易错点4专项突破：组合体的表面积（长方体、正方体）-2025-2026学年五年级下册数学北师大版

色学科网 www zxxk.com 第二单元长方体（一 易错点4专项突破：组合体的表面积( 1.求出下列立体图形的表面积和体积（单位：厘米）。 6 8 2.求下面图形的表面积和体积。 cm 3cm 4Acm 5cm 3cm 3.求出如图几何体的表面积和体积。（单位：cm) 8 10 3 8 第1页共8页 让教与学更高效 长方体、正方体) 色学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.求如图物体的表面积和体积。 4m 5m 15m 4m 5. 求下列图形的表面积和体积。（单位：cm) 2 cm 6.仔细观察，正确计算。（单位：cm) 22 3 组合体体积： 组合体表面积： 5 第2页共8页 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.计算下图的表面积和体积。（单位：厘米） 2 3 8.下面图形是由2个长方体组成的，计算它的表面积和体积。 2cm 2cm 4cm 4cm k—l0cm 9.一个棱长为5分米的正方体如图所示，从它的前面和右面分别向对面挖穿一个横截面是边 长为1分米的正方形的长方体孔，将其漫没在水中，与水接触的区域的面积是多少平方分米？ 第3页共8页 ©学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 囚 10.下面是一个机器零件（单位：厘米），要在这个机器零件的表面涂一层漆。涂漆的面积是 多少平方厘米？零件的体积是多少立方厘米？ 3 3 8 涂漆面积： 体积： 11.如图，一个箱子上半部分的形状是圆柱的一半，下半部分是一个长方体。算出它的表面积 和体积。 20cm 10cm 第4页共8页 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12.一种零件是由长方体和正方体组成的，其形状如图所示（单位：厘米），则这个零件的体 积和表面积各是多少？ 35 4.5 6 13.如图，东东用相同的小正方体拼成了一个几何体，已知每个小正方体的棱长是40厘米， 这个几何体的表面积是多少平方厘米？ 14.下图是从一个大长方体中挖掉一个小长方体的模具，求这个模具的表面积和体积。（单位： 厘米》 第5页共8页 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4cm 3cm 2cm 3cm 8cm 8cm 15.笑笑搬了8个棱长为30厘米的正方体纸箱放在墙角（如图），露在外面的面积是多少平 方厘米？ 16.下图是由棱长为1厘米的小正方体拼摆而成的，这个拼摆而成的立体图形的表面积是多少 平方厘米？体积是多少立方厘米？在这个立体图形上至少再摆上几个小正方体后就可以拼摆 成一个较大的正方体？ 第6页共8页 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 17.如图这个积木是由2个一样的长方体合并而成的，它的前后两个面涂上黄色油漆，其它露 出来的面涂上红色油漆，涂黄色油漆和红色油漆的面积各是多少？ 5cm 5cm 10cm 18.用棱长为1厘米的小正方体摆成一个立体图形，从三个方向看到的图形如图所示，这个立 体图形的表面积最小是多少？ 从左边看 从正面看 从上面看 19.下图是一个由实心正方体和长方体组合而成的塑料部件。下面正方体的棱长是20cm,上 面是长方体的前、后、左、右四个面的面积总和为80cm2。这个塑料部件的表面积是多少平方 厘米？ 第7页共8页 色学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 20.如图，将一个棱长8分米的正方体木块，切成两个完全样的小长方体。 (1)每个小长方体的表面积是多少平方分米？ (2)两个小长方体的表面积总和比正方体木块的表面积多多少平方分米？ 第8页共8页 第二单元 长方体（一） 易错点4专项突破：组合体的表面积（长方体、正方体） 1．求出下列立体图形的表面积和体积（单位：厘米）。 【答案】正方体：表面积384平方厘米，体积512立方厘米； 长方体：表面积122平方厘米，体积84立方厘米； 组合图形：表面积308平方厘米，体积317立方厘米。 【分析】分别对三个立体图形，按公式计算表面积和体积。正方体表面积＝棱长×棱长×6，体积＝棱长×棱长×棱长；长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，体积＝长×宽×高；组合图形表面积＝长方体表面积＋正方体4个侧面积，体积＝长方体体积＋正方体体积。 【详解】正方体： 表面积：8×8×6 ＝64×6 ＝384（平方厘米） 体积：8×8×8 ＝64×8 ＝512（立方厘米） 长方体： 表面积：（3×4＋3×7＋4×7）×2 ＝（12＋21＋28）×2 ＝61×2 ＝122（平方厘米） 体积：3×4×7 ＝12×7 ＝84（立方厘米） 组合图形： 长方体表面积：（8×6＋8×4＋6×4）×2 ＝（48＋32＋24）×2 ＝104×2 ＝208（平方厘米） 正方体侧面积：5×5×4 ＝25×4 ＝100（平方厘米） 总表面积：208＋100＝308（平方厘米） 长方体体积：8×6×4 ＝48×4 ＝192（立方厘米） 正方体体积：5×5×5 ＝25×5 ＝125（立方厘米） 总体积：192＋125＝317（立方厘米） 2．求下面图形的表面积和体积。 【答案】130平方厘米；87立方厘米 【分析】求长方体的表面积，用（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，体积：长×宽×高；正方体的表面积，用棱长×棱长×6，体积：棱长×棱长×棱长，图形的表面积等于长方体的表面积加正方体的表面积减去2个正方形的面积，图形的体积等于长方体的体积加正方体的体积。 【详解】长方体的表面积： （5×3＋5×4＋3×4）×2 ＝（15＋20＋12）×2 ＝（35＋12）×2 ＝47×2 ＝94（平方厘米） 正方体的表面积： 3×3×6 ＝9×6 ＝54（平方厘米） 图形的表面积：94＋54－2×3×3 ＝148－6×3 ＝148－18 ＝130（平方厘米） 长方体的体积： 5×3×4 ＝15×4 ＝60（立方厘米） 正方体的体积： 3×3×3 ＝9×3 ＝27（立方厘米） 图形的体积：60＋27＝87（立方厘米） 3．求出如图几何体的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】136cm²；80cm³； 404cm²；492cm³ 【分析】左图长方体的体积＝长×宽×高，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2； 右图大正方体中间挖去了一个小长方体，这个图形的表面积相较于大正方体增加了2个面的面积，用大正方体的表面积加上增加的2个面的面积得出答案；这个图形的体积是大正方体的体积减挖去的小长方体的体积。分别代入数据，即可求解。 【详解】（1）（10×4＋10×2＋4×2）×2 ＝（40＋20＋8）×2 ＝68×2 ＝136（cm²） 10×4×2＝80（cm³） （2）8×8×6＋（8－3）×2×2 ＝384＋20 ＝404（cm²） 8×8×8－（8－4－2）×2×（8－3） ＝512－20 ＝492（cm³） 4．求如图物体的表面积和体积。 【答案】374m2；364m3 【分析】组合体表面积＝长方体表面积＋正方体4个侧面积（正方体底面与长方体顶面粘合，两个接触面被遮挡，不重复计入总表面积），长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高），正方体4个侧面积＝棱长×棱长×4；组合体体积＝长方体体积＋正方体体积，长方体体积＝长×宽×高，正方体＝棱长×棱长×棱长。 【详解】表面积：（15×4＋15×5＋4×5）×2＋4×4×4 ＝（60＋75＋20）×2＋16×4 ＝155×2＋64 ＝310＋64 ＝374（m2） 体积：15×4×5＋4×4×4 ＝300＋64 ＝364（m3） 5．求下列图形的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】52、24；240、208 【分析】左图：长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积＝长×宽×高； 右图：，表面积＝大长方体表面积＋小长方体前后左右4个面的面积和；体积＝大长方体体积＋小长方体体积。 【详解】（4×2＋4×3＋2×3）×2 ＝（8＋12＋6）×2 ＝26×2 ＝52（） 4×2×3＝24（） 4＋6＝10（cm） （10×4＋10×4＋4×4）×2＋（4×3＋4×3）×2 ＝（40＋40＋16）×2＋（12＋12）×2 ＝96×2＋24×2 ＝192＋48 ＝240（） 10×4×4＋4×4×3 ＝160＋48 ＝208（） 6．仔细观察，正确计算。（单位：cm） 组合体体积：             组合体表面积： 【答案】117cm3；126cm2 【分析】（1）组合体的体积＝棱长为5cm的正方体的体积－棱长为2cm的正方体的体积，根据正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算求解。 （2）从图中可知，3个棱长为3cm的正方体拼成一个长为（3×3）cm、宽为3cm、高为3cm的长方体，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算求解。 【详解】（1）5×5×5－2×2×2 ＝125－8 ＝117（cm3） 组合体的体积是117cm3。 （2）长：3×3＝9（cm） （9×3＋9×3＋3×3）×2 ＝（27＋27＋9）×2 ＝63×2 ＝126（cm2） 组合体的表面积是126cm2。 7．计算下图的表面积和体积。（单位：厘米） 【答案】表面积：82平方厘米；体积：42立方厘米 【分析】组合体的表面积等于下面大长方体的表面积加上上面小长方体4个侧面的面积（因为小长方体与大长方体接触的面会重合，不计入表面积）。大长方体长5厘米、宽3厘米、高2厘米。小长方体长3厘米、宽2厘米、高2厘米。 根据长方体表面积公式S＝（ab＋ah＋bh）×2（a为长，b为宽，h为高），把大长方体数据代入计算即可得出大长方体的表面积。根据侧面积公式：S＝（ah＋bh）×2，把小长方体数据代入计算后得出小长方体的表面积。然后把两个长方体的表面积相加即可得出整个图形的表面积。 长方体体积公式为：V＝a×b×h（a为长，b为宽，h为高），把两个长方体的数据代入公式计算后，然后再相加即可得出整个图形的体积。 【详解】（5×3＋5×2＋3×2）×2 ＝（15＋10＋6）×2 ＝31×2 ＝62（平方厘米） （3×2＋2×2）×2 ＝（6＋4）×2 ＝10×2 ＝20（平方厘米） 62＋20＝82（平方厘米） 5×3×2＋3×2×2 ＝30＋12 ＝42（立方厘米） 该图形的表面积是82平方厘米，体积是42立方厘米。 8．下面图形是由2个长方体组成的，计算它的表面积和体积。 【答案】表面积160cm2；体积96cm3 【分析】组合体的表面积＝左边长方体的表面积＋右边长方体的表面积－重合部分的面积，其中重合部分是2个“4×2”的小长方形面积；根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算即可求解。 组合体的体积＝左边长方体的体积＋右边长方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算求解。 【详解】10－2＝8（cm） 组合体的表面积： （2×4＋2×4＋4×4）×2＋（8×4＋8×2＋4×2）×2－4×2×2 ＝（8＋8＋16）×2＋（32＋16＋8）×2－8×2 ＝32×2＋56×2－16 ＝64＋112－16 ＝160（cm2） 组合体的体积： 2×4×4＋8×4×2 ＝32＋64 ＝96（cm3） 组合体的表面积是160cm2，体积是96cm3。 9．一个棱长为5分米的正方体如图所示，从它的前面和右面分别向对面挖穿一个横截面是边长为1分米的正方形的长方体孔，将其漫没在水中，与水接触的区域的面积是多少平方分米？ 【答案】182平方分米 【分析】计算与水接触的面积需要分三步：先算原正方体表面积，再减去被挖去的面积，最后加上新增的内部通道侧面积。特别注意两个通道交叉处的重复部分需要扣除。 计算原正方体表面积。正方体有6个面，每个面都是边长为5分米的正方形。根据正方体表面积公式：正方体表面积＝棱长×棱长×6，即5×5×6； 计算被挖去的面积。从前面和右面各挖穿一个孔，每个孔在入口和出口处各挖去1个1×1的正方形。共挖去4个面：前面、后面、右面、左面各1个，列式为1×1×4； 计算新增内部通道侧面积。每个通道有4个侧面，每个侧面是长5分米、宽1分米的长方形。两个通道一共的面积列式为：4×5×1×2，即40平方分米。但交叉处有4个1×1的面被重复计算，需要扣除，即新增的内部通道侧面积列式为40－1×1×4； 求总接触面积。将原表面积减去被挖去的面积，再加上新增的内部通道侧面积。据此列式计算。 【详解】 （平方分米） （平方分米） （平方分米） （平方分米） （平方分米） 答：与水接触的区域的面积是182平方分米。 【点睛】解题关键是：分析挖孔后正方体表面积的变化，即原来的表面积减去被挖去部分的面积，再加上孔内部新增的与水接触的面积。 10．下面是一个机器零件（单位：厘米），要在这个机器零件的表面涂一层漆。涂漆的面积是多少平方厘米？零件的体积是多少立方厘米？ 涂漆面积： 体积： 【答案】150平方厘米； 99立方厘米 【分析】观察图形可知，涂漆的面积是一个长为8厘米，宽和高都为3厘米的长方体的表面积加上一个棱长为3厘米的正方体的表面积，再减去连接处两个边长为3厘米的正方形的面积。根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算即可； 零件的体积为图中长方体的体积加上正方体的体积。长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长。代入数据计算即可。 【详解】（8×3＋8×3＋3×3）×2 ＝（24＋24＋9）×2 ＝（48＋9）×2 ＝57×2 ＝114（平方厘米） 3×3×6 ＝9×6 ＝54（平方厘米） 3×3×2 ＝9×2 ＝18（平方厘米） 114＋54－18 ＝168－18 ＝150（平方厘米） 8×3×3＋3×3×3 ＝24×3＋9×3 ＝72＋27 ＝99（立方厘米） 答：涂漆的面积是150平方厘米，零件的体积是99立方厘米。 11．如图，一个箱子上半部分的形状是圆柱的一半，下半部分是一个长方体。算出它的表面积和体积。 【答案】1192.5平方厘米；2785立方厘米 【分析】箱子上半部分的形状是圆柱的一半，两个底面可以拼成一个完整的圆，下半部分是没有上面的长方体，它的表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2＋圆柱底面积＋圆柱侧面积÷2，圆柱底面积＝圆周率×底面半径的平方，圆柱侧面积＝底面周长×高； 它的体积＝长方体体积＋圆柱体积÷2，长方体体积＝长×宽×高，圆柱体积＝底面积×高。据此计算。 【详解】10×20＋10×10×2＋20×10×2＋3.14×（10÷2）2＋3.14×10×20÷2 ＝200＋200＋400＋3.14×52＋314 ＝800＋3.14×25＋314 ＝800＋78.5＋314 ＝1192.5（平方厘米） 10×20×10＋3.14×（10÷2）2×20÷2 ＝2000＋3.14×52×20÷2 ＝2000＋3.14×25×20÷2 ＝2000＋1570÷2 ＝2000＋785 ＝2785（立方厘米） 答：它的表面积和体积分别是1192.5平方厘米、2785立方厘米。 12．一种零件是由长方体和正方体组成的，其形状如图所示（单位：厘米），则这个零件的体积和表面积各是多少？ 【答案】体积为立方厘米，表面积为平方厘米 【分析】分析这个零件由长方体和正方体组成，体积是两者体积之和，结合正方体和长方体的体积公式、表面积公式，即可求解。 【详解】由图可知，这个零件由长方体和正方体组成， 长方体的体积是2.5×6×4.5＝67.5（立方厘米）， 正方体的体积是2×2×2＝8（立方厘米）， 长方体的表面积是（平方厘米）， 正方体4个面的面积是4×2×2＝16（平方厘米）， 所以零件的体积为67.5＋8＝75.5（立方厘米）， 又因为零件的表面积是长方体的表面积加上正方体4个面的面积， 所以零件的表面积为106.5＋16＝122.5（平方厘米）。 13．如图，东东用相同的小正方体拼成了一个几何体，已知每个小正方体的棱长是40厘米，这个几何体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】35200平方厘米 【分析】先求出小正方体一个面的面积，即40×40＝1600平方厘米，然后分别数出从几何体的前、后、左、右、上、下各个方向看到的小正方形面的数量，从前、后面分别可以看到4个小正方形面，从上面、下面分别可以看到4个小正方形面，从左、右面分别可以看到3个小正方形面。将各个方向的面的数量相加得到一共有多少个小正方形的面，再用小正方体一个面的面积乘小正方形的个数就能得到这个几何体的表面积。 【详解】40×40＝1600（平方厘米） （4＋4＋3）×2×1600 ＝（8＋3）×2×1600 ＝11×2×1600 ＝22×1600 ＝35200（平方厘米） 答：这个几何体的表面积是35200平方厘米。 14．下图是从一个大长方体中挖掉一个小长方体的模具，求这个模具的表面积和体积。（单位：厘米） 【答案】240平方厘米；168立方厘米 【分析】由图可知，挖掉小长方体之前需要计算小长方体上面、前面2个面的面积，挖掉小长方体之后需要计算小长方体下面、后面、左面、右面4个面的面积，大长方体其它部分面积不变，则挖掉小长方体之后的表面积比原来大长方体的表面积增加了挖掉小长方体左、右2个面的面积，长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2；长方体的体积＝长×宽×高，挖掉小长方体之后的体积比原来大长方体的体积减少了一个小长方体的体积，据此解答。 【详解】表面积：（8×8＋8×3＋8×3）×2＋4×2×2 ＝（64＋24＋24）×2＋4×2×2 ＝112×2＋4×2×2 ＝224＋8×2 ＝224＋16 ＝240（平方厘米） 体积：8×8×3－4×3×2 ＝64×3－12×2 ＝192－24 ＝168（立方厘米） 答：这个模具的表面积是240平方厘米，体积是168立方厘米。 15．笑笑搬了8个棱长为30厘米的正方体纸箱放在墙角（如图），露在外面的面积是多少平方厘米？ 【答案】12600平方厘米 【分析】因为是放在墙角处，所以露在外部的有：正面5个正方形，右面5个正方形，上面4个正方形，一共有5＋5＋4＝14个，每个小正方形面的面积是30×30＝900平方厘米，据此再乘14就是露在外部的总面积。 【详解】5＋5＋4 ＝10＋4 ＝14（个） 30×30×14 ＝900×14 ＝12600（平方厘米） 答：露在外面的面积是12600平方厘米。 16．下图是由棱长为1厘米的小正方体拼摆而成的，这个拼摆而成的立体图形的表面积是多少平方厘米？体积是多少立方厘米？在这个立体图形上至少再摆上几个小正方体后就可以拼摆成一个较大的正方体？ 【答案】26平方厘米；6立方厘米；21个 【分析】（1）观察图形可知，从正面看到4个面，从上面看到5个面，从右面看到4个面，则这个立体图形共有（4＋5＋4）×2个面；根据正方体的特征可知，每个面是边长为1厘米的正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出一个面的面积，再乘正方形的总个数，即可求出这个立体图形的表面积。 （2）根据正方体的体积公式V＝a3，求出1个小正方体的体积，再乘拼摆这个立体图形用到小正方体的个数，即是这个立体图形的体积。 （3）从图中可知，最长的棱上有3个小正方体，那么要拼摆成一个较大的正方体，每条棱上要摆3个小正方体；利用正方体的体积公式，求出这个较大的正方体需要小正方体的个数，再减去已有的小正方体的个数，即是至少还需要小正方体的个数。 【详解】（1）（4＋5＋4）×2 ＝13×2 ＝26（个） 表面积：1×1×26＝26（平方厘米） （2）体积：1×1×1×6＝6（立方厘米） （3）3×3×3－6 ＝27－6 ＝21（个） 答：这个拼摆而成的立体图形的表面积是26平方厘米，体积是6立方厘米，在这个立体图形上至少再摆上21个小正方体后就可以拼摆成一个较大的正方体。 17．如图这个积木是由2个一样的长方体合并而成的，它的前后两个面涂上黄色油漆，其它露出来的面涂上红色油漆，涂黄色油漆和红色油漆的面积各是多少？ 【答案】200平方厘米；175平方厘米 【分析】涂黄色的面积＝4个宽为5厘米，长为10厘米的长方形面积，涂红色的面积＝3个宽为5厘米，长为10厘米的长方形面积＋1个边长为5厘米的正方形面积，根据长方形的面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长，代入数据解答即可。 【详解】10×5×4 ＝50×4 ＝200（平方厘米） 10×5×3＋5×5 ＝50×3＋25 ＝150＋25 ＝175（平方厘米） 答：涂黄色油漆的面积是200平方厘米，涂红色油漆的面积是175平方厘米。 18．用棱长为1厘米的小正方体摆成一个立体图形，从三个方向看到的图形如图所示，这个立体图形的表面积最小是多少？ 【答案】38平方厘米 【分析】根据题意，使用标数法，这个立体图形表面积最小的情况为： 从上面看有9个正方形面，从左面看有4个正方形面，从正面看有6个正方形面，据此可知表面一共有（9×2＋4×2＋6×2）个正方形面，每个正方形面的面积是1平方厘米，据此解答。 【详解】1×1＝1（平方厘米） （9×2＋4×2＋6×2）×1 ＝（18＋8＋12）×1 ＝38×1 ＝38（平方厘米） 答：这个立体图形的表面积最小是38平方厘米。 19．下图是一个由实心正方体和长方体组合而成的塑料部件。下面正方体的棱长是20cm，上面是长方体的前、后、左、右四个面的面积总和为80cm2。这个塑料部件的表面积是多少平方厘米？    【答案】2480平方厘米 【分析】根据题意，通过平移补齐，这个塑料部件的表面积＝正方体的表面积＋长方体的侧面积（前、后、左、右四个面的面积），正方体的表面积＝6a2，据此解答。 【详解】 （平方厘米） （平方厘米） 答：这个塑料部件的表面积是平方厘米。 【点睛】此题考查了长方体与正方体的面积计算，关键熟记计算公式。 20．如图，将一个棱长8分米的正方体木块，切成两个完全样的小长方体。 （1）每个小长方体的表面积是多少平方分米？ （2）两个小长方体的表面积总和比正方体木块的表面积多多少平方分米？ 【答案】（1）256平方分米 （2）128平方分米 【分析】（1）根据题意，切成两个完全一样的小长方体，则切成的长方体的长等于原正方体棱长的一半，宽等于原正方体的棱长，高等于原正方体的棱长，根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答； （2）把正方体切成两个一样的长方体，两个小长方体的表面积总和比正方体木块的表面积多原来正方体的两个面的面积，据此解答。 【详解】（1）8÷2＝4（分米） （4×8＋4×8＋8×8） ＝（32＋32＋64）×2 ＝（64＋64）×2 ＝128×2 ＝256（平方分米） 答：每个小正方体的表面积是256平方分米。 （2）8×8×2 ＝64×2 ＝128（平方分米） 答：两个小长方体的表面积总和比正方体木块的表面积多128平方分米。 【点睛】解答本题的关键明确切成的小长方体长、宽、高与原正方体棱长之间的关系，进而解答。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $