小升初专题20 探索规律（讲义）2025-2026学年六年级下册数学苏教版

专题20 探索规律 知识点01：数字规律： 按一定的次序排列的一列数叫作数列。数列中几种常见的规律： ①规律隐含在相邻两数的和、差或倍数中。 ②前后几项为一项，以组为单位隐含一定的规律。 ③需将数列分解，通过对比才能发现规律。 知识点02：图形规律； 图形规律是指根据一组相关图形总结出图形变化所反映的规律。解决图形规律问题的方法有两种：一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律解决问题；另一种是通过图形的直观性，从图形的变化中直接寻找规律。 知识点03：算式中的规律； ①利用计算器独立探索，发现规律。 ②利用规律来完成计算。 【例1】100名同学按照编号1~100从左往右顺次排成一行，然后“1、2”报数到最后一人，凡报“1”的就出队；剩下的50名同学再从头开始“1、2”报数，报“1”的再出队……这样继续下去，报到第几轮后就只剩下1名同学？他是多少号？ 【答案】6；64 【分析】第1轮报数后，报“1的出队，剩下的编号为2，4，6…100，总共有50名同学； 第2轮报数后，报“1的出队，剩下的编号为4，8，12…100，总共有25名同学； 第3轮报数后，报“1的出队，剩下的编号为8，16，24…96，总共有12名同学； 可以发现：第1轮后剩下的数是2的倍数，第2轮后剩下的是4的倍数，第3轮后剩下的是8的倍数……据此往下报数，即可找出剩下的数。 【详解】第1轮报数后，剩下2的倍数：2，4，6…100； 第2轮报数后，剩下4的倍数：4，8，12…100； 第3轮报数后，剩下8的倍数：8，16，24…96； 第4轮报数后，剩下16的倍数：16，32，48，64，80，96； 第5轮报数后，剩下32的倍数：32，64，96； 第6轮报数后，剩下64的倍数：64； 答：报到第6轮后就只剩下1名同学，他是64号。 观察下列三行数： ①0，3，8，15，24，… ②2，5，10，17，26，… ③0，6，16，30，48，… 1、第①行数按什么规律排行？ 第②行，第③行数与第①行数分别有什么关系？ 分别从①②③行数中取出第a个数，并计算这三个数的和．（结果用含a的式子表示） 【答案】2．第a个数为a2﹣1 3．第②行相对应的数比第①行数多2，第③行相对应的数是第①行数的2倍 4．a2﹣1+a2+1+2（a2﹣1）=4a2﹣2 【分析】探索数与式的规律（1）第①行的每个数均为序数的平方减1；（2）第②行相对应的数比第①行数多2，第③行相对应的数是第①行数的2倍；（3）由（2）得出第②行第a个数为a2+1，第③行第a个数为2（a2﹣1），相加化简即可． 2．解：∵第1个数0=12﹣1，第2个数3=22﹣1，第3个数8=32﹣1，第4个数15=42﹣1，… ∴第a个数为a2﹣1 3．第②行相对应的数比第①行数多2，第③行相对应的数是第①行数的2倍 4．由（2）知，第②行第a个数为a2+1，第③行第a个数为2（a2﹣1）， ∴这三个数的和为a2﹣1+a2+1+2（a2﹣1）=4a2﹣2 2．观察下面一列数：-1，2，-3，4，-5，6，-7…，将这列数排成下列形式： 记aij为第i行第j列的数，如a23=4，那么a87是________． 【答案】56 【分析】根据奇数为负，偶数为正，每行的最后一个数的绝对值是这个行的行数n的平方，所以第7行最后一个数字的绝对值是49，第8行从左边第7个数是49+7=56． 【详解】根据每行的最后一个数的绝对值是这个行的行数n的平方， 所以第8行最后一个数字的绝对值是：8×8=64， 所以第8行第7列的数是：56； 故答案为56． 3．自然数如表的规则排列：求： （1）上起第10行，左起第13列的数； （2）数127应排在上起第几行，左起第几列？ 【答案】（1）154   （2）127是在第6行第12列 【详解】解：（1）求得第12行第1列应该是： 122=12×12=144； 那么第1行第13列就是：145； 第10行第13列就是看成第13列第10个数：从145递增（10﹣1）次即： 145+10﹣1=154； （2）127最接近于121；即112； 第1列第11行是121， 第1行第12列是122，这一列三位数字排列如下： 122； 123； 124； 125； 126； 127； 127是在第6行第12列． 【例2】找规律，并计算。 观察下列两组等式： 第一组：；；。 第二组：；；；。 回答下列问题： （1）我发现的规律：两个分数的（    ）相同，并且等于分母之（    ），则这两个分数的和就等于它们的积。 （2）根据这个规律计算： ①；     ②若，则正整数m等于（    ）。 【答案】（1）分子，和 （2）① ②19 【分析】（1）观察算式可知，若两个分数的分子相同，且分母之和等于分子，所以这两个分数的和等于它们的积； （2）①根据（1）中发现的规律进行计算即可； ②根据规律可知＝，然后根据发现的规律求出m的值即可。 【详解】（1）我发现的规律：两个分数的分子相同，并且等于分母之和，则这两个分数的和就等于它们的积。 （2）① ② ＝ ＝ 所以6＋m＝25 m＝19 【点睛】本题考查算式的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。 1．规定：正整数n的“H运算”： ①当n为奇数时，H＝3n＋13； ②当n为偶数时，H＝nx1/2． 如：数n＝3经过1次“H运算”的结果是3×3＋13＝22； 经过2次“H运算”的结果是22x1/2＝ll； 经过3次“H运算”的结果是11x3＋13 ＝ 46； 经过4次“H运算”的结果是46x1/2＝23． 请解答：（1）当数n＝9时，经过3次“H运算”得到的结果是多少？ （2）当数n ＝ 7时，经过100次“H运算”得到的结果是多少？ 【答案】（1）第一次40；第2次20；第3次10 （2）16 2．阅读下列文字，并回答： 每个假分数可以写成一个自然数与一个真分数的和（例如=3+），上面的真分数的倒数又可以写成一个自然数与一个真分数的和（=1+），反复进行同样的过程，直到真分数的倒数是一个自然数为止（=4+，=2），我们把用这种方法得到的自然数，按照先后顺序写成一个数组，那么，这个数组叫做由这个假分数生成的自然数组． 如：对于假分数，则=3+，=1+，=4+，=2，所生成的自然数组为，请回答： （1）所生成的自然数组为{             } （2）某个假分数所生成的自然数组为{1，2，3，4}，这个假分数为多少？ 【答案】（1）6、1、2、2；（2） 【详解】=6+，=1+，=2+，=2 （1）4=，3+=，2+=，1+= 3．“※”表示一种新的运算规则，如8※3=8+9+10=27，3※4=3+4+5+6=18（加数为连续自然数），根据这样的运算规则则完成下面各题． （1）计算：9※6 （2）阅读、思考并填空． 在8※3=8+9+10=27中，用27÷3=9，9是8、9、10三个加数的平均数，也是8和10正中间的一个数． 在3※4=3+4+5+6=18中，用18÷4=4.5，4.5是3、4、5、6四个加数的平均数，也是3和6正中间的一个数． 因为x※5=250中，用250÷5=50，可知： 五个加数正中间的一个数是　 　；五个加数是（　 　、　 　、　 　、　 　、　 　）；所以x是　 　． （3）你知道x※22=671中的x是多少吗？简要写出你的想法． 【答案】（1）69；（2）50；48，49，50，51，52；48；（3）x=20 【详解】试题分析：（1）根据8※3=8+9+10=27，3※4=3+4+5+6=18可知：从左边的数字开始连续自然数相加即可，加数的个数就是右边的数字； （2）根据8※3=8+9+10=27中，用27÷3=9，9是8、9、10三个加数的平均数，也是8和10正中间的一个数； 在3※4=3+4+5+6=18中，用18÷4=4.5，4.5是3、4、5、6四个加数的平均数，也是3和6正中间的一个数； 所以x※5=250中是由5个连续自然数相加，用250÷5=50，可知50是这五个自然数最中间的一个，即可求得这五个数，而这五个数最小的是未知数的值； （3）根据第二问可知：671÷22的值是22个数中中间两个数的平均数，进而求得这22个数，最小的数就是x的值． 解：（1）9※6 =9+10+11+12+13+14 =（9+14）×3 =23×3 =69 （2）根据题意可知： 因为x※5=250中，用250÷5=50，可知： 五个加数正中间的一个数是50；五个加数是48、49、50、51、52；所以x是48． （3）671÷22=30.5 30.5是22个数中最中间的一个，所以30.5左边11个数，右边11个数，分别为： 20，21，22，23，24，25，26，27，28，29，30，31，32，33，34，35，36，37，38，39，40，41 最左边的数字就是未知数的取值，所以x=20 答：x=20 故答案为50；48，49，50，51，52；48 点评：解答本题的关键是：认真分析新规律，按照规律计算即可． 【例3】观察下列点阵，在□里面画出第六个点阵，并写出它的算式。 【答案】见详解；1＋2＋3＋4＋5＋6 【分析】根据图可知，第几个点阵，就在前一个点阵的基础上，在最下面加几个点即可，由此即可画出第六个点阵；第一个点阵：1个点；第二个点阵：1＋2＝3个点，第三个点阵：1＋2＋3＝6个点，第四个点阵：1＋2＋3＋4＝10个点，由此即可知道第n个点阵的点数：1＋2＋3＋……＋n，据此写出第六个点阵的算式。 【详解】由分析可得，第六个点阵如图如下： 1＋2＋3＋4＋5＋6＝21 【点睛】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力。 1．观察如图，要想得到200个直角三角形，应画多少个正方形？ …… 【答案】51个 【分析】第1个正方体中有0个直角三角形；第2个正方体中有4个直角三角形；第3个正方体中有8个直角三角形；第4个正方体中有12个直角三角形。由此得出规律，三角形的个数都是4的倍数，然后得出假设第n个正方体，就有（n－1）×4个直角三角形。 【详解】根据图中的数据可得：1个正方形有0个三角形，可以写成（1－1）×4个； 2个正方形有4个三角形，可以写成（2－1）×4个； 3个正方形有8个三角形，可以写成（3－1）×4个； 4个正方形有12个三角形，可以写成（4－1）×4个； 所以当正方形的个数为a时，三角形的个数可以写成：（a－1）×4个； 设需要画a个正方形才得到200个直角三角形，则根据上面的结论可得： （a－1）×4＝200 a－1＝200÷4 a－1＝50 a＝51 答：应画51个正方形。 【点睛】本题的关键是根据图形发现规律：第1个正方体就有0×4个直角三角形；第2个正方体就有（2－1）×4个直角三角形，然后以此类推。 2．仔细观察下面的点子图，根据每个图中点子的排列规律，想一想，可以怎样计算每个图中点子的总个数？请你把下表填写完整。 序号 1 2 3 4 5 … 表示点子数的算式 1 1＋4 … 点子的总个数 1 … 观察表中数据，如果用A表示第n个图形中点子的总个数，A和n之间的关系可以表示成A＝_________。 【答案】 1＋2×4 1＋3×4 1＋4×4 5 9 13 17 4n－3 【分析】通过观察发现，第一个图的点子数是1，第二个图的点子数是1＋4＝5，第三个图的点子数是1＋2×4＝9，第4个图的点子数是1＋3×4＝13，第五个图的点子数是1＋4×4＝17，由此可知用A表示第n个图形中点子的总个数，A和n之间的关系可以表示成A＝4n－3，据此解答即可。 【详解】如图： 序号 1 2 3 4 5 … 表示点子数的算式 1 1＋4 1＋2×4 1＋3×4 1＋4×4 … 点子的总个数 1 5 9 13 17 … 由分析可得：A＝1＋4（n－1）＝4n－3 【点睛】此题主要考查学生根据图形规律，归纳出规律关系式，然后进行代数解答。 3．如图叫“科克雪花”，它是瑞典科学家科克在1904年受雪花形状的启发而创造的。它的画法是这样的： 第一步，如图1，画出一个正三角形 第二步，如图2，把这个正三角形的每条边三等分，以居中的一段为边向外作正三角形。 第三步，如图3，把居中的一段擦除。 如果继续上面的步骤，重复几次就得到了“科克雪花”。 （1）假如图1正三角形的边长为10厘米，那么图3的周长是（  ）厘米。 （2）假如图1正三角形的周长为n，请用含有n的代数式表示图4的周长。 【答案】（1） （2）n 【详解】（1）10×3×（1＋）×（1＋） ＝30×× ＝（厘米） 图3的周长是厘米。 （2）根据边长的变化规律， 第二次变化后的图4周长为： n×（1＋）×（1＋）×（1＋） ＝n××× ＝n× ＝n× 答：图4的周长为n。 一、填空题 1．如图，用大小相同的正方体木块搭模型，按照这样的规律，第4个模型需要__________个正方体木块；第n个模型需要__________个正方体水块。 【答案】 12 3n 【分析】第1个模型：通过观察可知有3个正方体木块。第2个模型：有6个正方体木块。第3个模型：有9个正方体木块。可以发现，第1个模型：3＝3×1；第2个模型：6＝3×2；第3个模型：9＝3×3。规律为：第n个模型需要3n个正方体木块。那么第4个模型需要的正方体木块数量为3×4＝12个。 【详解】第1个模型：3＝3×1（个） 第2个模型：6＝3×2（个） 第3个模型：9＝3×3（个） 第4个模型：3×4＝12（个） 第n个模型需要3n个正方体木块。 第4个模型需要12个正方体木块；第n个模型需要3n个正方体木块。 2．规定：6*2＝6＋66＝72；2*3＝2＋22＋222＝246；1*4＝1＋11＋111＋1111，则7*5＝( )。 【答案】86415 【分析】先观察前面三个算式发现规律：*前面的数字表示加的数字，*后面的数字表示位数。如6*2表示把一个6加到两个6的和。7*5表示把7从一个7加到五个7的和。 【详解】7*5 ＝7＋77＋777＋7777＋77777 ＝86415 3．按规律填数：，，，( )，，( )。 【答案】 【分析】所给分数的分子依次是1、2、3，呈现出依次加1的规律。所给分数的分母依次是2、3、4，也呈现出依次加1的规律。对于第四个数，分子应该是3＋1＝4，分母应该是4＋1＝5，所以这个数是。对于第六个数，分子应该是5＋1＝6，分母应该是6＋1＝7，所以这个数是。 【详解】由分析可知，分数的分子依次加1的规律，分母也是依次加1的规律。 第四个数： 分子：3＋1＝4 分母：4＋1＝5 所以这个数是。 第六个数： 分子：5＋1＝6 分母：6＋1＝7 所以这个数是。 即，，，，，。 4．用五根小棒摆一个等腰梯形，按规律依次摆下去。摆第6个需要________根小棒，摆第n个需要________根小棒。 【答案】 25 （4n＋1） 【分析】第一个图形需要（4＋1）根小棒，第二个图形需要（4×2＋1）根小棒，第三个图形需要（4×3＋1）根小棒，所以小棒总个数＝4×第几个图形＋1，据此解答。 【详解】4×6＋1 ＝24＋1 ＝25（根） 用五根小棒摆一个等腰梯形，按规律依次摆下去。摆第6个需要25根小棒，摆第n个需要（4n＋1）根小棒。 5．在生活中，有些人将2月8日写成，有些人则写成，这样会造成混淆，因为当我们看到时，不知道到底是指8月2日，还是指2月8日，但是及则容易区别而不会混淆，因为一年中只有12个月，请问用这种记法，一年中有______天会造成混淆。 【答案】132 【分析】由题可知，当日期大于12时，不会造成混淆，所以只有每个月的前12天可能造成混淆。又因为1月1日，2月2日，…，12月12日这样的日子不会造成混淆，所以一年中有12×12－12＝132（天）会造成混淆。 【详解】号的天数共有：（天）； 其中日和月相同的，如、等共有12天； 一年中有（天）会造成混淆。 6．新型材料石墨烯的原子结构类似六边形，小刚用磁力球和磁力棒制作原子结构的模型，第n个图形需要( )个磁力球，( )根磁力棒。 【答案】 4n＋2 5n＋1 【分析】如图所示，制作一个六边形需要6个磁力球和6根磁力棒，每多一个六边形，多4个磁力球和5根磁力棒，据此解答。 【详解】根据分析，可以把第1个六边形需要的磁力球个数记为：2＋4，需要磁力棒的个数记为：1＋5 所以六边形的个数与磁力球个数的关系是：磁力球个数＝2＋4×六边形的个数，即磁力球个数＝4n＋2； 六边形的个数与磁力棒个数的关系是：磁力棒个数＝1＋5×六边形的个数，即磁力棒个数＝5n＋1； 所以，第n个图形需要（4n＋2）个磁力球，（5n＋1）根磁力棒。 7．填上适当的数：，，，，，________，…。 【答案】 【分析】通过分解分母找到与序号的关系，从而确定括号内的数。数列中各数的分母依次为2，6，12，20，30。分解分母：2＝1×2，6＝2×3，12＝3×4，20＝4×5，30＝5×6。可发现规律：第n个数的分母为n（n＋1）。 【详解】括号内是第6个数，此时n＝6，分母为6×7＝42，分子始终为1，故该数为。 8．观察数列：，，，，，，，，……，，的规律，数列中第2008项是______。 【答案】 【分析】首先根据题意，可得分母是2、4、6、8…的个数，分别是1、2、3、4…，若有m行，则共有个数。当时，一共有个数据；当时，一共有个数据。可得数列中第2008项的分母是63×2＝126，分子是，据此判断出数列中第2008项是多少。 【详解】数列改写如下： 第1行：， 第2行：，， 第3行：，，， 第4行：，，，， 故第行：，，，， 一共有个数据， 当时，一共有个数据， 当时，一共有个数据， 故分母，，分子为，故第2008项是。 【点睛】观察所给分数的分子和分母，可知可得分母是2、4、6、8...的个数分别是1、2、3、4... 若有m行，则共有个数。找到和2008相邻的两个数，m＝62和63，所以第2008项m＝63，这个分数的分母为63×2，分子为，即可写出第2008项的数。 9．找规律：1，1，2，3，5，8，13，( )……，前100个数中奇数有( )个。 【答案】 21 67 【分析】观察该数列可知，其遵循斐波那契数列规律，即从第3项起，每一项都等于前两项之和：1＋1＝2、1＋2＝3、2＋3＝5、3＋5＝8、5＋8＝13，因此第一括号处应填入8＋13＝21；进一步分析数列奇偶性可发现明显周期规律，前7项的奇偶性依次为“奇、奇、偶”，且该周期循环往复，每个周期包含2个奇数。计算前100个数的周期分布：100÷3＝33（个完整周期）余1（个剩余项），33个完整周期包含33×2＝66个奇数，剩余1项对应周期首项“奇数”，因此前100个数中奇数总数为66＋1＝67，即第二括号处填入67。 【详解】根据斐波那契数列规律，从第3项起，每一项等于前两项之和，因此：8＋13＝21 观察数列奇偶性，周期为“奇、奇、偶”（3项为一个周期），每个周期含2个奇数。 计算周期数和余数：100÷3＝33（个周期）⋯⋯1（个余数） 奇数个数为：33×2＋1 ＝66＋1 ＝67 所以前100个数中奇数有67个。 【点睛】关键在于识别斐波那契数列的求和规律，并通过“奇、奇、偶”的周期分析来快速计算前100个数中的奇数个数。 10．按如图所示的规律摆放三角形，第五堆三角形的个数为( )个；第( )堆三角形的个数为122个。 【答案】 17 40 【分析】由题图可知第一个图有5个三角形，后面的每个图形均比前一个多3个三角形，则第n个图有[5＋3（n－1）]个三角形，代入5，可求得第五堆有几个三角形；令式子等于122，解得方程，即可确定第几堆三角形的个数为122个。 【详解】5＋3×（5－1） ＝5＋3×4 ＝5＋12 ＝17（个） 所以第五堆三角形的个数为17个。 5＋3（n－1）＝122 解：5＋3（n－1）－5＝122－5 3（n－1）＝117 3（n－1）÷3＝117÷3 n－1＝39 n－1＋1＝39＋1 n＝40 所以第40堆三角形的个数为122个。 【点睛】本题难点在于找到三角形增加的规律，通过观察前三个图，可知道每个图比上一个图多了3个三角形，列出式子，代入或解方程即可解得此题。 11．观察数列，将数列补充完整：1，3，8，22，60，_____，448。 【答案】164 【分析】通过观察数列，发现从第三项开始，每一项等于前两项之和再乘2。因此，第六项（空白处）等于第四项和第五项之和再乘2，据此计算；再验证第五项和第六项之和再乘2是否等于第七项，据此解答。 【详解】第三项：（1＋3）×2＝4×2＝8 第四项：（3＋8）×2＝11×2＝22 第五项：（8＋22）×2＝30×2＝60 第六项：（22＋60）×2＝82×2＝164 验证第七项：（60＋164）×2＝224×2＝448，与给定值一致。 因此，观察数列，将数列补充完整：1，3，8，22，60，164，448。 【点睛】解答本题的关键是找到规律：从第三项开始，每一项等于前两项之和的2倍，并验证后续项以确保规律的正确性。 12．用表示组成n的数字中不是零的几个数字乘积，例如：；；。则( )。 【答案】2116 【分析】根据题意可以得到规律：个位数结果为个位数，十位数结果为十位数×个位数，百位数为百位数×个位数．据此规律解决此题即可，f（10）＝1，f（20）＝2，f（30）＝3，f（40）＝4，f（50）＝5，f（60）＝6，f（70）＝7，f（80）＝8，f（90）＝9，f（100）＝1。 【详解】f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（99）＋f（100） ＝（1＋2＋3…＋9）＋1×（1＋2＋3…＋9）＋2×（1＋2＋3…＋9）＋3×（1＋2＋3…＋9）＋…＋9×（1＋2＋3…＋9）＋（1＋2＋3…＋9＋1） ＝（1＋2＋3…＋9）×（1＋1＋2＋3…＋9）＋46 ＝45×46＋46 ＝2070＋46 ＝2116 f（1）＋f（2）＋f（3）＋…＋f（99）＋f（100）＝2116。 【点睛】解决这道题关键是根据题意可以得到规律：个位数结果为个位数，十位数结果为十位数×个位数，百位数为百位数×个位数．据此规律解决此题即可。 13．如图所示，动点P从第一个数0的位置出发，每次跳动一个单位长度，第一次跳动一个单位长度到达数1的位置，第二次跳动一个单位长度到达数2的位置，第三次跳动一个单位长度到达数3的位置，第四次跳动一个单位长度到达数4的位置，…。依此规律跳动下去，点P从0跳动6次到达的位置，点P从0跳动21次到达的位置，点、、…在一条直线上，则点P从0跳动( )次可到达的位置。 【答案】903 【分析】看图可知，点P从0跳动6次到达的位置，6＝1＋2＋3；点P从0跳动21次到达的位置，21＝1＋2＋3＋4＋5＋6；……由此可知，跳动次数为从1开始连续整数的和，是从1开始连续3个整数的和，是从1开始连续（2×3）个整数的和，是从1开始连续（3×3）个整数的和……是从1开始连续（4×3）个整数的和，由此可知，是从1开始连续（14×3）个整数的和，即跳动的次数。 【详解】14×3＝42 1＋2＋3＋…＋41＋42 ＝（1＋42）×42÷2 ＝43×42÷2 ＝43×21 ＝903（次） 14．根据1、2、3、4、6、7、8、9、11、12、13、14、16、17…的规律，51是第___________个数。 【答案】41 【分析】数列规律是：从自然数里去掉所有5的倍数得到的。要找51是第几个数，得算1到51中有多少个5的倍数，用自然数总数减去5的倍数的个数就能得到结果。 【详解】1到51中5的倍数有：5、10、15、20、25、30、35、40、45、50，一共10个，所以51的位置是51－10＝41 【点睛】关键是发现数列去掉所有5的倍数的规律，通过自然数个数减去5的倍数个数确定目标数的位置。 15．表示n个a相乘，那么结果的个位数字是( )。 【答案】7 【分析】一个数的乘方的个位数字，会按照固定的周期循环出现。我们先分别找出2n、3n、7n、9n的个位数字循环规律，再根据指数计算出每个数的个位，最后相加取个位即可。 【详解】22015的个位数字：2n的个位数字周期为：2，4，8，6； 2015÷4＝503⋯⋯3，余数为3，对应周期第3个数字，个位是8。 32016的个位数字：3n的个位数字周期为：3，9，7，1； 2016÷4＝504，余数为0，对应周期第4个数字，个位是1。 72017的个位数字：7n的个位数字周期为：7，9，3，1； 2017÷4＝504⋯⋯1，余数为1，对应周期第1个数字，个位是7。 92018的个位数字：9n的个位数字周期为：9，1； 2018÷2＝1009，余数为0，对应周期第2个数字，个位是1。 求和取个位：8＋1＋7＋1＝17，个位数字为7。 二、选择题 16．下列图形都是由一样的扣子按一定规律所摆成的，其中第1个图中有1颗扣子，第2个图中有3颗扣子，第3个图中有6颗扣子，第4个图中有10颗扣子，……，按此规律摆下去，第9个图中有（    ）颗扣子。 A．47 B．46 C．45 D．44 【答案】C 【分析】观察图形可知，第1个图：1＝1；第2个图：3＝1＋2；第3个图形：6＝1＋2＋3；第4个图形：10＝1＋2＋3＋4……，由此可知，第n个数为：1＋2＋3＋4＋5＋……＋（n－1）＋n＝（1＋n）×n÷2；据此求出第9个图形的扣子多少颗。 【详解】根据分析可知，第9个图形有： （9＋1）×9÷2 ＝10×9÷2 ＝90÷2 ＝45（颗） 故答案为：C 【点睛】解答此类探究性问，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的以及第一个图形的相互联系，探寻其规律。 17．用黑、白两种颜色的正方形按下图中的规律拼图案。第1个图中有4个白色正方形，第2个图中有7个白色正方形，第3个图中有10个白色正方形……，则第10个图中有（    ）个白色正方形。 A．24 B．27 C．31 D．40 【答案】C 【分析】对比两个相邻的图的不同之处，发现后一个图是在前一个图的右侧再添上了1个黑色正方形和3个白色正方形。因此第n个图中的白色正方形的个数是4＋（n－1）×3，即3n＋1，据此求解。 【详解】根据分析，第n个图中的白色正方形的个数是： 4＋（n－1）×3 ＝4＋3n－3 ＝3n＋1 当n＝10时，3n＋1＝31 所以第10个图中有31个白色正方形。 故答案为：C 【点睛】能够根据图形的不同找出规律是解题的关键。 18．认真观察下面这组图，第一幅图的点数为1，第2幅图的点数为5，…… 按照上面的规律，第n幅图的点数为（    ）。 A．4n－3 B．4n＋3 C．6n－2 D．6n＋4 【答案】A 【分析】观察图形，第1幅图的点数为：1＋4×0＝1； 第2幅图的点数为：1＋4×1＝5； 第3幅图的点数为：1＋4×2＝9； 第4幅图的点数为：1＋4×3＝13； …… 照这个规律，第n幅图点数应为：1＋4（n－1）＝4n－3。 【详解】按照上面的规律，第n幅图的点数为（4n－3）。 故答案为：A 19．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”，从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和。下列等式中，符合这一规律的是（    ）。 A．13＝3＋10 B．25＝9＋16 C．36＝15＋21 D．49＝18＋31 【答案】C 【分析】根据“三角形数”的规律为1、3、6、10、15、21、28、36、45…，“正方形数”的规律为1、4、9、16、25、36、49…，且任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和，据此逐项判断即可。 【详解】A．13＝3＋10，3和10不是相邻的“三角形数”，不符合题意； B．25＝9＋16，9和16都不是“三角形数”，不符合题意； C．36＝15＋21，15和21是相邻的“三角形数”，且36是“正方形数”，符合题意； D．49＝18＋31，18和31都不是“三角形数”，不符合题意。 因此等式中，符合这一规律的是：36＝15＋21。 故答案为：C 20．以下说法错误的是（    ）。 A．当为假分数时（、均为非0自然数），一定大于。 B．从装满黑棋子的盒子里摸出一枚棋子，一定摸不出白棋子。 C．将圆锥沿高切开，切面形状是等腰三角形。 D．0、1、3、6、10、15、是有规律的数。 【答案】A 【分析】A．分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫假分数； B．可能性大小的判断，棋子除颜色外都相同，从棋子的数量上分析。数量最多的，摸到的可能性最大，数量最少的，摸到的可能性最小，数量相等的，摸到的可能性一样，数量为0，则一定摸不到； C． 圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的最短距离叫做圆锥的高。 D．求出相邻两数之间的差即可判断，据此解答。 【详解】A．当为假分数时（、均为非0自然数），大于或等于。该选项说法错误。 B．没有白棋子，所以一定摸不出白棋子，该选项说法正确。 C．根据圆锥的特征，过顶点和底面直径把这个圆锥切开，切面一定是等腰三角形，该选项说法正确。 D．0、1、3、6、10、15、，相邻两数之间的差依次是1、2、3、4、5、，是有规律的数，该选项说法正确。 故答案为：A 21．填在如图各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据规律，的值是（    ）。 A．38 B．74 C．86 D．52 【答案】C 【分析】观察左上角的数：依次是0，2，4，6，每次增加2。观察右上角的数：依次是4，6，8，每次增加2。观察左下角的数：依次是2，4，6，每次增加2。 右下角的数与其他三个数的关系，第一个正方形：0，4，2，8，4×2＋0＝8。第二个正方形：2，6，4，26，6×4＋2＝26。第三个正方形：4，8，6，52，8×6＋4＝52。右下角的数等于右上角的数乘左下角的数再加上左上角的数。据此计算第四个正方形的数字。 【详解】由分析可知，右上角的数每次增加2；左下角的数每次增加2；右下角的数等于右上角的数乘左下角的数再加上左上角的数。 8＋2＝10 6＋2＝8 10×8＋6 ＝80＋6 ＝86 所以的值是86。 故答案为：C 22．“？”处的图形是哪一个？（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断外面大直角的方向，依次顺时针旋转90度，可以确定是B或D，里面小直角依次是顺时针旋转45度，据此判断。 【详解】据分析观察接下来外面的大直角顺时针旋转90度，直角的顶点应在右上角，一条直角边在上方，另一条直角边在右边，里面的小直角顺时针旋转45度，则直角的顶点应在右上角，一条直角边在上方，另一条直角边在右边，即。 故答案为：D 23．下列哪一幅图的规律和其他图形不一样？（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题中有三幅图中的规律都是：右面数是上面数和左面数的积的一半。有一选项不符合这一规律。通过计算进行比较选择。 【详解】A．3×6÷2＝9 B．3×6＝18 C．×÷2 ＝÷2 ＝× ＝ D．×2.8÷2 ＝1.6÷2 ＝0.8 通过四个选项的计算可知，选项B的规律和其它图形不一样； 故答案为：B 24．如图，摆一个三角形要用3根小棒，摆2个三角形要用5根小棒，那么摆a个三角形要用（    ）根小棒。 A．3a B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图示，摆第1个三角形需3根小棒，此后每增加1个三角形，只新添2根小棒（因为会与前面图形共用一条边），所以当摆了a个三角形时所用小棒总数为[3＋2（a－1）]根， 【详解】由分析知： 3＋2（a－1） ＝3＋2a－2 ＝（1＋2a）根 即那么摆a个三角形要用（1＋2a）根小棒。 故答案为：D 25．有这样一组数：8、12、16、20…第n个数是（    ）。 A．n B．n＋4 C．4n D．4n＋4 【答案】D 【分析】第一个数是8，是4×1＋4，第二个数是12，即4×2＋4…，则观察选项，可得第n个数是多少。 【详解】第一个数：4×1＋4 第二个数：4×2＋4 第n个数：4×n＋4＝4n＋4 第n个数是（4n＋4）。 故答案为：D 26．如图的点阵中，第①个图形3个点，第②个图形7个点，第⑤个图形有（    ）个点。 A．27 B．30 C．31 D．33 【答案】C 【分析】根据已知信息和图形信息，可知： 第①个图形有3个点，可表示为1＋2＝3； 第②个图形有7个点，可表示为1＋2＋4＝7； 第③个图形有13个点，可表示为1＋2＋4＋6＝13； 可以发现其中1为固定数，第几个图形就再往后按顺序加几个偶数， 因此，第n个图形点的个数为：1＋2＋4＋6＋…＋2n。 【详解】根据规律式，可得 第⑤个图形的点数为： 1＋2＋4＋6＋8＋10 ＝（1＋2）＋（4＋6）＋（8＋10） ＝3＋10＋18 ＝13＋18 ＝31（个） 所以，第⑤个图形有31个点。 故答案为：C 27．下列四句话中，正确的是（    ）。 A．一种商品打折出售正好保本，则不打折时该商品只获20%的利润 B．林场种100棵树苗，死了3棵，又补种了3棵，共成活100棵，成活率为100% C．大牛和小牛头数的比是，表示大牛比小牛多 D．按1，8，27，（    ），125，216的规律排，括号中的数应为64 【答案】D 【分析】A．保本意味着“折后售价＝成本价”，未说明打几折，无法确定不打折时的利润率。 B．成活率＝成活棵数÷总棵数×100%。 C．假设大牛有4只，小牛有3只，用大牛的数量减去小牛的数量求出多的数量，再用多的数量除以小牛的数量即可求出大牛比小牛多的分率。 D．1＝1×1×1，8＝2×2×2，125＝5×5×5，216＝6×6×6，可以发现，第n个数就是n×n×n。 【详解】A．例如打八折保本，假设原价是100元，则成本价是100×80%＝100×0.8＝80（元） （100－80）÷80×100% ＝20÷80×100% ＝0.25×100% ＝25% 若打八折出售正好保本，则不打折时该商品获25%的利润，而非20%，该选项错误。 B．100÷（100＋3）×100% ＝100÷103×100% ≈0.971×100% ＝97.1% 成活率是97.1%，而非100%，该选项错误。 C．（4－3）÷3 ＝1÷3 ＝ 大牛比小牛多，而非，该选项错误。 D．4×4×4 ＝16×4 ＝64 括号中的数应为64，该选项正确。 28．一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（    ）。 A．2010 B．2011 C．2012 D．2013 【答案】D 【分析】一个纸环链按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，即每5个不同颜色的纸环为一组循环，且右边剩下的4个纸环以“黄绿蓝紫”的顺序排列，正好是一组的结束，所以这个纸环链用到纸环的总个数是5的倍数； 截去其中的一部分，左边剩8个纸环，右边剩4个纸环，一共还剩下12个纸环；分别用四个选项的个数加上12，看得数是否是5的倍数，如果是5的倍数，就是被截去部分纸环可能的个数。 5的倍数特征：个位上是0或5的数。 【详解】A．2010＋12＝2022，2022不是5的倍数，所以2010不是被截去部分纸环的个数； B．2011＋12＝2023，2023不是5的倍数，所以2011不是被截去部分纸环的个数； C．2012＋12＝2024，2024不是5的倍数，所以2012不是被截去部分纸环的个数； D．2013＋12＝2025，2025是5的倍数，所以2013可能是被截去部分纸环的个数。 故答案为：D 【点睛】本题考查图形的变化规律，发现纸环的总个数是5的倍数是解题的关键。 29．正方形图1作如下操作：第1次：分别连接各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形，……，以此类推，根据以上操作，若要得到53个正方形，需要操作的次数是（    ）。 A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】由题意可知，第1次：分别连接各边中点如图2，得到4＋1＝5个正方形； 第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到4×2＋1＝9个正方形…… 以此类推，根据以上操作，则第n次得到4n＋1个正方形，由此规律代入求得答案即可。 【详解】第1次：得到4×1＋1＝5（个）正方形； 第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到4×2＋1＝9（个）正方形…… 设第n次得到53个正方形。 4n＋1＝53， 解：4n＋1－1＝53－1 4n＝52 4n÷4＝52÷4 n＝13 故答案为：B 【点评】此题主要考查了图形的变化类，根据已知得出正方形个数的变化规律是解题关键。 30．如图，第1个图形是一个水平摆放的小正方体木块，第2个图形和第3个图形是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律继续叠放下去，第7个图中，从正面看，看不到的木块应有（    ）。 A．91块 B．112块 C．120块 D．140块 【答案】B 【分析】这道题的核心分析思路是找规律计算“总木块数”和“正面看得到的木块数”，再求差值（看不到的木块数）。找总木块数的规律：第1个图形小正方体的个数是1，第2个图形小正方体的个数是个，第3个图形小正方体的个数是个，依此类推；找正面可见木块数的规律：从正面看，每个层看得到的木块数是“层数”（第1层1块，第2层2块，…，第层块），第个图的正面可见木块数是；据此解答。 【详解】第7个图形中木块的总数是： （块） 第7个图形中看得到的块数是： （块） 第7个图形中看不到的块数是： （块） 故答案为：B 【点睛】本题核心考查“图形规律探索，立体空间想象，数列运算”的综合能力，需通过观察图形推导数量规律，结合平方数、等差数列求和计算，同时想象立体结构区分可见和不可见木块。 三、解答题 31．下图是6个大小相同的铁环连成的链子。每个铁环长10厘米，铁环粗2厘米。这条链子全长多少厘米？如果同样的一条铁链子长154厘米，那么这条铁链子是由多少个铁环连成的？ 【答案】50厘米；19个 【分析】6个铁环连在一起，重叠了6﹣1＝5个铁环的厚度，先求出6个铁环的长度，然后减去重叠部分的长度就是铁环连在一起的长度；求出一个铁环中间空隙之间长度，再用总长减去一个环宽，得到总空隙距离，再除以一个空隙的长度即可；的据此解答。 【详解】10×6－2×（6－1） ＝60－2×5 ＝60－10 ＝50（厘米） （154－2）÷（10－2） ＝152÷8 ＝19（个） 答：这条链子全长50厘米；这条铁链子是由19个铁环连成的。 32．圆形滑冰场的一周全长是150米，如果沿着这一圈每隔15米安装一盏灯，一共需要几盏灯？ 【答案】解：根据题意可得：  150÷15=10（盏）． 答：一共需要装10盏灯 【详解】根据题意，在圆形上植树，植树的棵树与间隔数相等，直接用150除以15即可． 33．一条路长1000米，在这条路的一旁安路灯，村头村尾都不装，每隔20米安装一盏，一共需要多少盏路灯？ 【答案】解：1000÷20－1 =50－1 =49(盏)答：一共需要49盏路灯. 【详解】由于两端都不装，所以路灯盏数=间隔数-1，用路的长度除以间隔的长度即可求出间隔数，再减去1就是路灯的盏数. 34．一个花园是由四个大小相等的等边三角形(三边相等的三角形叫等边三角形)组成，已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有12棵花，大三角形三条边上共栽有多少棵花? 【答案】12－2=10(棵)，10×6=60(棵)，60+6=66(棵) 【详解】根据题意可知，先求出每条边上除去两个顶点栽了几棵花，然后求出6条边除去顶点栽的棵数，最后加上6个顶点的棵数，据此解答. 35．同学们在全长240米的小路一边栽树，每隔4米栽一棵（两端都栽），一共需要多少棵树苗？ 【答案】解：240÷4+1 =60+1 =61(棵)答：一共需要61棵树苗. 【详解】由于是两端都栽，那么植树棵数=间隔数+1，用小路的长度除以间隔的米数即可求出间隔数，再加上1就是树苗棵数. 36．指令：②＝1×2×3，③＝2×3×4，⑤＝4×5×6，如果⑨－⑧＝⑧×A，求A的值。 【答案】 【分析】因为②＝1×2×3，③＝2×3×4，⑤＝4×5×6，所以⑧＝7×8×9，⑨＝8×9×10，分别计算出⑧和⑨的值；因为⑨－⑧＝⑧×A，所以A＝（⑨－⑧）÷⑧，按顺序计算出A的值即可。 【详解】⑧＝7×8×9＝56×9＝504 ⑨＝8×9×10＝72×10＝720 ⑨－⑧＝720－504＝216 216÷504＝＝＝ 答：A的值是。 37．多功能教室里有一些同样的凳子，每个凳子的高度都是45厘米。搞卫生时，奇奇和明明将凳子摞了起来（如下图），并记录了凳子的总高度和凳子数量的变化情况（如下表）。 凳子数量/个 1 2 3 4 …… 总高度/cm 45 51 57 63 …… (1)如果继续摆下去，7个凳子的总高度是( )厘米。 (2)凳子的数量与总高度成正比例关系吗？为什么？ 【答案】(1)81 (2)不成正比例关系。因为凳子的数量与总高度的比值不一定。 【分析】（1）先观察表格里凳子数量和总高度的变化，发现1个凳子高45厘米，每增加1个凳子，总高度增加6厘米，由此得出总高度的计算公式：总高度＝45＋6×（凳子数量－1），再把凳子数量7代入公式，即可求出7个凳子的总高度。 （2）正比例关系的定义：两种相关联的量，若它们的比值（商）一定，则成正比例关系。接着计算不同数量凳子对应的总高度与数量的比值，发现这些比值不固定，因此判断凳子的数量与总高度不成正比例关系。 【详解】（1）45＋6×（7－1） ＝45＋6×6 ＝45＋36 ＝81（厘米） （2）1个凳子：45÷1＝45 2个凳子：51÷2＝25.5 3个凳子：57÷3＝19 答：不成正比例关系。因为凳子的数量与总高度的比值不一定。 38．一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50米有一个电杆，每个电杆上安装2盏路灯，一共可以安装多少盏路灯？ 【答案】44盏 【详解】解 （1）桥的一边有多少个电杆？ 500÷50＋1＝11（个） （2）桥的两边有多少个电杆？ 11×2＝22（个） （3）大桥两边可安装多少盏路灯？22×2＝44（盏） 答：大桥两边一共可以安装44盏路灯． 39．现做一项实验，每5小时做一次记录，做第12次记录时，挂钟的时针恰好指向9，那么第1次记录时，时针指向几？ 【答案】2 【分析】根据题意，每5小时做一次记录，那么做第12次记录时离实验开始时经历了12个“5小时”，也就是12×5＝60小时。时针转一圈走12个小时，60÷12＝5圈，也就是从实验开始到做第12次记录时，时针正好转了5圈，这就说明实验开始时和做第12次记录时时针指向的数字是相同的，也是“9”。做第一次记录时，时针走了5小时，9＋5－12＝2，即第1次记录时，时针指向“2”。 【详解】12×5＝60（小时） 60÷12＝5（圈） 9＋5－12＝2 答：第1次记录时，时针指向“2”。 【点睛】先算出从实验开始到做第12次记录时经历了多少小时，计算出时针转了多少圈，分析出实验开始时时针指向几，再分析出第1次记录时时针指向几。 40．小明用小棒搭房子，搭2间用9根，搭3间用13根，照这样计算，如果搭10间房子，需要用多少根小棒？ 【答案】41根 【详解】根据图示， 2间房：5＋4＝9（根） 3间房：5＋4＋4＝13（根） …… 10间房：5＋4×（10﹣1）＝41（根） 答：搭10间房子，需要用41根小棒。 41．,为自然数,且56+392为完全平方数,求+的最小值. 【答案】8 【详解】56+392=56(+7)=×7(+7)为完全平方数,则7|+7.从 而7|,令=7(为自然数),则56+392=×7(7+7)=×(+). 要求+的最小值,取=1,=1,此时=7,56+392==,故+的最小值为8. 42．已知△ABC的面积是1，把它的各边按照如图所示的方式延长1倍后得到△。 （1）△的面积为（    ）；（直接写出答案） （2）若按照之前的方式再把△的各边延长2倍得到△，试求△的面积。 【答案】（1）7；（2）19 【分析】连接A1B，CB1，AC1，如下图： 根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，得三角形A1B1C1的面积是三角形ABC面积的倍数为3×1×（1＋1）＋1＝7（倍）；依此类推三角形A2B2C2的面积是△ABC的倍数为：3×2×（2＋1）＋1＝19（倍） 【详解】（1）由分析可得：三角形的面积为三角形ABC面积的7倍，所以三角形面积为7×1＝7； 三角形面积是三角形ABC面积的19倍，所以三角形面积为19×1＝19 【点睛】找出三角形面积之间的规律是解题的关键，上述规律推而广之可得：三角形AnBnCn的面积是三角形ABC面积的倍数为3n（n＋1）＋1＝3n2＋3n＋1（倍）。 43．某快递公司在甲地和乙地之间共设有21个服务驿站（包括甲站、乙站）。一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要先卸下前面每站发往该站的货包各1个，再装上该站发往后面每站的货包各1个。在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是几个？ 【答案】110个 【分析】由题意可得，21个服务驿站，每站的货包各1个，起点即甲站不装货包，所以快递货车由甲站出发时装有20个货包，到第2站时先卸下1个，还剩下19个货包，再装上发往后面每站的货包共19个，所以第2站车上装有（19×2）个货包；据此得出每个站点的货包数量： 第1站：20×1 第2站：19×2 第3站：18×3 …… 第10站：11×10 第11站：10×11 第12站：9×12 …… 第19站：2×19 第20站：1×20 照此规律，从第12站开始货包数量逐渐减少，据此得出货包数量最多的个数。 【详解】11×10＝110（个） 答：在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是110个。 【点睛】找出每个站点装载货包数量的规律是解题的关键。 44．现有365张大小相同的纸卡，上面分别印着整数1～365，如果按照数字从小到大逆时针方向螺旋由内而外排列，从1开始排列至365为止（如图1）。图2是完成上述排列后，抽出365周围的部分。 （1）在图2的8个空白方格中，其中有些位置不会有数字卡，在这些空格上打“×”。 （2）在其他位置填上与365相邻的数字。 【答案】见解答 【分析】（1）（2）如下图所示，数从小到大逆时针方向螺旋由内而外排列出的图形是一个正方形，以1为中心数，每个1×1，3×3，5×5的正方形的右下角的数（即标蓝色方格内的数）均是从1开始的连续奇数的平方（即（2n－1）²），因为19²＝361，即最接近365的奇数的平方，据此画出以数361为右下角的数的排列，再画出以数289为右下角的数的排列（如下图），据此解答。 【详解】由分析可知： （1）如下图所示： （2）如下图所示： 【点睛】本题考查了数表中的规律的应用。 45．如果一个四位自然数，十位数字是千位数字的2倍与百位数字的差，个位数字是千位数字的2倍与百位数字的和，则我们称这个四位数“依赖数”。例如，自然数2135。其中，，所以2135是“依赖数”。 (1)最小的四位依赖数是___________。 (2)若四位依赖数的后三位表示的数减去百位数字的3倍得到的结果除以7余3，这样的数叫做“特色数”，求所有特色数。 【答案】(1)1022 (2)2226和3066 【分析】（1）要求最小的四位依赖数，根据数位越高数值影响越大的原则，应使千位数字尽可能小，其次是百位、十位、个位。千位最小为1，百位最小为0，再根据依赖数的定义计算十位和个位，验证是否符合数字要求。 （2）首先根据依赖数的定义，用千位数字和百位数字表示出十位和个位数字。接着表示出后三位组成的数，代入“特色数”的判定条件，化简得到关于和的整除关系。最后结合每位数字0到9的范围限制，通过枚举法确定和的值，从而求出所有特色数。 【详解】（1）设这个四位自然数的千位数字是，为百位数字，为十位数字，为个位数字。 根据“依赖数”的定义可知： 要使这个四位数最小，千位数字应取最小值。因为是四位数，最小为1。 百位数字应取最小值，最小为0。 当，时： 十位数字 个位数字 此时，均为0到9之间的数字，符合要求。 所以最小的四位依赖数是1022。 （2）设这个四位自然数的千位数字是，为百位数字，为十位数字，为个位数字。 后三位表示的数为。 将和代入上面的表达式中： 后三位表示的数为 根据题意，“特色数”需满足：后三位表示的数减去百位数字的3倍得到的结果除以7余3 代入特色数的判定式： 因为是的倍数，，。 所以的余数，等同于的余数。 根据题意，余数为3，即余3。 同时需满足数字限制： 1.是千位数字，。 2.是数位上的数字，。 3.由且，可知，即只能取1，2，3，4。 4.由，可知。 分类讨论的取值： ①当时： 余3，即余2。 在范围内，可取0，1，2。 若，余0；若，余4；若，余1。 均不符合余3的条件，故无解。 ②当时： 余3，即余1。 在范围内，可取0，1，2，3。 若，余0；若，余4；若，余1；若，余5。 则取2符合条件，，，即特色数是2226。 ③当时： 余3，即余0。 在范围内，可取0， 1， 2， 3。 若，余0；若，余4；若，余1；若，余5。 则取0符合条件，件，，，即特色数是3066。 ④当时：由于，则只能是0和1。 当取0时，余4，不符合余3的条件；当取1时，余2，不符合余3的条件。 答：所有的特色数是2226和3066。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题20 探索规律 知识点01：数字规律： 按一定的次序排列的一列数叫作数列。数列中几种常见的规律： ①规律隐含在相邻两数的和、差或倍数中。 ②前后几项为一项，以组为单位隐含一定的规律。 ③需将数列分解，通过对比才能发现规律。 知识点02：图形规律； 图形规律是指根据一组相关图形总结出图形变化所反映的规律。解决图形规律问题的方法有两种：一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律解决问题；另一种是通过图形的直观性，从图形的变化中直接寻找规律。 知识点03：算式中的规律； ①利用计算器独立探索，发现规律。 ②利用规律来完成计算。 【例1】100名同学按照编号1~100从左往右顺次排成一行，然后“1、2”报数到最后一人，凡报“1”的就出队；剩下的50名同学再从头开始“1、2”报数，报“1”的再出队……这样继续下去，报到第几轮后就只剩下1名同学？他是多少号？ 1、第①行数按什么规律排行？ 第②行，第③行数与第①行数分别有什么关系？ 分别从①②③行数中取出第a个数，并计算这三个数的和．（结果用含a的式子表示） 2．观察下面一列数：-1，2，-3，4，-5，6，-7…，将这列数排成下列形式： 记aij为第i行第j列的数，如a23=4，那么a87是________． 3．自然数如表的规则排列：求： （1）上起第10行，左起第13列的数； （2）数127应排在上起第几行，左起第几列？ 【例2】找规律，并计算。 观察下列两组等式： 第一组：；；。 第二组：；；；。 回答下列问题： （1）我发现的规律：两个分数的（    ）相同，并且等于分母之（    ），则这两个分数的和就等于它们的积。 （2）根据这个规律计算： ①；     ②若，则正整数m等于（    ）。 1．规定：正整数n的“H运算”： ①当n为奇数时，H＝3n＋13； ②当n为偶数时，H＝nx1/2． 如：数n＝3经过1次“H运算”的结果是3×3＋13＝22； 经过2次“H运算”的结果是22x1/2＝ll； 经过3次“H运算”的结果是11x3＋13 ＝ 46； 经过4次“H运算”的结果是46x1/2＝23． 请解答：（1）当数n＝9时，经过3次“H运算”得到的结果是多少？ （2）当数n ＝ 7时，经过100次“H运算”得到的结果是多少？ 2．阅读下列文字，并回答： 每个假分数可以写成一个自然数与一个真分数的和（例如=3+），上面的真分数的倒数又可以写成一个自然数与一个真分数的和（=1+），反复进行同样的过程，直到真分数的倒数是一个自然数为止（=4+，=2），我们把用这种方法得到的自然数，按照先后顺序写成一个数组，那么，这个数组叫做由这个假分数生成的自然数组． 如：对于假分数，则=3+，=1+，=4+，=2，所生成的自然数组为，请回答： （1）所生成的自然数组为{             } （2）某个假分数所生成的自然数组为{1，2，3，4}，这个假分数为多少？ 3．“※”表示一种新的运算规则，如8※3=8+9+10=27，3※4=3+4+5+6=18（加数为连续自然数），根据这样的运算规则则完成下面各题． （1）计算：9※6 （2）阅读、思考并填空． 在8※3=8+9+10=27中，用27÷3=9，9是8、9、10三个加数的平均数，也是8和10正中间的一个数． 在3※4=3+4+5+6=18中，用18÷4=4.5，4.5是3、4、5、6四个加数的平均数，也是3和6正中间的一个数． 因为x※5=250中，用250÷5=50，可知： 五个加数正中间的一个数是　 　；五个加数是（　 　、　 　、　 　、　 　、　 　）；所以x是　 　． （3）你知道x※22=671中的x是多少吗？简要写出你的想法． 【例3】观察下列点阵，在□里面画出第六个点阵，并写出它的算式。 1．观察如图，要想得到200个直角三角形，应画多少个正方形？ …… 2．仔细观察下面的点子图，根据每个图中点子的排列规律，想一想，可以怎样计算每个图中点子的总个数？请你把下表填写完整。 序号 1 2 3 4 5 … 表示点子数的算式 1 1＋4 … 点子的总个数 1 … 观察表中数据，如果用A表示第n个图形中点子的总个数，A和n之间的关系可以表示成A＝_________。 3．如图叫“科克雪花”，它是瑞典科学家科克在1904年受雪花形状的启发而创造的。它的画法是这样的： 第一步，如图1，画出一个正三角形 第二步，如图2，把这个正三角形的每条边三等分，以居中的一段为边向外作正三角形。 第三步，如图3，把居中的一段擦除。 如果继续上面的步骤，重复几次就得到了“科克雪花”。 （1）假如图1正三角形的边长为10厘米，那么图3的周长是（  ）厘米。 （2）假如图1正三角形的周长为n，请用含有n的代数式表示图4的周长。 一、填空题 1．如图，用大小相同的正方体木块搭模型，按照这样的规律，第4个模型需要__________个正方体木块；第n个模型需要__________个正方体水块。 2．规定：6*2＝6＋66＝72；2*3＝2＋22＋222＝246；1*4＝1＋11＋111＋1111，则7*5＝( )。 3．按规律填数：，，，( )，，( )。 4．用五根小棒摆一个等腰梯形，按规律依次摆下去。摆第6个需要________根小棒，摆第n个需要________根小棒。 5．在生活中，有些人将2月8日写成，有些人则写成，这样会造成混淆，因为当我们看到时，不知道到底是指8月2日，还是指2月8日，但是及则容易区别而不会混淆，因为一年中只有12个月，请问用这种记法，一年中有______天会造成混淆。 6．新型材料石墨烯的原子结构类似六边形，小刚用磁力球和磁力棒制作原子结构的模型，第n个图形需要( )个磁力球，( )根磁力棒。 7．填上适当的数：，，，，，________，…。 8．观察数列：，，，，，，，，……，，的规律，数列中第2008项是______。 9．找规律：1，1，2，3，5，8，13，( )……，前100个数中奇数有( )个。 10．按如图所示的规律摆放三角形，第五堆三角形的个数为( )个；第( )堆三角形的个数为122个。 11．观察数列，将数列补充完整：1，3，8，22，60，_____，448。 12．用表示组成n的数字中不是零的几个数字乘积，例如：；；。则( )。 13．如图所示，动点P从第一个数0的位置出发，每次跳动一个单位长度，第一次跳动一个单位长度到达数1的位置，第二次跳动一个单位长度到达数2的位置，第三次跳动一个单位长度到达数3的位置，第四次跳动一个单位长度到达数4的位置，…。依此规律跳动下去，点P从0跳动6次到达的位置，点P从0跳动21次到达的位置，点、、…在一条直线上，则点P从0跳动( )次可到达的位置。 14．根据1、2、3、4、6、7、8、9、11、12、13、14、16、17…的规律，51是第______个数。 15．表示n个a相乘，那么结果的个位数字是( )。 二、选择题 16．下列图形都是由一样的扣子按一定规律所摆成的，其中第1个图中有1颗扣子，第2个图中有3颗扣子，第3个图中有6颗扣子，第4个图中有10颗扣子，……，按此规律摆下去，第9个图中有（    ）颗扣子。 A．47 B．46 C．45 D．44 17．用黑、白两种颜色的正方形按下图中的规律拼图案。第1个图中有4个白色正方形，第2个图中有7个白色正方形，第3个图中有10个白色正方形……，则第10个图中有（    ）个白色正方形。 A．24 B．27 C．31 D．40 18．认真观察下面这组图，第一幅图的点数为1，第2幅图的点数为5，…… 按照上面的规律，第n幅图的点数为（    ）。 A．4n－3 B．4n＋3 C．6n－2 D．6n＋4 19．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”，从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和。下列等式中，符合这一规律的是（    ）。 A．13＝3＋10 B．25＝9＋16 C．36＝15＋21 D．49＝18＋31 20．以下说法错误的是（    ）。 A．当为假分数时（、均为非0自然数），一定大于。 B．从装满黑棋子的盒子里摸出一枚棋子，一定摸不出白棋子。 C．将圆锥沿高切开，切面形状是等腰三角形。 D．0、1、3、6、10、15、是有规律的数。 21．填在如图各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据规律，的值是（    ）。 A．38 B．74 C．86 D．52 22．“？”处的图形是哪一个？（    ） A． B． C． D． 23．下列哪一幅图的规律和其他图形不一样？（    ） A．B． C． D． 24．如图，摆一个三角形要用3根小棒，摆2个三角形要用5根小棒，那么摆a个三角形要用（    ）根小棒。 A．3a B． C． D． 25．有这样一组数：8、12、16、20…第n个数是（    ）。 A．n B．n＋4 C．4n D．4n＋4 26．如图的点阵中，第①个图形3个点，第②个图形7个点，第⑤个图形有（    ）个点。 A．27 B．30 C．31 D．33 27．下列四句话中，正确的是（    ）。 A．一种商品打折出售正好保本，则不打折时该商品只获20%的利润 B．林场种100棵树苗，死了3棵，又补种了3棵，共成活100棵，成活率为100% C．大牛和小牛头数的比是，表示大牛比小牛多 D．按1，8，27，（    ），125，216的规律排，括号中的数应为64 28．一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（    ）。 A．2010 B．2011 C．2012 D．2013 29．正方形图1作如下操作：第1次：分别连接各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形，……，以此类推，根据以上操作，若要得到53个正方形，需要操作的次数是（    ）。 A．12 B．13 C．14 D．15 30．如图，第1个图形是一个水平摆放的小正方体木块，第2个图形和第3个图形是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律继续叠放下去，第7个图中，从正面看，看不到的木块应有（    ）。 A．91块 B．112块 C．120块 D．140块 三、解答题 31．下图是6个大小相同的铁环连成的链子。每个铁环长10厘米，铁环粗2厘米。这条链子全长多少厘米？如果同样的一条铁链子长154厘米，那么这条铁链子是由多少个铁环连成的？ 32．圆形滑冰场的一周全长是150米，如果沿着这一圈每隔15米安装一盏灯，一共需要几盏灯？ 33．一条路长1000米，在这条路的一旁安路灯，村头村尾都不装，每隔20米安装一盏，一共需要多少盏路灯？ 34．一个花园是由四个大小相等的等边三角形(三边相等的三角形叫等边三角形)组成，已知从每个小三角形的顶点开始，到下一个顶点均匀栽有12棵花，大三角形三条边上共栽有多少棵花? 35．同学们在全长240米的小路一边栽树，每隔4米栽一棵（两端都栽），一共需要多少棵树苗？ 36．指令：②＝1×2×3，③＝2×3×4，⑤＝4×5×6，如果⑨－⑧＝⑧×A，求A的值。 37．多功能教室里有一些同样的凳子，每个凳子的高度都是45厘米。搞卫生时，奇奇和明明将凳子摞了起来（如下图），并记录了凳子的总高度和凳子数量的变化情况（如下表）。 凳子数量/个 1 2 3 4 …… 总高度/cm 45 51 57 63 …… (1)如果继续摆下去，7个凳子的总高度是( )厘米。 (2)凳子的数量与总高度成正比例关系吗？为什么？ 38．一座大桥长500米，给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50米有一个电杆，每个电杆上安装2盏路灯，一共可以安装多少盏路灯？ 39．现做一项实验，每5小时做一次记录，做第12次记录时，挂钟的时针恰好指向9，那么第1次记录时，时针指向几？ 40．小明用小棒搭房子，搭2间用9根，搭3间用13根，照这样计算，如果搭10间房子，需要用多少根小棒？ 41．,为自然数,且56+392为完全平方数,求+的最小值. 42．已知△ABC的面积是1，把它的各边按照如图所示的方式延长1倍后得到△。 （1）△的面积为（    ）；（直接写出答案） （2）若按照之前的方式再把△的各边延长2倍得到△，试求△的面积。 43．某快递公司在甲地和乙地之间共设有21个服务驿站（包括甲站、乙站）。一辆快递货车由甲站出发，依次途经各站驶往乙站，每停靠一站，均要先卸下前面每站发往该站的货包各1个，再装上该站发往后面每站的货包各1个。在整个行程中，快递货车装载的货包数量最多是几个？ 44．现有365张大小相同的纸卡，上面分别印着整数1～365，如果按照数字从小到大逆时针方向螺旋由内而外排列，从1开始排列至365为止（如图1）。图2是完成上述排列后，抽出365周围的部分。 （1）在图2的8个空白方格中，其中有些位置不会有数字卡，在这些空格上打“×”。 （2）在其他位置填上与365相邻的数字。 45．如果一个四位自然数，十位数字是千位数字的2倍与百位数字的差，个位数字是千位数字的2倍与百位数字的和，则我们称这个四位数“依赖数”。例如，自然数2135。其中，，所以2135是“依赖数”。 (1)最小的四位依赖数是___________。 (2)若四位依赖数的后三位表示的数减去百位数字的3倍得到的结果除以7余3，这样的数叫做“特色数”，求所有特色数。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $