2026届高考考前概率专题练习

**基本信息** 聚焦概率核心考点，通过分层题型构建从基础计算到复杂建模的逻辑训练体系，强化数学建模与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概率|单选1-4/多选5-6|古典概型、条件概率、独立事件|从随机事件定义到概率基本公式的应用迁移| |变量分析|解答7-8|分布列、期望方差|离散型随机变量与事件概率的转化关系| |综合建模|解答9-12|比赛模型、路线优化、切比雪夫不等式|实际情境抽象为概率模型，培养数据观念与应用意识|

2026高考考前概率专题练习 一．单选题 1.一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个，每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率是 A． B． C． D． 2. 来自某高中三个班级的60个学生参加某大学的三位一体面试，其中1班10人，2班20人，3班30人，面试时每次都从尚未面试的学生中随机抽一位，面试完毕以后再选择下一位面试，则1班的所有学生先于其他两个班完成面试的概率的是（    ） A． B． C． D． 3. 深受广大球迷喜爱的NBA某队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，甲球员能够胜任大前锋、小前锋、组织后卫以及得分后卫四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当甲球员担当大前锋、小前锋、组织后卫以及得分后卫时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2.当甲球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为 A．0.3 B．0.32 C．0.68 D．0.7 4. “布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由两个仓组成，某粒子作布朗运动时，每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为（    ） A． B． C． D． 二．多选题 5. （多选题）如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1~8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，设事件，事件“得到的点数为偶数”，事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．事件B与C互斥 D．事件A与B相互独立 6（多选题）一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球5个，白球2个，黑球1个，则下列选项正确的有（    ） A．从该口袋中任取3个球，设取出的红球个数为，则数学期望 B．每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，设取出的红球次数为，则方差 C．从该口袋中任取3个球，设取出的球的颜色有X种，则数学期望 D．每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的白球的个数为Y，则数学期望 三．解答题 7. 为落实“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动．甲、乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛．规定：每局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局．首先获得5分者获胜，比赛结束．假设每局比赛甲获胜的概率都是． (1)求比赛结束时恰好打了6局的概率； (2)若甲以的比分领先，记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X的分布列． 8. 水平相当的甲、乙、丙三人进行乒乓球擂台赛，每轮比赛都采用3局2胜制（即先赢2局者胜），首轮由甲乙两人开始，丙轮空；第二轮由首轮的胜者与丙之间进行，首轮的负者轮空，依照这样的规则无限地继续下去. (1)求甲在第三轮获胜的条件下，第二轮也获胜的概率； (2)求第轮比赛甲轮空的概率； (3)按照以上规则，求前六轮比赛中甲获胜局数的期望. 9. 李医生家在小区，他在医院工作，从家开车到医院上班有，两条路线（如图），路线上有，，三个路口，各路口遇到红灯的概率均为，；路线上有，两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，． (1)若走路线且，求最多遇到1次红灯的概率； (2)若走路线，求遇到红灯次数的分布列及数学期望； (3)按照“平均遇到红灯的次数最少”的要求，请你帮助李医生分析，选择，哪条路线上班更好． 10. 19世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计的规律中，论证并用标准差表达了一个不等式，该不等式被称为切比雪夫不等式，它可以使人们在随机变量的分布未知的情况下，对事件做出估计.若随机变量具有数学期望，方差，则切比雪夫定理可以概括为:对任意正数，不等式成立.已知在某通信设备中，信号是由密文“”和“”组成的序列，现连续发射信号次，记发射信号“”的次数为. (1)若每次发射信号“”和“”的可能性是相等的， ①当时，求； ②为了至少有的把握使发射信号“”的频率在与之间，试估计信号发射次数的最小值； (2)若每次发射信号“”和“”的可能性是，已知在2024次发射中，信号“”发射次的概率最大，求的值. 11.已知盒子中共有个大小相同的球，有红、黄、黑三种颜色，其中黄球有个，随机不放回依次取出一个球，直到将球全部取出． （1）求第二次取出的球是黄球的概率． （2）若，且红球和黑球的个数比为，求黄球最先被全部取出（取出最后一个黄球时盒子里还有红球和黑球）的概率． （3）记随机变量为最后一个黄球取出时总共所取出球的个数，是的数学期望，证明：． 12. 一个微生物在如图所示方格的培养皿中随机移动，每次均以相等概率移动到相邻的方格．方格是初始位置，是营养丰富的角落，每次到达方格时，微生物进行一次繁殖．记该微生物第次繁殖时所经过的总移动步数为． （1）求；（2）求；（3）求． 参考公式：1．若，对于，则； 2．若是离散型随机变量，则． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026高考考前概率专题练习 一．单选题 1.一个袋子中有10个大小相同的球，其中红球7个，黑球3个，每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】用事件表示“第1，2次都摸到红球”，事件表示“第3次摸到红球”，则，， 则， 故在第1，2次都摸到红球的条件下，第3次摸到红球的概率是.故选：C. 2. 来自某高中三个班级的60个学生参加某大学的三位一体面试，其中1班10人，2班20人，3班30人，面试时每次都从尚未面试的学生中随机抽一位，面试完毕以后再选择下一位面试，则1班的所有学生先于其他两个班完成面试的概率的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】记“最后面试的学生来自2班”为事件B，“最后面试的学生来自3班”为事件C，显然事件B，C互斥． 记“1班参加面试的学生先于其他两班学生完成面试”为事件D，则． 当事件B发生时，只需考虑1，3两个班所有参加面试的学生中最后面试的那位来自3班，则． 当事件C发生时，只需考虑1，2两个班所有参加面试的学生中最后面试的那位来自2班，则． 所以．故选：A. 3. 深受广大球迷喜爱的NBA某队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，甲球员能够胜任大前锋、小前锋、组织后卫以及得分后卫四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当甲球员担当大前锋、小前锋、组织后卫以及得分后卫时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2.当甲球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为（    ） A．0.3 B．0.32 C．0.68 D．0.7 【答案】C 【解析】设表示“甲球员担当大前锋”，表示“甲球员担当小前锋”， 表示“甲球员担当组织后卫”， 表示“甲球员担当得分后卫”，B表示“当甲球员参加比赛时，球队输球”. 根据题意，则 ． 所以当甲球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为：.故选：C． 4. “布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由两个仓组成，某粒子作布朗运动时，每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束．已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设从号仓出发最终从1号仓出的概率为，所以， 解得.故选：C 二．多选题 5. 如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1~8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，设事件，事件“得到的点数为偶数”，事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．事件B与C互斥 D．事件A与B相互独立 【答案】ABD 【解析】由题意可知事件，事件，事件， 对于A，因为事件，所以，故A正确； 对于B，因为事件，所以，而， 所以，故B正确； 对于C，因为事件，故事件可以同时发生， 所以事件B与C不互斥，故C错误； 对于D，因为事件，所以， 而，，且， 所以事件A与B相互独立，故D正确.故选：ABD 6（多选题）一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球5个，白球2个，黑球1个，则下列选项正确的有（    ） A．从该口袋中任取3个球，设取出的红球个数为，则数学期望 B．每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，设取出的红球次数为，则方差 C．从该口袋中任取3个球，设取出的球的颜色有X种，则数学期望 D．每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的白球的个数为Y，则数学期望 【答案】ABD 【解析】对选项A，从该口袋中任取3个球，取出的红球个数的可能取值为0，1，2，3， 则，，，， 则，故A正确； 对选项B，每次从该口袋中任取一个球，是红球的概率为，则取出的红球次数为， 则方差，故B正确; 对选项C，从该口袋中任取3个球，取出的球的颜色有X种，X的可能取值为1，2，3， 则，，则， 则，故C错误； 对选项D，每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，拿出白球的个数Y的可能取值为0，1，2， 则，，， 则，故D正确； 故选：ABD 三．解答题 7. 为落实“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的精神，某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动．甲、乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛．规定：每局比赛中获胜方记1分，失败方记0分，没有平局．首先获得5分者获胜，比赛结束．假设每局比赛甲获胜的概率都是． (1)求比赛结束时恰好打了6局的概率； (2)若甲以的比分领先，记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数，求X的分布列． 【解】（1）比赛结束时， 恰好打了6局，甲获胜的概率为， 恰好打了6局，乙获胜的概率为， 所以比赛结束时恰好打了6局的概率为； （2）X的可能取值为2，3，4，5， ， ， ， ， 所以X的分布列如下： 2 3 4 5 8. 水平相当的甲、乙、丙三人进行乒乓球擂台赛，每轮比赛都采用3局2胜制（即先赢2局者胜），首轮由甲乙两人开始，丙轮空；第二轮由首轮的胜者与丙之间进行，首轮的负者轮空，依照这样的规则无限地继续下去. (1)求甲在第三轮获胜的条件下，第二轮也获胜的概率； (2)求第轮比赛甲轮空的概率； (3)按照以上规则，求前六轮比赛中甲获胜局数的期望. 【解】（1）甲第三轮获胜的基本事件有：{第一、二、三轮甲全胜}，{第一轮甲输，第三轮甲胜}，设“甲在第i轮获胜”，则； （2）设事件“第轮甲轮空”，则， ， ， ； （3）设一轮比赛中甲胜的局数为，则， ， ， ， ， 前六轮比赛中甲参与的轮次数为，则 ， ， ，局胜的局数为:（局）. 9. 李医生家在小区，他在医院工作，从家开车到医院上班有，两条路线（如图），路线上有，，三个路口，各路口遇到红灯的概率均为，；路线上有，两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，． (1)若走路线且，求最多遇到1次红灯的概率； (2)若走路线，求遇到红灯次数的分布列及数学期望； (3)按照“平均遇到红灯的次数最少”的要求，请你帮助李医生分析，选择，哪条路线上班更好． 【解】（1）设“走路线最多遇到1次红灯”为事件， 则，所以走路线最多遇到次红灯的概率为． （2）依题意，知的所有可能取值为0，1，2． ，，， 故随机变量的分布列为 0 1 2 所以． （3）设选择路线遇到红灯的次数为，则，所以． 若，则，，选择路线上班更好； 若，则，，此时选择路线上班更好； 若，则，此时选择路线和路线一样． 10. 19世纪俄国数学家切比雪夫在研究统计的规律中，论证并用标准差表达了一个不等式，该不等式被称为切比雪夫不等式，它可以使人们在随机变量的分布未知的情况下，对事件做出估计.若随机变量具有数学期望，方差，则切比雪夫定理可以概括为:对任意正数，不等式成立.已知在某通信设备中，信号是由密文“”和“”组成的序列，现连续发射信号次，记发射信号“”的次数为. (1)若每次发射信号“”和“”的可能性是相等的， ①当时，求； ②为了至少有的把握使发射信号“”的频率在与之间，试估计信号发射次数的最小值； (2)若每次发射信号“”和“”的可能性是，已知在2024次发射中，信号“”发射次的概率最大，求的值. 【解】（1）①由题意， 所以. ； ②由题意，则，， 若，则， 所以， 又，解得，即发射次数至少为次. （2）依题意， 则， ， ，解得， ，解得， 又，所以当时，最大. 18（17分）已知盒子中共有个大小相同的球，有红、黄、黑三种颜色，其中黄球有个，随机不放回依次取出一个球，直到将球全部取出． （1）求第二次取出的球是黄球的概率． （2）若，且红球和黑球的个数比为，求黄球最先被全部取出（取出最后一个黄球时盒子里还有红球和黑球）的概率． （3）记随机变量为最后一个黄球取出时总共所取出球的个数，是的数学期望，证明：． 【解】（1）记“第二次取出的球是黄球”为事件， 将个黄球的安排情况作为样本空间，则样本点总数为， 事件表示第二次取出的球是黄球，其他个黄球在剩余个位置中随机安排，则事件包含的样本点数为， 故． （2）设红球个，由题意得，解得． 所以红球5个，黑球有10个． 记“最后一次取出球是红球”为事件，“最后一次取出球是黑球”为事件， 显然事件互斥，记“黄球最先被全部取出”为事件，则． 当事件发生时，只需考虑取出所有黄球和黑球时最后取出的是黑球， 则． 当事件发生时，只需考虑取出所有黄球和红球时最后取出的是红球， 则． 所以． （3）由题知随机变量的取值为， 则随机变量的分布列为 所以随机变量的期望 ． 所以． 12.一个微生物在如图所示方格的培养皿中随机移动，每次均以相等概率移动到相邻的方格．方格是初始位置，是营养丰富的角落，每次到达方格时，微生物进行一次繁殖．记该微生物第次繁殖时所经过的总移动步数为． （1）求； （2）求；（3）求． 参考公式： 1．若，对于，则； 2．若是离散型随机变量，则． 解析：（1）微生物经历奇数次移动必然到达区域，之后有的概率到达区域，有的概率到达区域，微生物在区域或者区域时，下一步必然到达区域． （2）解法1：微生物第1次到达区域所经历的步数必然为：， 若微生物经历次移动第1次到达区域，则前面步必然在区域与区域之间移动，且最后2步是由区域到区域，接着到达区域，于是 ，则 不妨设， 于是 则 化简可得，，由题意可知， ，所以； 解法2：由微生物在2次移动后，有的概率经过区域到达区域，有的概率经过区域回到区域，于是，解得， ； （3）初始位置时微生物第次到达区域累计移动次数为，设初始位置时微生物第次到达区域累计移动次数为，初始位置为时粒子第次到达区域累计移动次数为（初始位置不记为到达），当时，于是：， 即， 化简有，又由，有 即，又由，于是． 学科网（北京）股份有限公司 $