易错点2专项突破：应用长方体和正方体的体积解决问题-2025-2026学年五年级下册数学北师大版

第四单元 长方体（二） 易错点2专项突破：应用长方体和正方体的体积解决问题 1．把一块棱长为8厘米的正方体铁块锻造成一个长16厘米、宽4厘米的长方体铁块，这个长方体铁块的高是多少厘米？ 2．有甲、乙两个水箱，从里面测量，甲水箱长8分米、宽8分米、高6分米，乙水箱长12分米、宽8分米、高5分米。甲水箱装满水，乙水箱空着。现将甲水箱里的水全部倒入乙水箱中，现在乙水箱的水面高多少分米？ 3．把一个棱长为6厘米的正方体铁块锻造成一个长9厘米，宽6厘米的长方体铁块，这个长方体铁块的高是多少厘米？ 4．一个长方体游泳池，长50米，宽25米，深2米。如果每小时往游泳池里注水200立方米，多少小时可以把游泳池注满？ 5．某工厂去年生产了一个棱长为8厘米的正方体实心零件，现因组装需要，将这个正方体实心零件熔铸成一个宽为4厘米、高为8厘米的长方体实心零件。这个长方体实心零件的长是多少厘米？ 6．一张长方形硬纸板的面积是6平方分米，周长是10分米，水平摆放后向上平移，形成的长方体的表面积是32平方分米，这个长方体的体积是多少？ 7．如图，在一张长14厘米、宽10厘米的长方形纸板的四个角各剪去一个边长为2厘米的小正方形，然后做成一个无盖的纸盒。这个纸盒的容积是多少立方厘米？ 8．李老师用铁丝制作了一个长25厘米，宽15厘米，高2分米的长方体框架。如果用这根铁丝围成一个正方体，正方体的体积是多少立方分米？ 9．用如图所示的五块长方形的亚克力板可以制作一个无盖的长方体。将这个长方体装满水，再倒一部分到一个棱长为2分米的正方体容器中，使得两个容器中的水面同样高，这时两个容器中的水面高度是多少分米？（容器壁厚度忽略不计） 10．蛋黄酥是现下糕点界的网红，每一颗蛋黄酥金黄诱人的酥皮下都包着一颗细腻绵沙的咸蛋黄，其口口酥心，层层松软的特点让人难忘。某食品商家为参加“五一”大促，推出一款包装为长方体形状食品盒的蛋黄酥，长5厘米，宽4厘米，高0.8分米。 （1）如果沿食品盒的四周贴一圈商标纸（上、下面不贴），商标纸的面积至少是多少平方厘米？ （2）这个食品盒的体积是多少立方厘米？（食品盒厚度忽略不计） 11．修路队要在一条长120米，宽30米的路上铺上15厘米厚的沙石。用一辆大卡车运送沙石，这辆车每次运沙石12方，要运沙石多少次？ 12．下面是一个长方体盒子的展开图。（单位：厘米） （1）长方体盒子的表面积是多少平方厘米？ （2）长方体盒子的体积是多少立方厘米？ 13．一个棱长20厘来的正方体璃缸，里面装满水，现在将它里面的水全部倒入一个长20厘米，宽16厘米，深28厘米的空璃缸中，这时水深多少厘米？（玻璃缸的厚度忽略不计） 14．健身中心新建的游泳池长50米，宽25米，深2.2米。 （1）这个游泳池最多可蓄水多少立方米？ （2）要在它的四壁和底部铺上瓷砖，铺瓷砖部分的面积是多少平方米？ 15．修建一个长方体蓄水池，要蓄水2.4米深，如果每分钟灌水36立方米，40分钟灌满，这个水池的底面积是多少平方米？ 16．挖一个长10米，宽8米，深2.5米的游泳池，一共要挖去多少立方米的土？若给游泳池的四周和底部镶瓷砖的面积是多少？ 17．一块长方体的肥皂，体积为，底面是面积为的长方形，这块肥皂的高是多少米？ 18．乐乐在手工课上要做气体船的模型。做这个气体船要用一个高为12厘米的长方体，并且四个面完全相同，且每个面的面积是48平方厘米。这个长方体的气体船模型的体积是多少立方厘米？ 19．迎宾小学要铺一个长120米、宽90米的长方形场地，先铺5厘米厚的煤渣，然后铺12厘米厚的三合土。需要煤渣、三合土各多少立方米？ 20．一根长方体钢材长1米，宽10厘米，高8厘米。如果每立方厘米钢材的质量是7.8克，那么这根钢材的质量是多少克？ 21．老年活动中心要新盖两个活动室，为了打好地基，需要在活动室的周围挖宽10分米，深8分米的沟（地基形状如图，阴影部分为沟），需要挖出多少立方米的土？    22．在一个从里面量棱长为6分米的正方体玻璃缸中，放入一块长为5分米，宽为4分米、高为4.5分米的长方体铁块（完全浸没，且水未溢出），这时水深5.5分米，若把这块铁块从缸中取出，这时缸中的水深是多少分米？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 长方体（二） 易错点2专项突破：应用长方体和正方体的体积解决问题 1．把一块棱长为8厘米的正方体铁块锻造成一个长16厘米、宽4厘米的长方体铁块，这个长方体铁块的高是多少厘米？ 【答案】8厘米 【分析】正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，长方体的体积＝长×宽×高，分析题目，正方体的体积和长方体的体积相等，先求出正方体的体积，再根据长方体的高＝体积÷（长×宽）求出铁块的高。 【详解】8×8×8 ＝64×8 ＝512（立方厘米） 512÷（16×4） ＝512÷64 ＝8（厘米） 答：这个长方体铁块的高是8厘米。 2．有甲、乙两个水箱，从里面测量，甲水箱长8分米、宽8分米、高6分米，乙水箱长12分米、宽8分米、高5分米。甲水箱装满水，乙水箱空着。现将甲水箱里的水全部倒入乙水箱中，现在乙水箱的水面高多少分米？ 【答案】4分米 【分析】把甲水箱中的水全部倒入乙水箱水的体积不变，先根据“”求出甲水箱的容积，即水的体积，再根据“”用水的体积除以乙水箱的底面积求出现在乙水箱的水面高度。 【详解】8×8×6 ＝64×6 ＝384（立方分米） 384÷（12×8） ＝384÷96 ＝4（分米） 答：现在乙水箱的水面高4分米。 3．把一个棱长为6厘米的正方体铁块锻造成一个长9厘米，宽6厘米的长方体铁块，这个长方体铁块的高是多少厘米？ 【答案】 4厘米 【分析】先根据“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”求出正方体的体积；长方体铁块的体积＝正方体铁块的体积，根据“长方体的体积＝长×宽×高”计算长方体铁块的高。 【详解】6×6×6＝216（立方厘米） 216÷9÷6＝4（厘米） 答：这个长方体铁块的高是4厘米。 4．一个长方体游泳池，长50米，宽25米，深2米。如果每小时往游泳池里注水200立方米，多少小时可以把游泳池注满？ 【答案】 12.5小时 【分析】要把游泳池注满，所需水的体积等于游泳池的容积。根据长方体体积公式“体积＝长×宽×高”，先求出游泳池的容积，再根据“时间＝总体积÷每小时注水体积”，即可求出注满水所需的时间。 【详解】50×25×2 ＝1250×2 ＝2500（立方米） 2500÷200＝12.5（小时） 答：12.5小时可以把游泳池注满。 5．某工厂去年生产了一个棱长为8厘米的正方体实心零件，现因组装需要，将这个正方体实心零件熔铸成一个宽为4厘米、高为8厘米的长方体实心零件。这个长方体实心零件的长是多少厘米？ 【答案】16厘米 【分析】根据题意，正方体零件和长方体零件的体积不变。根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，算出正方体零件的体积，这也是熔铸后长方体的体积。用长方体的体积除以宽与高的积即可。 【详解】 ＝512÷32 （厘米） 答：这个长方体实心零件的长是16厘米。 6．一张长方形硬纸板的面积是6平方分米，周长是10分米，水平摆放后向上平移，形成的长方体的表面积是32平方分米，这个长方体的体积是多少？ 【答案】12立方分米 【分析】已知形成的长方体的底面积是6平方分米，长方体的表面积是32平方分米，那么长方体的侧面积（前后左右四个面的面积之和）＝表面积－底面积×2；因为长方体的侧面积＝底面周长×高，那么长方体的高＝侧面积÷底面周长；再根据长方体的体积＝底面积×高，求出这个长方体的体积。 【详解】长方体的侧面积： 32－6×2 ＝32－12 ＝20（平方分米） 长方体的高：20÷10＝2（分米） 长方体的体积：6×2＝12（立方分米） 答：这个长方体的体积是12立方分米。 7．如图，在一张长14厘米、宽10厘米的长方形纸板的四个角各剪去一个边长为2厘米的小正方形，然后做成一个无盖的纸盒。这个纸盒的容积是多少立方厘米？ 【答案】120立方厘米 【分析】观察图形可知，做成的长方体盒子的长是（14－2×2）厘米，宽是（10－2×2）厘米，高是2厘米，根据长方体的容积公式：V＝abh（a为长，b为宽，h为高），把数据代入公式解答。 【详解】（14－2×2）×（10－2×2）×2 ＝（14－4）×（10－4）×2 ＝10×6×2 ＝120（立方厘米） 答：这个纸盒的容积是120立方厘米。 8．李老师用铁丝制作了一个长25厘米，宽15厘米，高2分米的长方体框架。如果用这根铁丝围成一个正方体，正方体的体积是多少立方分米？ 【答案】8立方分米 【分析】把单位统一为分米，根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，可得长方体框架，即正方体的棱长总和，根据正方体的棱长总和＝棱长×12的逆运算，用正方体棱长总和除以12可得正方体棱长，再根据，代入数据计算即可。 【详解】25厘米＝2.5分米 15厘米＝1.5分米 （2.5＋1.5＋2）×4 ＝6×4 ＝24（分米） 2412＝2（分米） 2×2×2＝8（立方分米） 答：正方体的体积是8立方分米。 9．用如图所示的五块长方形的亚克力板可以制作一个无盖的长方体。将这个长方体装满水，再倒一部分到一个棱长为2分米的正方体容器中，使得两个容器中的水面同样高，这时两个容器中的水面高度是多少分米？（容器壁厚度忽略不计） 【答案】0.6分米 【分析】无盖的长方体没有上面，只有1个形状的长方形亚克力板是无盖长方体的底面。观察5块长方形的亚克力板可知，长方体的长3分米，宽2分米，高1分米，根据长方体体积＝长×宽×高，求出水的体积，水的体积÷长方体和正方体的底面积和＝两个容器中的水面高度。 【详解】3×2×1＝6（立方分米） 6÷（3×2＋2×2） ＝6÷（6＋4） ＝6÷10 ＝0.6（分米） 答：这时两个容器中的水面高度是0.6分米。 10．蛋黄酥是现下糕点界的网红，每一颗蛋黄酥金黄诱人的酥皮下都包着一颗细腻绵沙的咸蛋黄，其口口酥心，层层松软的特点让人难忘。某食品商家为参加“五一”大促，推出一款包装为长方体形状食品盒的蛋黄酥，长5厘米，宽4厘米，高0.8分米。 （1）如果沿食品盒的四周贴一圈商标纸（上、下面不贴），商标纸的面积至少是多少平方厘米？ （2）这个食品盒的体积是多少立方厘米？（食品盒厚度忽略不计） 【答案】（1）144平方厘米 （2）160立方厘米 【分析】（1）根据1分米＝10厘米，统一单位，求商标纸的面积相当于求长方体前后左右4个面的面积和，商标纸的面积＝长×高×2＋宽×高×2，据此列式解答； （2）根据长方体体积＝长×宽×高，求出这个食品盒的体积。 【详解】（1）0.8分米＝8厘米 5×8×2＋4×8×2 ＝80＋64 ＝144（平方厘米） 答：商标纸的面积至少是144平方厘米。 （2）5×4×8＝160（立方厘米） 答：这个食品盒的体积是160立方厘米。 11．修路队要在一条长120米，宽30米的路上铺上15厘米厚的沙石。用一辆大卡车运送沙石，这辆车每次运沙石12方，要运沙石多少次？ 【答案】45次 【分析】1米＝100厘米，将15的小数点向左移动2位，即可把15厘米的单位换算为米。路面可以看作一个长方体，长方体体积＝长×宽×高（此处高即沙石厚度），把长120米，宽30米，高0.15米，代入公式计算可得出沙石总体积。已知卡车每次运沙石12方，1方＝1立方米，用沙石总体积除以每次运输量，即可得到运输次数。 【详解】15÷100＝0.15（米） 120×30×0.15 ＝3600×0.15 ＝540（立方米） 1立方米＝1方 540立方米＝540方 540÷12＝45（次） 答：要运沙石45次。 12．下面是一个长方体盒子的展开图。（单位：厘米） （1）长方体盒子的表面积是多少平方厘米？ （2）长方体盒子的体积是多少立方厘米？ 【答案】（1）148平方厘米 （2）120立方厘米 【分析】（1）观察长方体盒子的展开图，可以确定长方体的长6厘米，宽5厘米，高4厘米，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，列式解答即可； （2）根据长方体体积＝长×宽×高，列式解答。 【详解】（1）表面积： （平方厘米） 答：长方体盒子的表面积是148平方厘米。 （2）体积：（立方厘米） 答：长方体盒子的体积是120立方厘米。 13．一个棱长20厘来的正方体璃缸，里面装满水，现在将它里面的水全部倒入一个长20厘米，宽16厘米，深28厘米的空璃缸中，这时水深多少厘米？（玻璃缸的厚度忽略不计） 【答案】25厘米 【分析】根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体玻璃缸里水的体积，用水的体积÷长方体玻璃缸底面积＝水的高度，据此求出水深即可。 【详解】水深： （厘米） 答：这时水深25厘米。 14．健身中心新建的游泳池长50米，宽25米，深2.2米。 （1）这个游泳池最多可蓄水多少立方米？ （2）要在它的四壁和底部铺上瓷砖，铺瓷砖部分的面积是多少平方米？ 【答案】（1）2750立方米 （2）1580平方米 【分析】（1）根据长方体的容积公式：V＝abh，代入数值进行计算即可； （2）由题意可知，铺瓷砖部分的面积等于长方体五个面的面积，再结合长方体的五个面的面积＝（长×高＋宽×高）×2＋长×宽，据此进行计算即可。 【详解】（1）50×25×2.2 ＝1250×2.2 ＝2750（立方米） 答：这个游泳池最多可蓄水2750立方米。 （2）（50×2.2＋25×2.2）×2＋50×25 ＝（110＋55）×2＋1250 ＝165×2＋1250 ＝330＋1250 ＝1580（平方米） 答：铺瓷砖部分的面积是1580平方米。 15．修建一个长方体蓄水池，要蓄水2.4米深，如果每分钟灌水36立方米，40分钟灌满，这个水池的底面积是多少平方米？ 【答案】600平方米 【分析】由题意可知，用每分钟可以灌水的体积乘时间即可求出水池的容积，然后根据长方体的容积公式：V＝Sh，即S＝V÷h，用水池的容积除以水的深度即可求出这个水池的底面积。 【详解】36×40÷2.4 ＝1440÷2.4 ＝600（平方米） 答：这个水池的底面积是600平方米。 16．挖一个长10米，宽8米，深2.5米的游泳池，一共要挖去多少立方米的土？若给游泳池的四周和底部镶瓷砖的面积是多少？ 【答案】200立方米；170平方米 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，求出挖去的土的体积；游泳池没有上面，镶瓷砖的面积＝（长×高＋宽×高）×2＋长×宽，据此列式解答。 【详解】10×8×2.5＝200（立方米） （10×2.5＋8×2.5）×2＋10×8 ＝（25＋20）×2＋80 ＝45×2＋80 ＝90＋80 ＝170（平方米） 答：一共要挖去200立方米的土，若给游泳池的四周和底部镶瓷砖的面积是170平方米。 17．一块长方体的肥皂，体积为，底面是面积为的长方形，这块肥皂的高是多少米？ 【答案】0.03375米 【分析】根据长方体体积，可推出，即（厘米），再根据把小单位转化成大单位除以进率，即3.375÷100＝0.03375，所以3.375厘米＝0.03375米，据此解答。 【详解】由分析可知： 135÷40＝3.375（厘米） 3.375厘米＝0.03375米 答：这块肥皂的高是0.03375米。 【点睛】本题考查长方体体积公式的灵活运用，注意单位要换算。 18．乐乐在手工课上要做气体船的模型。做这个气体船要用一个高为12厘米的长方体，并且四个面完全相同，且每个面的面积是48平方厘米。这个长方体的气体船模型的体积是多少立方厘米？ 【答案】体积可能是192立方厘米或576立方厘米。 【分析】因为这个长方体有四个面完全相同，所以长方体的长、宽、高中有两个数据相等。当长方体的长和宽相等时，如下图1，可知这个长方体的长＝宽＝48÷12＝4（厘米），此时这个长方体的体积是4×4×12＝192立方厘米。当长方体的长（或宽）和高相等时，如下图2，这个长方体的宽（或长）＝48÷12＝4（厘米），此时这个长方体的体积是4×12×12＝576立方厘米。 【详解】情况一：长方体的长和宽相等，高是12厘米。 48÷12＝4（厘米） 4×4×12 ＝16×12 ＝192（立方厘米） 情况二：长方体的长或宽和高相等，高是12厘米。 48÷12＝4（厘米） 4×12×12 ＝48×12 ＝576（立方厘米） 答：这个长方体的气体船模型的体积可能是192立方厘米或576立方厘米。 19．迎宾小学要铺一个长120米、宽90米的长方形场地，先铺5厘米厚的煤渣，然后铺12厘米厚的三合土。需要煤渣、三合土各多少立方米？ 【答案】煤渣540立方米；三合土1296立方米 【分析】 已知在一个长方形场地里铺上煤渣和三合土，求煤渣和三合土的体积，就是求长方体的体积；根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算即可求解。注意单位的换算：1米＝100厘米。 【详解】 5厘米＝0.05米 12厘米＝0.12米 煤渣： 120×90×0.05 ＝10800×0.05 ＝540（立方米） 三合土： 120×90×0.12 ＝10800×0.12 ＝1296（立方米） 答：需要煤渣540立方米，三合土1296立方米。 20．一根长方体钢材长1米，宽10厘米，高8厘米。如果每立方厘米钢材的质量是7.8克，那么这根钢材的质量是多少克？ 【答案】62400克 【分析】把钢材的长化成以厘米为单位，再根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据求出钢材的体积，再用钢材的体积乘每立方厘米的质量即可解答。 【详解】1米＝100厘米 100×10×8×7.8 ＝1000×8×7.8 ＝8000×7.8 ＝62400（克） 答：这根钢材的质量是62400克。 21．老年活动中心要新盖两个活动室，为了打好地基，需要在活动室的周围挖宽10分米，深8分米的沟（地基形状如图，阴影部分为沟），需要挖出多少立方米的土？    【答案】26.4立方米 【分析】先用活动室的总面积－两个中间长方形的面积，求出地基的面积；根据长方形面积公式，代入数据，求出地基面积，再根据长方体的体积公式：底面积×高，代入数据，即可求出需要挖出土的体积，据此解答。 【详解】10分米＝1米；8分米＝0.8米 中间长方形的长：（12－1×3）÷2 ＝（12－3）÷2 ＝9÷2 ＝4.5（米） 中间长方形的宽：5－1×2 ＝5－2 ＝3（米） （12×5－4.5×3×2）×0.8 ＝（60－13.5×2）×0.8 ＝（60－27）×0.8 ＝33×0.8 ＝26.4（立方米） 答：需要挖出26.4立方米的土。 【点睛】解答本题的关键是求出地基的面积，再利用长方体体积公式进行解答，注意单位名数的统一。 22．在一个从里面量棱长为6分米的正方体玻璃缸中，放入一块长为5分米，宽为4分米、高为4.5分米的长方体铁块（完全浸没，且水未溢出），这时水深5.5分米，若把这块铁块从缸中取出，这时缸中的水深是多少分米？ 【答案】3分米 【分析】放入一块长为5分米，宽为4分米、高为4.5分米的长方体铁块后，水的体积会增加了这个长方体铁块的体积；根据长方体的体积公式：体积＝长×宽×高，先求出长方体铁块的体积，用铁块的体积除以玻璃缸的底面积就是水加入铁块后增加的高度，然后用5.5分米减去水增加的高度即可求出把铁块从缸中取出缸中的水深。 【详解】5.5－5×4×4.5÷（6×6） ＝5.5－20×4.5÷36 ＝5.5－90÷36 ＝5.5－2.5 ＝3（分米） 答：若把这块铁块从缸中取出，这时缸中的水深是3分米。 【点睛】本题主要考查长方体和正方体的体积计算公式，本题关键是要理解水增加的体积就是长方体铁块的体积。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $