积×高”来计算体积的有4种图形。 故答案为：B。 32．下面四幅图中的a和b表示不同的数，a和b互为倒数的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】A．三角形的面积＝底×高÷2； B．两条线段长度相加等于线段总长度； C．长方形的面积＝长×宽； D．长方体的体积＝长×宽×高； 先用含字母的式子表示各选项的数量关系，再结合倒数的意义“乘积是1的两个数互为倒数”进行判断。 【详解】A．三角形的面积：a×b÷2＝1，可得：a×b＝2，a和b的乘积不为1，所以a和b不互为倒数； B．线段总长度为：a＋b＝1，和为1，不是乘积为1，所以a和b不互为倒数； C．长方形的面积：a×b＝1，a和b的乘积为1，所以a和b互为倒数； D．长方体的体积：b×a×a＝1，不是a和b的乘积为1，所以a和b不互为倒数。 故答案为：C 33．下面几种说法中，正确的是（    ）。 A．一个长方体，如果有两个相邻的面是正方形，这个长方体就是正方体。 B．某种产品的合格率为90%，那么合格产品与不合格产品的比是10∶1。 C．钟面上分针与时针转动速度比是1∶60。 D．调查显示：“双十一”期间，个别网店卖家提前将商品提价10%，再在“双十一”期间降价10%出售，这件商品的实际价格与原价相同。 【答案】A 【分析】一个长方体，如果相邻的面是正方形，则6个面都是正方形，所以这个长方体就是正方体；产品的合格率指的是合格产品的数量占总数的百分率；分针每小时走360度，时针每小时走30度，转过的度数比即为速度比；先提价10%，后降价10%，价格比原价要低。 【详解】A．有两个相邻的面是正方形，那说明有4个面是正方形，这样余下的两个面也一定是正方形，所以这个长方体是正方体，题干正确； B．合格率是90%，相当于合格产品是9份，不合格产品是1份，合格产品与不合格产品的比是9：1，题干错误； C．分针与时针转动的速度比360：30，化简后是12：1，题干错误； D．可以假设厦价是100元，那么现价是100×（1＋10%）×（1－10%）＝99，比原价低，题干错误。 故答案为：A 34．两种相关联的量，它们的关系可以用图来表示，这两种量可能是（    ）。 A．正方体的表面积和它的棱长。 B．一本书，已经读的页数和未读的页数。 C．圆柱的高一定，体积和底面积。 D．平行四边形的面积一定，底和对应的高。 【答案】C 【分析】由正比例图像可知，这两个相关联的量成正比例关系，判断选项中的两种相关联的量是否成正比例即可；这两种变化的量的比值一定，就成正比例，否则就不成正比例。 【详解】A．正方体的表面积∶棱长的平方＝6（一定），比值一定，则正方体的表面积与棱长的平方成正比例，但正方体的表面积∶棱长＝6×棱长（不一定），所以正方体的表面积与棱长不成正比例，不符合题意； B．一本书总页数为定值，未读页数＋已读页数＝总页数，未读页数与已读页数和一定，不是比值一定，所以一本书，已经读的页数和未读的页数不成正比例，不符合题意； C．圆柱的体积∶底面积＝高（一定），比值一定，圆柱的体积和底面积成正比例，符合题意； D．底×高＝平行四边形的面积（一定），是乘积一定，平行四边形的底和高成反比例，不符合题意。 故答案为：C 35．下列说法正确的个数（    ）。 ①在用剪刀石头布决定胜负时，胜负的可能性是一样的都是二分之一。 ②数轴上，距离﹢3这个点5个单位长度的点所表示的数是8。 ③两本书的封面面积一样大，所以它们的体积也一样大。 ④有两条边相等的三角形是等边三角形。 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】①在用剪刀石头布决定胜负时，会出现的情况有：胜局、负局、平局。 ②在数轴上，距离一个点5个单位长度的点有两个：一个在右边，一个在左边。 ③封面面积指的是书的表面面积，但体积是三维的，取决于长度、宽度和厚度。 ④两条边相等的三角形是等腰三角形，等边三角形需要三条边都相等。 【详解】①用剪刀石头布决定胜负时有3种情况，胜负平的可能性都一样，都是三分之一，原说法错误； ②在数轴上，距离一个点5个单位长度的点有两个：向右是 3＋5＝8即为8；向左是 5－3＝2即为﹣2。说法只提到8，忽略了﹣2，原说法错误； ③即使封面面积相同，书的厚度（高）可能不同，体积就不一定相同。例如，一本厚书和一本薄书封面面积相同，但体积更大。 ④等腰三角形不一定是等边三角形，原说法错误。 0个是正确的。 故答案为：A 36．“度量衡”是我国古代计量长度、容积、重量的标准或器具的统称，“度”用以计量长短；“量”用以测量容积大小；“衡”用以测量物体轻重。“商鞅方升”的重要物证——商鞅方升（如图），就是“度量衡”中的“量”，用来测量容积大小。它全长18.7厘米，内口长约12.5厘米，宽约7厘米，深约2.3厘米，容积便是商鞅规定的“一升”。算一算，商鞅规定的“一升”大约相当于现在的（    ）升。 A．0.2 B．1.5 C．0.6 D．2.3 【答案】A 【分析】本题求商鞅规定的“一升”相当于现在的多少升，关键是先算其容积再换算单位。已知内口长约12.5厘米、宽约7厘米、深约2.3厘米，根据“长方体的体积（容积）＝长×宽×高”计算出长方体容积；然后将立方厘米换算为立方分米，再换算为升；最后根据题目要求按“四舍五入”法保留一位小数。 【详解】12.5×7×2.3 ＝87.5×2.3 ＝201.25（立方厘米） 201.25立方厘米＝（201.25÷1000）立方分米＝0.20125立方分米 0.20125立方分米＝0.20125升 0.20125升≈0.2升 因此商鞅规定的“一升”大约相当于现在的0.2升。 故答案为：A 【点睛】本题考查长方体容积公式的应用，熟练掌握长方形的容积公式以及容积单位、体积单位之间的换算是解题的关键。 37．一个棱长3分米的正方体零件，从它的正中间向对面挖通一个底面边长为1分米的小长方体，这个零件的表面积（    ）。 A．增加10平方分米 B．减少10平方分米 C．增加12平方分米 D．减少12平方分米 【答案】A 【分析】底面边长为1分米的小长方体，这个小长方体的长和宽都是1分米，高是3分米，底面是一个正方形的小长方体，前后左右4个面的面积相等。 由题意知：这个零件的表面积减少的面积是这个小长方体的上下两个底面（1×1），增加的面积是这个小长方体的4个侧面面积（1×3），据此代入数据计算即可。 【详解】减少： 1×1×2 ＝1×2 ＝2（平方分米） 增加： 1×3×4 ＝3×4 ＝12（平方分米） 12－2＝10（平方分米），所以这个零件的表面积增加10平方分米。 故答案为：A 38．有一个长方体，它有一组相对的面是正方形，其余4个面的面积（    ）。 A．不一定相等 B．一定不相等 C．一定相等 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据长方体的特征，长方体的6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等；有一组相对的面是正方形的长方体，它的长和宽相等，其余四个面的面积相等；由此解答。 【详解】根据分析，有一个长方体，它有一组相对的面是正方形，其余4个面是长方形，且它们的面积一定相等。 故答案为：C 39．下面的四个展开图经过折叠，能围成如图所示正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图可知，1、2、3是三个相邻的面，相邻的面不相对，据此分析即可。 【详解】A．3和2相对，不符合题意； B．3和1相对，不符合题意； C．3和2相对，不符合题意； D．1、2、3三个面相邻不相对，符合题意。 故答案为：D 40．数学课上，明明用学具搭一个长方体框架，搭了其中三根，就能决定这个长方体的形状与大小的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一般情况下长方体六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱。长方体有8个顶点，每个顶点连接三条棱，三条棱分别叫做长方体的长、宽、高。决定长方体形状和大小的是长、宽、高，三根学具棒能确定长、宽、高即可，据此分析。 【详解】A．只能确定长和宽，没有高，无法决定长方体的形状与大小，排除； B．只能确定长和宽，没有高，无法决定长方体的形状与大小，排除； C．三根学具棒分别是长方体的长、宽、高，能决定这个长方体的形状与大小； D．只能确定长和宽，没有高，无法决定长方体的形状与大小，排除。 能决定这个长方体的形状与大小的是。 故答案为：C 三、解答题 41．将一个底面积为6.28平方分米，高为6分米的长方体铁块熔铸成底面半径为3分米的圆锥，这个圆锥的高是多少分米？ 【答案】4分米 【分析】先依据长方体的体积的计算方法，求出这块铁块的体积，再据铁块的体积不变，得到圆锥体铁块的体积，从而利用圆锥体体积公式，即可求出圆锥的高。 【详解】6.28×6×3÷（3.14×32） ＝6.28×6×3÷（3.14×9） ＝113.04÷28.26 ＝4（分米） 答：圆锥的高是4分米。 42．一个圆锥形沙堆，底面半径是2米，高1.5米，现要将这堆沙子铺到底面长8米、宽5米、高1米的长方体土坑中，沙子的厚度是多少？ 【答案】0.157米 【分析】根据题意可知：沙子的体积＝圆锥的体积＝长方体的体积，根据圆锥的体积：V＝sh＝πr2h，代入数据计算，求出圆锥的体积。然后根据长方体的体积＝长×宽×高，用体积÷长÷宽即可求出高（沙子的厚度）。 【详解】3.14×22×1.5× ＝3.14×4×1.5× ＝6.28（立方米） 6.28÷8÷5＝0.157（米） 答：沙子的厚度是0.157米。 43．一个长、宽、高分别为40厘米、30厘米、20厘米的小纸箱，在所有的棱上粘上一圈胶带，至少需要多少厘米的胶带？ 【答案】360厘米 【分析】根据题意，求至少需要胶带的长度，就是这个长方体的棱长总和，根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据，即可解答。 【详解】（40＋30＋20）×4 ＝（70＋20）×4 ＝90×4 ＝360（厘米） 答：至少需要360厘米的胶带。 44．一个长方体水缸，从里面量，长、宽、高分别为10分米、8分米、5分米。水面高度为4分米，现在将一段底面直径为4分米，长为8分米的圆柱形钢材放入水缸中（完全浸没），缸中的水会溢出多少升？ 【答案】20.48升 【分析】根据题意可知，把这段钢材放入长方体水缸中，溢出水的体积等于圆柱形钢材的体积减去长方体水缸内无水部分的体积，根据圆柱体的体积公式：V＝πr2h，长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 【详解】3.14×（4÷2）2×8－[10×8×（5－4）] ＝3.14×22×8－[80×1] ＝3.14×4×8－80 ＝100.48－80 ＝20.48（立方分米） 20.48立方分米＝20.48升 答：缸中的水会溢出20.48升。 45．学校运来一堆沙准备铺路。这堆沙堆成圆锥形，占地面积是12平方米，高1.6米。把这堆沙铺在一条宽4米的路上，平均铺5厘米厚，可以铺多长？ 【答案】32米 【分析】沙堆原本是圆锥形，根据圆锥体积公式V＝Sh（其中S是底面积，h是高），题目中“占地面积”即圆锥的底面积S＝12平方米，高h＝1.6米。把数据代入公式可得到沙堆的体积。 沙子铺在路面上后形成一个长方体，其体积等于圆锥形沙堆的体积。长方体体积公式为V＝abh（其中a是长，b是宽，h是高），这里路面的宽b＝4米，铺的厚度h＝5厘米，要求的“长度”即长方体的长a，那么a＝V÷（b×h），把数据代入公式计算即可解答。 【详解】×12×1.6＝6.4（立方米） 5厘米＝0.05（米） 6.4÷（4×0.05） ＝6.4÷0.2 ＝32（米） 答：可以铺32米。 46．一个圆锥形的沙石堆底面积是188.4平方米，高15分米。如果用这堆沙石铺路，公路宽10米，沙石厚2分米，能铺多少米的公路？ 【答案】47.1米 【分析】题目中高和厚度的单位是分米，需转化为米，1分米＝0.1米，15分米为15×0.1＝1.5米；2分米为2×0.1＝0.2米。 根据圆锥体积公式V＝Sh（S是底面积，h是高），已知底面积是188.4平方米，高为1.5米，把数据代入公式即可计算出沙石堆的总体积。 铺在公路上的沙石形成一个长方体，体积公式为V＝abh（a是长度，b是宽度，h是厚度）。已知体积（即沙石堆的体积）、宽和厚，可通过a＝V÷（b×h）求出公路长度。 【详解】1分米＝0.1米 15×0.1＝1.5（米） 2×0.1＝0.2（米） ×188.4×1.5＝62.8×1.5＝94.2（立方米） 94.2÷（10×0.2） ＝94.2÷2 ＝47.1（米） 答：能铺47.1米的公路。 47．一个无盖的长方体玻璃缸如图1所示，长48厘米，宽25厘米，高30厘米。有一个水龙头从某一时刻开始向玻璃缸内注水，水的流量为8000立方厘米/分。3分钟后关闭水龙头停止注水。接着在玻璃缸内缓慢放入一个高为16厘米的长方体铁块并全部浸没于水中（未有水溢出）。玻璃缸的水面高度从注水到放入铁块后的变化情况如图2所示。 （1）对图2中B点表示的实际意义有下列说法，其中正确说法有（    ）（填序号）。 ①已注水3分钟。 ②铁块已浸没水中。 ③此时玻璃缸的水面高度是20厘米。 ④此时玻璃缸的水面高度是22厘米。 （2）求长方体铁块的体积。 【答案】（1）①③ （2）4800立方厘米 【分析】（1）由于注水时候，水面高度变化是恒定的，所以读图可知，曲线从A到B表示从开始注水到3分钟停止时的水面高度变化，所以B点对应“已注水3分钟” 每分钟水的流量是8000立方厘米，用8000×3，求出3分钟玻璃缸中水的体积；再根据长方体体积＝长×宽×高，高＝体积÷长÷宽，据此求出水面的高度，进而解答。 （2）根据图（2）可知，放入铁块后，水面的高度是24厘米；由此可知，铁块的体积就是3分钟关闭水龙头后水面上升部分体积＝铁块的体积，据此解答。 【详解】（1）①已注水3分钟，说法正确。 ②B点表示铁块没有放入玻璃缸中，说法错误。 ③8000×3÷48÷25 ＝24000÷48÷25 ＝500÷25 ＝20（厘米） 此时玻璃缸的水面高度是20厘米。说法正确。 ④此时玻璃缸的水面高度是20厘米，不是22厘米，说法错误。 说法正确的是①③。 （2）48×25×（24－20） ＝48×25×4 ＝1200×4 ＝4800（立方厘米） 答：长方体铁块的体积是4800立方厘米。 48．环保社团的同学用铁丝制作长方体形状的垃圾分类宣传箱框架。宣传箱长80厘米、宽50厘米、高120厘米，已知制作过程中接头处共损耗铁丝15厘米，制作一个宣传箱框架至少需要铁丝多少厘米？ 【答案】1015厘米 【分析】计算长方体框架所需铁丝总长度，需先求出所有棱的长度之和，再加上接头损耗。长方体有12条棱，包括4条长、4条宽、4条高，总棱长公式为：（长＋宽＋高）×4，再添加损耗的15厘米。 【详解】（80＋50＋120）×4＋15 ＝（130＋120）×4＋15 ＝250×4＋15 ＝1000＋15 ＝1015（厘米） 答：制作一个宣传箱框架至少需要铁丝1015厘米。 49．在下图的空玻璃鱼缸中放入一块高1.5分米、体积为6立方分米的假山石。如果水管以每分钟10立方分米的流量向鱼缸内注水，至少需要多长时间才能把假山石刚好淹没？ 【答案】3分钟 【分析】把假山石刚好淹没，也就是此时空玻璃鱼缸内水面高度刚好到1.5分米，根据长方体的体积＝长×宽×高，则此时玻璃鱼缸内：水的体积＋石头的体积＝6×4×1.5，其中石头的体积是6立方分米，进而将水的体积计算出来，又知水以“每分钟10立方分米的流量”向鱼缸注水，用除法即可算出所需要的时间。 【详解】假山石刚好淹没时，鱼缸内水的体积： 6×4×1.5－6 ＝24×1.5－6 ＝36－6 ＝30（立方分米） 30÷10＝3（分钟） 答：至少需要3分钟才能把假山石刚好淹没。 50．如果水流速度为每分钟45米，1根出水管多长时间能将如图泳池中的水放完？ 【答案】400分钟 【分析】已知泳池长25米、宽8米、水深1.8米，根据长方体的体积＝长×宽×高，求出水的体积； 已知水管出水口面积为2平方分米即0.02米，水流速度为每分钟45米，根据公式V＝Sh，用出口面积乘水流速度，求出水管每分钟放水的体积； 最后用泳池里水的体积除以水管每分钟放水的体积，求出放完泳池中的水需用的时间。 【详解】25×8×1.8 ＝200×1.8 ＝360（立方米） 2平方分米＝0.02平方米 0.02×45＝0.9（立方米） 360÷0.9＝400（分钟） 答：1根出水管400分钟能将泳池中的水放完。 51．一个圆锥体的底面周长是12.56分米，高6分米。 （1）这个圆锥体所占的空间是多少立方分米？ （2）如果给这个圆锥形物体做一个长方体的包装盒，至少要多少平方分米的硬纸板？ 【答案】（1）25.12立方分米 （2）128平方分米 【分析】（1）先根据底面周长公式C＝求出底面半径；再根据圆锥体积公式V＝求出圆锥体所占空间； （2）要使长方体包装盒最小，其长和宽应等于圆锥的底面直径，高应等于圆锥的高。根据底面周长公式C＝求出底面直径；再根据长方体的表面积公式S＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2计算所需要的硬纸板。 【详解】（1）×3.14×（12.56÷3.14÷2）2×6 ＝×3.14×4×6 ＝25.12（立方分米） 答：这个圆锥体所占的空间是25.12立方分米。 （2）12.56÷3.14＝4（分米） （4×4＋4×6＋4×6）×2 ＝（16＋24＋24）×2 ＝64×2 ＝128（平方分米） 答：至少要128平方分米的硬纸板。 52．一个四周用木条围成的花坛，底面是边长1.5米的正方形，高0.8米。 （1）做这样一个花坛，四周大约需要多少平方米木条？ （2）用泥土填满这个花坛，大约需要多少立方米泥土？（木条厚度忽略不计） 【答案】（1）4.8平方米；（2）1.8立方米 【分析】（1）四周需要的木条面积是长方体四个侧面的总面积。由于底面是正方形，四个侧面为形状相同的长方形，每个侧面的面积为，总面积为。 （2）填泥土的体积等于长方体体积，计算公式为，底面积为，再乘高0.8。 【详解】（1） （平方米） 答：四周大约需要4.8平方米木条。 （2） （立方米） 答：大约需要1.8立方米泥土。 53．学校新建了一个花坛，底面是边长1.5米的正方形，高0.6米，四周用砖头砌成。砖的厚度是0.2米。 （1）如果在花坛的侧面贴上瓷砖，至少需要多少平方米的瓷砖？ （2）在花坛的中间填满泥土，大约要多少立方米的泥土？如果每立方米泥土的费用约是36元，一共需要多少钱？ 【答案】（1）3.6平方米； （2）0.726立方米；26.136元 【分析】（1） 一个花坛，底面是边长1.5米的正方形，则这个花坛的四个侧面是相同的。求需要瓷砖多少平方米，就是求这个长方体花坛的侧面积，这四个面相等，用长方体的长×高×4，代入数据，求出侧面积； （2）花坛中间填满泥土，由题意知花坛中间是一个长方体，长方体的体积＝长×宽×高，且花坛内侧长方体的长是（1.5－0.2－0.2）米，宽是（1.5－0.2－0.2）米，高是0.6米，据此解答即可。 【详解】（1）1.5×0.6×4 ＝0.9×4 ＝3.6（平方米） 答：至少需要贴3.6平方米的瓷砖。 （2）（1.5－0.2－0.2）×（1.5－0.2－0.2）×0.6 ＝（1.3－0.2）×（1.3－0.2）×0.6 ＝1.1×1.1×0.6 ＝1.21×0.6 ＝0.726（立方米） 0.726×36＝26.136（元） 答：一共需要26.136元。 54．正值实验西校建校二十周年校庆，学校利用暑假进行装修。每间教室内侧长9米、宽7米、高3米。地面铺地砖，天花板刷乳胶漆，四面墙刷防水漆（门窗和黑板不粉刷），门窗共有10平方米，黑板共有4平方米。 （1）每间教室内需要粉刷的总面积是多少？ （2）乳胶漆每平方米15元，防水漆每平方米12元，每间教室刷天花板和墙壁一共需要多少元？ （3）地砖是规格为50厘米×50厘米的正方形，每间教室需要铺多少块地砖？如果每块地砖损耗2%，实际需要买多少块？ 【答案】（1）145平方米；（2）1929元；（3）258块 【分析】（1）根据不包括下底面的长方体的表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，求出不包括下底面的表面积再减去门窗和黑板的面积，即可求得每间教室内需要粉刷的总面积是多少。 （2）用长×宽×乳胶漆的单价＋（长×高×2＋宽×高×2－门窗和黑板的面积）×防水漆的单价，即可求得每间教室刷天花板和墙壁一共需要多少元。 （3）求得长方体的底面积即长×宽，单位换算成平方厘米，用底面积除以一块地砖的面积（正方形的面积＝边长×边长），求得需要用多少块砖，再用砖数×（1＋2%），计算时可以将百分数化成小数，算出结果若是小数需要进一，即可求得实际需要买多少块砖。 【详解】（1）9×7＋9×3×2＋7×3×2－（10＋4） ＝9×7＋9×3×2＋7×3×2－14 ＝63＋54＋42－14 ＝145（平方米） 答：每间教室内需要粉刷的总面积是145平方米。 （2）9×7×15 ＋[9×3×2＋7×3×2－（10＋4）]×12 ＝9×7×15＋[9×3×2＋7×3×2×2－14]×12 ＝9×7×15＋[54＋42－14]×12 ＝9×7×15＋82×12 ＝945＋984 ＝1929（元） 答：每间教室刷天花板和墙壁一共需要1929元。 （3）50×50＝2500（平方厘米） 9×7＝63（平方米） 63平方米＝630000平方厘米 630000÷2500＝252（块） 252×（1＋2%） ＝252×1.02 ≈258（块） 答：实际需要买258块。 55．数学活动实践课上，小辰所在的小组同学用铁皮制作了一个无盖的长方体容器，如图所示。（容器厚度、接头处均不计） （1）制作这个无盖的长方体容器，至少需要多少平方厘米的铁皮？ （2）小辰给空的容器中加入水，水深12厘米，然后将一个萝卜放入水中，完全浸没，水面上升到14厘米，这个萝卜的体积是多少立方分米？ 【答案】（1）6250平方厘米 （2）1.5立方分米 【分析】（1）求这个无盖长方体容器需要铁皮的面积，就是求长方体的下面、前后面、左右面共5个面的面积之和，根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”，代入数据计算求解。 （2）根据题意，把萝卜完全浸入水中，水面上升了（14－12）厘米，那么水上升部分的体积等于萝卜的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，求出这个萝卜的体积。注意单位的换算：1立方分米＝1000立方厘米。 【详解】（1）30×25＋30×50×2＋25×50×2 ＝750＋3000＋2500 ＝6250（平方厘米） 答：至少需要6250平方厘米的铁皮。 （2）30×25×（14－12） ＝30×25×2 ＝1500（立方厘米） 1500立方厘米＝1.5立方分米 答：这个萝卜的体积是1.5立方分米。 56．母亲节，李兵送给妈妈一个水杯（如下图，底面直径60毫米，高210毫米）。 (1)李兵要用一个长方体的盒子包装它，这个盒子的表面积至少多少平方厘米？ (2)妈妈一天饮水量不少于1500毫升。喝这样的3杯，能达到要求吗？请说明理由。（杯壁的厚度忽略不计，π取3） 【答案】(1)576平方厘米 (2)能达到（理由见详解） 【分析】（1）要用一个长方体的盒子包装它，盒子的长至少是60毫米，宽至少是60毫米，高至少是210毫米。根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可求出这个盒子的表面积，注意单位名数的换算。 （2）因为水杯是圆柱形，根据题意可知，圆柱形水杯的底面直径是60毫米，高是210毫米；根据圆柱的容积＝底面积×高，代入数据，求出这个水杯的容积，再乘3，求出3杯水的容积，再和1500毫升比较，即可解答，注意单位名数的换算。 【详解】（1）（1）60毫米＝6厘米；210毫米＝21厘米 （6×6＋6×21＋6×21）×2 ＝（36＋126＋126）×2 ＝（162＋126）×2 ＝288×2 ＝576（平方厘米） 答：这个盒子的表面积至少576平方厘米。 （2）60毫米＝6厘米；210毫米＝21厘米。 3×（6÷2）2×21×3 ＝3×32×21×3 ＝3×9×21×3 ＝27×21×3 ＝567×3 ＝1701（立方厘米） 1701立方厘米＝1701毫升 1701毫升＞1500毫升，喝这样的3杯，能达到要求。 答：喝这样的3杯，能达到要求。 57．粉刷一间教室的四周和顶棚，教室长8米，宽60分米，高350厘米，门窗和黑板面积为32平方米，如果每平方米用涂料1.2千克，每千克涂料15元，粉刷五间同样的教室（门窗和黑板不粉刷）一共需要多少元？ 【答案】10260元 【分析】先根据1米＝10分米＝100厘米将长宽高统一成米为单位，教室是一个长方体，只粉刷四周和顶棚，粉刷的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，然后减门窗和黑板的面积可算出一间教室需要粉刷多少平方米，再乘5可算出5间一共多少平方米，再乘1.2可算出需要多少千克涂料，最后乘15可算出需要多少钱。 【详解】60分米＝6米，350厘米＝3.5米 （8×6＋8×3.5×2＋6×3.5×2）－32 ＝（48＋56＋42）－32 ＝（104＋42）－32 ＝146－32 ＝114（平方米） 114×5×1.2×15 ＝570×1.2×15 ＝684×15 ＝10260（元） 答：粉刷五间同样的教室（门窗和黑板不粉刷）一共需要10260元。 58．在一个长20厘米，宽15厘米长方体的容器中，浸没着一块长方体铁块（横着放置），水的高度是9厘米。如果把铁块竖直放置（铁块底面与容器底面完全接触），铁块会有10厘米高的部分露出水面，这时容器中水的高度是7厘米。这个铁块的体积是多少？现在再把铁块向上提起5厘米，此时水深多少厘米？ 【答案】1020立方厘米；6厘米 【分析】长方体的体积＝长×宽×高＝底面积×高。 根据题意，当铁块横着放置时，水的体积与铁块的体积之和等于容器的底面积乘水的高度（9厘米）；当铁块竖直放置时，水的体积与铁块浸入水中部分的体积之和等于容器的底面积乘新的水位高度（7厘米）； 铁块的总高度等于露出水面的10厘米加上浸入水中的7厘米，即17厘米； 设铁块的底面积为平方厘米，则铁块的体积是（10＋7）立方厘米；根据水的体积不变可列出方程，求出铁块的底面积，进而计算出铁块的体积，再把的值代入方程的一边计算出水的体积； 现在把铁块向上提起5厘米，那么铁块浸入水中的高度变为7－5＝2厘米；用容器的底面积乘2，求出此时铁块浸入水中的体积，加上水的体积，即是此时浸入水中铁块的体积与水的体积之和，再除以容器的底面积，求出此时水的深度。 【详解】解：设铁块的底面积为平方厘米。 铁块体积：（立方厘米） 水的体积： （立方厘米） 铁块向上提起5厘米后，铁块浸入水中部分的体积： （立方厘米） 提起后水和浸入水中部分的铁块体积之和： （立方厘米） 提起后水深： （厘米） 答：这个铁块的体积是1020立方厘米。再把铁块向上提起5厘米，此时水深6厘米。 【点睛】通过比较铁块横放和竖放时水位变化的关系，根据水的体积不变，列出方程，求出铁块的体积以及水的体积；当提起铁块后，铁块浸入水中部分减少，排开水量减少，分析提起铁块后容器内的水位变化。 59．小亮要用一个底面是边长7厘米的正方形、高为15厘米的长方体容器，容器中装的水距容器口还有1厘米。现在要测量一个球形铁块的体积，当铁块放入容器中，就有部分水溢出，而当把铁块取出后，则水面下降4厘米，求铁块的体积。 【答案】 196立方厘米 【分析】当铁块取出后，水面下降厘米，下降部分的水的体积即为铁块的体积，即相当于求一个长、宽均为厘米、高为厘米的长方体的体积，将长、宽、高的值代入公式“长方体的体积长宽高”计算即可。据此解答。 【详解】 （立方厘米） 答：铁块的体积是立方厘米。 【点睛】在解决此类问题时，要排除无关信息的干扰，抓住“下降部分水的体积等于铁块的体积”这一核心思想，将复杂的实际问题简化为简单的长方体体积的计算问题。 60．如图①，在底面积为100平方厘米、高为20厘米的长方体水槽内放一个圆柱烧杯，以恒定不变的流量速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不改变，水槽中水面上升的高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②所示。 （1）图②中，点_____表示烧杯中刚好注满水，点_____表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）求烧杯的底面积及注满水槽所用的时间。 【答案】（1）A；B （2）烧杯底面积是20平方厘米；注满水槽所用的时间是180秒 【分析】（1）观察图②，注水初期仅向烧杯注水，当烧杯刚好注满时，后续注水开始使水槽水面上升，此转折点为点A，故点A表示烧杯中刚好注满水。 当水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐时，后续注水的“有效底面积”变为水槽底面积（因烧杯已被水覆盖），水面上升速度改变，此转折点为点B，故点B表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）设烧杯的底面积为S平方厘米、高为厘米，注水速度为每秒v立方厘米，注满水槽所用时间为秒。 由图2知，当注水18秒时，烧杯刚好注满，此时烧杯容积等于注水体积，根据容积＝底面积×高，注水体积＝注水速度×时间（匀速注水情况），得到S＝18v；当注水90s时，水槽内的水面高度恰好是厘米（即烧杯高度），即100＝90V，因为90V=5×18V则有100＝5S，两边同时约掉，即可求出烧杯底面积S。 由图可知注满烧杯和水槽一半所用的时间比是18∶90＝1∶5，当注水速度一定时，此时体积比等于时间比，把烧杯的体积看成1份，水槽一半的体积就是5份，用水槽的底面积乘此时的高度10厘米，再除以5就可以得到烧杯的体积，即：100×10÷5＝200（立方厘米），再根据注水速度＝注水体积÷时间，得到注水速度，即200÷18＝（立方厘米/秒）；再用水槽的总体积除以注水速度，得到注满水槽所用时间，即100×20÷＝180（秒）。 【详解】（1）根据分析，可知： 图②中，点A表示烧杯中刚好注满水，点B表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）设烧杯的底面积为S平方厘米、高为厘米，注水速度为每秒v立方厘米，注满水槽所用时间为秒。 由图②知，当注水18秒时，烧杯刚好注满；当注水90s时，水槽内的水面高度恰好是厘米（即烧杯高度），于是S＝18V，100＝90V， 因为90V=5×18V，则有100＝5S， 所以S＝100÷5＝20（平方厘米） 由图可知注满烧杯和水槽一半所用的时间比是18∶90＝1∶5， 烧杯的体积：100×10÷5＝200（立方厘米） 注水速度：200÷18＝（立方厘米/秒） 注满水槽所用时间： 100×20÷ ＝2000÷ ＝2000× ＝180（秒） 答：烧杯的底面积为20平方厘米，注满水槽所用的时间为180秒。 【点睛】本题核心是利用恒定流量下“体积与时间成正比”的关系，结合图像转折点的实际意义（注满烧杯、水面平齐），通过建立方程求解未知量。关键在于理解不同注水阶段的“有效底面积”变化，从而关联体积、时间和底面积的关系。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题22 长方体和正方体 知识点01：长方体和正方体的认识： 形体 相同点 不同点 关系 长方体 面 棱 顶点 面的特点 面的大小 棱长 正方体是特殊的长方体，是长、宽、高都相等的长方体。 6个 12条 8个 6个面一般都是长方形，也可能相对的面是正方形。 相对的面的面积相等。 每一组互相平行的四条棱长度相等。 正方体 6个面都是完全相同的正方形。 6个面的面积都相等。 12条棱的长度都相等。 [提示]长方体中相对的面的面积相等，如果有两个相对的面是正方形，那么另四个面的面积都相等。长方体不可能有两个相邻的面是正方形；如果相邻两个面是正方形，那么6个面就都完全相同，是正方体。 知识点02：长方体和正方体的面积和体积： 名称 侧面积和表面积公式 体积公式 侧面展开图是一个长方形或正方形，侧面积等于底面周长乘高。 【例1】小明爸爸打开了一个长方体的快递包装盒，如图是其表面展开图。经测量，厘米，厘米（、、表示线段的长度），求这个长方体的表面积和体积。 1．一个长方体纸盒的长、宽、高分别是3厘米、2厘米、1厘米，将它展开成平面图形，那么这个平面图形的周长最小是多少？最大是多少？ 2．一块长23厘米、宽20厘米的长方形铁皮（如图），从四个角各切掉一个边长为4厘米的正方形，然后做成一个无盖长方体盒子，这个盒子的容积是多少？ 3．认真审题，操作设计。 王师傅准备用一张长8分米，宽4分米的长方形映皮，做一个深1分米的无盖长方体容器。请你画出不同的焊接方案图，并算出各自的容积，这个长方体容器的容积最大是多少升？（焊接处和缺皮的厚度忽略不计） 【例2】将1、2、3、4、5、6分别填在如图中的每个方格内，使折成的正方体中相对的2个面的数之和相等。 1．下面是一个无盖的正方体纸盒，底面标有“O”，沿图中粗线将正方体剪开。 （1）你认为（    ）号图形是这个无盖纸盒的展开图。 （2）在你选择的展开图中标出“O”的位置。 2．如下图，这是一个无盖的正方体纸盒展开图。 (1)如果“”所在的面是前面，那么“”所在的面是________面。 (2)现在要给这个盒子加一个盖子，请你把盖子的位置画在展开图中。（画出一种即可） 3．西周时期的士人学习的“六艺”是“礼、乐、射、御、书、数”。在正方体的6个面上分别写着“六艺”中的一种，正方体展开后如下图，与“御”字相对的是哪个字？ 【例3】学校要给新建的游泳池贴瓷砖。游泳池长40米，宽30米，深2米。池底和四壁都要贴瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？ 1．聪聪要过生日了，爸爸想动手制作一个小板凳送给他。请你仔细阅读制作要求。 凳面：我是一个长30厘米，宽20厘米，高2厘米的长方体。 凳腿：我需要4条，板凳腿长4厘米，宽2厘米，高25厘米。 (1)做这个小板凳至少用了多少立方分米木材？（损耗忽略不计） (2)为了美观，想在组装前给板凳面的上面和四周涂上油漆（底面不涂），至少需要涂多少平方厘米？ 2．跳水是奥运会的竞赛项目之一，一个长方体形状的跳水池，其底面是周长为104米的正方形，池深5米。如果给这个跳水池的四周和底部贴瓷砖，需要贴瓷砖的面积是多少平方米？ 3．一种长方体茶叶盒，长为8分米，宽6分米，高4分米，现在要在四周贴上与长方体等高的商标纸，至少需要多少平方分米的商标纸？ 【例4】有一段铁丝，正好能做一个长9厘米，宽5厘米，高7厘米的长方体框架，如果用这段铁丝做一个正方体框架，这个正方体的棱长是多少厘米？表面积是多少平方厘米？ 1．边长为5分米的正方体上切去一个边长为1分米的小正方体，剩下图形的体积和表面积分别变为多少？ 2．水陆缸是以山水脉络为基础构建的微型生态景观系统，由水上景观与水下景观共同构成。王叔叔想利用一个正方体玻璃缸制作一个水陆缸，且这个正方体玻璃缸是无盖的，棱长为5分米。若制作一个这样的正方体玻璃缸，至少需要多少平方分米的玻璃？ 3．凉山国际火把节的庆祝仪式需要用正方体的灯笼装饰街道，焊接一个灯笼框架要用去一根长480厘米的铁丝（不计损耗），再给这个正方体框架的5个表面糊上彩纸，每个灯笼至少需要多少平方厘米的彩纸？ 【例5】如图所示，从长、宽、高为15，5，4的长方体中切除一块长、宽、高为y，5，x的长方体（x，y为整数），余下部分的体积为120，求和。 1．一个边长为24厘米的正方形纸片，把它的四个角各剪去一个小正方形可做一个无盖的长方体盒子，这个长方体盒子的体积最大是多少？（接头处忽略不计） 2．在一个长20分米、宽9分米、高7分米的长方体容器内注入3.6分米深的水，然后放入一个棱长为6分米的正方体铁块，则水位上升了多少分米？ 3．有甲、乙两种长方体容器。甲容器长、宽、高分别为10厘米、3厘米、10厘米，乙容器长、宽、高分别是5厘米、4厘米、15厘米。已知甲容器中装有水，将其倾斜，水面刚好如下图所示。乙容器是空的。如果将甲容器中的水倒一部分到乙容器，使得甲、乙容器中的水面一样高，那么需要从甲容器中倒出多少水？ 【例6】一个长方体水槽，水里面浸没了一个铁球，把这个铁球完全从水中拿出时（水的损耗忽略不计），水槽里面的水下降了5毫米。现将一块棱长是3厘米的正方体铁块浸没在这个水槽的水中，水槽里的水面上升了3毫米。这个铁球的体积是多少立方厘米？（用比例解） 1．从一个长、宽、高分别是21厘米、15厘米、12厘米的长方体上面，尽可能大地切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？ 2．把一个棱长为10厘米的正方体铁块铸成一个底面直径是20厘米的圆锥形铁块。这个圆锥形铁块的高约是多少？（得数保留一位小数） 3．一种立体的米形玩具，三个长方体的长宽高都分别为10厘米、2厘米、2厘米。这个米字形玩具的体积是多少立方厘米？ 【例7】一个由棱长2cm的小正方体搭成的棱长18cm的大正方体，给这个大正方体涂上色彩，三面涂色、两面涂色、一面涂色和没涂色的块数各有多少个？ 1．把若干个体积相同的小正方体堆成一个大的正方体，然后在大正方体的表面涂上颜色，已知两面涂上颜色的小正方体共有24个，那么这些小正方体一共多少个？ 2．在一个正方体木块的6个面都涂上红色后，把它分割成若干个棱长是1厘米的小正方体木块，有两面涂红色的共有108个，那么只有一面涂红色的小正方体共有多少个？提示：根据两面涂红色的个数，可推算出一条棱上有多少个两面是涂红色的。 3．操作想象。 如图，用一些棱长为1cm的小正方体组成一个大长方体。 (1)至少要补充( )个这样的小正方体。 (2)搭好的长方体的前面的面积是( )cm2，左面的面积是( )cm2。 (3)计算搭好的长方体的体积时，小美用5×3×4＝60（cm3）来计算，其中5是指长方体底层一行摆了5个小正方体，3是指( )，4是指( )，60是指( )。 (4)如果给这个搭好的长方体表面涂上颜色，那么2个面被涂色的小正方体有( )个。 【例8】为了美化图书馆环境，图书管理员在网上购买了一个青花瓷瓶来装饰图书馆大厅（如图）。商家在发货时需要根据青花瓷瓶的尺寸选择合适的长方体包装盒（长、宽、高均为整分米数），这个长方体包装盒的表面积至少是多少平方分米？（包装盒的厚度不计） 1．一个装玩具飞机的盒子长30cm，宽20cm，高5cm，把两个这样的盒子包成一包。有三种方案，分别算出各种方案所需的包装纸的大小。哪种方案最节省包装纸？（接头处不计） 第一种方案： 第二种方案： 第三种方案： 2．园园家的超市批发了一批牙膏。图①是牙膏包装盒的展开图，由于快递运输需要，现定做长方体纸箱来存放牙膏，纸箱内侧的尺寸如图②。（单位：cm） （1）牙膏包装盒的表面积是（    ）cm2。 （2）纸箱中最多能放多少盒牙膏？ 3．消费者通过网络途径购买商品已经成为一种习惯。小明在网上商城买了如图所示的可乐，共买了两箱，要将两箱可乐叠放包装起来，商家最少需要多少平方分米包装纸？ 【例9】科学课上，同学们用一个从里面量长是5分米、宽是4分米、高是3分米的长方体水槽做实验。先往水槽里倒入40立方分米的水，再把一块不规则的雨花石完全浸没在水中（水没有溢出），这时水面高度是2.3分米。这块雨花石的体积是多少立方分米？ 1．一辆汽车的油箱，从里面量长12分米，宽5分米，高4分米。 (1)做这个油箱至少要用多大面积的铁皮？ (2)如果当前汽油每升8.5元，加满整个油箱一共需要多少钱？ 2．王丽把工艺品进行收纳展示，要购买一款圆柱形的展示桶，如图1。 （1）展示桶的下底面是彩色塑料板，侧面和上底面是透明塑料板。制作这样一个展示桶需要透明塑料板多少平方厘米？（拼接处忽略不计。） （2）王丽买了4个这样的展示桶，这4个展示桶恰好可以放在一个长方体纸箱中，如图2，这个纸箱的容积是多少立方厘米？ 3．小红家新买了一个长8分米、宽6分米、高6分米的长方形玻璃鱼缸，小红在这个鱼缸内放入了体积约4立方分米的养鱼装饰物。正常情况下，鱼缸水位至少要比鱼缸口低0.5分米，照此计算，最多还能再加入多少升的水？（鱼缸玻璃厚度忽略不计） 一、填空题 1．一个长方体的长是8分米，宽是6分米，高是4分米，如果把这个长方体的长、宽、高都缩小到原来的，那么现在的长方体的体积是原来长方体体积的( )。 2．一个正方体的棱长扩大到原来的3倍，表面积扩大到原来的( )倍，体积扩大到原来的( )倍。 3．一个正方体木料的高减少5cm，它的表面积就减少200cm2，原来的这个正方体木料的体积是( )cm3。如果将这块木料切成一个最大的圆柱，则这个圆柱的体积是( )cm3。 4．用棱长为1厘米的正方体木块在桌面上拼摆出如图所示的模型，它的体积是( )cm3，在此基础上继续拼摆成一个长方体的模型，最少需要添加( )个正方体木块。 5．把下面这个展开图围成一个长方体。 (1)如果面是下面，那么________面是上面。 (2)已知图中三条边的长度，围成的长方体的表面积是________cm2。 6．在一个边长为4厘米正方体的前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个底面半径为1厘米、高为1厘米的圆柱，则挖去后物体的表面积为________平方厘米。（π取3.14） 7．一个棱长为3dm的正方体可以分成( )个棱长为1dm的小正方体，表面积会增加( )；把这些小正方体排成一行，长( )。 8．小芳先把一个棱长为8厘米的正方体表面涂上了红色，再切成棱长为2厘米的小正方体，切好后数一数发现两面涂上红色的有( )个。 9．一个正方体的六个面分别涂上红、黄、绿三种颜色，任意抛一次，使红色面朝上的可能性最大，黄色面和绿色面朝上的可能性相等，需要有( )个面涂上红色。 10．把一个棱长为6厘米的正方体实心木料削成一个最大的圆锥体（不计损耗），圆锥的体积是( )立方厘米，削去部分的体积是( )立方厘米。 11．用一些长5cm、宽4cm、高3cm的小长方体木块，搭成一个正方体，这个正方体的体积最小是________cm3。 12．一个表面涂色的大正方体，用激光把它切割成若干个体积是1立方厘米的小正方体。已知一面涂色的小正方体24个，未涂色的小正方体有( )个，这个大正方体的体积是( )立方厘米。 13．如图是一个正方体的展开图，把这个展开图折叠成一个正方体，折叠后与点A重合的是点( )。 14．一个正方体木块的棱长是6cm，把它削成一个最大的圆柱。圆柱的体积是( )cm3，再把这个圆柱削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是( )cm3。 15．一个底面是正方形的长方体，侧面展开后也是正方形。如果它的底面积是6平方分米，那么它的表面积是( )平方分米；如果它的底面边长是6厘米，那么它的体积是( )立方厘米。 16．将表面积分别为54、96、150平方厘米的三块正方体橡皮泥合在一起制成一个大正方体，这个大正方体的表面积为( )平方厘米。 17．《新华字典》的长、宽、高分别是10厘米、13厘米和3厘米，老师要用纸把2本《新华字典》包起来，要求包装方法最省纸，那么需要包装纸至少( )平方厘米。 18．有一个长方体储碗柜，内部尺寸如图1。现在柜子里放置相同规格的碗，其中2只碗和6只碗叠起来的高度如图2所示。 (1)若有只碗叠起来，它的高度是( )cm（用含有字母的式子表示）。 (2)若按图所示摆放，这个储碗柜最多可摆放( )只这种规格的碗。 19．在高度是32厘米的长方体容器中装满水，平放在桌上，现在把它像如图这样斜放，水流出，则此时AB的长度是( )厘米。 20．一个长方体的展开图如图所示（单位：厘米）。涂色部分的面积之和为35平方厘米。这个长方体的表面积是________平方厘米。 二、选择题 21．下图是一个长方体的四个面，另外两个面的面积和是（    ）平方厘米。 A．20 B．28 C．35 D．70 22．用铁丝焊接一个棱长4厘米的正方体框架，至少需要铁丝（    ）厘米。 A．48 B．64 C．96 D．32 23．妈妈刚收到的快递包装纸盒，规格为“”，估计这是妈妈最近网购的（    ）。 A．保温杯 B．洗脚盆 C．冰箱 D．乒乓球拍 24．一间我们平时上课的教室，它的内部所占空间大约是（    ）。 A．1500m3 B．150m3 C．1500dm3 D．150dm3 25．一个长方体的长、宽、高分别是a米、b米、h米。如果高增加2米，体积比原来增加（    ）立方米。 A．2ab B．2abh C． D．8 26．把一个圆柱的底面平均分成若干个扇形，然后切开拼成一个近似的长方体，表面积比原来增加了200cm2，已知圆柱的高是20cm，圆柱的体积是（    ）cm3。 A．314 B．628 C．1570 D．6280 27．四个杯子中均装有一定量的开水，如果把50克糖融于水中，含糖率最高的是（    ）。 A． B． C． D． 28．把一个长、宽、高分别是a厘米、b厘米、h厘米的长方体的高增加2厘米，那么这个长方体的表面积会增加（    ）平方厘米。 A．2ab B．2（a＋b） C．4（a＋b） D．4（a＋b）＋ab 29．下面几句话中，正确的有（    ）句。 （1）把连续五个自然数按从大到小的顺序排列，中间的数就是这五个数的平均数。 （2）这个正方体（如图）的黑色部分应该是一个锐角三角形。 （3）如果a是一个偶数，b是一个奇数，那么3a＋2b的结果是奇数。 （4）一杯糖水的含糖率是25%，再加入5克糖和20克水，这杯糖水的含糖率不变。 A．1 B．2 C．3 D．4 30．一个立体图形，从前面看是一个正方形，这个立体图形可能是“长方体、正方体、圆柱体、球体、圆锥体”这五种图形中的（    ）种。 A．2 B．3 C．4 D．5 31．下面这些立体图形中，能用公式“底面积×高”来计算体积的有（    ）种图形。 A．3 B．4 C．5 D．6 32．下面四幅图中的a和b表示不同的数，a和b互为倒数的是（    ）。 A． B． C． D． 33．下面几种说法中，正确的是（    ）。 A．一个长方体，如果有两个相邻的面是正方形，这个长方体就是正方体。 B．某种产品的合格率为90%，那么合格产品与不合格产品的比是10∶1。 C．钟面上分针与时针转动速度比是1∶60。 D．调查显示：“双十一”期间，个别网店卖家提前将商品提价10%，再在“双十一”期间降价10%出售，这件商品的实际价格与原价相同。 34．两种相关联的量，它们的关系可以用图来表示，这两种量可能是（    ）。 A．正方体的表面积和它的棱长。 B．一本书，已经读的页数和未读的页数。 C．圆柱的高一定，体积和底面积。 D．平行四边形的面积一定，底和对应的高。 35．下列说法正确的个数（    ）。 ①在用剪刀石头布决定胜负时，胜负的可能性是一样的都是二分之一。 ②数轴上，距离﹢3这个点5个单位长度的点所表示的数是8。 ③两本书的封面面积一样大，所以它们的体积也一样大。 ④有两条边相等的三角形是等边三角形。 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 36．“度量衡”是我国古代计量长度、容积、重量的标准或器具的统称，“度”用以计量长短；“量”用以测量容积大小；“衡”用以测量物体轻重。“商鞅方升”的重要物证——商鞅方升（如图），就是“度量衡”中的“量”，用来测量容积大小。它全长18.7厘米，内口长约12.5厘米，宽约7厘米，深约2.3厘米，容积便是商鞅规定的“一升”。算一算，商鞅规定的“一升”大约相当于现在的（    ）升。 A．0.2 B．1.5 C．0.6 D．2.3 37．一个棱长3分米的正方体零件，从它的正中间向对面挖通一个底面边长为1分米的小长方体，这个零件的表面积（    ）。 A．增加10平方分米B．减少10平方分米C．增加12平方分米 D．减少12平方分米 38．有一个长方体，它有一组相对的面是正方形，其余4个面的面积（    ）。 A．不一定相等 B．一定不相等 C．一定相等 D．无法确定 39．下面的四个展开图经过折叠，能围成如图所示正方体的是（    ）。 A．B． C． D． 40．数学课上，明明用学具搭一个长方体框架，搭了其中三根，就能决定这个长方体的形状与大小的是（    ）。 A． B． C． D． 三、解答题 41．将一个底面积为6.28平方分米，高为6分米的长方体铁块熔铸成底面半径为3分米的圆锥，这个圆锥的高是多少分米？ 42．一个圆锥形沙堆，底面半径是2米，高1.5米，现要将这堆沙子铺到底面长8米、宽5米、高1米的长方体土坑中，沙子的厚度是多少？ 43．一个长、宽、高分别为40厘米、30厘米、20厘米的小纸箱，在所有的棱上粘上一圈胶带，至少需要多少厘米的胶带？ 44．一个长方体水缸，从里面量，长、宽、高分别为10分米、8分米、5分米。水面高度为4分米，现在将一段底面直径为4分米，长为8分米的圆柱形钢材放入水缸中（完全浸没），缸中的水会溢出多少升？ 45．学校运来一堆沙准备铺路。这堆沙堆成圆锥形，占地面积是12平方米，高1.6米。把这堆沙铺在一条宽4米的路上，平均铺5厘米厚，可以铺多长？ 46．一个圆锥形的沙石堆底面积是188.4平方米，高15分米。如果用这堆沙石铺路，公路宽10米，沙石厚2分米，能铺多少米的公路？ 47．一个无盖的长方体玻璃缸如图1所示，长48厘米，宽25厘米，高30厘米。有一个水龙头从某一时刻开始向玻璃缸内注水，水的流量为8000立方厘米/分。3分钟后关闭水龙头停止注水。接着在玻璃缸内缓慢放入一个高为16厘米的长方体铁块并全部浸没于水中（未有水溢出）。玻璃缸的水面高度从注水到放入铁块后的变化情况如图2所示。 （1）对图2中B点表示的实际意义有下列说法，其中正确说法有（    ）（填序号）。 ①已注水3分钟。 ②铁块已浸没水中。 ③此时玻璃缸的水面高度是20厘米。 ④此时玻璃缸的水面高度是22厘米。 （2）求长方体铁块的体积。 48．环保社团的同学用铁丝制作长方体形状的垃圾分类宣传箱框架。宣传箱长80厘米、宽50厘米、高120厘米，已知制作过程中接头处共损耗铁丝15厘米，制作一个宣传箱框架至少需要铁丝多少厘米？ 49．在下图的空玻璃鱼缸中放入一块高1.5分米、体积为6立方分米的假山石。如果水管以每分钟10立方分米的流量向鱼缸内注水，至少需要多长时间才能把假山石刚好淹没？ 50．如果水流速度为每分钟45米，1根出水管多长时间能将如图泳池中的水放完？ 51．一个圆锥体的底面周长是12.56分米，高6分米。 （1）这个圆锥体所占的空间是多少立方分米？ （2）如果给这个圆锥形物体做一个长方体的包装盒，至少要多少平方分米的硬纸板？ 52．一个四周用木条围成的花坛，底面是边长1.5米的正方形，高0.8米。 （1）做这样一个花坛，四周大约需要多少平方米木条？ （2）用泥土填满这个花坛，大约需要多少立方米泥土？（木条厚度忽略不计） 53．学校新建了一个花坛，底面是边长1.5米的正方形，高0.6米，四周用砖头砌成。砖的厚度是0.2米。 （1）如果在花坛的侧面贴上瓷砖，至少需要多少平方米的瓷砖？ （2）在花坛的中间填满泥土，大约要多少立方米的泥土？如果每立方米泥土的费用约是36元，一共需要多少钱？ 54．正值实验西校建校二十周年校庆，学校利用暑假进行装修。每间教室内侧长9米、宽7米、高3米。地面铺地砖，天花板刷乳胶漆，四面墙刷防水漆（门窗和黑板不粉刷），门窗共有10平方米，黑板共有4平方米。 （1）每间教室内需要粉刷的总面积是多少？ （2）乳胶漆每平方米15元，防水漆每平方米12元，每间教室刷天花板和墙壁一共需要多少元？ （3）地砖是规格为50厘米×50厘米的正方形，每间教室需要铺多少块地砖？如果每块地砖损耗2%，实际需要买多少块？ 55．数学活动实践课上，小辰所在的小组同学用铁皮制作了一个无盖的长方体容器，如图所示。（容器厚度、接头处均不计） （1）制作这个无盖的长方体容器，至少需要多少平方厘米的铁皮？ （2）小辰给空的容器中加入水，水深12厘米，然后将一个萝卜放入水中，完全浸没，水面上升到14厘米，这个萝卜的体积是多少立方分米？ 56．母亲节，李兵送给妈妈一个水杯（如下图，底面直径60毫米，高210毫米）。 (1)李兵要用一个长方体的盒子包装它，这个盒子的表面积至少多少平方厘米？ (2)妈妈一天饮水量不少于1500毫升。喝这样的3杯，能达到要求吗？请说明理由。（杯壁的厚度忽略不计，π取3） 57．粉刷一间教室的四周和顶棚，教室长8米，宽60分米，高350厘米，门窗和黑板面积为32平方米，如果每平方米用涂料1.2千克，每千克涂料15元，粉刷五间同样的教室（门窗和黑板不粉刷）一共需要多少元？ 58．在一个长20厘米，宽15厘米长方体的容器中，浸没着一块长方体铁块（横着放置），水的高度是9厘米。如果把铁块竖直放置（铁块底面与容器底面完全接触），铁块会有10厘米高的部分露出水面，这时容器中水的高度是7厘米。这个铁块的体积是多少？现在再把铁块向上提起5厘米，此时水深多少厘米？ 59．小亮要用一个底面是边长7厘米的正方形、高为15厘米的长方体容器，容器中装的水距容器口还有1厘米。现在要测量一个球形铁块的体积，当铁块放入容器中，就有部分水溢出，而当把铁块取出后，则水面下降4厘米，求铁块的体积。 60．如图①，在底面积为100平方厘米、高为20厘米的长方体水槽内放一个圆柱烧杯，以恒定不变的流量速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不改变，水槽中水面上升的高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图②所示。 （1）图②中，点_____表示烧杯中刚好注满水，点_____表示水槽中水面恰好与烧杯中水面平齐。 （2）求烧杯的底面积及注满水槽所用的时间。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $