24.2 数据的离散程度（分层作业）数学新教材人教版八年级下册

24.2 数据的离散程度 知识点一 求离差平方和 1． 【答案】44 【分析】本题主要考查了求一组数据的离差平方和，先计算这组数据的平均数，再求每个数据与平均数的差的平方之和即可得到答案． 【详解】解：这组数据的平均数为 则离差平方和为 ， 故答案为；44． 2． 【答案】 44 【分析】本题考查了离差平方和的定义，掌握相应概念是解题的关键； 根据平均数的定义求出x的值，再计算各数据与平均数的差的平方和即可． 【详解】解：数据之和为， ∵平均数为5， ∴， 解得． ∴这组数据的离差平方和为． 故答案为44． 3． 【答案】 【分析】根据分组先分别求出两组数据的平均数，再分别计算每组的组内离差平方和，最后求和得到总的组内离差平方和． 【详解】解：由题意得，前个数据为，，，后个数据为，，， 计算第一组的平均数：， 第一组的离差平方和：， 计算第二组的平均数：， 第二组的离差平方和：， 总的组内离差平方和为． 4． 【答案】14 【分析】直接用离差平方和的公式求解即可． 【详解】解：设这组数据的平均数为， 由题意得，，，， ∴这组数据的离差平方和是． 知识点二 求方差 1． 【答案】 【分析】根据众数的定义可得，求出平均数，代入方差公式即可． 【详解】解：∵数据，，，，的众数为， ∴， ∴， ∴． 2． 【答案】12 【分析】先设这组数据，，，，的平均数为，方差，则另一组新数据，，，…，的平均数为，方差为，代入公式计算即可． 【详解】解：∵数据，，，…，的方差为3， 设这组数据，，，…的平均数为，则另一组新数据，，，…，的平均数为， ∵， ∴另一组数据的方差为 ． 3． 【答案】 【分析】本题考查了求平均数与方差． 先求去掉最高分和最低分后平均值，再计算去掉最高分和最低分后的数据的方差． 【详解】解：去掉最高分10和最低分6后，剩余数据为：8，9，8，7， 平均值， 方差． 故答案为：． 4． 【答案】3 【分析】本题考查了离差平方和的计算，掌握离差平方和等于每个数据与平均数之差的平方和是解题的关键． 先计算数据的平均数，再根据方差公式计算方差． 【详解】解：总周数． 平均数为：． 方差为：， 故答案为：． 知识点三 利用方差求未知数据的值 1． 【答案】 【分析】本题考查了求一组数据的平均数，利用方差求未知数据的值，解题关键是理解方差的公式． 先根据方差公式得出平均数，再利用平均数求出． 【详解】解：∵一组数据的方差， ∴， 解得：， 故答案为：． 2． 【答案】40 【分析】本题考查了方差与平均数的关系，解题的关键是通过方差公式确定平均数．根据方差的定义，确定数据的平均数，进而利用平均数与数据总和的关系求解． 【详解】解：方差公式为， 平均数为2，数据个数为20， 数据总和， 故答案为：40． 3． 【答案】6 【分析】本题考查方差的定义与意义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 根据方差的公式可以得到平均数是6，共有5个数据，从而得到求解即可． 【详解】解：由于这组数据的方差， ∴平均数是6，共有5个数据 ∴ ∴． 故答案为：6． 4． 【答案】3 【分析】本题主要考查了方差计算公式，n个数据，的平均数为，那么这n个数据的方差为，据此可得答案． 【详解】解：∵数据的方差计算公式为， ∴这组数据的平均数是3， 故答案为：3． 知识点四 根据方差判断稳定性 1． 【答案】 【分析】数据的波动越大，方差越大，据此结合统计图可得答案． 【详解】解：由统计图可知，甲的波动比乙的波动大， ∴． 2． 【答案】甲 【详解】解：观察成绩分布图可知：甲的成绩大多集中在环，距离平均成绩8环的波动更小，离散程度更小，因此甲发挥更稳定． 3． 【答案】丙 【分析】当各组数据平均数相同时，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，因此只需比较三人方差的大小，即可得到结果． 【详解】解：由题意得，甲、乙、丙三名同学几次测试成绩的平均数相同， 由于， 则， 因此，成绩最稳定的是丙． 4． 【答案】甲 【分析】观察统计图，可知甲同学所做月饼的质量数据相对集中、波动较小，即可得出结论． 【详解】解：观察统计图，可知甲组数据相对乙组数据的波动较小，所以甲同学做的月饼质量比较稳定． 1． 【答案】(1)甲班中位数个，众数为个；乙班中位数个，众数为个 (2)乙班跳绳水平更高．理由见解析 (3)人 【分析】（1）根据中位数和众数的定义确定即可； （2）根据平均数、方差的意义做出正确的决策； （3）用总人数乘以样本中“跳绳成绩达到170个及以上”的人数占比即可． 【详解】（1）解：将甲班10名学生成绩按从小到大排列：152，158，165，172，175，175，175，178，188，192， 位于第5位和第6位的数据为175，175， 甲班中位数为（个）； 175出现3次，次数最多， 甲班众数为175个； 将乙班10名学生成绩按从小到大排列：155，158，162，170，174，176，176，180，188，192， 位于第5位和第6位的数据为174，176， 乙班中位数为（个）； 176出现2次，次数最多， 乙班众数为176个； （2）解：乙班跳绳水平更高． 理由：乙班平均数略高于甲班，说明乙班整体平均成绩更好； 乙班方差小于甲班，方差越小代表成绩越稳定、波动更小； 综上，乙班平均成绩更高且发挥更稳定，跳绳水平更高． （3）解：样本中成绩达到170个及以上的学生： 甲班有：172，175，175，175，178，188，192，共7人； 乙班有：170，174，176，176，180，188，192，共7人； 估计该校八年级达到“优秀”等级的人数为：（人）． 2． 【答案】(1)86，87 (2)八年级，理由见解析 (3)小凡 【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求解； （2）根据中位数、众数、方差的意义即可判断； （3）根据加权平均数的公式分别计算小凡和小乐的最后成绩，再比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：将七年级的测试成绩从小到大排列，第8位的成绩为86分， ∴； 八年级的测试成绩出现次数最多的是87分，故众数为87分， ∴； （2）解：八年级的学生人工智能技术的总体水平较好，理由： 从中位数看，八年级成绩的中位数比七年级的高； 从众数看，八年级成绩的众数比七年级的高； 从方差看，八年级成绩的方差比七年级的小，即八年级的测试成绩更稳定； 所以八年级的学生人工智能技术的总体水平较好； （3）解：小凡的最后成绩为， 小乐的最后成绩为， ∵， ∴小凡的最后成绩较高， 即最终入选的是小凡． 3． 【答案】(1)； (2)甲； (3)乙班的学生体育锻炼情况总体更好．理由见解析． 【分析】本题考查了统计量（平均数、中位数、众数、方差）的计算与应用，解题的关键是掌握各统计量的定义及意义，并能结合数据进行分析． （1）求：将甲班数据排序后取中间两个数的平均数得到中位数；求：从乙班条形图中找出出现次数最多的时长作为众数；求：根据方差公式计算甲班数据的波动程度． （2）比较两人在各自班级的排名，需结合中位数判断，在中位数更高的班级中排名更靠后，反之则更靠前． （3）比较两个班的总体水平，可从中位数、方差等统计量的实际意义入手分析． 【详解】（1）解： 甲班数据排序：5， 6， 6， 7， 7， 8， 8， 8， ，   中位数， 乙班条形图中，时长为小时的人数最多（人），故众数． 甲班方差： 故答案为：，， （2）解：甲班中位数为，乙班中位数为． 小明与小刚平均时长均为小时，在甲班中，说明小明在甲班排名前5名；在乙班中，说明小刚在乙班排名后5名． 因此小明是甲班的学生． （3）解：乙班的学生体育锻炼情况的总体水平较好． 理由：①乙班的中位数大于甲班的中位数，说明乙班有一半以上学生的锻炼时长超过小时，整体锻炼时长更长； ②乙班的方差小于甲班的方差，说明乙班学生的锻炼时长波动更小，数据更稳定． 4． 【答案】(1)见解析 (2)86，87 (3)我认为八年级学生人工智能技术的总体水平较好，理由见解析 (4)小凡入选，过程见解析 【分析】（1）根据八年级学生的参赛成绩找到的学生人数，的学生人数，然后，补全统计图即可； （2）根据中位数、众数的定义解题即可； （3）根据中位数、众数、方差的含义比较得出结论即可； （4）根据加权平均数的公式将每组数据逐个代入公式计算，再比较计算结果即可． 【详解】（1）解：根据八年级参赛成绩可知的学生有4人，的学生有4人，补全条形统计图如图所示： （2）解：将七年级学生的参赛成绩按照从小到大排列后第8名学生的成绩为86，故七年级学生成绩的中位数为； 八年级学生的参赛成绩中87分出现3次，出现次数最多，故八年级学生成绩的众数为； （3）解：我认为八年级学生人工智能技术的总体水平较好，理由如下： 中位数：七年级是86分，八年级是87分，8786，八年级成绩水平更高； 众数：七年级是86分，八年级是87分，8786，八年级成绩水平更高； 方差：七年级是，八年级是，，平均数相同的情况下，方差越小数据越稳定，说明八年级的总体水平更好； （4）解：小凡的成绩为：(分)； 小乐的成绩为：(分)； ， ∴小凡的成绩更高，小凡入选． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 24.2 数据的离散程度 知识点一 求离差平方和 1．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）一组数据为，，0，4，5，则这组数据的离差平方和为______． 【答案】44 【分析】本题主要考查了求一组数据的离差平方和，先计算这组数据的平均数，再求每个数据与平均数的差的平方之和即可得到答案． 【详解】解：这组数据的平均数为 则离差平方和为 ， 故答案为；44． 2．（25-26八年级上·山东青岛·周测）数据2，x，4，2，8，5的平均数为5，这组数据的离差平方和为________． 【答案】 44 【分析】本题考查了离差平方和的定义，掌握相应概念是解题的关键； 根据平均数的定义求出x的值，再计算各数据与平均数的差的平方和即可． 【详解】解：数据之和为， ∵平均数为5， ∴， 解得． ∴这组数据的离差平方和为． 故答案为44． 3．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）将位同学的英语口语成绩，，，，，分成前个一组，后三个一组，则这两组数据的组内离差平方和为______． 【答案】 【分析】根据分组先分别求出两组数据的平均数，再分别计算每组的组内离差平方和，最后求和得到总的组内离差平方和． 【详解】解：由题意得，前个数据为，，，后个数据为，，， 计算第一组的平均数：， 第一组的离差平方和：， 计算第二组的平均数：， 第二组的离差平方和：， 总的组内离差平方和为． 4．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）若一组数据，，与平均数的差分别为，则这组数据的离差平方和是_____． 【答案】14 【分析】直接用离差平方和的公式求解即可． 【详解】解：设这组数据的平均数为， 由题意得，，，， ∴这组数据的离差平方和是． 知识点二 求方差 1．（25-26八年级下·北京·课后作业）一组数据：，，，，的众数是，则这组数据的方差是______． 【答案】 【分析】根据众数的定义可得，求出平均数，代入方差公式即可． 【详解】解：∵数据，，，，的众数为， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）若一组数据的方差为， 则 的方差为___________． 【答案】12 【分析】先设这组数据，，，，的平均数为，方差，则另一组新数据，，，…，的平均数为，方差为，代入公式计算即可． 【详解】解：∵数据，，，…，的方差为3， 设这组数据，，，…的平均数为，则另一组新数据，，，…，的平均数为， ∵， ∴另一组数据的方差为 ． 3．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）在评选活动中，6位评委的打分为：10，8，9，8，6，7，去掉一个最高分和一个最低分后，这组数据的方差为_______． 【答案】 【分析】本题考查了求平均数与方差． 先求去掉最高分和最低分后平均值，再计算去掉最高分和最低分后的数据的方差． 【详解】解：去掉最高分10和最低分6后，剩余数据为：8，9，8，7， 平均值， 方差． 故答案为：． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）小莹同学10周的综合素质自我评价成绩统计如下表： 成绩/分 94 95 97 98 100 周数 1 2 2 4 1 这10周的综合素质自我评价成绩的方差是________． 【答案】3 【分析】本题考查了离差平方和的计算，掌握离差平方和等于每个数据与平均数之差的平方和是解题的关键． 先计算数据的平均数，再根据方差公式计算方差． 【详解】解：总周数． 平均数为：． 方差为：， 故答案为：． 知识点三 利用方差求未知数据的值 1．（23-24八年级下·山东滨州·期末）如果已知一组数据的方差，那么的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了求一组数据的平均数，利用方差求未知数据的值，解题关键是理解方差的公式． 先根据方差公式得出平均数，再利用平均数求出． 【详解】解：∵一组数据的方差， ∴， 解得：， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）一组数据的方差则这组数据的总和为___________ 【答案】40 【分析】本题考查了方差与平均数的关系，解题的关键是通过方差公式确定平均数．根据方差的定义，确定数据的平均数，进而利用平均数与数据总和的关系求解． 【详解】解：方差公式为， 平均数为2，数据个数为20， 数据总和， 故答案为：40． 3．（24-25八年级下·福建泉州·期末）已知一组数据的方差，则____________． 【答案】6 【分析】本题考查方差的定义与意义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立． 根据方差的公式可以得到平均数是6，共有5个数据，从而得到求解即可． 【详解】解：由于这组数据的方差， ∴平均数是6，共有5个数据 ∴ ∴． 故答案为：6． 4．（24-25八年级下·福建福州·期末）数据的方差计算公式为，则这组数据的平均数是_____ 【答案】3 【分析】本题主要考查了方差计算公式，n个数据，的平均数为，那么这n个数据的方差为，据此可得答案． 【详解】解：∵数据的方差计算公式为， ∴这组数据的平均数是3， 故答案为：3． 知识点四 根据方差判断稳定性 1．（25-26八年级下·浙江·期中）甲、乙两地9月上旬的日平均气温如图所示，则甲、乙两地这10天日平均气温的方差大小关系为____（填“”或“”）． 【答案】 【分析】数据的波动越大，方差越大，据此结合统计图可得答案． 【详解】解：由统计图可知，甲的波动比乙的波动大， ∴． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）甲、乙每次的射击比赛如图所示，他们的平均成绩都是8环，根据离散程度，说明________发挥更稳定． 【答案】甲 【详解】解：观察成绩分布图可知：甲的成绩大多集中在环，距离平均成绩8环的波动更小，离散程度更小，因此甲发挥更稳定． 3．（25-26八年级下·福建福州·期中）甲、乙、丙三名同学参加短跑测试，已知他们几次测试成绩的平均数相同，方差如下：，，，则成绩最稳定的是______． 【答案】丙 【分析】当各组数据平均数相同时，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，因此只需比较三人方差的大小，即可得到结果． 【详解】解：由题意得，甲、乙、丙三名同学几次测试成绩的平均数相同， 由于， 则， 因此，成绩最稳定的是丙． 4．（2026·河南三门峡·一模）某校在中秋节举办了“共做月饼，喜迎中秋”的活动．每个月饼的标准质量为，甲、乙两名同学各做了5个月饼，每个月饼的质量（单位：g）统计如图，则做的月饼质量比较稳定的是__________同学（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【分析】观察统计图，可知甲同学所做月饼的质量数据相对集中、波动较小，即可得出结论． 【详解】解：观察统计图，可知甲组数据相对乙组数据的波动较小，所以甲同学做的月饼质量比较稳定． 1．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）为深入贯彻落实“以体树人”教育理念，促进学生德智体美劳全面发展，某校积极推进“阳光体育”活动，开设篮球、足球、排球、乒乓球等多项体育课程．学校对八年级学生进行了一分钟跳绳测试，随机抽取甲、乙两班各10名学生进行测试，成绩如下（单位：个）： 甲班10名学生成绩：158，152，175，165，175，172，178，175，188，192 乙班10名学生成绩：155，176，162，158，170，176，174，188，180，192 请根据以上信息，回答下列问题： (1)分别求出甲、乙两班比赛成绩的中位数和众数． (2)经计算，甲班成绩的平均数为173，方差为150.44；乙班成绩的平均数为173.1，方差为148.1．请根据以上统计数据，分析哪个班级的跳绳水平更高，并说明理由． (3)该校八年级共有300名学生，若将跳绳成绩达到170个及以上视为“优秀”，试估计该校八年级学生中达到“优秀”等级的人数． 【答案】(1)甲班中位数个，众数为个；乙班中位数个，众数为个 (2)乙班跳绳水平更高．理由见解析 (3)人 【分析】（1）根据中位数和众数的定义确定即可； （2）根据平均数、方差的意义做出正确的决策； （3）用总人数乘以样本中“跳绳成绩达到170个及以上”的人数占比即可． 【详解】（1）解：将甲班10名学生成绩按从小到大排列：152，158，165，172，175，175，175，178，188，192， 位于第5位和第6位的数据为175，175， 甲班中位数为（个）； 175出现3次，次数最多， 甲班众数为175个； 将乙班10名学生成绩按从小到大排列：155，158，162，170，174，176，176，180，188，192， 位于第5位和第6位的数据为174，176， 乙班中位数为（个）； 176出现2次，次数最多， 乙班众数为176个； （2）解：乙班跳绳水平更高． 理由：乙班平均数略高于甲班，说明乙班整体平均成绩更好； 乙班方差小于甲班，方差越小代表成绩越稳定、波动更小； 综上，乙班平均成绩更高且发挥更稳定，跳绳水平更高． （3）解：样本中成绩达到170个及以上的学生： 甲班有：172，175，175，175，178，188，192，共7人； 乙班有：170，174，176，176，180，188，192，共7人； 估计该校八年级达到“优秀”等级的人数为：（人）． 2．（25-26八年级下·广东江门·阶段检测）面向教育强国新征程，人工智能将进一步为赋能教育改革创新、促进教育高质量发展注入强劲动能．某校为更好推动数字化教育，组织七、八年级的学生进行人工智能技术水平竞赛，每个年级有15名同学参加初赛，成绩如下．（满分：100分，测试成绩x的单位：分） 【收集数据】 七年级：86，96，90，86，79，84，71，91，84，90，73，85，83，91，86． 八年级：88，85，76，84，86，90，78，90，91，87，93，75，87，87，78． 【分析数据】 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85 a 86 41.9 八年级 85 87 b 30.1 根据表中的信息，解答下列问题： (1)填空：______，______； (2)你认为哪个年级的学生人工智能技术的总体水平较好？请从中位数，众数，方差中选择两个角度说明理由； (3)复赛中，小凡和小乐两位同学各项成绩的平均分相同，但只能从两人中选择一人代表学校参赛，现将编程设计、创意构思、结构搭建、实践调试按的比例确定最后成绩，两人中成绩高的同学入选，请通过计算说明最终谁入选． 项目 编程设计 创意构思 结构搭建 实践调试 小凡 82 91 88 79 小乐 84 83 87 86 【答案】(1)86，87 (2)八年级，理由见解析 (3)小凡 【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求解； （2）根据中位数、众数、方差的意义即可判断； （3）根据加权平均数的公式分别计算小凡和小乐的最后成绩，再比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：将七年级的测试成绩从小到大排列，第8位的成绩为86分， ∴； 八年级的测试成绩出现次数最多的是87分，故众数为87分， ∴； （2）解：八年级的学生人工智能技术的总体水平较好，理由： 从中位数看，八年级成绩的中位数比七年级的高； 从众数看，八年级成绩的众数比七年级的高； 从方差看，八年级成绩的方差比七年级的小，即八年级的测试成绩更稳定； 所以八年级的学生人工智能技术的总体水平较好； （3）解：小凡的最后成绩为， 小乐的最后成绩为， ∵， ∴小凡的最后成绩较高， 即最终入选的是小凡． 3．（25-26八年级上·山东淄博·期末）为了解学生的体育锻炼情况，某学校八年级级部以“活跃校园——探索初中生的运动生活”为主题开展调查研究．该级部随机抽取了甲、乙两个班，通过问卷收集了甲、乙两个班学生的平均每周锻炼时长数据，现从这两个班级分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行整理、描述和分析，下面给出部分信息． 【数据收集】 甲班：8，7，12，8，7，5，6，8，6，13； 乙班学生平均每周锻炼时长数据的条形统计图如下： 【数据整理、分析】 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 8 8 c 乙班 8 b 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：_____，_____，_____； (2)小明对小刚说：“虽然平均每周锻炼时长我俩都是8小时，但我在我们班中的排名比你在你们班的排名靠前．”根据以上信息可知小明是_____班的学生．（填“甲”或“乙”） (3)你认为甲、乙这两个班中，哪个班的学生体育锻炼情况的总体水平较好？请给出两条理由． 【答案】(1)； (2)甲； (3)乙班的学生体育锻炼情况总体更好．理由见解析． 【分析】本题考查了统计量（平均数、中位数、众数、方差）的计算与应用，解题的关键是掌握各统计量的定义及意义，并能结合数据进行分析． （1）求：将甲班数据排序后取中间两个数的平均数得到中位数；求：从乙班条形图中找出出现次数最多的时长作为众数；求：根据方差公式计算甲班数据的波动程度． （2）比较两人在各自班级的排名，需结合中位数判断，在中位数更高的班级中排名更靠后，反之则更靠前． （3）比较两个班的总体水平，可从中位数、方差等统计量的实际意义入手分析． 【详解】（1）解： 甲班数据排序：5， 6， 6， 7， 7， 8， 8， 8， ，   中位数， 乙班条形图中，时长为小时的人数最多（人），故众数． 甲班方差： 故答案为：，， （2）解：甲班中位数为，乙班中位数为． 小明与小刚平均时长均为小时，在甲班中，说明小明在甲班排名前5名；在乙班中，说明小刚在乙班排名后5名． 因此小明是甲班的学生． （3）解：乙班的学生体育锻炼情况的总体水平较好． 理由：①乙班的中位数大于甲班的中位数，说明乙班有一半以上学生的锻炼时长超过小时，整体锻炼时长更长； ②乙班的方差小于甲班的方差，说明乙班学生的锻炼时长波动更小，数据更稳定． 4．（25-26九年级下·山西太原·月考）面向教育强国新征程，人工智能将进一步为赋能教育改革创新、促进教育高质量发展注入强劲动能．某校为更好推动数字化教育，组织七、八年级的学生进行人工智能技术水平竞赛，每个年级有15名同学参加初赛，成绩如下．（满分：100分，测试成绩的单位：分） 【收集数据】 七年级：86，96，90，86，79，84，71，91，84，90，73，85，83，91，86． 八年级：88，85，76，84，86，90，78，90，91，87，93，75，87，87，78． 【分析数据】 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85 86 41.9 八年级 85 87 30.1 根据表中的信息，解答下列问题： (1)请补全条形统计图； (2)填空：___________，___________； (3)你认为哪个年级的学生人工智能技术的总体水平较好？请从中位数，众数方差中选择两个角度说明理由． (4)复赛中，小凡和小乐两位同学各项成绩的平均分相同，但只能从两人中选择一人代表学校参赛，现将编程设计、创意构思、结构搭建、实践调试按的比例确定最后成绩，两人中成绩高的同学入选，请通过计算说明谁将入选． 项目 编程设计 创意构思 结构搭建 实践调试 小凡 82 91 88 79 小乐 84 83 87 86 【答案】(1)见解析 (2)86，87 (3)我认为八年级学生人工智能技术的总体水平较好，理由见解析 (4)小凡入选，过程见解析 【分析】（1）根据八年级学生的参赛成绩找到的学生人数，的学生人数，然后，补全统计图即可； （2）根据中位数、众数的定义解题即可； （3）根据中位数、众数、方差的含义比较得出结论即可； （4）根据加权平均数的公式将每组数据逐个代入公式计算，再比较计算结果即可． 【详解】（1）解：根据八年级参赛成绩可知的学生有4人，的学生有4人，补全条形统计图如图所示： （2）解：将七年级学生的参赛成绩按照从小到大排列后第8名学生的成绩为86，故七年级学生成绩的中位数为； 八年级学生的参赛成绩中87分出现3次，出现次数最多，故八年级学生成绩的众数为； （3）解：我认为八年级学生人工智能技术的总体水平较好，理由如下： 中位数：七年级是86分，八年级是87分，8786，八年级成绩水平更高； 众数：七年级是86分，八年级是87分，8786，八年级成绩水平更高； 方差：七年级是，八年级是，，平均数相同的情况下，方差越小数据越稳定，说明八年级的总体水平更好； （4）解：小凡的成绩为：(分)； 小乐的成绩为：(分)； ， ∴小凡的成绩更高，小凡入选． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 24.2 数据的离散程度 知识点一 求离差平方和 1．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）一组数据为，，0，4，5，则这组数据的离差平方和为______． 2．（25-26八年级上·山东青岛·周测）数据2，x，4，2，8，5的平均数为5，这组数据的离差平方和为________． 3．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）将位同学的英语口语成绩，，，，，分成前个一组，后三个一组，则这两组数据的组内离差平方和为______． 4．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）若一组数据，，与平均数的差分别为，则这组数据的离差平方和是_____． 知识点二 求方差 1．（25-26八年级下·北京·课后作业）一组数据：，，，，的众数是，则这组数据的方差是______． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）若一组数据的方差为， 则 的方差为___________． 3．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）在评选活动中，6位评委的打分为：10，8，9，8，6，7，去掉一个最高分和一个最低分后，这组数据的方差为_______． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）小莹同学10周的综合素质自我评价成绩统计如下表： 成绩/分 94 95 97 98 100 周数 1 2 2 4 1 这10周的综合素质自我评价成绩的方差是________． 知识点三 利用方差求未知数据的值 1．（23-24八年级下·山东滨州·期末）如果已知一组数据的方差，那么的值为___________． 2．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）一组数据的方差则这组数据的总和为___________ 3．（24-25八年级下·福建泉州·期末）已知一组数据的方差，则____________． 4．（24-25八年级下·福建福州·期末）数据的方差计算公式为，则这组数据的平均数是_____ 知识点四 根据方差判断稳定性 1．（25-26八年级下·浙江·期中）甲、乙两地9月上旬的日平均气温如图所示，则甲、乙两地这10天日平均气温的方差大小关系为____（填“”或“”）． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）甲、乙每次的射击比赛如图所示，他们的平均成绩都是8环，根据离散程度，说明________发挥更稳定． 3．（25-26八年级下·福建福州·期中）甲、乙、丙三名同学参加短跑测试，已知他们几次测试成绩的平均数相同，方差如下：，，，则成绩最稳定的是______． 4．（2026·河南三门峡·一模）某校在中秋节举办了“共做月饼，喜迎中秋”的活动．每个月饼的标准质量为，甲、乙两名同学各做了5个月饼，每个月饼的质量（单位：g）统计如图，则做的月饼质量比较稳定的是__________同学（填“甲”或“乙”）． 1．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）为深入贯彻落实“以体树人”教育理念，促进学生德智体美劳全面发展，某校积极推进“阳光体育”活动，开设篮球、足球、排球、乒乓球等多项体育课程．学校对八年级学生进行了一分钟跳绳测试，随机抽取甲、乙两班各10名学生进行测试，成绩如下（单位：个）： 甲班10名学生成绩：158，152，175，165，175，172，178，175，188，192 乙班10名学生成绩：155，176，162，158，170，176，174，188，180，192 请根据以上信息，回答下列问题： (1)分别求出甲、乙两班比赛成绩的中位数和众数． (2)经计算，甲班成绩的平均数为173，方差为150.44；乙班成绩的平均数为173.1，方差为148.1．请根据以上统计数据，分析哪个班级的跳绳水平更高，并说明理由． (3)该校八年级共有300名学生，若将跳绳成绩达到170个及以上视为“优秀”，试估计该校八年级学生中达到“优秀”等级的人数． 2．（25-26八年级下·广东江门·阶段检测）面向教育强国新征程，人工智能将进一步为赋能教育改革创新、促进教育高质量发展注入强劲动能．某校为更好推动数字化教育，组织七、八年级的学生进行人工智能技术水平竞赛，每个年级有15名同学参加初赛，成绩如下．（满分：100分，测试成绩x的单位：分） 【收集数据】 七年级：86，96，90，86，79，84，71，91，84，90，73，85，83，91，86． 八年级：88，85，76，84，86，90，78，90，91，87，93，75，87，87，78． 【分析数据】 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85 a 86 41.9 八年级 85 87 b 30.1 根据表中的信息，解答下列问题： (1)填空：______，______； (2)你认为哪个年级的学生人工智能技术的总体水平较好？请从中位数，众数，方差中选择两个角度说明理由； (3)复赛中，小凡和小乐两位同学各项成绩的平均分相同，但只能从两人中选择一人代表学校参赛，现将编程设计、创意构思、结构搭建、实践调试按的比例确定最后成绩，两人中成绩高的同学入选，请通过计算说明最终谁入选． 项目 编程设计 创意构思 结构搭建 实践调试 小凡 82 91 88 79 小乐 84 83 87 86 3．（25-26八年级上·山东淄博·期末）为了解学生的体育锻炼情况，某学校八年级级部以“活跃校园——探索初中生的运动生活”为主题开展调查研究．该级部随机抽取了甲、乙两个班，通过问卷收集了甲、乙两个班学生的平均每周锻炼时长数据，现从这两个班级分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行整理、描述和分析，下面给出部分信息． 【数据收集】 甲班：8，7，12，8，7，5，6，8，6，13； 乙班学生平均每周锻炼时长数据的条形统计图如下： 【数据整理、分析】 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲班 8 8 c 乙班 8 b 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：_____，_____，_____； (2)小明对小刚说：“虽然平均每周锻炼时长我俩都是8小时，但我在我们班中的排名比你在你们班的排名靠前．”根据以上信息可知小明是_____班的学生．（填“甲”或“乙”） (3)你认为甲、乙这两个班中，哪个班的学生体育锻炼情况的总体水平较好？请给出两条理由． 4．（25-26九年级下·山西太原·月考）面向教育强国新征程，人工智能将进一步为赋能教育改革创新、促进教育高质量发展注入强劲动能．某校为更好推动数字化教育，组织七、八年级的学生进行人工智能技术水平竞赛，每个年级有15名同学参加初赛，成绩如下．（满分：100分，测试成绩的单位：分） 【收集数据】 七年级：86，96，90，86，79，84，71，91，84，90，73，85，83，91，86． 八年级：88，85，76，84，86，90，78，90，91，87，93，75，87，87，78． 【分析数据】 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85 86 41.9 八年级 85 87 30.1 根据表中的信息，解答下列问题： (1)请补全条形统计图； (2)填空：___________，___________； (3)你认为哪个年级的学生人工智能技术的总体水平较好？请从中位数，众数方差中选择两个角度说明理由． (4)复赛中，小凡和小乐两位同学各项成绩的平均分相同，但只能从两人中选择一人代表学校参赛，现将编程设计、创意构思、结构搭建、实践调试按的比例确定最后成绩，两人中成绩高的同学入选，请通过计算说明谁将入选． 项目 编程设计 创意构思 结构搭建 实践调试 小凡 82 91 88 79 小乐 84 83 87 86 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $