易错点5专项突破：组合体的体积（长方体、正方体）-2025-2026学年五年级下册数学北师大版

第四单元 长方体（二） 易错点5专项突破：组合体的体积（长方体、正方体） 1．计算下面几何体的体积。 【答案】29立方厘米 【分析】根据“长方体体积＝长×宽×高”计算大长方体的体积； 根据“正方体体积＝棱长×棱长×棱长”计算挖去的正方体体积； 用长方体体积减去正方体体积，得到几何体的体积。 【详解】5×2×3－1×1×1 ＝30－1 ＝29（立方厘米） 2．求下面图形的表面积和体积。 【答案】（1）136cm2；96cm3 （2）198cm2；135cm3 【分析】（1）根据长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可。 （2）把该图形分成上下两部分，上面是棱长是3cm的正方体，下面是长是12cm，宽是3cm，高是3cm的长方体，分别求出上面、前面和左面的面积，用相加的和乘2即可求出表面积。根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，长方体的体积＝长×宽×高求出体积，再把它们的体积加起来即可。 【详解】（1）表面积： （8×4＋4×3＋8×3）×2 ＝（32＋12＋24）×2 ＝68×2 ＝136（cm2） 体积： 8×4×3 ＝32×3 ＝96（cm3） （2）表面积： 上：12×3＝36（cm2） 左：（3＋3）×3＝6×3＝18（cm2） 前：12×3＋3×3＝36＋9＝45（cm2） （36＋18＋45）×2 ＝（54＋45）×2 ＝99×2 ＝198（cm2） 体积： 3×3×3＋12×3×3 ＝27＋108 ＝135（cm3） 3．计算下面图形的体积。（单位：厘米） 【答案】123立方厘米 【分析】图形的体积等于长方体的体积加正方体的体积，长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长。 【详解】8×6×2 ＝48×2 ＝96（立方厘米） 3×3×3 ＝9×3 ＝27（立方厘米） 96＋27＝123（立方厘米） 4．计算如图所示几何体的表面积与体积。 【答案】； 【分析】几何体表面积＝长方体的表面积＋正方体4个面的面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2＋棱长×棱长×4； 几何体体积＝长方体体积＋正方体体积＝长×宽×高＋棱长×棱长×棱长。 【详解】表面积： 体积： 5．求如图物体的表面积和体积。 【答案】374m2；364m3 【分析】组合体表面积＝长方体表面积＋正方体4个侧面积（正方体底面与长方体顶面粘合，两个接触面被遮挡，不重复计入总表面积），长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高），正方体4个侧面积＝棱长×棱长×4；组合体体积＝长方体体积＋正方体体积，长方体体积＝长×宽×高，正方体＝棱长×棱长×棱长。 【详解】表面积：（15×4＋15×5＋4×5）×2＋4×4×4 ＝（60＋75＋20）×2＋16×4 ＝155×2＋64 ＝310＋64 ＝374（m2） 体积：15×4×5＋4×4×4 ＝300＋64 ＝364（m3） 6．计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm）。 【答案】表面积292cm2；体积280cm3 【分析】观察图形可知，立体图形的表面积＝大长方体的表面积＋小长方体的表面积－重合部分的面积，其中重合部分是2个5×4的面；根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算求解； 立体图形的体积＝大长方体的体积＋小长方体的体积；根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算求解。 【详解】（10×5＋10×4＋5×4）×2＋（4×5＋4×4＋5×4）×2－5×4×2 ＝（50＋40＋20）×2＋（20＋16＋20）×2－5×4×2 ＝110×2＋56×2－5×4×2 ＝220＋112－40 ＝292（cm2） 10×5×4＋4×5×4 ＝200＋80 ＝280（cm3） 图形的表面积是300cm2，体积是280cm3。 7．仔细观察，正确计算。（单位：cm） （1）组合体体积。             （2）组合体表面积。 【答案】（1）117cm3；（2）126cm2 【分析】（1）从图中可知，组合体的体积＝棱长为5cm的正方体的体积－棱长为2cm的正方体的体积，根据正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算，求出组合体的体积。 （2）从图中可知，拼成的长方体的长是（3×3）cm、宽和高都是3cm；根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据计算，求出组合体的表面积。 【详解】（1）5×5×5－2×2×2 ＝125－8 ＝117（cm3） 组合体的体积是117cm3。 （2）长：3×3＝9（cm） （9×3＋9×3＋3×3）×2 ＝（27＋27＋9）×2 ＝63×2 ＝126（cm2） 组合体的表面积是126cm2。 8．计算下面各图形的表面积和体积。 【答案】表面积：96cm2；体积：64cm3 表面积：288cm2；体积：288cm3 表面积：468dm2；体积：535dm3 【分析】图1：根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，代入数据，求出正方体表面积； 根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出正方体体积。 图2：根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出长方体表面积； 根据长方体体积＝长×宽×高，代入数据，求出长方体体积。 图3：组合体的表面积＝长是12dm，宽是8dm，高是2dm的长方体的表面积＋棱长是7dm的正方体的侧面积，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体侧面积＝棱长×棱长×4，代入数据，求出组合体的表面积； 组合体的体积＝长是12dm，宽是8dm，高是2dm的长方体的体积＋棱长是7dm的正方体的体积，根据长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，即可解答。 【详解】图1： 4×4×6 ＝16×6 ＝96（cm2） 4×4×4 ＝16×4 ＝64（cm3） 表面积是96cm2，体积是64cm3。 图2： （12×4＋12×6＋4×6）×2 ＝（48＋72＋24）×2 ＝（120＋24）×2 ＝144×2 ＝288（cm2） 12×4×6 ＝48×6 ＝288（cm3） 表面积是288cm2，体积是288cm3。 图3： （12×8＋12×2＋8×2）×2＋7×7×4 ＝（96＋24＋16）×2＋49×4 ＝（120＋16）×2＋196 ＝136×2＋196 ＝272＋196 ＝468（dm2） 12×8×2＋7×7×7 ＝96×2＋49×7 ＝192＋343 ＝535（dm3） 表面积是468dm2；体积是535dm3。 9．计算下面图形的表面积和体积。（单位：） 【答案】表面积：628cm2；体积：987cm3 【分析】根据图可知，图形表面积＝长是12cm，宽是10cm，高是8cm的长方体的表面积＋棱长是3cm的正方体4个侧面的面积；根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体侧面积＝棱长×棱长×4，代入数据，即可求出表面积； 图形体积＝长是12cm，宽是10cm，高是8cm的长方体体积＋棱长是3cm的正方体体积，根据长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，即可解答。 【详解】（12×10＋12×8＋10×8）×2＋3×3×4 ＝（120＋96＋80）×2＋3×3×4 ＝（216＋80）×2＋3×3×4 ＝296×2＋3×3×4 ＝592＋9×4 ＝592＋36 ＝628（cm2） 12×10×8＋3×3×3 ＝120×8＋9×3 ＝960＋27 ＝987（cm3） 表面积是628cm2，体积是987cm3。 10．计算下面图形的表面积和体积。 【答案】表面积：1880cm2；体积：4320cm3 【分析】表面积：根据图可知，几何体相当于在长方体一个顶点挖去一个小长方体，减去3个面的面积，同时又增加3个面的面积，表面积等于长方体的表面积，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出表面积。 体积：几何体的体积＝长是30cm，宽是10cm，高是16cm的长方体体积－长是10cm，宽是8cm，高是6cm的长方体体积，根据长方体体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。 【详解】表面积： （30×10＋30×16＋10×16）×2 ＝（300＋480＋160）×2 ＝（780＋160）×2 ＝940×2 ＝1880（cm2） 体积：30×10×16－10×8×6 ＝300×16－80×6 ＝4800－480 ＝4320（cm3） 表面积是1880cm2，体积是4320cm3。 11．求下列①图形的表面积，求②的体积（单位：cm）。 【答案】①486cm2 ②2160cm3 【分析】①已知正方体的棱长是9cm，根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据计算即可。 ②根据长方体的体积＝长×宽×高，分别代入数据，求出上下两个长方体的体积，再相加即可。 【详解】①9×9×6 ＝81×6 ＝486（cm2） 正方体的表面积是486cm2。 ②10×9×9＋15×10×9 ＝810＋1350 ＝2160（cm3） 组合图形的体积是2160cm3。 12．计算下面图形的表面积和体积。（单位：厘米） 【答案】表面积：256平方厘米 体积：224立方厘米 【分析】由图可知：该图形由左边一个长4厘米、宽4厘米、高9厘米的大长方体和右边一个长5厘米、宽4厘米、高4厘米的小长方体组成。 把右边小长方体右边4×4的面向左平移，补给左边大长方体，这样组合图形的表面积等于左边大长方体的表面积加上右边小长方体上下、前后4个面的面积；其中左边大长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，右边小长方体上下、前后面都是5×4的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算求解。 组合图形的体积等于左边大长方体的体积加上右边小长方体的体积，根据长方体体积＝长×宽×高，代入数据计算求解。 【详解】（4×4＋4×9＋4×9）×2 ＝（16＋36＋36）×2 ＝88×2 ＝176（平方厘米） 5×4×4 ＝20×4 ＝80（平方厘米） 176＋80＝256（平方厘米） 所以该图形的表面积是256平方厘米。 4×4×9＋5×4×4 ＝16×9＋20×4 ＝144＋80 ＝224（立方厘米） 所以该图形的体积是224立方厘米。 13．求下面立体图形的体积和表面积。（单位：厘米） 【答案】体积：24立方厘米 表面积：64平方厘米 【分析】已知正方体的棱长是3厘米，根据“正方体体积＝棱长×棱长×棱长”计算出正方体的体积；中间挖去一个长1厘米、宽1厘米、高3厘米的长方体，根据“长方体体积＝长×宽×高”计算出长方体的体积；最后用正方体体积减去中间长方体体积即为该立体图形的体积。 已知正方体的棱长是3厘米，根据“正方体表面积＝棱长×棱长×6”计算出正方体的表面积；中间挖去一个长1厘米、宽1厘米、高3厘米的长方体，减少上下2个边长1厘米的正方形底面，面积减少1×1×2＝2平方厘米，同时增加4个长3厘米、宽1厘米的长方形侧面，面积增加1×3×4＝12平方厘米；最后用正方体表面积减去2个底面积，再加上4个侧面积即为该立体图形的表面积。 【详解】体积： 3×3×3－1×1×3 ＝9×3－1×3 ＝27－3 ＝24（立方厘米） 所以该立体图形的体积是24立方厘米。 表面积： 3×3×6－1×1×2＋1×3×4 ＝9×6－1×2＋3×4 ＝54－2＋12 ＝52＋12 ＝64（平方厘米） 所以该立体图形的表面积是64平方厘米。 14．计算下面立体图形的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】580cm2；776cm3 【分析】看图可知，长方体的棱上挖去一个正方体，减少了2个正方形的面，又出现了4个正方形的面，因此这个立体图形的表面积＝完整的长方体表面积＋正方形面积×2，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；这个立体图形的体积＝长方体体积－正方体体积，长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。 【详解】（12×10＋12×7＋10×7）×2＋4×4×2 ＝（120＋84＋70）×2＋32 ＝274×2＋32 ＝548＋32 ＝580（cm2） 12×10×7－4×4×4 ＝840－64 ＝776（cm3） 这个立体图形的表面积和体积分别是580cm2、776cm3。 15．计算下面立体图形的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】表面积2556cm2；体积6512cm3 【分析】观察图形可知，立体图形的表面积＝长方体的表面积＋正方体的表面积－重合部分的面积，其中重合部分是2个8×8的面；根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据计算求解； 立体图形的体积＝长方体的体积＋正方体的体积；根据长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据计算求解。 【详解】表面积： （40×10＋40×15＋10×15）×2 ＝（400＋600＋150）×2 ＝1150×2 ＝2300（cm2） 8×8×6 ＝64×6 ＝384（cm2） 8×8×2 ＝64×2 ＝128（cm2） 2300＋384－128＝2556（cm2） 体积： 40×10×15 ＝400×15 ＝6000（cm3） 8×8×8 ＝64×8 ＝512（cm3） 6000＋512＝6512（cm3） 立体图形的表面积是2556cm2，体积是6512cm3。 16．如图：求这个物体的体积和表面积。（单位：厘米） 【答案】432立方厘米；396平方厘米 【分析】这个物体的体积等于长6厘米、宽3厘米、高4厘米的长方体的体积加上长12厘米、宽5厘米、高6厘米的长方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高计算； 这个物体的表面积等于长12厘米、宽5厘米、高6厘米的长方体的表面积加上长6厘米、宽3厘米、高4厘米的长方体的侧面积，根据长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2，长方体的侧面积＝（长＋宽）×2×高，代入数据计算即可解答。 【详解】6×3×4＋12×5×6 ＝18×4＋60×6 ＝72＋360 ＝432（立方厘米） （12×5＋5×6＋12×6）×2＋（6＋3）×2×4 ＝（60＋30＋72）×2＋9×2×4 ＝（90＋72）×2＋18×4 ＝162×2＋72 ＝324＋72 ＝396（平方厘米） 17．求下列图形的表面积和体积。 【答案】150cm2；125cm3；160dm2；120dm3 【分析】图一是一个正方体，根据正方体的表面积S＝a2×6，正方体的体积V＝a3，据此代入数据求出图一的表面积和体积； 图二的表面积是一个长4dm，宽8dm，高4dm的长方体表面积，体积是由一个长4dm，宽8dm，高4dm的长方体体积减去一个棱长为2dm的正方体的体积，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据解答即可。 【详解】表面积：5×5×6 ＝25×6 ＝150（cm2） 体积：5×5×5 ＝25×5 ＝125（cm3） 表面积：4×8×4＋4×4×2 ＝32×4＋16×2 ＝128＋32 ＝160（dm2） 体积：4×4×8－2×2×2 ＝128－8 ＝120（dm3） 图一的表面积是150cm2，体积是125cm3，图二的表面积是160dm2，体积是120dm3。 18．计算下列图形的表面积和体积。（单位：dm） 【答案】2532dm2，6688dm3；150dm2，113dm3 【分析】第一个组合体，通过平移，表面积＝完整的大长方体表面积＋小长方体前后左右4个面的面积和，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，小长方体4个面的面积和＝（长×高＋宽×高）×2；体积＝大长方体体积＋小长方体体积，长方体体积＝长×宽×高； 第二个组合体，挖去一个长方体，减少了3个面，又出现了同样的3个面，因此表面积＝完整的正方体表面积，正方体表面积＝棱长×棱长×6；体积＝正方体体积－长方体体积，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，长方体体积＝长×宽×高，据此列式计算。 【详解】第一个组合体： 表面积：（37×16＋37×10＋16×10）×2＋（16×6＋8×6）×2 ＝（592＋370＋160）×2＋（96＋48）×2 ＝1122×2＋144×2 ＝2244＋288 ＝2532（dm2） 体积：37×16×10＝5920（dm3） 16×8×6＝768（dm3） 5920＋768＝6688（dm3） 第二个组合体： 表面积：5×5×6＝150（dm2） 体积：5×5×5－2×2×3 ＝125－12 ＝113（dm3） 第一个组合体的表面积是2532dm2，体积是5920dm3；第二个组合体的表面积是150dm2，体积是113dm3。 19．求下面各立体图形的体积。（单位：cm） （1）                   （2） 【答案】（1）325cm3；（2）580cm3 【分析】（1）观察图形可知，组合图形的体积＝正方体的体积＋长方体的体积，根据正方体的体积公式V＝a3，长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算求解。 （2）如下图，把组合图形分成左右两部分，那么组合图形的体积＝大长方体的体积＋小长方体的体积，根据长方体的体积公式V＝abh，代入数据计算求解。 【详解】（1）5×5×5＋8×5×5 ＝125＋200 ＝325（cm3） 组合图形的体积是325cm3。 （2）8×10×（2＋3）＋6×10×3 ＝8×10×5＋180 ＝400＋180 ＝580（cm3） 组合图形的体积是580cm3。 20．计算下面图形的表面积和体积。（图中单位：厘米） 【答案】表面积：20150平方厘米；体积：175000立方厘米 【分析】图中组合图形的表面积等于长为80厘米，宽为35厘米，高为65厘米的长方体的表面积减去4个边长10厘米的正方形的面积，分别利用长方体的表面积＝（ab＋ah＋bh）×2和正方形的面积＝a2，再相减即可求出组合图形的表面积； 图中的组合图形的体积等于长为80厘米，宽为35厘米，高为65厘米的长方体的体积减去2个长为10厘米，宽为10厘米，高为35厘米的长方体的体积，利用长方体的体积＝abh，再相减即可求出组合图形的体积。 【详解】图形的表面积：（80×35＋80×65＋35×65）×2－10×10×4 ＝（2800＋5200＋2275）×2－100×4 ＝（8000＋2275）×2－400 ＝10275×2－400 ＝20550－400 ＝20150（平方厘米） 图形的体积：80×65×35－2×10×10×35 ＝5200×35－20×10×35 ＝182000－200×35 ＝182000－7000 ＝175000（立方厘米） 21．如下图，在一个正方体里挖去一个长方体，剩下的图形的表面积和体积各是多少？（单位：cm）。 【答案】表面积：2800平方厘米 体积：7040立方厘米 【分析】通过平移可知剩下的图形的表面积等于原来正方体的表面积加上挖去的长方体的侧面积，代入数据计算即可；剩下物体的体积等于正方体的体积减去长方体的体积，代入数据计算；据此解答。 【详解】表面积： （平方厘米） 体积： （立方厘米） 答：剩下的图形的表面积是2800平方厘米，体积是7040立方厘米。 22．4月23日是世界读书日，学校把每年的四月份定为读书活动月。妙妙分享了她制作的阅读主题创意手工，如图所示。寓意着“知识是人类进步的阶梯”。这件手工作品的占地面积是多少？体积是多少？ 【答案】 180平方厘米；960立方厘米 【分析】求这件手工作品的占地面积就是求三个长方体的底面积，可以看成一个长是厘米，宽是10厘米的长方形的面积；体积就是求三个长方体的体积之和。根据长方形的面积＝长×宽，，分别代入数据计算即可。 【详解】（6＋6＋6）×10 ＝18×10 ＝180（平方厘米） 6×8×10＋6×6×10＋6×2×10 ＝480＋360＋120 ＝960（立方厘米） 答：这件手工作品的占地面积是180平方厘米；体积是960立方厘米。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网 www.zxxk.com 第四单元长方体（二） 易错点5专项突破：组合体的体积（长方体、 1.计算下面几何体的体积。 2cm 1cm 3cm 5cm 2.求下面图形的表面积和体积。 3cm 3cm 1 (2) 4cm 3cm 8cm 3cm 12cm 3.计算下面图形的体积。（单位：厘米） 3 3 2 6 8 第1页共9页 让教与学更高效 正方体) ©学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.计算如图所示几何体的表面积与体积。 8dm 8dm Sdm J3dm 10dm 14dm 5.求如图物体的表面积和体积。 4m T4m 5m 4m 15m 6.计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm)。 第2页共9页 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4 4 10 7.仔细观察，正确计算。（单位：cm) (1)组合体体积。 (2)组合体表面积。 5 2 22 5 3 8.计算下面各图形的表面积和体积。 7dm 7dm 4cm 6cm 7dm 2dm 4cm 4cm 12cm 8dm 4cm 12dm 第3页共9页 ©学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9.计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm) 10 12 10.计算下面图形的表面积和体积。 6cm 16cm 10cml 8cm 10cm 30cm 11.求下列①图形的表面积，求②的体积（单位：cm)。 第4页共9页 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 10 9 10 15 ① ② 12.计算下面图形的表面积和体积。（单位：厘米） 5 13.求下面立体图形的体积和表面积。（单位：厘米) 3 3 第5页共9页 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 14.计算下面立体图形的表面积和体积。（单位：cm) 10 12 15.计算下面立体图形的表面积和体积。（单位：cm) 8 8 5 10 40 16.如图：求这个物体的体积和表面积。（单位：厘米） 6 第6页共9页 ©学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 17.求下列图形的表面积和体积。 5cm 4dm 2dm 2dm 8dm 5cm 5cm 4dm 18.计算下列图形的表面积和体积。（单位：dm) 16 0 16 37 19.求下面各立体图形的体积。（单位：cm) 第7页共9页 ©学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2) 10 13 8 6 20.计算下面图形的表面积和体积。（图中单位：厘米） 35 10 10 0 65 35 80 21.如下图，在一个正方体里挖去一个长方体，剩下的图形的表面积和体积各是多少？（单 位：cm)。 20 第8页共9页 @学科网 22.4月23日是世界读书日， 读主题创意手工，如图所示。 是多少？体积是多少？ 10cm 8 cm 6 cm 6cm 6cm6cm 12 cm www.zxxk.com 让教与学更高效 学校把每年的四月份定为读书活动月。妙妙分享了她制作的阅 寓意着“知识是人类进步的阶梯”。这件手工作品的占地面积 第9页共9页