题号猜押08 江苏无锡中考数学27题（7大考点，解答题）（江苏专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押08 江苏无锡中考数学27题（解答题） 考点1 二次函数综合题-定点定值问题 1．（2025·无锡·一模）二次函数图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，在该图象上有一点P，连接BP，CP．设P点的横坐标为m（0＜m＜4）． （1）若C（0，3）， ①求该二次函数的表达式； ②m为何值时，△BCP的面积取得最大值？ （2）连接AP交y轴于点E，直线BP交y轴于点F，求证：是定值． 2．（2026·惠山区·二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于C，顶点D（1，4）． （1）求该二次函数的表达式； （2）已知M（x1，y1），N（2，y2）在该二次函数的图象上，若对于3t﹣1＜x1＜3t+2，都有y1＜y2，求t的取值范围； （3）直线y＝t交二次函数图象于点E，F（点E在点F的右边），交直线BC于点G，若FG＝3GE，求t的值． 3．（2026·泰兴市·模拟）如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（2，0）两点，与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝﹣1． （1）求抛物线的解析式． （2）点K是抛物线对称轴上第三象限的一点，将△BAK沿BK翻折，若点A恰好落在对称轴上点A′处，求点K的坐标． （3）如图2，将直线AC向下平移6个单位长度得直线l，点P为直线l上一点，射线PE，PF（均与y轴不平行）与抛物线都只有唯一交点，分别为M，N．判断直线MN是否经过某个定点，若经过定点，求该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由． 考点2 二次函数综合题-线段最值问题 1．（2025·梁溪区·一模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）的图象与x轴分别相交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴相交于点C，∠CBA＝45°． （1）请求出a的值； （2）已知点D是函数图象上一动点（不与A、B重合），过点D的直线l平行于y轴，与△ABD的外接圆交于另一点E，连接AE，CE．请问是否存在点D，使得AE+CE最小？若存在，请求出点D坐标并求出AE+CE的最小值；若不存在，请说明理由． 2．（2026·常州·校级模拟&2026·钟楼区·校级模拟）如图，抛物线y＝x2﹣2mx+3m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求该抛物线的表达式； （2）点D为该抛物线上第二象限内的一点，连接AC，DA，若∠DAB＝∠ACO，求点D的坐标； （3）若点E为线段OC上一动点，则的最小值为　　． 3．（2026·泉山区·校级模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（0，﹣4），点E，F在直线BC上，且点E在点F的左下侧，． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2，分别连接AE、AF，延长AF交抛物线于点P，当点P在第四象限时，若△ABP的面积记作S1，△AEF的面积记作S2，线段EF在移动过程中，当S1﹣S2的值最大时，求点E的坐标； （3）如图3，点D为该抛物线的顶点，连接DF，请直接写出AE+EF+DF的最小值． 考点3 二次函数综合题-面积问题 1．（2025·江阴市·一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0，c＞0）的图象顶点C的坐标是． （1）若c＝5，求二次函数表达式； （2）点M（x1，y1），N（x2，y2）是该函数图象上的两个不同的点，若x1+x2＞c，请判断y1，y2的大小关系，并说明理由； （3）等腰直角△BOD的直角顶点B在该二次函数的图象上，点D在该二次函数图象的对称轴上，若S△BOD＝8，直接写出a的值． 2．（2025·姑苏区·校级二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴分别交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点D（1，4），对称轴交x轴于点G． （1）求抛物线解析式； （2）如图1，点P是第一象限中抛物线上一动点，连接PC、PA，分别交对称轴于点E、F． ①在点P的运动过程中，DE、EF、FG这三条线段能否相等？若相等，求出点P的坐标；若不相等，请说明理由； ②如图2，连接AC、BC，AP与BC相交于点H，若△PCH的面积为S1，△ACH的面积为S2，求的最大值． 3．（2026·钟楼区·模拟）如图，二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线BC，M（m，y1），N（m+2，y2）为二次函数y＝﹣x2+2x+3图象上两点． （1）求直线BC对应函数的表达式； （2）试判断是否存在实数m使得y1+2y2＝10．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． （3）已知P是二次函数y＝﹣x2+2x+3图象上一点（不与点M，N重合），且点P的横坐标为1﹣m，作△MNP．若直线BC与线段MN，MP分别交于点D，E，且△MDE与△MNP的面积的比为1：4，请直接写出所有满足条件的m的值． 考点4 二次函数综合题-角度问题 1．（2025·锡山区·一模）如图，抛物线yx2+bx与x轴交于点A（5，0）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点B（1，m）是抛物线上一点，点C是线段AB上一点，连接OC并延长交抛物线于点D，若，求点D的坐标； （3）抛物线上是否存在点P，使得∠OPA＝45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 2．（2025·锡山区·一模）如图，二次函数y＝ax2﹣6ax+c（a＜0）的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为P，对称轴交x轴于点D，点Q是抛物线对称轴上一动点，直线BQ交y轴于点E，且5EQ＝3BQ． （1）请直接写出A，B两点的坐标：A　　，B　　； （2）当顶点P与点Q关于x轴对称时，S△QCE． ①求此时抛物线的函数表达式； ②在抛物线的对称轴上存在点F，使∠BEF＝2∠OBE，请直接写出点F的坐标． 3．（2025·无锡·校级二模）已知平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，且AB＝4． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是线段BC上一点，若∠PAC＝45°，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，将该抛物线向左平移，点D平移至点E处，过点E作EF⊥AP，垂足为点F，若，求平移后抛物线的表达式． 考点5 二次函数综合题-特殊三角形的存在性问题 1．（2026·江阴市·一模）如图，已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3（a＞0）的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C． （1）求二次函数表达式； （2）若点M（t，y1），N（t+1，y2）（0＜t＜2）是该函数图象上两点． ①证明：y2＜y1+3； ②连接AM、AN、MN，若△AMN为直角三角形，求t的值． 2．（2025·新吴区·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（b，c为常数）的对称轴为直线x＝2，且经过点A（4，3），该抛物线与x轴的负半轴交于点B． （1）此抛物线对应的函数表达式； （2）点P是抛物线上的一点，当△PAB的面积为某一值时，符合该值的点P恰好有三个，求对应点P的横坐标； （3）点M为抛物线对称轴上一点，点N为抛物线上一点，若△AMN是以AM为斜边的等腰直角三角形，直接写出点N的坐标． 3．（2026·天宁区·校级模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）若m≤x≤m+1时，二次函数y＝ax2+bx+3的最大值为m，求m的值； （3）当点P在对称轴左侧的抛物线上时，对称轴上是否存在一点D，使得△APD是以AD为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 考点6 二次函数综合题-特殊四边形的存在性问题 1．（2026·惠山区·一模）已知二次函数的图象经过点A（﹣3，0），B（1，0），顶点为点D，与y轴交于点C． （1）求该二次函数的表达式； （2）点M（a，y1）和N（a+3，y2）是该二次函数图象上的两点，当a＜0时，试比较y1与y2的大小，并说明理由； （3）点P是直线AC上的动点，过点P作直线AC的垂线PE，记点D关于直线PE的对称点为F，当以点P、A、D、F为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点P的坐标． 2．（2025·滨湖区·二模）如图，已知二次函数y＝m2x2﹣2mx﹣3（m是常数，m＞0）的图象与x轴分别相交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．点C关于l的对称点为D，连接AD．点E为该函数图象上一点，AB平分∠DAE． （1）①线段AB的长为　　． ②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示） （2）设M是该函数图象上一点，点N在l上．探索：是否存在点M．使得以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由． 3．（2025·滨湖区·一模）已知，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，A（﹣1，0），函数图象的对称轴经过点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）连接AC，BC，若点P为直线BC下方的函数图象上一动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为点D，PD交BC于点E． ①点F为线段DE上一动点，FG⊥y轴，垂足为点G，点H为线段AC上一动点，连接CP，BF，GH．当△BCP的面积最大时，求BF+FG+GH的最小值； ②在y轴上是否存在点T，使以P、E、C、T为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点T的坐标；若不存在，请说明理由． 考点7 二次函数综合题-相似三角形的存在性问题 1．（2026·常州·校级模拟）如图，直线y＝x﹣3与x轴，y轴分别交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线＝﹣x2+mx+n与x轴的另一个交点为A，顶点为P． （1）求该抛物线的解析式以及顶点P的坐标； （2）当0＜x＜3时，在抛物线上存在点E，使△CBE的面积有最大值，求点E的坐标； （3）连接AC，点N在x轴上，是否存在以B，P，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由． 2．（2025·惠山区·三模）已知二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴经过点E（1，0）且与BC交于点F，CF：BF＝1：3． （1）求二次函数的表达式； （2）点D是抛物线的顶点，点P在抛物线上，并且位于对称轴的右侧． ①当∠PAB+∠CBA＝∠DCB时，求点P的坐标； ②连接AC，点Q是直线BC上一点，当Rt△PEQ∽Rt△COA时，求点P的坐标． 3．（2025·梁溪区·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B（点A在点B左侧），与y轴交于C．一次函数y＝x﹣3的图象经过B、C两点，点D（0，﹣2）． （1）求b，c的值； （2）点E在直线BC上，直线DE交x轴于点F，将点D绕点E逆时针旋转90°得到点G．连接GD、GF，当△GDF和△ABC相似时，求点G的坐标． 1．（2025·无锡·二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝a（x+m）2﹣m+2（a＜0）的图象与一次函数y＝x+2的图象交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点（B在A的左侧）． （1）二次函数的顶点坐标为　　； （2）若二次函数y＝a（x+m）2﹣m+2（a＜0）由y＝﹣x2平移所得， ①求线段AB的长； ②当x2≤x≤﹣2m﹣1时，二次函数的最大值与最小值的和等于，求m的值． 2．（2026·锡山区·一模）已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C． （1）直接写出这个二次函数的表达式； （2）如图1，连接BC，点P是直线AC上的一个动点，过点P的直线l与BC平行，则在直线l上是否存在点Q，使点B与点P关于直线CQ对称？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，点G，H为x轴上方的抛物线上两点（点G在点H的右边），直线AG、AH与y轴分别交于S，T两点，若OS·OT＝6，试探究直线GH是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 3．（2026·海州区·校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），AB＝8，顶点C的坐标为（0，﹣4）． （1）求抛物线的函数表达式． （2）过线段OC的中点D的直线l：y＝kx+b（k＜0）与抛物线交于E，F两点（E在y轴左侧）． ①若点D为EF的三等分点，求k的值． ②连接AF，BE分别交y轴于点M，N，求CM+CN的最小值． 4．（2026·常州·校级模拟）如图，已知抛物线与x轴交于A，B（8，0）两点，与y轴交于点C．点P为第一象限抛物线上的点，连接CA，CB，PB，PC． （1）直接写出结果：b＝　　，tan∠ABC＝　　； （2）如图1，当∠PCB＝2∠ABC时，求点P的坐标； （3）如图2，点D在y轴负半轴上，OD＝OB，点Q为抛物线上一点，∠QBD＝90°．点E，F分别为△BDQ的边DQ，DB上的动点，且QE＝DF，求BE+QF的最小值． 5．（2025·宜兴市·模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于点和点B（4，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，点P为线段OB上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交线段BC于点M，点D是直线BC上方抛物线上一点．当△MND∽△BPM时，求点N的坐标． （3）如图2，点Q是抛物线上在第一象限的一个动点，连接AQ，交线段BC于点E，交y轴于点F，令S＝S△BQE﹣S△CEF，求S的最大值． 6．（2026·锡山区·一模）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C，OB＝OC＝2OA，C点坐标（0，﹣2），连接BC． （1）求抛物线的解析式； （2）在图1中，点D（x，y）是线段BC下方抛物线上一动点，连接DO交线段BC于E点，设，当∠ACD＝90°时，求k的值； （3）如图2，在线段BC上方有一条动直线EF始终与线段BC平行，且与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交于E、F两点，直线CE与BF交于点P，△BCP的面积能否为4，若能，直接写出点P的坐标，若不能，请说明理由． 7．（2025·江阴市·模拟）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0）图象的对称轴是经过点（1，0）且平行于y轴的直线，与x轴分别交于A、B两点（A点在B点的左侧），A点为（﹣1，0），与y轴交于点C． （1）求二次函数的表达式； （2）点M（m，y1）和N（m+1，y2）是二次函数图象上的两个点，比较y1和y2的大小； （3）在抛物线对称轴上找一点P，使得tan∠BPC＝3，求P点的坐标． 8．（2026·新吴区·二模）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A、点B（1，0），与y轴交于点E，且对称轴为直线x＝﹣1．该抛物线与直线交于C、D两点（点C在点D的左侧）． （1）求二次函数的表达式； （2）若△ACD与△CDE的面积相等时，求m的值； （3）当m为何值时，在x轴上存在唯一的点Q，使∠CQD＝90°？（直接写出m的值） 9．（2026·滨湖区·一模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象经过点A（﹣1，9），B（5，9），与y轴交于点C，顶点为P． （1）求该二次函数的函数表达式； （2）设二次函数y＝mx2+nx+p（m≠1）的图象经过点A，B，且与y轴交于点D，顶点为Q． ①求的值； ②当△PCQ是直角三角形时，求tan∠CDQ的值． 10．（2026·钟楼区·校级模拟）如图，已知二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点B的坐标为（9，0），点C的坐标为（0，﹣3），连接AC，BC． （1）求抛物线的解析式． （2）若点P为抛物线上的一个动点，连接PC，当∠PCB＝∠OBC时，求点P的横坐标． （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使△BCQ为直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 11．（2026·锡山区·一模）如图，已知二次函数（其中b，c为常数）的图象经过点A（6，2），点C（0，8），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接BC． （1）求该二次函数的解析式及点M的坐标； （2）若点E是直线AC上方的抛物线上的动点，求四边形AECB面积的最大值； （3）点P是直线AC上的动点，过点P作直线AC的垂线PE，记点M关于直线PE的对称点为Q．当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求出点P的坐标． 12．（2025·惠山区·一模）已知二次函数y＝ax2﹣3x+c的图象与x轴交于A、B两点，且点B（1，0），其对称轴为过点且平行于y轴的直线． （1）求二次函数的表达式； （2）过点D（0，﹣3）作x轴的平行线与二次函数图象交于点M、N，点E为直线MN上一动点，点P为二次函数图象上一动点（P不与B重合），连结BP、PE、BE，将△BPE沿直线BP翻折得到△BPE′． ①当点E在对称轴左侧，点E′与点A重合时，求点P的坐标． ②当以点B、E、P、E'为顶点的四边形是矩形时，直接写出点E'的坐标． 13．（2026·宜兴市·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+8经过点A（4，0），与y轴交于点B，且关于直线x＝1对称． （1）则抛物线解析式中a＝　　，b＝　　； （2）当3t+2≤x≤4时，y的取值范围是0≤y≤6t+3，求t的值； （3）点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 14．（2025·锡山区·校级四模）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象经过点A（4，0）．经过点A的直线与该二次函数图象交于点B（1，3），与y轴交于点C． （1）求二次函数的解析式及点C的坐标； （2）点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过点P作PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m． ①m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值； ②是否存在点P，使得△BPD与△AOC相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 15．（2026·苏州·校级模拟）抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于点C，P是直线BC上方抛物线上一动点． （1）点C的坐标为　　； （2）求抛物线的函数关系式和直线BC的函数关系式； （3）如图1，若AP与BC相交于点F，判断是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由； （4）如图2，过点P作PE⊥BC于E，若△PCE与△AOC相似，则点P的横坐标为　　． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押08 江苏无锡中考数学27题（解答题） 考点1 二次函数综合题-定点定值问题 1． 【答案】（1）①yx2x+3；②m＝2；（2）为定值． 【详解】（1）解：①由题意可得：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4）， ∴﹣4a＝3，则a， ∴抛物线的表达式为：yx2x+3； ②由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：yx+3， 如图，作PH∥y轴交BC于点H， 设点P（m，m2m+3），则H（m，m+3）， ∴PHm2+3m， ∴△BCP的面积BO×PH4×（m2+3m）＝2（m2+3m）， 当m＝2时，△BCP的面积取得最大值； （2）证明：由（1）可知：抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）， ∴点C（0，﹣4a），点P（m，a（m+1）（m﹣4））， 由点A、P的坐标可得：直线AP的表达式为：y＝a（m﹣4）（x+1）， ∴点E（0，am﹣4a）， ∴CE＝﹣4a﹣am+4a＝﹣am， 同理可得：CF＝﹣4am， ∴为定值． 2． 【答案】（1）y＝﹣（x﹣1）2+4；（2）t≥1或t；（3）或﹣2． 【详解】解：（1）∵顶点D（1，4）， ∴设二次函数的表达式是y＝a（x﹣1）2+4， 将A（﹣1，0）代入得：0＝4a+4，解得：a＝﹣1， ∴y＝﹣（x﹣1）2+4； （2）∵y＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线的对称轴是直线x＝1，开口向下， ∵M（x1，y1），N（2，y2）在该二次函数的图象上，且对于3t﹣1＜x1＜3t+2，都有y1＜y2， ∴|x1﹣1|＞|2﹣1|， ∴x1＞2或x1＜0， ∴3t﹣1≥2或3t+2≤0，解得：t≥1或t； （3）直线y＝t交二次函数图象于点E，F（点E在点F的右边），交直线BC于点G， 把x＝0代入y＝﹣（x﹣1）2+4，得y＝3，∴C（0，3）， 把y＝0代入y＝﹣（x﹣1）2+4，得x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0） 设直线BC的解析式为：y＝kx+b， 将B（3，0），C（0，3）代入得：，解得：， ∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3， ∴当t＝﹣x+3，得x＝3﹣t，即G点的横坐标是3﹣t， 当t＝﹣（x﹣1）2+4，得，， ∵FG＝3GE， ∴当点G在点EF之间时，（3﹣t）﹣（1）＝3（13+t）， 整理得：4﹣2t， 解得：，（不合题意，舍去）； 当点G在点E右侧时，3﹣t＞1，（3﹣t）﹣（1）＝3（3﹣t﹣1）， 解得：，（不合题意，舍去）； 综上，t或﹣2． 3． 【答案】（1）y＝x2+2x﹣8；（2）；（3）直线MN经过定点（﹣2，﹣6）． 【详解】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（2，0）两点，其对称轴为直线x＝﹣1， 将点B的坐标代入，结合对称轴公式可得：，解得：， ∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣8； （2）∵A，B关于抛物线对称轴对称，B（2，0） ∴点A的坐标为（﹣4，0）， ∴AB＝2﹣（﹣4）＝6， ∵将△BAK沿BK翻折，若点A恰好落在对称轴上点A′处， ∴AB＝A′B＝6，A′K＝AK， 设点A′（﹣1，m），其中m＜0， 由勾股定理可得：（﹣1﹣2）2+（m﹣0）2＝62，解得：（不合题意，舍去）， ∴； 设点K的坐标为（﹣1，k）， ∵A′K＝AK， ∴，解得：， ∴； （3）直线MN经过定点（﹣2，﹣6），理由如下： ∵抛物线y＝x2+2x﹣8与y轴交于点C， 当x＝0时，得：y＝﹣8， ∴C（0，﹣8）， 设直线AC的解析式为y＝kx﹣8， 将点A的坐标代入得：﹣4k﹣8＝0，解得：k＝﹣2， ∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8， ∴直线l的解析式为y＝﹣2x﹣14； 设M（t，t2+2t﹣8），N（n，n2+2n﹣8），直线MN的解析式为y＝k1x+b1， 联立得：， 整理得：x2+（2﹣k1）x﹣（8+b1）＝0， ∴t，n是上述方程的两个不相等的实数根， ∴t+n＝k1﹣2，tn＝﹣（8+b1）； 设PM的解析式为y＝k2x+b2， 把点M坐标代入得：， ∴， 联立得：， 整理得：， 由题意可得：， ∴k2＝2t+2， ∴y＝（2t+2）x﹣t2﹣8； 同理可得：直线PN的解析式为y＝（2n+2）x﹣n2﹣8， 联立得：，解得：，即， ∴点P的坐标为， ∵点P在直线l上， ∴， ∴b1＝2k1﹣6， ∴直线MN的解析式为y＝k1x+2k1﹣6， 当x＝﹣2时，y＝﹣6， ∴直线过定点（﹣2，﹣6）． 考点2 二次函数综合题-线段最值问题 1． 【答案】（1）1；（2）D（，），AE+CE的最小值为． 【详解】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x2﹣2x﹣3）＝a（x﹣3）（x+1）， 令y＝0，得x＝3或﹣1， ∴A（﹣1，0），B（3，0）． ∵与y轴相交于点C，∠CBA＝45°， ∴OB＝OC＝3， ∴C（0，﹣3）， 把C（0，﹣3）代入y＝a（x﹣3）（x+1）中，解得：a＝1． （2）如图，设D（m，n），设△ABD的外接圆圆心为M（1，k）， ∴由中点坐标公式可得：E（m，2k﹣n）， ∵BM2＝DM2， ∴（3﹣1）2+k2＝（m﹣1）2+（n﹣k）2，① ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴把D（m，n）代入可得：n＝（m﹣1）2﹣4，即（m﹣1）2＝n+4，② 把②式代入①式，得4+k2＝n+4+（n﹣k）2，整理得：n2﹣2kn+n＝0， ∴n（n﹣2k+1）＝0， ∵n≠0， ∴n﹣2k+1＝0，即2k﹣n＝1， ∴E（m，1），即E点在直线y＝1上运动， 作A点关于直线y＝1的对称点A'，则A'（﹣1，2）， 连接CA'，则AE+CE最小值为CA'的长， ∴CA'， ∴AE+CE最小值为． 直线A'C的解析式为y＝﹣5x﹣3， ∴E（，1）， ∴D（，）． 2． 【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）；（3）． 【详解】解：（1）抛物线y＝x2﹣2mx+3m与y轴交于点C（0，﹣3）， 将点C的坐标代入得：﹣3＝3m，解得：m＝﹣1， ∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3； （2）如图1，过点D作x轴的垂线，交x轴于点H， 设点D的坐标为（t，t2+2t﹣3）， ∵抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A、B两点， 当y＝0时，得x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3； ∴OA＝1，OB＝3， ∵点C（0，﹣3）， ∴OC＝3， ∵∠DAB＝∠ACO， ∴tan∠DAB＝tan∠ACO， ∴， ∴，解得：或t＝1（经检验，都是分式方程的解）， ∵点D在第二象限， ∴， ∴， ∴点； （3）如图2，过点E作EF⊥BC，交BC于点F， 由（2）可知：OB＝3，OC＝3，OA＝1， ∴OB＝OC， ∴△OBC是等腰直角三角形， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∵EF⊥BC， ∴∠EFB＝90°， ∴△CEF是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当点A，E，F三点共线时，有最小值，此时∠BAF＝90°﹣45°＝45°， ∴△AOE是等腰直角三角形， ∴OA＝OE＝1， ∴EC＝OC﹣OE＝3﹣1＝2， 在直角三角形AOE中，由勾股定理可得：， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 3． 【答案】（1）yx2﹣x﹣4；（2）E（，）；（3）2． 【详解】（1）解：把，代入得：，解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：令得：，解得：， ∴， ∵点到直线的距离为定值， ∴的面积为定值， ∴当的面积取最大值时，的值最大， 当点位于抛物线最下端时，的面积最大，即点与顶点重合时， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 把，代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， 联立方程，解得：， 把代入，得， ∴， 如图，作轴，作交于点， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，即； （3）解：如图，过点作，截取，连接， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 当三点共线时，取最小值，最小值为， 由（2）可得：点的横坐标，纵坐标比点的横坐标，纵坐标都大， ∴，即， ∴， ∴，即的最小值为． 考点3 二次函数综合题-面积问题 1． 【答案】（1）y（x）2；（2）当x1＜x2时，y1＜y2；当x1＞x2时，y1＞y2；（3）a或或． 【详解】解：（1）由题意可得：y＝a（xc）2， 将（0，c）代入上式得：c＝y＝a（0c）2， ∴a， 当c＝5时，函数的表达式为：y（xc）2（x）2； （2）∵c＞0， ∴a0， ∴抛物线开口向上， 当（x1+x2）c时，y1＝y2， ∵x1+x2＞c， ∴当x1＜x2时，y1＜y2；当x1＞x2时，y1＞y2； （3）设点B（x，y）、D（c，m）， 当点B在对称轴的右侧时，如图，过点B作y轴平行线交x轴于点M，交过点D和x轴的平行线于点N， ∵∠BDN+∠OBM＝90°，∠OBM+∠BOM＝90°， ∴∠BDN＝∠OBM， ∵∠BND＝∠OMB＝90°，OB＝BD， ∴△OMB≌△BDN（AAS）， ∴BN＝OM，BM＝DN， ∴xc＝y，m﹣y＝x，解得：xmc，ymc， ∴点B（mc，mc）， 将点B的坐标代入y（xc）2得：mc（mcc）2， 整理得：（2m﹣c）（m﹣c）＝0，解得：m＝c或m＝c， ∴S△BOD＝8BO2（x2+y2）（m2c2），解得：c或c＝8， ∴a或； 当点B在对称轴为左侧时， 同理可得：点B（cm，mc）， 将点B的坐标代入抛物线表达式得：mc（cmc）2， 整理得：m（2m+c）＝0，解得：m＝0或mc， ∴S△BOD＝8BO2（x2+y2）（m2c2），解得：c＝8或8， ∴a或a； 综上，a或或． 2． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）①DE、EF、FG这三条线段能相等；；②． 【详解】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴分别交于A（﹣1，0），B两点，抛物线的顶点D（1，4）， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4， 把点A的坐标代入得：0＝a（﹣1﹣1）2+4，解得：a＝﹣1， ∴y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3； （2）①DE、EF、FG这三条线段能相等，理由如下： 假设存在， ∵D（1，4）， ∴DG＝4， ∴当时，， 抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C， ∴当x＝0时，得y＝3， ∴C（0，3）， 设直线AF的解析式为y＝kx+m， 将点A，点F的坐标分别代入得：，解得：， ∴； 同法可得：直线CE的解析式为， 联立得：，解得：， ∴两条直线的交点坐标为， 对于y＝﹣x2+2x+3，当时，得， ∴两条直线的交点在抛物线上， ∴DE、EF、FG这三条线段能相等，； ②抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴分别交于A（﹣1，0），B两点， 当y＝0时，得﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∴B（3，0）， 同①法可得：直线BC的解析式为直线y＝﹣x+3， 如图，作AM⊥x轴，交BC的延长线于点M，作PN⊥x轴，交BC于点N，则AM∥PN， ∵A（﹣1，0）， ∴当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1）+3＝4， ∴AM＝4， 设P（t，﹣t2+2t+3），则：N（t，﹣t+3）， ∴PN＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t， ∵AM∥PN， ∴△AMH∽△PNH， ∴， ∵△PCH，△ACH是同高三角形， ∴， ∴当时，的值最大，为． 3． 【答案】（1）直线BC对应函数的表达式为y＝﹣x+3； （2）不存在，理由详见解析；（3）或． 【详解】解：（1）令x＝0，则y＝3， ∴点C的坐标为（0，3）． 令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得：x＝﹣1或x＝3． ∴点B的坐标为（3，0）， 设直线BC的表达式为y＝kx+b， ∴，解得：， ∴直线BC对应函数的表达式为y＝﹣x+3； （2）不存在，理由如下： 方法一：把M（m，y1），N（m+2，y2）代入二次函数y＝﹣x2+2x+3得： ，， ∴， 配方可得：． ∴当时，y1+2y2的最大值为10． ∴不存在实数m使得y1+2y2＝10； 方法二：由方法一可得：， 当y1+2y2＝10时，﹣3m2﹣2m+9＝10，整理得：3m2+2m+1＝0， ∵Δ＝4﹣12＝﹣8＜0， ∴方程没有实数根， ∴不存在实数m使得y1+2y2＝10； （3）或，理由如下： 如图，作NH∥y轴，交x轴于点H，交BC于点N′， 作PQ⊥NH，垂足为Q，作MM′∥y轴，交BC于点M′，则MM′∥NN′， 当x＝1﹣m时，y＝﹣（1﹣m）2+2（1﹣m）+3＝﹣m2+4， ∴点P的坐标为（1﹣m，﹣m2+4）， ∵点N的坐标为（m+2，﹣m2﹣2m+3）， ∴点Q的坐标为（m+2，﹣m2+4），点H的坐标为（m+2，0），点N′的坐标为（m+2，﹣m+1）， ∴NQ＝PQ＝|2m+1|，BH＝HN′＝|﹣m+1|， ∴∠PNQ＝∠BN′H＝45°， ∴PN∥BC， ∴△MDE∽△MNP， ∴， ∴，即MD＝ND， ∵MM′∥NN′， ∴△MM′D∽△NN′D， ∴，即MM′＝NN′， ∵点M的坐标为（m，﹣m2+2m+3）， ∴点M′的坐标为（m，﹣m+3）， ∴|m2﹣3m|＝|﹣m2﹣m+2|，整理得：m2﹣m﹣1＝0或﹣4m＝﹣2， 解得：或或m（此时P与M重合，舍去）， ∴或． 考点4 二次函数综合题-角度问题 1． 【答案】（1）yx2x；（2）点D坐标为（3，3）；（3）点P坐标为（﹣1，﹣3）或（6，﹣3）． 【详解】解：（1）由已知可得：25+b×5＝0，解得：b， ∴yx2x； （2）如图，作CE⊥OA于E，DF⊥OA于F， 当x＝1时，m121＝2， ∴点B坐标为（1，2）， 设AB解析式为：y＝kx+b， ，解得：． ∴y， ∵， ∴， ∵CE⊥OA于E，DF⊥OA于F， ∴CE∥DF， ∴， 设E点坐标为（m，0）， ∴点C坐标为（m，），点F坐标为（m，0），点D坐标为（m，）． ∵点D在抛物线上， ∴（m）2m， ∴9m2﹣30m+25＝0，解得：m1＝m2， ∴点D坐标为（3，3）； （3）如图，作过O、P、A三点的圆M，连接OM，AM，PM，作MN⊥OA于N， ∵∠OPA＝45°， ∴∠AMO＝90°， ∵OM＝AM，OA＝5， 又∵MN⊥OA， ∴ON＝AN＝MN＝2.5， ∴点M坐标为（2.5，﹣2.5）， ∴AM＝OM， ∴PM， 设点P坐标为（x，y）， ∴（x﹣2.5）2+（y+2.5）2＝（）2，整理得：x2﹣5x+y2+5y＝0， ∵yx2x， ∴y2+3y＝0，解得：y1＝0（不合题意，舍去），y2＝﹣3． ∴y＝﹣3＝x2x，解得：x1＝﹣1，x2＝6， ∴点P坐标为（﹣1，﹣3）或（6，﹣3）． 2． 【答案】（1）（﹣2，0），（8，0）；（2）①yx2x；②F（3，）或F（3，）． 【详解】解：（1）如图， ∵y＝ax2﹣6ax+c＝a（x﹣3）2﹣9a+c， ∴抛物线对称轴是：直线x＝3， ∴OD＝3， ∵DQ∥y轴， ∴OD：BD＝EQ：BQ， ∵5EQ＝3BQ， ∴EQ：BQ＝3：5＝OD：BD， ∴BD＝5， ∴B（8，0）， 由对称性可得：A（﹣2，0）， 故答案为：（﹣2，0），（8，0）； （2）①将点A（﹣2，0）代入二次函数y＝ax2﹣6ax+c中得：4a+12a+c＝0， ∴c＝﹣16a， ∵y＝ax2﹣6ax+c＝a（x﹣3）2﹣9a+c， ∴P（3，﹣9a+c）， ∵顶点P与点Q关于x轴对称， ∴Q（3，9a﹣c），即Q（3，25a）， ∵S△QCE， ∴，解得：EC， 由点B、Q的坐标可得：直线BQ的表达式为：y＝﹣5ax+40a， ∴E（0，40a）， ∵C（0，c），即（0，﹣16a）， ∴﹣16a﹣40a，解得：a＝﹣0.1， ∴c＝﹣16×（﹣0.1）， ∴此时抛物线的函数表达式为：yx2x； ②如图，当点F在BE的下方时，连接PB， ∵顶点P与点Q关于x轴对称， ∴∠PBD＝∠QBD， ∵∠BEF＝2∠OBE， ∴∠BEF＝∠PBQ， ∴PB∥EF， 由①可知：a＝﹣0.1，P（3，2.5）， 同理可得：PB的解析式为：yx+4， ∴设EF的解析式为：yx+n， ∵E（0，﹣4）， ∴n＝﹣4， ∴F（3，）； 如图，当点F在BE的上方时，连接DE， 设F（3，m）， ∵D（3，0）， ∴BD＝5， ∵D（3，0）E（0，﹣4），OD＝3，OE＝4， 由勾股定理可得：ED＝5， ∴DE＝BD， ∴∠DEB＝∠OBE， ∵∠FEB＝2∠OBE， ∴∠FEB＝2∠DEB， ∴EQ：EF＝DQ：FD， ∵BE4， 又∵5EQ＝3BQ， ∴EQBQ， ∴EQ+BQ＝BE， ∴EQ， ∵DQ＝2.5，FD＝m，EQ：EF＝DQ：FD， ∴EFm， 过F作FD⊥y轴，垂足为N， 在直角三角形中，EF， ∴m，解得：m或（舍去）， ∴F（3，）； 综上，F（3，）或F（3，）． 3． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）；（3）． 【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），且AB＝4， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， 将A（﹣1，0）代入抛物线解析式y＝ax2﹣2ax﹣3得：a+2a﹣3＝0，解得：a＝1， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）如图1，过点C作CN⊥AP于点N，过点N作x轴的垂线交x轴于点R，交过点C和x轴的平行线于点T， ∵∠PAC＝45°，CN⊥AP， ∴△CAN为等腰直角三角形， ∴AN＝CN， 设点N的坐标为（m，n）， ∵∠ANR+∠CNT＝90°，∠TCN+∠CNT＝90°， ∴∠TCN＝∠ANR， 在△ARN和△NTC中， ， ∴△ARN≌△NTC（AAS）， ∴AR＝NT，RN＝CT， ∴m+1＝n+3，m＝﹣n，解得：m＝1，n＝﹣1， ∴N（1，﹣1）， 设直线AN的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 将点A，点N的坐标分别代入得：，解得：， ∴直线AN的解析式为， 在y＝x2﹣2x﹣3中，当x＝0时，y＝﹣3，即C（0，﹣3）， 设直线BC的解析式为y＝k1x+b1（k1≠0）， 将点B，点C的坐标分别代入得：，解得：， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣3， 联立得：，解得：， ∴； （3）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，抛物线的顶点为D， ∴D（1，﹣4）， 设抛物线向左平移了t个单位，则点E（1﹣t，﹣4），新抛物线的解析式为y＝（x﹣1+t）2﹣4， 如图2，过点F作x轴的平行线交过点P和y轴的平行线于点H，交过点E和y轴的平行线于点G， 由（2）可得：， 设直线AP的解析式为y＝k2x+b2（k2≠0）， 将点A，点P的坐标分别代入得：，解得：， ∴直线AP的解析式为， 设点F的坐标为， ∵∠EFP＝90°， ∴∠GFE+∠HFP＝90°， ∵∠GFE+∠GEF＝90°， ∴∠HFP＝∠GEF， ∴△FGE∽△PHF， ∴， ∵EF⊥AP，， ∴，即， ∴， ∵，， GF＝xF﹣xG＝m﹣（1﹣t），， ∴，解得：， ∴新抛物线的解析式为． 考点5 二次函数综合题-特殊三角形的存在性问题 1． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）①证明详见解析；②t＝1或或． 【详解】（1）解：把A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2ax﹣3，得a＝1， ∴y＝x2﹣2x﹣3； （2）①证明：由题意可知：，， ∴y2﹣（y1+3）＝2t﹣4， ∵0＜t＜2， ∴2t﹣4＜0， ∴y2﹣（y1+3）＜0， ∴y2＜y1+3； ②解：当∠MAN＜∠CAB，显然∠MAN≠90°， 如图1，当∠ANM＝90°时，过点N作NE⊥x轴交x轴于点E，MD⊥NE于点D， 则MD＝1，BN＝4﹣t2，AE＝t+2，DN＝y2﹣y1＝2t﹣1， ∵∠AEN＝∠ANE＝∠D＝90°， ∴∠ANE＝∠DMN＝90°﹣∠DNM， ∴△DMN∽△ENA， ∴， ∴， ∴（2t﹣1）（2﹣t）＝1， ∴2t2﹣5t+3＝0， ∴t1＝1，； 如图2，当∠AMN＝90°时，过点A作AE⊥x轴，过点M作ME⊥AE，过N作 ND⊥ME 于点D， 则MD＝1，DN＝2t﹣1，EM＝t+1，AE＝﹣t2+2t+3， 同理可得：△DMN∽△EAM， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴2t2﹣7t+4＝0， ∴，t2， ∵0＜t＜2， ∴t； 综上，t＝1或或． 2． 【答案】（1）yx2+x+3；（2）P的坐标为（1，）或（31，）或（﹣31，）； （3）N的坐标为（4+2，1﹣2）或（4﹣2，1+2）或（2，1+2）或（﹣2，1﹣2）． 【详解】解：（1）∵抛物线yx2+bx+c的对称轴为直线x＝2，且经过点A（4，3）， ∴，解得：， ∴抛物线对应的函数表达式为yx2+x+3； （2）如图，平移直线AB到MN，使MN与抛物线只有一个交点P1时，△PAB的面积等于△ABP1的面积的P恰好有三个（P1，P2，P3），设MN交y轴于K，AB交y轴于Q，P2P3交y轴于T， 在yx2+x+3中，令y＝0得：0x2+x+3，解得：x＝﹣2或x＝6， ∴B（﹣2，0）， ∵A（4，3）， ∴直线AB解析式为yx+1， 由MN∥AB设直线MN解析式为yx+b， ∴x2+x+3x+b有两个相等实数解，即x2x+3﹣b＝0有两个相等实数解， ∴Δ＝0，即3﹣b＝0，解得：b， ∴直线MN解析式为yx，方程x2x+30的解为x1＝x2＝1， ∴P1（1，）； 由直线AB解析式yx+1得Q（0，1），直线MN解析式yx得K（0，）， ∴KQ1， ∵直线MN与直线AB的距离等于直线P1P2与AB的距离， ∴QT＝KQ， ∴Q（0，）， ∴直线P1P2的解析式为yx， 联立可得：，解得：或， ∴P2（31，），P3（﹣31，）； 综上，P的坐标为（1，）或（31，）或（﹣31，）； （3）如图，过N作KT∥y轴，过M作MK⊥KT于K，过A作AT⊥KT于T， 设M（2，m），N（n，n2+n+3）， ∵△AMN是以AM为斜边的等腰直角三角形， ∴∠ANM＝90°，AN＝MN， ∵∠ANT＝90°﹣∠MNK＝∠NMK， ∵∠T＝∠K＝90°， ∴△ANT≌△NMK（AAS）， ∴NT＝KM， ∴|n2+n+3﹣3|＝|2﹣n|， ∴n2+n＝2﹣n或n2+n＝n﹣2，解得：n＝4+2或n＝4﹣2或n＝2或n＝﹣2， ∴N（4+2，1﹣2）或（4﹣2，1+2）或（2，1+2）或（﹣2，1﹣2）． 3． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）m的值为或； （3）存在，点P的横坐标为0或﹣2或或． 【详解】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）， 将点A，点B的坐标分别代入得：，解得：， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线的顶点为（1，4），对称轴为直线x＝1， 当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而增大， 若m+1≤1，即m≤0时， 当x＝m+1时，函数有最大值m， ∴﹣（m+1）2+2（m+1）+3＝m，解得：（不合题意，舍去），； 若m＜1＜m+1，即0＜m＜1时， 当x＝1时，函数有最大值为m＝4（不合题意，舍去）； 若m＞1， 当x＝m时，函数有最大值为m， ∴﹣m2+2m+3＝m，解得：（不合题意，舍去），； 综上，m的值为或； （3）存在，点P的横坐标为0或﹣2或或，理由如下： 设D（1，t），则AN＝2， ①当点D为直角顶点， （i）当t＞0时， 如图1，作PM⊥MN交对称轴于点M，记抛物线对称轴与x轴交点为N， ∵∠ADP＝90°， ∴∠PDM+∠ADN＝90°， 又∵∠PDM+∠MPD＝90°， ∴∠ADN＝∠MPD， 在△PMD和△DNA中， ， ∴△PMD≌△DNA（AAS）， ∴PM＝DN＝t，MD＝AN＝2， ∴P（1﹣t，2+t）， 代入抛物线解析式得：2+t＝﹣（1﹣t）2+2（1﹣t）+3，解得：t1＝﹣2（不合题意，舍去），t2＝1， ∴点P的横坐标为1﹣t＝1﹣1＝0； （ii）当t＜0时， 如图2，作PM⊥MN交对称轴于点M， 同理可证：△PMD≌△DNA（AAS）， ∴AN＝DM＝2，PM＝DN＝t， ∴设点P（1+t，t﹣2）， 代入抛物线解析式得：t﹣2＝﹣（1+t）2+2（1+t）+3，解得：t1＝2（不合题意，舍去），t2＝﹣3， ∴点P的横坐标为1+t＝1+（﹣3）＝﹣2； ②当点A为直角顶点， （i）当点P在x轴上方时，如图3，过点A作y轴平行线，作PM⊥AM交于点M，DN⊥AN交于点N， 同理可得：△PMA≌△AND（AAS）， ∴PM＝AN＝﹣t，AM＝DN＝2， ∴P（﹣1+t，2）， 代入抛物线解析式得：2＝﹣（﹣1+t）2+2（﹣1+t）+3，解得：，， ∵点P在对称轴左侧， ∴， ∴点P的横坐标为； （ii）当点P在x轴下方时，如图4，过点P作PM⊥x轴交x轴于点M，记对称轴与x轴交点为N， 同理可得：△PMA≌△AND（AAS）， ∴PM＝AN＝2，DN＝AM＝t， ∴点P为（﹣1﹣t，﹣2）， 代入抛物线解析式得：﹣2＝﹣（﹣1﹣t）2+2（﹣1﹣t）+3，解得：，， ∵点P在对称轴左侧， ∴， ∴点P的横坐标为； 综上，对称轴上存在一点D，使得△APD是以AD为直角边的等腰直角三角形；点P的横坐标为0或﹣2或或． 考点6 二次函数综合题-特殊四边形的存在性问题 1． 【答案】（1）； （2）当时，y1＝y2；当时，y1＜y2；当时，y1＞y2；（3）和． 【详解】解：（1）∵二次函数的图象经过点A（﹣3，0），B（1，0）， ∴，整理得：，解得：， ∴该二次函数的表达式为； （2）∵点M（a，y1）和N（a+3，y2）是二次函数图象上的两点， ∴，y2（a， ∴， 结合a＜0，分三种情况讨论： ①当，即时，y1＝y2； ②当，即时，y1＜y2； ③当，即时，y1＞y2； （3）∵抛物线与y轴交于点C，顶点为点D， ∴，， 设直线AC的解析式为 y＝kx+n， 将A（﹣3，0），代入得：，解得：， ∴直线AC解析式为， ∵点P是直线AC上的动点， ∴设， ∵D、F关于直线PE对称， ∴PE垂直平分DF， 又∵PE⊥AC， ∴DF∥AC， ∴D到F的平移规律，与A到C的平移规律完全一致， 设D到DF中点M的横坐标变化为t，则纵坐标变化为， ∴， 如图，中点M在对称轴PE上，且PE⊥AC， ∴△APM为直角三角形， ∴AP2+PM2＝AM2， ∵， ， ， ∴（4m2+24m+36）+[4（t﹣m）2+4（t﹣m）+4]＝4t2+28t+52，整理得：2t（m+3）＝（2m﹣1）（m+3）， ∵点P和点A重合时无法构成平行四边形，故m≠﹣3， ∴两边同时除以（m+3）得：， ∴， 设F（x，y），则，，化简得：x＝2m﹣2，， ∴F（2m﹣2，）， 若以点P，A，D，F为顶点的四边形为平行四边形，分以下三种情况讨论： ①以AD和PF为平行四边形的对角线，则AD的中点＝PF的中点， ∴横坐标相等得：，解得：， 纵坐标相等得：，解得：， ∴； ②以AP和DF为平行四边形的对角线，则AP的中点＝DF的中点， ∴横坐标相等得：，解得：m＝0， 纵坐标相等得：，解得：m＝﹣4， ∴此情况不成立； ③以AF和PD为平行四边形的对角线，则AF的中点＝PD的中点， ∴横坐标相等得：，解得：m＝4， 纵坐标相等得：，解得：m＝4， ∴； 综上，点P的坐标为和． 2． 【答案】（1）①；②E（，5）；（2）存在，M（4，﹣3）或． 【详解】解：（1）①令y＝0，则（mx﹣3）（mx+1）＝0， ∴x或x， ∴A（，0），B（，0）， ∴AB， 故答案为：； ②∵二次函数y＝m2x2﹣2mx﹣3， ∴C（0，﹣3），对称轴l：x， ∴D（，﹣3） ∵AB平分∠DAE， ∴点D关于x轴的对称点Q（，3）在直线AE上， ∴直线AE的解析式为y＝mx+1， ∵点E是抛物线和直线AE的交点， ∴E（，5）； （2）设M（x，m2x2﹣2mx﹣3），N（，a） ∵A（，0），E（，5）． 以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形， ①以AE，MN为对角线时，AE，MN的中点重合， ∴x， ∴x， ∴M（，﹣3）， ∵MA2+ME2＝AE2， ∴96425，解得：m（舍）或m， ∴M（4，﹣3）， ②以AN，ME为对角线时，AN，ME的中点重合， ∴x， ∴x， ∴M（，21）， ∵AE2+AM2＝ME2， ∴25441256，解得：m（舍）或m， ∴， ③以AM，NE为对角线时，AM，NE的中点重合， ∴x+（）， ∴x， ∴M（，21）， ∵AE2+EM2＝AM2， ∴25256441，此方程无解； 综上，存在，M（4，﹣3）或． 3． 【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2；（2）①1；②T（0，﹣2）或（0，﹣1）． 【详解】解：（1）∵A（﹣1，0），函数图象的对称轴经过点， ∴点B（2，0）， ∴抛物线的表达式为：y＝（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2； （2）由抛物线的表达式可知：点C（0，﹣2）， 由点B、C的坐标可得：直线BC的表达式为：y＝x﹣2； ①△BCP的面积OB×PE＝PE， ∴PE最大时，△BCP的面积最大， 设点E（m，m﹣2），则点P（m，m2﹣m﹣2）， ∴PE＝﹣m2+2m＝﹣m2+2m﹣1+1＝﹣（m﹣1）2+1≤1， ∴当m＝1时，PE最大时，即△BCP的面积最大， ∴点P（1，﹣2）， ∴点D（1，0）， 如图，将点B的坐标向右平移1个单位（GF的长度为1）得到D，作DG⊥AC交BC于点H，交y轴于点G，则此时BF+FG+GH最小， ∵BD＝1＝GF且BD∥GF， ∴四边形GFBD为平行四边形， ∴BF＝DG， ∴BF+FG+GH＝DG+GH+FG＝DH+1为最小， 由点A、C的坐标可得：tan∠OAC＝2， ∴sin∠OAC， ∴HD＝ADsin∠OAC， ∴BF+FG+GH最小值为1； ②如图，当PE为边时， 设点E（m，m﹣2），则点P（m，m2﹣m﹣2）， 由P、C、E的坐标可得：PE＝﹣m2+2m，CEm，CP2＝m2+（m2﹣m）2， ∴PE＝DE， ∴﹣m2+2mm，解得：m＝0（舍去）或m＝2， ∴CEm＝22＝TC， ∴点T（0，﹣2）； 如图，当CE为对角线时， ∴CP＝PE， ∴（﹣m2+2m）2＝m2+（m2﹣m）2，解得：m＝1（不合题意，舍去）， ∴CT＝PE＝﹣m2+2m＝1， ∴点T（0，﹣1）； 综上，T（0，﹣2）或（0，﹣1）． 考点7 二次函数综合题-相似三角形的存在性问题 1． 【答案】（1）y＝﹣x2+4x﹣3，抛物线顶点P（2，1）；（2）点E的坐标为（，）； （3）存在，点N的坐标为（0，0）或（，0）． 【详解】解：（1）在y＝x﹣3中，令x＝0得：y＝﹣3，令y＝0得：x＝3， ∴B（3，0），C（0，﹣3）， 把B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝﹣x2+mx+n得：，解得：， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3， ∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1， ∴抛物线顶点P（2，1）； （2）如图，过E作EH∥y轴交BC于H， 设E（t，﹣t2+4t﹣3），则H（t，t﹣3）， ∴EH＝﹣t2+4t﹣3﹣（t﹣3）＝﹣t2+3t， ∴S△CBEEH·|xB﹣xC|（﹣t2+3t）×（3﹣0）（t）2， ∵0， ∴当t时，S△CBE取最大值为，此时﹣t2+4t﹣36﹣3， ∴点E的坐标为（，）； （3）存在以B，P，N为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下： 如图，过P作PQ⊥x轴于Q， 在y＝﹣x2+4x﹣3中，令y＝0得：0＝﹣x2+4x﹣3，解得：x＝1或x＝3， ∴A（1，0），B（3，0）， ∵C（0，﹣3），P（2，1）， ∴PQ＝BQ＝1，OB＝OC＝3，BA＝2，BC＝3，BP，BC＝3， ∴∠ABC＝45°＝∠PBQ， 以B，P，N为顶点的三角形与△ABC相似时，N在B左侧，只需满足或， 当时，， ∴BN＝3， ∴N（0，0）； 当时，， ∴BN， ∴N（，0）； 综上，N的坐标为（0，0）或（，0）． 2． 【答案】（1）yx2+x+4；（2）①点P坐标为（5，）或（3，）；②点P坐标为（，）． 【详解】解：（1）由对称轴经过点E（1，0）可知：对称轴为直线x＝1， ∴，即b＝﹣2a， ∴二次函数y＝ax2+bx+4＝ax2﹣2ax+4， ∵DE∥CO， ∴，即BE＝3OE＝3， ∴B（4，0），A（﹣2，0），C（0，4）． 把B（4，0）代入二次函数y＝ax2﹣2ax+4中，得a， ∴二次函数的表达式为yx2+x+4； （2）①如图，作CT∥x轴交抛物线于点T， ∵OB＝OC＝4， ∴∠CBA＝45°＝∠TCB， 又∵∠PAB+∠CBA＝∠DCB， ∴∠PAB+45°＝45°+∠DCT， ∴∠DCT＝∠PAB， ∵D（1，）， ∴tan∠DCT， ∴tan∠PAB， ∴取点S（0，﹣1），连接AS交抛物线于点P，满足题意， ∴直线AS的表达式为y， 与yx2+x+4联立可得：x2﹣3x﹣10＝0，解得：x＝5或﹣2（舍去），此时P（5，）； 同理取点S'（0，﹣1），连接AS'交抛物线于点P'，亦满足题意， ∴直线AS'的表达式为y， 与yx2+x+4联立可得：x2﹣x﹣6＝0，解得：x＝3或﹣2（舍去），此时P（3，）； 综上，点P坐标为（5，）或（3，）； ②如图2，作QM⊥x轴于点M，PN⊥x轴于点N， 当Rt△PEQ∽Rt△COA时，∠COA＝∠PEQ＝90°，2， ∵∠EQM+∠NEP＝90°，∠EQM+∠QEM＝90°， ∴∠NEP＝∠QEM， 又∵∠QME＝∠PNE＝90°， ∴△PEN∽△EQM， ∴． 由题意可知：点P在第二象限时无法满足题意，故点P在第四象限． 设P（m，m2+m+4）（m＞4）， ∴PN＝m﹣1，ENm2﹣m﹣4， ∴ME（m﹣1），QMm2m﹣2， ∴点Q坐标（m2m﹣1，m）， 由待定系数法可知：直线BC的表达式为y＝﹣x+4， 把点Q坐标代入y＝﹣x+3中得：m（m2m﹣1）+4，解得：m（负根已舍）， ∴点P坐标为（，）． 3． 【答案】（1）b＝4，c＝﹣3；（2），（7，﹣3）． 【详解】解：（1）∵分别把x＝0，y＝0代入y＝x﹣3得：y＝﹣3，x＝3， ∴C（0，﹣3），B（3，0）， 将B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得：； （2）∵OC＝OB＝3， ∴∠ABC＝45°， 设K（1，﹣2）， ①当点E与点K重合时（如图1）， 此时直线DE∥x轴，点F不存在，不符题意，舍去； ②当E在射线KC上时（如图2、图3）， 由题意可得：GE＝DE，∠GED＝90°， ∴∠EGD＝∠EDG＝45°，∠GDF＝135°， ∴∠DFG＜45°，∠DGF＜45°， ∴△ABC和△GDF相似不成立； ③当点E在线段KB上时（如图4）， 同理可得：∠GDF＝45°， ∵∠ABC＝45°， ∴当时，△GDF∽△ABC． ∴， ∵， ∴， ∴， 过点E作MN⊥y轴，过点G作GN⊥MN， 则∠MED＝∠NGE＝90°﹣∠NEG， ∵ED＝EG，∠EMD＝∠ENG， ∴△MED≌△NGE（AAS）， ∴EM＝NG，EN＝DM， 由ME∥OF可得：， ∴， ∴EM＝NG，DM＝EN， ∴； ④当点E在KB延长线时（如图5）， 同③可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点E作MN⊥y轴，过点G作NG⊥MN． 同理可得：△MED≌△NGE（AAS）， ∴EM＝NG，EN＝DM， 由MN∥x轴可得：， ∴E（4，1）， 由△MED≌△NGE得：G（7，﹣3）； 综上，点G坐标为或（7，﹣3）． 1． 【答案】（1）（﹣m，2﹣m）；（2）①；②或． 【详解】解：（1）∵y＝a（x+m）2﹣m+2（a＜0）， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣m，2﹣m）， 故答案为：（﹣m，2﹣m）； （2）①∵二次函数y＝a（x+m）2﹣m+2（a＜0）由y＝﹣x2平移所得， ∴y＝﹣（x+m）2﹣m+2， 联立，解得：或， ∵﹣m﹣1＜﹣m，B在A的左侧， ∴B（﹣m﹣1，1﹣m），A（﹣m，2﹣m）， ∴； ②由（1）可知：x2＝﹣m﹣1， ∵y＝﹣（x+m）2﹣m+2， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝﹣m， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，（﹣m﹣1，1﹣m）关于x＝﹣m的对称点为（﹣m+1，1﹣m）， ∵x2≤x≤﹣2m﹣1，即﹣m﹣1≤x≤﹣2m﹣1， 1°当﹣m﹣1≤﹣2m﹣1≤﹣m，即﹣1≤m≤0时， 当x＝﹣m﹣1时，函数取得最小值为：y＝﹣（﹣m﹣1+m）2﹣m+2＝﹣m+1， 当x＝﹣2m﹣1时，函数取得最大值为：y＝﹣（﹣2m﹣1+m）2﹣m+2＝﹣m2﹣3m+1， ∴，解得：m＝±2＜1，不合题意，舍去； 2°当﹣m＜﹣2m﹣1＜﹣m+1，即﹣2＜m＜﹣1时， 当x＝﹣m时，函数取得最大值为2﹣m， 当x＝﹣m﹣1时，函数取得最小值为﹣m+1， ∴，解得：，符合题意； 3°当﹣m＜﹣m+1＜﹣2m﹣1，即m＜﹣2时， 当x＝﹣m时，函数取得最大值为2﹣m， 当x＝﹣2m﹣1时，函数取得最小值为：y＝﹣（﹣2m﹣1+m）2﹣m+2＝﹣m2﹣3m+1， ∴，解得：（舍去）； 综上，或． 2． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）Q（1，）或（1，）； （3）直线GH经过定点（1，）． 【详解】解：（1）将点A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx+3，得， 解得：， ∴y＝﹣x2﹣2x+3； （2）如图， 当点P在线段AC上时，连接BP，交CQ于R， ∵点B和点Q关于CQ对称， ∴CP＝CB， 设P（t，t+3）， 由CP2＝CB2得， 2t2＝10， ∴t1，t2（舍去）， ∴P（，3）， ∵PQ∥BC， ∴1， ∴CR＝QR， ∴四边形BCPQ是平行四边形， ∵1+（）﹣0＝1，0+（3）﹣3， ∴Q（1，）； 如图， 当点P在AC的延长线上时，由上可知：P（，3）， 同理可得：Q（1，）， 综上，Q（1，）或（1，）； （3）设G（m，﹣m2﹣2m+3），H（n，﹣n2﹣2n+3）， 设直线GH解析式为y＝kx+d， 则，解得：， ∴直线GH解析式为y＝（﹣m﹣n﹣2）x+mn+3， 同理可得：直线AH解析式为y＝（1﹣n）（x+3）， 直线AG解析式为y＝（1﹣m）（x+3）， 令x＝0，得yS＝3﹣3m，yT＝3﹣3n， ∴OS＝3﹣3m，OT＝3﹣3n， ∵OS·OT＝6， ∴（3﹣3m）（3﹣3n）＝6，整理得：m+n＝mn， 代入直线GH解析式，得y＝（﹣mn）x+mn+3＝mn（﹣x+1）x+3， 当x＝1时，y， ∴直线GH经过定点（1，）． 3． 【答案】（1）；（2）①；②当时，CM+CN取得最小值，最小值为． 【详解】解：（1）∵在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），AB＝8，顶点C的坐标为（0，﹣4）． ∴A（﹣4，0），B（4，0）， 将点A，点C的坐标代入得：，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）①∵D为OC的中点， ∴D（0，﹣2）， ∴直线l的表达式为y＝kx﹣2， 联立得：y，整理得：， ∴x1+x2＝4k，x1x2＝﹣8， 设E（x1，y1），F（x2，y2）， ∵点D为EF的三等分点， ∴DE＝2DF或DF＝2DE， 当DE＝2DF时，|x1|＝2|x2|， ∴﹣x1＝2x2， ∵x1+x2＝4k， ∴x1＝8k，x2＝﹣4k． 又∵x1x2＝﹣8， ∴8k（﹣4k）＝﹣8，解得：k（k＜0，不合题意，舍去）或k； 当DF＝2DE时，同理可得：； 综上，； ②设E（x1，y1），F（x2，y2），直线AF的解析式为y＝mx+n，直线BE的解析式为y＝sx+t， ∵A（﹣4，0），B（4，0）， 由题意可得：，解得：， ∴直线， 由题意可得：，解得：， ∴直线， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵x1＜0，x2＞0， ∴CM＝x2，CN＝﹣x1， ∴CM+CN＝x2﹣x1， ∵x1+x2＝4k，x1x2＝﹣8， ∴， ∵k2≥0， ∴， ∴CM+CN的最小值为． 4． 【答案】（1），；（2）（4，6）；（3）． 【详解】解：（1）抛物线与x轴交于A，B（8，0）两点，与y轴交于点C， 将点B的坐标代入得：，解得：， ∴抛物线解析式为， 当x＝0时，得y＝4， ∴C（0，4）， ∴OC＝4， ∵B（8，0）， ∴OB＝8， 在Rt△COB中，， 故答案为：，； （2）如图1，过点C作CD∥x轴，交BP于点D，过点P作PE∥x轴，交y轴于点E， ∴∠ABC＝∠DCB，∠EPC＝∠PCD， ∵∠PCB＝2∠ABC＝∠PCD+∠DCB， ∴∠PCB＝2∠ABC＝∠EPC+∠ABC ∴∠EPC＝∠ABC， 又∵∠PEC＝∠BOC＝90°， ∴△PEC∽△BOC， ∴， 设点P坐标为，则， ∴，解得：t＝0（不合题意，舍去）或t＝4， ∴点P坐标为（4，6）； （3）如图2，作DH⊥DQ，且使DH＝BQ，连接FH，QH， ∵∠BQD+∠BDQ＝90°，∠HDF+∠BDQ＝90°， ∴∠BQD＝∠HDF， 在△BQE和△HDF中， ， ∴△BQE≌△HDF（SAS）， ∴BE＝FH， ∴BE+QF＝FH+QF≥QH， ∴Q，F，H共线时，BE+QF的值最小，即为QH， 作QG⊥AB于点G， ∵OB＝OD，∠BOD＝90°， ∴∠OBD＝45°， ∵∠QBD＝90°， ∴∠QBG＝45°， ∴QG＝BG， 设G（n，0），则， ∴，解得：n＝2或n＝8（不合题意，舍去）， ∴Q（2，6）， ∴QG＝BG＝8﹣2＝6， 在直角三角形BGQ中，由勾股定理可得：， ∵OD＝OB＝8， ∴D（0，﹣8）， ∵Q（2，6） ∴， 在直角三角形DHQ中，由勾股定理可得：． 5． 【答案】（1）y＝﹣x2x+2；（2），（3）． 【详解】解：（1）由题意可得：x2x+2； （2）由抛物线的表达式可知：点C（0，2）， 由点B、C的坐标可得：， 设点N（t，﹣t2t+2），则点M（t，t+2），点D（t，﹣t2t+2）， ∴． ∵PM∥OC，则△BOC∽△BPM， ∵△MND∽△BPM， ∴△MND∽△BOC， ∴MN：ND＝BO：OC，即， 解得：（舍去）或1或7（舍去）， ∴； （3）设点， 由点A、Q的坐标可得：AQ的表达式为：y＝﹣（m﹣4）（x）， ∴点F（0，2m）， ∴ ， ∴当时，． 6． 【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2；（2）；（3）点P（1，﹣5）． 【详解】解：（1）∵OB＝OC＝2OA，C点坐标（0，﹣2）， ∴点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（2，0）， 由题意可得：y＝a（x+1）（x﹣2）＝a（x2﹣x﹣2）， ∴﹣2a＝﹣2，解得：a＝1， ∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣2； （2）由点A、C的坐标可得：直线AC的表达式为：y＝﹣2x﹣2， 当∠ACD＝90°时，直线CD的表达式为：yx﹣2， 联立直线AC和抛物线的表达式得：x﹣2＝x2﹣x﹣2，解得：x＝0（舍去）或， ∴点D（，）， 由点B、C的坐标可得：直线BC的表达式为：y＝x﹣2， 如图，过点D作DH∥y轴交BC于点H，则点H（，）， ∴HD， ∵△HDE∽△COE， ∴k＝OE：ED＝OC：HD＝2：； （3）设点E、F的坐标分别为：（m，m2﹣m﹣2）、（n，n2﹣n﹣2）， 由点E、F的坐标可得：直线E、F的表达式为：y＝（m+n﹣1）（x﹣n）+n2﹣n﹣2， ∵FE∥BC， ∴m+n﹣1＝1，即m＝2﹣n， 由点E、C的坐标可得：直线EC的表达式为：y＝（m﹣1）x﹣2， 同理可得：直线BF的表达式为：y＝（n+1）（x﹣2）， 联立直线EC和BF的表达式得：（n+1）（x﹣2）＝（m﹣1）x﹣2，解得：x1， ∴点P（1，﹣n﹣1）， 如图，过点P作直线PN∥BC交y轴于点N，过点C作CT⊥PN于点T， ∴直线PN的表达式为：y＝x﹣1﹣n﹣1＝x﹣n﹣2， ∴点N（0，﹣n﹣2）， ∴CN＝﹣2+n+2＝n， ∴△BCP的面积BC×CTBCCN2n＝4，解得：n＝4， ∴点P（1，﹣5）． 7． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）当m时，y1＝y2；当m时，y1＜y2；当m时，y1＞y2； （3）P点坐标为（1，﹣4）或（1，1）． 【详解】解：（1）∵对称轴为直线x＝1， ∴b＝﹣2a， ∴y＝ax2﹣2ax﹣3， 将点A代入，得a+2a﹣3＝0，解得：a＝1， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）∵M（m，y1）和N（m+1，y2）是二次函数图象上的两个点， ∴y1＝m2﹣2m﹣3，y2＝m2﹣4， ∴y1﹣y2＝﹣2m+1， 当m时，y1＝y2； 当m时，y1＜y2； 当m时，y1＞y2； （3）设抛物线的顶点M（1，﹣4）， ∴CM，BM＝2，BC＝3， ∵BM2＝CM2+BC2， ∴△BCM是直角三角形，且∠BCM＝90°， ∴tan∠CMB3， ∴P点与M点重合，即P（1，﹣4）； 如图，过点B作BN∥CM，过点C作CN∥BM，BN与CN交于N点， ∴四边形CMBN是平行四边形， ∴∠BNC＝∠CMB，∠NBC＝∠MCB＝90°， ∴P点在以CN为直径的圆与对角线的交点处， 设P（1，m）， 直线CM的解析式为y＝﹣x﹣3，则直线BN的解析式为y＝﹣x+3， 直线BM的解析式为y＝2x﹣6，则直线CN的解析式为y＝2x﹣3， 当﹣x+3＝2x﹣3时，解得：x＝2， ∴N（2，1）， ∴CN＝2， 设NC的中点为G（1，﹣1）， ∴PGNC， ∴m+1，解得：m1， ∴P（1，1）； 综上，P点坐标为（1，﹣4）或（1，1）． 8． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）m＝2；（3）或． 【详解】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点B（1，0）， ∴0＝﹣1+b+c； ∵对称轴为直线x＝﹣1， ∴，解得：b＝﹣2； 将b＝﹣2代入0＝﹣1+b+c，得c＝3， ∴二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）由（1）可知：二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3， 则点E（0，3）， 令y＝0，则﹣x2﹣2x+3＝0，解得：x＝﹣3或x＝1， ∴点A（﹣3，0）， 设直线AE：y＝kx+b'， 将A（﹣3，0）、E（0，3）代入，得， 解得：， ∴直线AE：y＝x+3， ∵直线CD：， ∴CD与AE相交， 如图，过点A作AM⊥CD、过点E作EN⊥CD，CD与AE相交于点F， ∵△ACD与△CDE的面积相等， ∴， ∴AM＝EN， 在△AMF和△ENF中， ， ∴△AMF≌△ENF（AAS）， ∴AF＝EF，即点F是线段AE的中点， ∵A（﹣3，0）、E（0，3）， ∴F的坐标为，即， 将代入直线，得，解得：m＝2； （3）在x轴上存在唯一的点Q，使∠CQD＝90°， 可以理解为以CD为直径的圆与x轴相切，分两种情况： 如图，当交点C、D均在x轴上方时，m＞0， 设抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与直线交点坐标C（x1，y1）、D（x2，y2）（点C在点D的左侧）， 联立，整理得：3x2+7x+3m﹣9＝0， ∴，x1x2＝m﹣3， ∴y1+y2＝（m）+（m）（x1+x2）+2m＝2m， ∴以CD为直径的圆的圆心M（，m）， CD ·， 当⊙M与x轴相切时，MQCD， ∴m， ∴36m2+12m﹣169＝0，解得：m或m（负值舍去）； 如图，当交点C、D均在x轴下方时，m＜0， 同理可知：， ∴36m2+12m﹣169＝0，解得：或（正值舍去）； 综上，或． 9． 【答案】（1）y＝x2﹣4x+4；（2）①；②或． 【详解】解：（1）∵y＝ax2﹣4x+c的图象经过点A（﹣1，9），B（5，9）， ∴，解得：a＝1，c＝4， ∴y＝x2﹣4x+4； （2）①∵y＝mx2+nx+p（m≠1）的图象经过A（﹣1，9），B（5，9）， ∴，解得：n＝﹣4m，p＝9﹣5m， ∴y＝mx2﹣4mx+9﹣5m＝m（x﹣2）2+9﹣9m， ∴D（0，9﹣5m），Q（2，9﹣9m）， ∵y＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2， ∴C（0，4），P（2，0）， ∴CD＝|5m﹣5|＝5|m﹣1|，PQ＝|9﹣9m|＝9|m﹣1|， ∴； ②如图，当∠CQP＝90°时，四边形POCQ是矩形， ∴9﹣9m＝4，解得：， ∴，， ∴； 如图，当∠PCQ＝90°时，作QE⊥y轴， 由△POC∽△CEQ得：CE＝1， ∴OE＝4+1＝5， ∴9﹣9m＝5，解得：， ∴， ∴， ∴； 当m＜0时，不存在直角三角形PCQ； 综上，或． 10． 【答案】（1）；（2）8或；（3）（4，15）或（4，﹣15）或或． 【详解】解：（1）将点B（9，0），C（0，﹣3）代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）①如图，当点P为直线BC下方的抛物线上的一个动点时， ∵∠PCB＝∠OBC， ∴PC∥x轴， ∴点P的纵坐标与点C的纵坐标相等，即为﹣3， 将y＝﹣3代入得：，解得：x＝8或x＝0（点C的横坐标）， ∴此时点P的横坐标为8； ②如图，当点P为直线BC上方的抛物线上的一个动点时，设PC与x轴交于点D， ∵B（9，0），C（0，﹣3）， ∴OB＝9，OC＝3， ∵∠PCB＝∠OBC， ∴BD＝CD， 设OD＝m（m＞0），则CD＝BD＝OB﹣OD＝9﹣m， 在Rt△COD中，OC2+OD2＝CD2，即32+m2＝（9﹣m）2，解得：m＝4， ∴D（4，0）， 设直线CD的解析式为y＝kx+b0（k≠0）， 将点D（4，0），C（0，﹣3）代入得：，解得：， ∴直线CD的解析式为， 联立可得：，解得：或， ∴此时点P的横坐标为； 综上，点P的横坐标为8或． （3）抛物线的对称轴为直线x＝4， 由题意，设点Q的坐标为Q（4，n）， ∵B（9，0），C（0，﹣3）， ∴BC2＝（0﹣9）2+（﹣3﹣0）2＝90， BQ2＝（4﹣9）2+（n﹣0）2＝n2+25，CQ2＝（0﹣4）2+（﹣3﹣n）2＝n2+6n+25， ①当∠CBQ＝90°时，△BCQ为直角三角形， ∴BC2+BQ2＝CQ2，即90+n2+25＝n2+6n+25，解得：n＝15， ∴此时点Q的坐标为（4，15）； ②当∠BCQ＝90°时，△BCQ为直角三角形， ∴BC2+CQ2＝BQ2，即90+n2+6n+25＝n2+25，解得：n＝﹣15， ∴此时点Q的坐标为（4，﹣15）； ③当∠BQC＝90°时，△BCQ为直角三角形， ∴BQ2+CQ2＝BC2，即n2+25+n2+6n+25＝90，解得：， ∴此时点Q的坐标为或； 综上，点Q的坐标为（4，15）或（4，﹣15）或或． 11． 【答案】（1）二次函数的解析式为，顶点M（2，10）； （2）四边形AECB面积的最大值为；（3）点P的坐标为（2，6）或（﹣6，14）． 【详解】解：（1）∵二次函数的图象经过点A（6，2），点C（0，8）， ∴，解得：， ∴， ∴顶点M（2，10）； （2）∵对称轴为直线x＝2，点A（6，2），AB∥x轴， ∴B（﹣2，2）， ∴AB＝8，CD＝6， ∴S△ABCAB·CD8×6＝24， 设直线AC解析式为y＝mx+n， ∴，解得：， ∴直线AC解析式为y＝﹣x+8， 如图，过E作EG∥y轴交AC于点G， 设E（t，t2+2t+8），则G（t，﹣t+8）， ∴EGt2+2t+8﹣（﹣t+8）t2+3t， ∴S△AEC（t2+3t）×6t2+9t， ∴S四边形AECB＝S△ABC+S△AECt2+9t+24（t﹣3）2， 当t＝3时，S为最大值， ∴四边形AECB面积的最大值为； （3）点P的坐标为（2，6）或（﹣3，11），理由如下： ①当四边形PAQM为平行四边形时，MQ＝PA， 如图，连接MC，过点M作MH⊥y轴于点H，设MQ与PE交于点F， ∵M（2，10），C（0，8）， ∴MH＝2，CH＝OH﹣OC＝10﹣8＝2， ∴∠MCH＝45°， ∵AD＝6，CD＝OC﹣OD＝8﹣2＝6， ∴∠ACD＝∠CAD＝45°， ∴∠MCP＝90°， ∴四边形PCMF为矩形， ∴PC＝MF， ∵点M关于直线PE的对称点为Q， ∴MFMQPA， 过点P作PG⊥y轴于点G，设P（x，﹣x+8），则PG＝x， ∵PG∥AD， ∴， ∴，解得：x＝2， ∴P（2，6）； ②当四边形PAMQ为平行四边形时，MQ＝PA， 如图，连接MC，过点M作MH⊥y轴于点H，设MQ与PE交于点F， ∵M（2，10），C（0，8）， ∴MH＝2，CH＝OH﹣OC＝10﹣8＝2， ∴∠MCH＝45°， ∵AD＝6，CD＝OC﹣OD＝8﹣2＝6， ∴∠ACD＝∠CAD＝45°， ∴∠MCP＝90°， ∴四边形PCMF为矩形， ∴PC＝MF， ∵点M关于直线PE的对称点为Q， ∴MFMQPA． 过点P作PG⊥y轴于点G，设P（x，﹣x+8），则PG＝﹣x， ∵PG∥AD， ∴1， ∴1，解得：x＝﹣6， ∴P（﹣6，14）； 综上，当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，点P的坐标为（2，6）或（﹣6，14）． 12． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣3x+4； （2）①P；②E'或或或． 【详解】解：（1）由题意可得：对称轴为直线x， ∴，解得：a＝﹣1， ∴y＝﹣x2﹣3x+c， 将B（1，0）代入，得c＝4， ∴y＝﹣x2﹣3x+4； （2）如图， 令y＝0得：﹣x2﹣3x+4＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝1， ∴AB＝5， ①设E（m，﹣3）， ∵对称， ∴AB＝BE，∠1＝∠2， ∴（m﹣1）2+（﹣3）2＝52， ∴m＝5（舍）或m＝﹣3， 当m＝﹣3时， ∵AB∥FN， ∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∴EF＝BE＝5， ∴F（﹣8，﹣3）， ∴BF：， ∴，解得：（舍）， ∴P； ②a．设E（m，﹣3）， ∴P（m﹣3，﹣m﹣2）， ∴E'（﹣2，﹣m+1）， ∴﹣m﹣2＝﹣（m﹣3）2﹣3（m﹣3）+4，解得：， ∴E'或； b．设E（﹣m，﹣3）， ∴P（3+m，m﹣4）， ∴E'（4，m﹣1）， ∴m﹣4＝﹣（3+m）2﹣3（3+m）+4，解得：， ∴E'或； 综上，E'或或或． 13． 【答案】（1）﹣1，2；（2）t的值为；（3）CD的长为45或． 【详解】解：（1）∵对称轴为直线x＝1， ∴1，解得：b＝﹣2a， ∴y＝ax2﹣2ax+8， 将A（4，0）代入得：16a﹣8a+8＝0，解得：a＝﹣1， ∴b＝2， 故答案为：﹣1，2； （2）由（1）可知：a＝﹣1，b＝2， ∴y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9， ∴顶点坐标为（1，9）， 当y＝0时，可得：x＝﹣2或4， ∵y≥0， ∴﹣2≤x≤4， 当﹣2≤3t+2≤1时，， 此时最大值在顶点处，即6t+3＝9，解得：t＝1（舍）； 当1＜3t+2＜4时，， 此时当x＝3t+2时有最大值，即6t+3＝﹣9t2﹣6t+8，解得：，（舍）； 综上，t的值为； （3）对于y＝﹣x2+2x+8，令x＝0，得y＝8， ∴B（0，8）， 设直线AB解析式为y＝kx+n， 则，解得：， ∴直线AB的表达式为：y＝﹣2x+8， 设D（m，﹣2m+8），则C（m，﹣m2+2m+8）， ∴； ①当CD＝BD时，，解得：， 此时边长； ②当CB＝CD时，，解得：或m＝0（舍）， 此时边长； 综上，CD的长为45或． 14． 【答案】（1）二次函数的解析式为：y＝﹣x2+4x；C（0，4）； （2）①m＝2.5时，PD最大值为：；②存在，P的坐标为（3，3）或（2，4）． 【详解】解：（1）∵二次函数经过A（4，0），B（1，3）， 则，解得：， ∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+4x； 由点A、B的坐标得：直线AB解析式为：y＝﹣x+4， ∵点C是直线与y轴交点， ∴令x＝0，则y＝4， ∴C（0，4）； （2）①如图， ∵点P在直线AB上方， ∴1＜m＜4， 由题意可知：P（m，﹣m2+4m），D（m，﹣m+4）， ∴PD＝yP﹣yD＝﹣m2+4m+m﹣4＝﹣m2+5m﹣4＝﹣（m﹣2.5）2， ∴当m＝2.5时，PD是最大值． ②存在，理由如下： ∵∠PDB＝∠ADE，∠ADE＝∠ACO， ∴∠BDP＝∠ACO， ∵△AOC是直角三角形， ∴要使△BPD与△AOC相似，只有保证△BPD是直角三角形就可以． 当△BPD∽△AOC时， ∵∠AOC＝90°， ∴∠BPD＝90°， 此时BP∥x轴，B、P关于对称轴对称， ∴P（3，3）； 当△PBD∽△AOC时， ∴∠PBD＝∠AOC＝90°， ∴AB⊥PB， ∵∠CAO＝45°， ∴△ADE和△BPD均为等腰直角三角形， 设P（t，﹣t2+4t）， ∴DPBP（t﹣1）＝2t﹣2，AE＝DE＝4﹣t， ∴PE＝DP+DE＝t+2，即t+2＝﹣t2+4t，解得：t＝1（舍）或2， ∴P（2，4）； 综上，存在点P使△BPD与△AOC相似，此时P的坐标为（3，3）或（2，4）． 15． 【答案】（1）C（0，3）；（2）抛物线解析式为，直线BC解析式为； （3）存在，的最大值为；（4）或． 【详解】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+3与y轴交于点C， 当x＝0时，得y＝3， ∴点C的坐标为（0，3）， 故答案为：（0，3）； （2）抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）， 将点A、点B的坐标分别代入得：，解得：， ∴抛物线解析式为， 设直线BC解析式为y＝kx+n， 把点B，点C的坐标分别代入得：，解得： ∴直线BC解析式为； （3）存在最大值，理由如下： 如图1，过A作AK∥y轴交BC延长线于K，过P作PT∥y轴交BC于T， 在中，当x＝﹣1时，得， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵AK∥y轴∥PT， ∴∠AKF＝∠PTF，∠KAF＝∠TPF， ∴△PTF∽△AKF， ∴， ∴， ∵﹣（t﹣2）2≥0， ∴， ∴的最大值为． （4）如图2，过P作PH∥y轴交BC于H， 由（1）可知：抛物线解析式为， 设， 在中，当x＝0时，得y＝3， ∴C（0，3）， 由B（4，﹣0），C（0，3）可得：直线BC解析式为，， ∴， ∴，， ∵PH∥y轴， ∴∠OCB＝∠PHE， ∵∠BOC＝90°＝∠PEH， ∴△PEH∽△BOC， ∴，即， ∴，， ∴， ∵△PCE与△AOC相似，，∠AOC＝90°＝∠PEC， ∴或， ∴CE＝3PE或PE＝3CE， ∴或， 解得：或m＝0（不合题意，舍去）或， ∴点P的横坐标为或， 故答案为：或． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押08 江苏无锡中考数学27题（解答题） 考点1 二次函数综合题-定点定值问题 1．（2025·无锡·一模）二次函数图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接BC，在该图象上有一点P，连接BP，CP．设P点的横坐标为m（0＜m＜4）． （1）若C（0，3）， ①求该二次函数的表达式； ②m为何值时，△BCP的面积取得最大值？ （2）连接AP交y轴于点E，直线BP交y轴于点F，求证：是定值． 【答案】（1）①yx2x+3；②m＝2；（2）为定值． 【详解】（1）解：①由题意可得：y＝a（x+1）（x﹣4）＝a（x2﹣3x﹣4）， ∴﹣4a＝3，则a， ∴抛物线的表达式为：yx2x+3； ②由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：yx+3， 如图，作PH∥y轴交BC于点H， 设点P（m，m2m+3），则H（m，m+3）， ∴PHm2+3m， ∴△BCP的面积BO×PH4×（m2+3m）＝2（m2+3m）， 当m＝2时，△BCP的面积取得最大值； （2）证明：由（1）可知：抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣4）， ∴点C（0，﹣4a），点P（m，a（m+1）（m﹣4））， 由点A、P的坐标可得：直线AP的表达式为：y＝a（m﹣4）（x+1）， ∴点E（0，am﹣4a）， ∴CE＝﹣4a﹣am+4a＝﹣am， 同理可得：CF＝﹣4am， ∴为定值． 2．（2026·惠山区·二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于C，顶点D（1，4）． （1）求该二次函数的表达式； （2）已知M（x1，y1），N（2，y2）在该二次函数的图象上，若对于3t﹣1＜x1＜3t+2，都有y1＜y2，求t的取值范围； （3）直线y＝t交二次函数图象于点E，F（点E在点F的右边），交直线BC于点G，若FG＝3GE，求t的值． 【答案】（1）y＝﹣（x﹣1）2+4；（2）t≥1或t；（3）或﹣2． 【详解】解：（1）∵顶点D（1，4）， ∴设二次函数的表达式是y＝a（x﹣1）2+4， 将A（﹣1，0）代入得：0＝4a+4，解得：a＝﹣1， ∴y＝﹣（x﹣1）2+4； （2）∵y＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线的对称轴是直线x＝1，开口向下， ∵M（x1，y1），N（2，y2）在该二次函数的图象上，且对于3t﹣1＜x1＜3t+2，都有y1＜y2， ∴|x1﹣1|＞|2﹣1|， ∴x1＞2或x1＜0， ∴3t﹣1≥2或3t+2≤0，解得：t≥1或t； （3）直线y＝t交二次函数图象于点E，F（点E在点F的右边），交直线BC于点G， 把x＝0代入y＝﹣（x﹣1）2+4，得y＝3，∴C（0，3）， 把y＝0代入y＝﹣（x﹣1）2+4，得x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0） 设直线BC的解析式为：y＝kx+b， 将B（3，0），C（0，3）代入得：，解得：， ∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3， ∴当t＝﹣x+3，得x＝3﹣t，即G点的横坐标是3﹣t， 当t＝﹣（x﹣1）2+4，得，， ∵FG＝3GE， ∴当点G在点EF之间时，（3﹣t）﹣（1）＝3（13+t）， 整理得：4﹣2t， 解得：，（不合题意，舍去）； 当点G在点E右侧时，3﹣t＞1，（3﹣t）﹣（1）＝3（3﹣t﹣1）， 解得：，（不合题意，舍去）； 综上，t或﹣2． 3．（2026·泰兴市·模拟）如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（2，0）两点，与y轴交于点C，其对称轴为直线x＝﹣1． （1）求抛物线的解析式． （2）点K是抛物线对称轴上第三象限的一点，将△BAK沿BK翻折，若点A恰好落在对称轴上点A′处，求点K的坐标． （3）如图2，将直线AC向下平移6个单位长度得直线l，点P为直线l上一点，射线PE，PF（均与y轴不平行）与抛物线都只有唯一交点，分别为M，N．判断直线MN是否经过某个定点，若经过定点，求该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由． 【答案】（1）y＝x2+2x﹣8；（2）；（3）直线MN经过定点（﹣2，﹣6）． 【详解】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（2，0）两点，其对称轴为直线x＝﹣1， 将点B的坐标代入，结合对称轴公式可得：，解得：， ∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣8； （2）∵A，B关于抛物线对称轴对称，B（2，0） ∴点A的坐标为（﹣4，0）， ∴AB＝2﹣（﹣4）＝6， ∵将△BAK沿BK翻折，若点A恰好落在对称轴上点A′处， ∴AB＝A′B＝6，A′K＝AK， 设点A′（﹣1，m），其中m＜0， 由勾股定理可得：（﹣1﹣2）2+（m﹣0）2＝62，解得：（不合题意，舍去）， ∴； 设点K的坐标为（﹣1，k）， ∵A′K＝AK， ∴，解得：， ∴； （3）直线MN经过定点（﹣2，﹣6），理由如下： ∵抛物线y＝x2+2x﹣8与y轴交于点C， 当x＝0时，得：y＝﹣8， ∴C（0，﹣8）， 设直线AC的解析式为y＝kx﹣8， 将点A的坐标代入得：﹣4k﹣8＝0，解得：k＝﹣2， ∴直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣8， ∴直线l的解析式为y＝﹣2x﹣14； 设M（t，t2+2t﹣8），N（n，n2+2n﹣8），直线MN的解析式为y＝k1x+b1， 联立得：， 整理得：x2+（2﹣k1）x﹣（8+b1）＝0， ∴t，n是上述方程的两个不相等的实数根， ∴t+n＝k1﹣2，tn＝﹣（8+b1）； 设PM的解析式为y＝k2x+b2， 把点M坐标代入得：， ∴， 联立得：， 整理得：， 由题意可得：， ∴k2＝2t+2， ∴y＝（2t+2）x﹣t2﹣8； 同理可得：直线PN的解析式为y＝（2n+2）x﹣n2﹣8， 联立得：，解得：，即， ∴点P的坐标为， ∵点P在直线l上， ∴， ∴b1＝2k1﹣6， ∴直线MN的解析式为y＝k1x+2k1﹣6， 当x＝﹣2时，y＝﹣6， ∴直线过定点（﹣2，﹣6）． 考点2 二次函数综合题-线段最值问题 1．（2025·梁溪区·一模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）的图象与x轴分别相交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴相交于点C，∠CBA＝45°． （1）请求出a的值； （2）已知点D是函数图象上一动点（不与A、B重合），过点D的直线l平行于y轴，与△ABD的外接圆交于另一点E，连接AE，CE．请问是否存在点D，使得AE+CE最小？若存在，请求出点D坐标并求出AE+CE的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）1；（2）D（，），AE+CE的最小值为． 【详解】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x2﹣2x﹣3）＝a（x﹣3）（x+1）， 令y＝0，得x＝3或﹣1， ∴A（﹣1，0），B（3，0）． ∵与y轴相交于点C，∠CBA＝45°， ∴OB＝OC＝3， ∴C（0，﹣3）， 把C（0，﹣3）代入y＝a（x﹣3）（x+1）中，解得：a＝1． （2）如图，设D（m，n），设△ABD的外接圆圆心为M（1，k）， ∴由中点坐标公式可得：E（m，2k﹣n）， ∵BM2＝DM2， ∴（3﹣1）2+k2＝（m﹣1）2+（n﹣k）2，① ∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴把D（m，n）代入可得：n＝（m﹣1）2﹣4，即（m﹣1）2＝n+4，② 把②式代入①式，得4+k2＝n+4+（n﹣k）2，整理得：n2﹣2kn+n＝0， ∴n（n﹣2k+1）＝0， ∵n≠0， ∴n﹣2k+1＝0，即2k﹣n＝1， ∴E（m，1），即E点在直线y＝1上运动， 作A点关于直线y＝1的对称点A'，则A'（﹣1，2）， 连接CA'，则AE+CE最小值为CA'的长， ∴CA'， ∴AE+CE最小值为． 直线A'C的解析式为y＝﹣5x﹣3， ∴E（，1）， ∴D（，）． 2．（2026·常州·校级模拟&2026·钟楼区·校级模拟）如图，抛物线y＝x2﹣2mx+3m与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）． （1）求该抛物线的表达式； （2）点D为该抛物线上第二象限内的一点，连接AC，DA，若∠DAB＝∠ACO，求点D的坐标； （3）若点E为线段OC上一动点，则的最小值为　　． 【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）；（3）． 【详解】解：（1）抛物线y＝x2﹣2mx+3m与y轴交于点C（0，﹣3）， 将点C的坐标代入得：﹣3＝3m，解得：m＝﹣1， ∴抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3； （2）如图1，过点D作x轴的垂线，交x轴于点H， 设点D的坐标为（t，t2+2t﹣3）， ∵抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A、B两点， 当y＝0时，得x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝1，x2＝﹣3； ∴OA＝1，OB＝3， ∵点C（0，﹣3）， ∴OC＝3， ∵∠DAB＝∠ACO， ∴tan∠DAB＝tan∠ACO， ∴， ∴，解得：或t＝1（经检验，都是分式方程的解）， ∵点D在第二象限， ∴， ∴， ∴点； （3）如图2，过点E作EF⊥BC，交BC于点F， 由（2）可知：OB＝3，OC＝3，OA＝1， ∴OB＝OC， ∴△OBC是等腰直角三角形， ∴∠OBC＝∠OCB＝45°， ∵EF⊥BC， ∴∠EFB＝90°， ∴△CEF是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当点A，E，F三点共线时，有最小值，此时∠BAF＝90°﹣45°＝45°， ∴△AOE是等腰直角三角形， ∴OA＝OE＝1， ∴EC＝OC﹣OE＝3﹣1＝2， 在直角三角形AOE中，由勾股定理可得：， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 3．（2026·泉山区·校级模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（0，﹣4），点E，F在直线BC上，且点E在点F的左下侧，． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2，分别连接AE、AF，延长AF交抛物线于点P，当点P在第四象限时，若△ABP的面积记作S1，△AEF的面积记作S2，线段EF在移动过程中，当S1﹣S2的值最大时，求点E的坐标； （3）如图3，点D为该抛物线的顶点，连接DF，请直接写出AE+EF+DF的最小值． 【答案】（1）yx2﹣x﹣4；（2）E（，）；（3）2． 【详解】（1）解：把，代入得：，解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：令得：，解得：， ∴， ∵点到直线的距离为定值， ∴的面积为定值， ∴当的面积取最大值时，的值最大， 当点位于抛物线最下端时，的面积最大，即点与顶点重合时， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 把代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 把，代入得：，解得：， ∴直线的解析式为， 联立方程，解得：， 把代入，得， ∴， 如图，作轴，作交于点， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，即； （3）解：如图，过点作，截取，连接， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 当三点共线时，取最小值，最小值为， 由（2）可得：点的横坐标，纵坐标比点的横坐标，纵坐标都大， ∴，即， ∴， ∴，即的最小值为． 考点3 二次函数综合题-面积问题 1．（2025·江阴市·一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0，c＞0）的图象顶点C的坐标是． （1）若c＝5，求二次函数表达式； （2）点M（x1，y1），N（x2，y2）是该函数图象上的两个不同的点，若x1+x2＞c，请判断y1，y2的大小关系，并说明理由； （3）等腰直角△BOD的直角顶点B在该二次函数的图象上，点D在该二次函数图象的对称轴上，若S△BOD＝8，直接写出a的值． 【答案】（1）y（x）2；（2）当x1＜x2时，y1＜y2；当x1＞x2时，y1＞y2；（3）a或或． 【详解】解：（1）由题意可得：y＝a（xc）2， 将（0，c）代入上式得：c＝y＝a（0c）2， ∴a， 当c＝5时，函数的表达式为：y（xc）2（x）2； （2）∵c＞0， ∴a0， ∴抛物线开口向上， 当（x1+x2）c时，y1＝y2， ∵x1+x2＞c， ∴当x1＜x2时，y1＜y2；当x1＞x2时，y1＞y2； （3）设点B（x，y）、D（c，m）， 当点B在对称轴的右侧时，如图，过点B作y轴平行线交x轴于点M，交过点D和x轴的平行线于点N， ∵∠BDN+∠OBM＝90°，∠OBM+∠BOM＝90°， ∴∠BDN＝∠OBM， ∵∠BND＝∠OMB＝90°，OB＝BD， ∴△OMB≌△BDN（AAS）， ∴BN＝OM，BM＝DN， ∴xc＝y，m﹣y＝x，解得：xmc，ymc， ∴点B（mc，mc）， 将点B的坐标代入y（xc）2得：mc（mcc）2， 整理得：（2m﹣c）（m﹣c）＝0，解得：m＝c或m＝c， ∴S△BOD＝8BO2（x2+y2）（m2c2），解得：c或c＝8， ∴a或； 当点B在对称轴为左侧时， 同理可得：点B（cm，mc）， 将点B的坐标代入抛物线表达式得：mc（cmc）2， 整理得：m（2m+c）＝0，解得：m＝0或mc， ∴S△BOD＝8BO2（x2+y2）（m2c2），解得：c＝8或8， ∴a或a； 综上，a或或． 2．（2025·姑苏区·校级二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴分别交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点D（1，4），对称轴交x轴于点G． （1）求抛物线解析式； （2）如图1，点P是第一象限中抛物线上一动点，连接PC、PA，分别交对称轴于点E、F． ①在点P的运动过程中，DE、EF、FG这三条线段能否相等？若相等，求出点P的坐标；若不相等，请说明理由； ②如图2，连接AC、BC，AP与BC相交于点H，若△PCH的面积为S1，△ACH的面积为S2，求的最大值． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）①DE、EF、FG这三条线段能相等；；②． 【详解】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴分别交于A（﹣1，0），B两点，抛物线的顶点D（1，4）， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+4， 把点A的坐标代入得：0＝a（﹣1﹣1）2+4，解得：a＝﹣1， ∴y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3； （2）①DE、EF、FG这三条线段能相等，理由如下： 假设存在， ∵D（1，4）， ∴DG＝4， ∴当时，， 抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C， ∴当x＝0时，得y＝3， ∴C（0，3）， 设直线AF的解析式为y＝kx+m， 将点A，点F的坐标分别代入得：，解得：， ∴； 同法可得：直线CE的解析式为， 联立得：，解得：， ∴两条直线的交点坐标为， 对于y＝﹣x2+2x+3，当时，得， ∴两条直线的交点在抛物线上， ∴DE、EF、FG这三条线段能相等，； ②抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴分别交于A（﹣1，0），B两点， 当y＝0时，得﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∴B（3，0）， 同①法可得：直线BC的解析式为直线y＝﹣x+3， 如图，作AM⊥x轴，交BC的延长线于点M，作PN⊥x轴，交BC于点N，则AM∥PN， ∵A（﹣1，0）， ∴当x＝﹣1时，y＝﹣（﹣1）+3＝4， ∴AM＝4， 设P（t，﹣t2+2t+3），则：N（t，﹣t+3）， ∴PN＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t， ∵AM∥PN， ∴△AMH∽△PNH， ∴， ∵△PCH，△ACH是同高三角形， ∴， ∴当时，的值最大，为． 3．（2026·钟楼区·模拟）如图，二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线BC，M（m，y1），N（m+2，y2）为二次函数y＝﹣x2+2x+3图象上两点． （1）求直线BC对应函数的表达式； （2）试判断是否存在实数m使得y1+2y2＝10．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． （3）已知P是二次函数y＝﹣x2+2x+3图象上一点（不与点M，N重合），且点P的横坐标为1﹣m，作△MNP．若直线BC与线段MN，MP分别交于点D，E，且△MDE与△MNP的面积的比为1：4，请直接写出所有满足条件的m的值． 【答案】（1）直线BC对应函数的表达式为y＝﹣x+3； （2）不存在，理由详见解析；（3）或． 【详解】解：（1）令x＝0，则y＝3， ∴点C的坐标为（0，3）． 令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解得：x＝﹣1或x＝3． ∴点B的坐标为（3，0）， 设直线BC的表达式为y＝kx+b， ∴，解得：， ∴直线BC对应函数的表达式为y＝﹣x+3； （2）不存在，理由如下： 方法一：把M（m，y1），N（m+2，y2）代入二次函数y＝﹣x2+2x+3得： ，， ∴， 配方可得：． ∴当时，y1+2y2的最大值为10． ∴不存在实数m使得y1+2y2＝10； 方法二：由方法一可得：， 当y1+2y2＝10时，﹣3m2﹣2m+9＝10，整理得：3m2+2m+1＝0， ∵Δ＝4﹣12＝﹣8＜0， ∴方程没有实数根， ∴不存在实数m使得y1+2y2＝10； （3）或，理由如下： 如图，作NH∥y轴，交x轴于点H，交BC于点N′， 作PQ⊥NH，垂足为Q，作MM′∥y轴，交BC于点M′，则MM′∥NN′， 当x＝1﹣m时，y＝﹣（1﹣m）2+2（1﹣m）+3＝﹣m2+4， ∴点P的坐标为（1﹣m，﹣m2+4）， ∵点N的坐标为（m+2，﹣m2﹣2m+3）， ∴点Q的坐标为（m+2，﹣m2+4），点H的坐标为（m+2，0），点N′的坐标为（m+2，﹣m+1）， ∴NQ＝PQ＝|2m+1|，BH＝HN′＝|﹣m+1|， ∴∠PNQ＝∠BN′H＝45°， ∴PN∥BC， ∴△MDE∽△MNP， ∴， ∴，即MD＝ND， ∵MM′∥NN′， ∴△MM′D∽△NN′D， ∴，即MM′＝NN′， ∵点M的坐标为（m，﹣m2+2m+3）， ∴点M′的坐标为（m，﹣m+3）， ∴|m2﹣3m|＝|﹣m2﹣m+2|，整理得：m2﹣m﹣1＝0或﹣4m＝﹣2， 解得：或或m（此时P与M重合，舍去）， ∴或． 考点4 二次函数综合题-角度问题 1．（2025·锡山区·一模）如图，抛物线yx2+bx与x轴交于点A（5，0）． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点B（1，m）是抛物线上一点，点C是线段AB上一点，连接OC并延长交抛物线于点D，若，求点D的坐标； （3）抛物线上是否存在点P，使得∠OPA＝45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）yx2x；（2）点D坐标为（3，3）；（3）点P坐标为（﹣1，﹣3）或（6，﹣3）． 【详解】解：（1）由已知可得：25+b×5＝0，解得：b， ∴yx2x； （2）如图，作CE⊥OA于E，DF⊥OA于F， 当x＝1时，m121＝2， ∴点B坐标为（1，2）， 设AB解析式为：y＝kx+b， ，解得：． ∴y， ∵， ∴， ∵CE⊥OA于E，DF⊥OA于F， ∴CE∥DF， ∴， 设E点坐标为（m，0）， ∴点C坐标为（m，），点F坐标为（m，0），点D坐标为（m，）． ∵点D在抛物线上， ∴（m）2m， ∴9m2﹣30m+25＝0，解得：m1＝m2， ∴点D坐标为（3，3）； （3）如图，作过O、P、A三点的圆M，连接OM，AM，PM，作MN⊥OA于N， ∵∠OPA＝45°， ∴∠AMO＝90°， ∵OM＝AM，OA＝5， 又∵MN⊥OA， ∴ON＝AN＝MN＝2.5， ∴点M坐标为（2.5，﹣2.5）， ∴AM＝OM， ∴PM， 设点P坐标为（x，y）， ∴（x﹣2.5）2+（y+2.5）2＝（）2，整理得：x2﹣5x+y2+5y＝0， ∵yx2x， ∴y2+3y＝0，解得：y1＝0（不合题意，舍去），y2＝﹣3． ∴y＝﹣3＝x2x，解得：x1＝﹣1，x2＝6， ∴点P坐标为（﹣1，﹣3）或（6，﹣3）． 2．（2025·锡山区·一模）如图，二次函数y＝ax2﹣6ax+c（a＜0）的图象与x轴的负半轴和正半轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，顶点为P，对称轴交x轴于点D，点Q是抛物线对称轴上一动点，直线BQ交y轴于点E，且5EQ＝3BQ． （1）请直接写出A，B两点的坐标：A　　，B　　； （2）当顶点P与点Q关于x轴对称时，S△QCE． ①求此时抛物线的函数表达式； ②在抛物线的对称轴上存在点F，使∠BEF＝2∠OBE，请直接写出点F的坐标． 【答案】（1）（﹣2，0），（8，0）；（2）①yx2x；②F（3，）或F（3，）． 【详解】解：（1）如图， ∵y＝ax2﹣6ax+c＝a（x﹣3）2﹣9a+c， ∴抛物线对称轴是：直线x＝3， ∴OD＝3， ∵DQ∥y轴， ∴OD：BD＝EQ：BQ， ∵5EQ＝3BQ， ∴EQ：BQ＝3：5＝OD：BD， ∴BD＝5， ∴B（8，0）， 由对称性可得：A（﹣2，0）， 故答案为：（﹣2，0），（8，0）； （2）①将点A（﹣2，0）代入二次函数y＝ax2﹣6ax+c中得：4a+12a+c＝0， ∴c＝﹣16a， ∵y＝ax2﹣6ax+c＝a（x﹣3）2﹣9a+c， ∴P（3，﹣9a+c）， ∵顶点P与点Q关于x轴对称， ∴Q（3，9a﹣c），即Q（3，25a）， ∵S△QCE， ∴，解得：EC， 由点B、Q的坐标可得：直线BQ的表达式为：y＝﹣5ax+40a， ∴E（0，40a）， ∵C（0，c），即（0，﹣16a）， ∴﹣16a﹣40a，解得：a＝﹣0.1， ∴c＝﹣16×（﹣0.1）， ∴此时抛物线的函数表达式为：yx2x； ②如图，当点F在BE的下方时，连接PB， ∵顶点P与点Q关于x轴对称， ∴∠PBD＝∠QBD， ∵∠BEF＝2∠OBE， ∴∠BEF＝∠PBQ， ∴PB∥EF， 由①可知：a＝﹣0.1，P（3，2.5）， 同理可得：PB的解析式为：yx+4， ∴设EF的解析式为：yx+n， ∵E（0，﹣4）， ∴n＝﹣4， ∴F（3，）； 如图，当点F在BE的上方时，连接DE， 设F（3，m）， ∵D（3，0）， ∴BD＝5， ∵D（3，0）E（0，﹣4），OD＝3，OE＝4， 由勾股定理可得：ED＝5， ∴DE＝BD， ∴∠DEB＝∠OBE， ∵∠FEB＝2∠OBE， ∴∠FEB＝2∠DEB， ∴EQ：EF＝DQ：FD， ∵BE4， 又∵5EQ＝3BQ， ∴EQBQ， ∴EQ+BQ＝BE， ∴EQ， ∵DQ＝2.5，FD＝m，EQ：EF＝DQ：FD， ∴EFm， 过F作FD⊥y轴，垂足为N， 在直角三角形中，EF， ∴m，解得：m或（舍去）， ∴F（3，）； 综上，F（3，）或F（3，）． 3．（2025·无锡·校级二模）已知平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，且AB＝4． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是线段BC上一点，若∠PAC＝45°，求点P的坐标； （3）在（2）的条件下，将该抛物线向左平移，点D平移至点E处，过点E作EF⊥AP，垂足为点F，若，求平移后抛物线的表达式． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）；（3）． 【详解】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），且AB＝4， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， 将A（﹣1，0）代入抛物线解析式y＝ax2﹣2ax﹣3得：a+2a﹣3＝0，解得：a＝1， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）如图1，过点C作CN⊥AP于点N，过点N作x轴的垂线交x轴于点R，交过点C和x轴的平行线于点T， ∵∠PAC＝45°，CN⊥AP， ∴△CAN为等腰直角三角形， ∴AN＝CN， 设点N的坐标为（m，n）， ∵∠ANR+∠CNT＝90°，∠TCN+∠CNT＝90°， ∴∠TCN＝∠ANR， 在△ARN和△NTC中， ， ∴△ARN≌△NTC（AAS）， ∴AR＝NT，RN＝CT， ∴m+1＝n+3，m＝﹣n，解得：m＝1，n＝﹣1， ∴N（1，﹣1）， 设直线AN的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 将点A，点N的坐标分别代入得：，解得：， ∴直线AN的解析式为， 在y＝x2﹣2x﹣3中，当x＝0时，y＝﹣3，即C（0，﹣3）， 设直线BC的解析式为y＝k1x+b1（k1≠0）， 将点B，点C的坐标分别代入得：，解得：， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣3， 联立得：，解得：， ∴； （3）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，抛物线的顶点为D， ∴D（1，﹣4）， 设抛物线向左平移了t个单位，则点E（1﹣t，﹣4），新抛物线的解析式为y＝（x﹣1+t）2﹣4， 如图2，过点F作x轴的平行线交过点P和y轴的平行线于点H，交过点E和y轴的平行线于点G， 由（2）可得：， 设直线AP的解析式为y＝k2x+b2（k2≠0）， 将点A，点P的坐标分别代入得：，解得：， ∴直线AP的解析式为， 设点F的坐标为， ∵∠EFP＝90°， ∴∠GFE+∠HFP＝90°， ∵∠GFE+∠GEF＝90°， ∴∠HFP＝∠GEF， ∴△FGE∽△PHF， ∴， ∵EF⊥AP，， ∴，即， ∴， ∵，， GF＝xF﹣xG＝m﹣（1﹣t），， ∴，解得：， ∴新抛物线的解析式为． 考点5 二次函数综合题-特殊三角形的存在性问题 1．（2026·江阴市·一模）如图，已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3（a＞0）的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C． （1）求二次函数表达式； （2）若点M（t，y1），N（t+1，y2）（0＜t＜2）是该函数图象上两点． ①证明：y2＜y1+3； ②连接AM、AN、MN，若△AMN为直角三角形，求t的值． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）①证明详见解析；②t＝1或或． 【详解】（1）解：把A（﹣1，0）代入y＝ax2﹣2ax﹣3，得a＝1， ∴y＝x2﹣2x﹣3； （2）①证明：由题意可知：，， ∴y2﹣（y1+3）＝2t﹣4， ∵0＜t＜2， ∴2t﹣4＜0， ∴y2﹣（y1+3）＜0， ∴y2＜y1+3； ②解：当∠MAN＜∠CAB，显然∠MAN≠90°， 如图1，当∠ANM＝90°时，过点N作NE⊥x轴交x轴于点E，MD⊥NE于点D， 则MD＝1，BN＝4﹣t2，AE＝t+2，DN＝y2﹣y1＝2t﹣1， ∵∠AEN＝∠ANE＝∠D＝90°， ∴∠ANE＝∠DMN＝90°﹣∠DNM， ∴△DMN∽△ENA， ∴， ∴， ∴（2t﹣1）（2﹣t）＝1， ∴2t2﹣5t+3＝0， ∴t1＝1，； 如图2，当∠AMN＝90°时，过点A作AE⊥x轴，过点M作ME⊥AE，过N作 ND⊥ME 于点D， 则MD＝1，DN＝2t﹣1，EM＝t+1，AE＝﹣t2+2t+3， 同理可得：△DMN∽△EAM， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴2t2﹣7t+4＝0， ∴，t2， ∵0＜t＜2， ∴t； 综上，t＝1或或． 2．（2025·新吴区·一模）在平面直角坐标系中，抛物线（b，c为常数）的对称轴为直线x＝2，且经过点A（4，3），该抛物线与x轴的负半轴交于点B． （1）此抛物线对应的函数表达式； （2）点P是抛物线上的一点，当△PAB的面积为某一值时，符合该值的点P恰好有三个，求对应点P的横坐标； （3）点M为抛物线对称轴上一点，点N为抛物线上一点，若△AMN是以AM为斜边的等腰直角三角形，直接写出点N的坐标． 【答案】（1）yx2+x+3；（2）P的坐标为（1，）或（31，）或（﹣31，）； （3）N的坐标为（4+2，1﹣2）或（4﹣2，1+2）或（2，1+2）或（﹣2，1﹣2）． 【详解】解：（1）∵抛物线yx2+bx+c的对称轴为直线x＝2，且经过点A（4，3）， ∴，解得：， ∴抛物线对应的函数表达式为yx2+x+3； （2）如图，平移直线AB到MN，使MN与抛物线只有一个交点P1时，△PAB的面积等于△ABP1的面积的P恰好有三个（P1，P2，P3），设MN交y轴于K，AB交y轴于Q，P2P3交y轴于T， 在yx2+x+3中，令y＝0得：0x2+x+3，解得：x＝﹣2或x＝6， ∴B（﹣2，0）， ∵A（4，3）， ∴直线AB解析式为yx+1， 由MN∥AB设直线MN解析式为yx+b， ∴x2+x+3x+b有两个相等实数解，即x2x+3﹣b＝0有两个相等实数解， ∴Δ＝0，即3﹣b＝0，解得：b， ∴直线MN解析式为yx，方程x2x+30的解为x1＝x2＝1， ∴P1（1，）； 由直线AB解析式yx+1得Q（0，1），直线MN解析式yx得K（0，）， ∴KQ1， ∵直线MN与直线AB的距离等于直线P1P2与AB的距离， ∴QT＝KQ， ∴Q（0，）， ∴直线P1P2的解析式为yx， 联立可得：，解得：或， ∴P2（31，），P3（﹣31，）； 综上，P的坐标为（1，）或（31，）或（﹣31，）； （3）如图，过N作KT∥y轴，过M作MK⊥KT于K，过A作AT⊥KT于T， 设M（2，m），N（n，n2+n+3）， ∵△AMN是以AM为斜边的等腰直角三角形， ∴∠ANM＝90°，AN＝MN， ∵∠ANT＝90°﹣∠MNK＝∠NMK， ∵∠T＝∠K＝90°， ∴△ANT≌△NMK（AAS）， ∴NT＝KM， ∴|n2+n+3﹣3|＝|2﹣n|， ∴n2+n＝2﹣n或n2+n＝n﹣2，解得：n＝4+2或n＝4﹣2或n＝2或n＝﹣2， ∴N（4+2，1﹣2）或（4﹣2，1+2）或（2，1+2）或（﹣2，1﹣2）． 3．（2026·天宁区·校级模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）若m≤x≤m+1时，二次函数y＝ax2+bx+3的最大值为m，求m的值； （3）当点P在对称轴左侧的抛物线上时，对称轴上是否存在一点D，使得△APD是以AD为直角边的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）m的值为或； （3）存在，点P的横坐标为0或﹣2或或． 【详解】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）， 将点A，点B的坐标分别代入得：，解得：， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3； （2）∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线的顶点为（1，4），对称轴为直线x＝1， 当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而增大， 若m+1≤1，即m≤0时， 当x＝m+1时，函数有最大值m， ∴﹣（m+1）2+2（m+1）+3＝m，解得：（不合题意，舍去），； 若m＜1＜m+1，即0＜m＜1时， 当x＝1时，函数有最大值为m＝4（不合题意，舍去）； 若m＞1， 当x＝m时，函数有最大值为m， ∴﹣m2+2m+3＝m，解得：（不合题意，舍去），； 综上，m的值为或； （3）存在，点P的横坐标为0或﹣2或或，理由如下： 设D（1，t），则AN＝2， ①当点D为直角顶点， （i）当t＞0时， 如图1，作PM⊥MN交对称轴于点M，记抛物线对称轴与x轴交点为N， ∵∠ADP＝90°， ∴∠PDM+∠ADN＝90°， 又∵∠PDM+∠MPD＝90°， ∴∠ADN＝∠MPD， 在△PMD和△DNA中， ， ∴△PMD≌△DNA（AAS）， ∴PM＝DN＝t，MD＝AN＝2， ∴P（1﹣t，2+t）， 代入抛物线解析式得：2+t＝﹣（1﹣t）2+2（1﹣t）+3，解得：t1＝﹣2（不合题意，舍去），t2＝1， ∴点P的横坐标为1﹣t＝1﹣1＝0； （ii）当t＜0时， 如图2，作PM⊥MN交对称轴于点M， 同理可证：△PMD≌△DNA（AAS）， ∴AN＝DM＝2，PM＝DN＝t， ∴设点P（1+t，t﹣2）， 代入抛物线解析式得：t﹣2＝﹣（1+t）2+2（1+t）+3，解得：t1＝2（不合题意，舍去），t2＝﹣3， ∴点P的横坐标为1+t＝1+（﹣3）＝﹣2； ②当点A为直角顶点， （i）当点P在x轴上方时，如图3，过点A作y轴平行线，作PM⊥AM交于点M，DN⊥AN交于点N， 同理可得：△PMA≌△AND（AAS）， ∴PM＝AN＝﹣t，AM＝DN＝2， ∴P（﹣1+t，2）， 代入抛物线解析式得：2＝﹣（﹣1+t）2+2（﹣1+t）+3，解得：，， ∵点P在对称轴左侧， ∴， ∴点P的横坐标为； （ii）当点P在x轴下方时，如图4，过点P作PM⊥x轴交x轴于点M，记对称轴与x轴交点为N， 同理可得：△PMA≌△AND（AAS）， ∴PM＝AN＝2，DN＝AM＝t， ∴点P为（﹣1﹣t，﹣2）， 代入抛物线解析式得：﹣2＝﹣（﹣1﹣t）2+2（﹣1﹣t）+3，解得：，， ∵点P在对称轴左侧， ∴， ∴点P的横坐标为； 综上，对称轴上存在一点D，使得△APD是以AD为直角边的等腰直角三角形；点P的横坐标为0或﹣2或或． 考点6 二次函数综合题-特殊四边形的存在性问题 1．（2026·惠山区·一模）已知二次函数的图象经过点A（﹣3，0），B（1，0），顶点为点D，与y轴交于点C． （1）求该二次函数的表达式； （2）点M（a，y1）和N（a+3，y2）是该二次函数图象上的两点，当a＜0时，试比较y1与y2的大小，并说明理由； （3）点P是直线AC上的动点，过点P作直线AC的垂线PE，记点D关于直线PE的对称点为F，当以点P、A、D、F为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）； （2）当时，y1＝y2；当时，y1＜y2；当时，y1＞y2；（3）和． 【详解】解：（1）∵二次函数的图象经过点A（﹣3，0），B（1，0）， ∴，整理得：，解得：， ∴该二次函数的表达式为； （2）∵点M（a，y1）和N（a+3，y2）是二次函数图象上的两点， ∴，y2（a， ∴， 结合a＜0，分三种情况讨论： ①当，即时，y1＝y2； ②当，即时，y1＜y2； ③当，即时，y1＞y2； （3）∵抛物线与y轴交于点C，顶点为点D， ∴，， 设直线AC的解析式为 y＝kx+n， 将A（﹣3，0），代入得：，解得：， ∴直线AC解析式为， ∵点P是直线AC上的动点， ∴设， ∵D、F关于直线PE对称， ∴PE垂直平分DF， 又∵PE⊥AC， ∴DF∥AC， ∴D到F的平移规律，与A到C的平移规律完全一致， 设D到DF中点M的横坐标变化为t，则纵坐标变化为， ∴， 如图，中点M在对称轴PE上，且PE⊥AC， ∴△APM为直角三角形， ∴AP2+PM2＝AM2， ∵， ， ， ∴（4m2+24m+36）+[4（t﹣m）2+4（t﹣m）+4]＝4t2+28t+52，整理得：2t（m+3）＝（2m﹣1）（m+3）， ∵点P和点A重合时无法构成平行四边形，故m≠﹣3， ∴两边同时除以（m+3）得：， ∴， 设F（x，y），则，，化简得：x＝2m﹣2，， ∴F（2m﹣2，）， 若以点P，A，D，F为顶点的四边形为平行四边形，分以下三种情况讨论： ①以AD和PF为平行四边形的对角线，则AD的中点＝PF的中点， ∴横坐标相等得：，解得：， 纵坐标相等得：，解得：， ∴； ②以AP和DF为平行四边形的对角线，则AP的中点＝DF的中点， ∴横坐标相等得：，解得：m＝0， 纵坐标相等得：，解得：m＝﹣4， ∴此情况不成立； ③以AF和PD为平行四边形的对角线，则AF的中点＝PD的中点， ∴横坐标相等得：，解得：m＝4， 纵坐标相等得：，解得：m＝4， ∴； 综上，点P的坐标为和． 2．（2025·滨湖区·二模）如图，已知二次函数y＝m2x2﹣2mx﹣3（m是常数，m＞0）的图象与x轴分别相交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．点C关于l的对称点为D，连接AD．点E为该函数图象上一点，AB平分∠DAE． （1）①线段AB的长为　　． ②求点E的坐标；（①、②中的结论均用含m的代数式表示） （2）设M是该函数图象上一点，点N在l上．探索：是否存在点M．使得以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形？如果存在，求出点M坐标；如果不存在，说明理由． 【答案】（1）①；②E（，5）；（2）存在，M（4，﹣3）或． 【详解】解：（1）①令y＝0，则（mx﹣3）（mx+1）＝0， ∴x或x， ∴A（，0），B（，0）， ∴AB， 故答案为：； ②∵二次函数y＝m2x2﹣2mx﹣3， ∴C（0，﹣3），对称轴l：x， ∴D（，﹣3） ∵AB平分∠DAE， ∴点D关于x轴的对称点Q（，3）在直线AE上， ∴直线AE的解析式为y＝mx+1， ∵点E是抛物线和直线AE的交点， ∴E（，5）； （2）设M（x，m2x2﹣2mx﹣3），N（，a） ∵A（，0），E（，5）． 以A、E、M、N为顶点的四边形是矩形， ①以AE，MN为对角线时，AE，MN的中点重合， ∴x， ∴x， ∴M（，﹣3）， ∵MA2+ME2＝AE2， ∴96425，解得：m（舍）或m， ∴M（4，﹣3）， ②以AN，ME为对角线时，AN，ME的中点重合， ∴x， ∴x， ∴M（，21）， ∵AE2+AM2＝ME2， ∴25441256，解得：m（舍）或m， ∴， ③以AM，NE为对角线时，AM，NE的中点重合， ∴x+（）， ∴x， ∴M（，21）， ∵AE2+EM2＝AM2， ∴25256441，此方程无解； 综上，存在，M（4，﹣3）或． 3．（2025·滨湖区·一模）已知，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，A（﹣1，0），函数图象的对称轴经过点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）连接AC，BC，若点P为直线BC下方的函数图象上一动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为点D，PD交BC于点E． ①点F为线段DE上一动点，FG⊥y轴，垂足为点G，点H为线段AC上一动点，连接CP，BF，GH．当△BCP的面积最大时，求BF+FG+GH的最小值； ②在y轴上是否存在点T，使以P、E、C、T为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点T的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2；（2）①1；②T（0，﹣2）或（0，﹣1）． 【详解】解：（1）∵A（﹣1，0），函数图象的对称轴经过点， ∴点B（2，0）， ∴抛物线的表达式为：y＝（x+1）（x﹣2）＝x2﹣x﹣2； （2）由抛物线的表达式可知：点C（0，﹣2）， 由点B、C的坐标可得：直线BC的表达式为：y＝x﹣2； ①△BCP的面积OB×PE＝PE， ∴PE最大时，△BCP的面积最大， 设点E（m，m﹣2），则点P（m，m2﹣m﹣2）， ∴PE＝﹣m2+2m＝﹣m2+2m﹣1+1＝﹣（m﹣1）2+1≤1， ∴当m＝1时，PE最大时，即△BCP的面积最大， ∴点P（1，﹣2）， ∴点D（1，0）， 如图，将点B的坐标向右平移1个单位（GF的长度为1）得到D，作DG⊥AC交BC于点H，交y轴于点G，则此时BF+FG+GH最小， ∵BD＝1＝GF且BD∥GF， ∴四边形GFBD为平行四边形， ∴BF＝DG， ∴BF+FG+GH＝DG+GH+FG＝DH+1为最小， 由点A、C的坐标可得：tan∠OAC＝2， ∴sin∠OAC， ∴HD＝ADsin∠OAC， ∴BF+FG+GH最小值为1； ②如图，当PE为边时， 设点E（m，m﹣2），则点P（m，m2﹣m﹣2）， 由P、C、E的坐标可得：PE＝﹣m2+2m，CEm，CP2＝m2+（m2﹣m）2， ∴PE＝DE， ∴﹣m2+2mm，解得：m＝0（舍去）或m＝2， ∴CEm＝22＝TC， ∴点T（0，﹣2）； 如图，当CE为对角线时， ∴CP＝PE， ∴（﹣m2+2m）2＝m2+（m2﹣m）2，解得：m＝1（不合题意，舍去）， ∴CT＝PE＝﹣m2+2m＝1， ∴点T（0，﹣1）； 综上，T（0，﹣2）或（0，﹣1）． 考点7 二次函数综合题-相似三角形的存在性问题 1．（2026·常州·校级模拟）如图，直线y＝x﹣3与x轴，y轴分别交于点B，点C，经过B，C两点的抛物线＝﹣x2+mx+n与x轴的另一个交点为A，顶点为P． （1）求该抛物线的解析式以及顶点P的坐标； （2）当0＜x＜3时，在抛物线上存在点E，使△CBE的面积有最大值，求点E的坐标； （3）连接AC，点N在x轴上，是否存在以B，P，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2+4x﹣3，抛物线顶点P（2，1）；（2）点E的坐标为（，）； （3）存在，点N的坐标为（0，0）或（，0）． 【详解】解：（1）在y＝x﹣3中，令x＝0得：y＝﹣3，令y＝0得：x＝3， ∴B（3，0），C（0，﹣3）， 把B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝﹣x2+mx+n得：，解得：， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x﹣3， ∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1， ∴抛物线顶点P（2，1）； （2）如图，过E作EH∥y轴交BC于H， 设E（t，﹣t2+4t﹣3），则H（t，t﹣3）， ∴EH＝﹣t2+4t﹣3﹣（t﹣3）＝﹣t2+3t， ∴S△CBEEH·|xB﹣xC|（﹣t2+3t）×（3﹣0）（t）2， ∵0， ∴当t时，S△CBE取最大值为，此时﹣t2+4t﹣36﹣3， ∴点E的坐标为（，）； （3）存在以B，P，N为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下： 如图，过P作PQ⊥x轴于Q， 在y＝﹣x2+4x﹣3中，令y＝0得：0＝﹣x2+4x﹣3，解得：x＝1或x＝3， ∴A（1，0），B（3，0）， ∵C（0，﹣3），P（2，1）， ∴PQ＝BQ＝1，OB＝OC＝3，BA＝2，BC＝3，BP，BC＝3， ∴∠ABC＝45°＝∠PBQ， 以B，P，N为顶点的三角形与△ABC相似时，N在B左侧，只需满足或， 当时，， ∴BN＝3， ∴N（0，0）； 当时，， ∴BN， ∴N（，0）； 综上，N的坐标为（0，0）或（，0）． 2．（2025·惠山区·三模）已知二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，对称轴经过点E（1，0）且与BC交于点F，CF：BF＝1：3． （1）求二次函数的表达式； （2）点D是抛物线的顶点，点P在抛物线上，并且位于对称轴的右侧． ①当∠PAB+∠CBA＝∠DCB时，求点P的坐标； ②连接AC，点Q是直线BC上一点，当Rt△PEQ∽Rt△COA时，求点P的坐标． 【答案】（1）yx2+x+4；（2）①点P坐标为（5，）或（3，）；②点P坐标为（，）． 【详解】解：（1）由对称轴经过点E（1，0）可知：对称轴为直线x＝1， ∴，即b＝﹣2a， ∴二次函数y＝ax2+bx+4＝ax2﹣2ax+4， ∵DE∥CO， ∴，即BE＝3OE＝3， ∴B（4，0），A（﹣2，0），C（0，4）． 把B（4，0）代入二次函数y＝ax2﹣2ax+4中，得a， ∴二次函数的表达式为yx2+x+4； （2）①如图，作CT∥x轴交抛物线于点T， ∵OB＝OC＝4， ∴∠CBA＝45°＝∠TCB， 又∵∠PAB+∠CBA＝∠DCB， ∴∠PAB+45°＝45°+∠DCT， ∴∠DCT＝∠PAB， ∵D（1，）， ∴tan∠DCT， ∴tan∠PAB， ∴取点S（0，﹣1），连接AS交抛物线于点P，满足题意， ∴直线AS的表达式为y， 与yx2+x+4联立可得：x2﹣3x﹣10＝0，解得：x＝5或﹣2（舍去），此时P（5，）； 同理取点S'（0，﹣1），连接AS'交抛物线于点P'，亦满足题意， ∴直线AS'的表达式为y， 与yx2+x+4联立可得：x2﹣x﹣6＝0，解得：x＝3或﹣2（舍去），此时P（3，）； 综上，点P坐标为（5，）或（3，）； ②如图2，作QM⊥x轴于点M，PN⊥x轴于点N， 当Rt△PEQ∽Rt△COA时，∠COA＝∠PEQ＝90°，2， ∵∠EQM+∠NEP＝90°，∠EQM+∠QEM＝90°， ∴∠NEP＝∠QEM， 又∵∠QME＝∠PNE＝90°， ∴△PEN∽△EQM， ∴． 由题意可知：点P在第二象限时无法满足题意，故点P在第四象限． 设P（m，m2+m+4）（m＞4）， ∴PN＝m﹣1，ENm2﹣m﹣4， ∴ME（m﹣1），QMm2m﹣2， ∴点Q坐标（m2m﹣1，m）， 由待定系数法可知：直线BC的表达式为y＝﹣x+4， 把点Q坐标代入y＝﹣x+3中得：m（m2m﹣1）+4，解得：m（负根已舍）， ∴点P坐标为（，）． 3．（2025·梁溪区·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B（点A在点B左侧），与y轴交于C．一次函数y＝x﹣3的图象经过B、C两点，点D（0，﹣2）． （1）求b，c的值； （2）点E在直线BC上，直线DE交x轴于点F，将点D绕点E逆时针旋转90°得到点G．连接GD、GF，当△GDF和△ABC相似时，求点G的坐标． 【答案】（1）b＝4，c＝﹣3；（2），（7，﹣3）． 【详解】解：（1）∵分别把x＝0，y＝0代入y＝x﹣3得：y＝﹣3，x＝3， ∴C（0，﹣3），B（3，0）， 将B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得：； （2）∵OC＝OB＝3， ∴∠ABC＝45°， 设K（1，﹣2）， ①当点E与点K重合时（如图1）， 此时直线DE∥x轴，点F不存在，不符题意，舍去； ②当E在射线KC上时（如图2、图3）， 由题意可得：GE＝DE，∠GED＝90°， ∴∠EGD＝∠EDG＝45°，∠GDF＝135°， ∴∠DFG＜45°，∠DGF＜45°， ∴△ABC和△GDF相似不成立； ③当点E在线段KB上时（如图4）， 同理可得：∠GDF＝45°， ∵∠ABC＝45°， ∴当时，△GDF∽△ABC． ∴， ∵， ∴， ∴， 过点E作MN⊥y轴，过点G作GN⊥MN， 则∠MED＝∠NGE＝90°﹣∠NEG， ∵ED＝EG，∠EMD＝∠ENG， ∴△MED≌△NGE（AAS）， ∴EM＝NG，EN＝DM， 由ME∥OF可得：， ∴， ∴EM＝NG，DM＝EN， ∴； ④当点E在KB延长线时（如图5）， 同③可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点E作MN⊥y轴，过点G作NG⊥MN． 同理可得：△MED≌△NGE（AAS）， ∴EM＝NG，EN＝DM， 由MN∥x轴可得：， ∴E（4，1）， 由△MED≌△NGE得：G（7，﹣3）； 综上，点G坐标为或（7，﹣3）． 1．（2025·无锡·二模）在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝a（x+m）2﹣m+2（a＜0）的图象与一次函数y＝x+2的图象交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点（B在A的左侧）． （1）二次函数的顶点坐标为　　； （2）若二次函数y＝a（x+m）2﹣m+2（a＜0）由y＝﹣x2平移所得， ①求线段AB的长； ②当x2≤x≤﹣2m﹣1时，二次函数的最大值与最小值的和等于，求m的值． 【答案】（1）（﹣m，2﹣m）；（2）①；②或． 【详解】解：（1）∵y＝a（x+m）2﹣m+2（a＜0）， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣m，2﹣m）， 故答案为：（﹣m，2﹣m）； （2）①∵二次函数y＝a（x+m）2﹣m+2（a＜0）由y＝﹣x2平移所得， ∴y＝﹣（x+m）2﹣m+2， 联立，解得：或， ∵﹣m﹣1＜﹣m，B在A的左侧， ∴B（﹣m﹣1，1﹣m），A（﹣m，2﹣m）， ∴； ②由（1）可知：x2＝﹣m﹣1， ∵y＝﹣（x+m）2﹣m+2， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝﹣m， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小，（﹣m﹣1，1﹣m）关于x＝﹣m的对称点为（﹣m+1，1﹣m）， ∵x2≤x≤﹣2m﹣1，即﹣m﹣1≤x≤﹣2m﹣1， 1°当﹣m﹣1≤﹣2m﹣1≤﹣m，即﹣1≤m≤0时， 当x＝﹣m﹣1时，函数取得最小值为：y＝﹣（﹣m﹣1+m）2﹣m+2＝﹣m+1， 当x＝﹣2m﹣1时，函数取得最大值为：y＝﹣（﹣2m﹣1+m）2﹣m+2＝﹣m2﹣3m+1， ∴，解得：m＝±2＜1，不合题意，舍去； 2°当﹣m＜﹣2m﹣1＜﹣m+1，即﹣2＜m＜﹣1时， 当x＝﹣m时，函数取得最大值为2﹣m， 当x＝﹣m﹣1时，函数取得最小值为﹣m+1， ∴，解得：，符合题意； 3°当﹣m＜﹣m+1＜﹣2m﹣1，即m＜﹣2时， 当x＝﹣m时，函数取得最大值为2﹣m， 当x＝﹣2m﹣1时，函数取得最小值为：y＝﹣（﹣2m﹣1+m）2﹣m+2＝﹣m2﹣3m+1， ∴，解得：（舍去）； 综上，或． 2．（2026·锡山区·一模）已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C． （1）直接写出这个二次函数的表达式； （2）如图1，连接BC，点P是直线AC上的一个动点，过点P的直线l与BC平行，则在直线l上是否存在点Q，使点B与点P关于直线CQ对称？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，点G，H为x轴上方的抛物线上两点（点G在点H的右边），直线AG、AH与y轴分别交于S，T两点，若OS·OT＝6，试探究直线GH是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）Q（1，）或（1，）； （3）直线GH经过定点（1，）． 【详解】解：（1）将点A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx+3，得， 解得：， ∴y＝﹣x2﹣2x+3； （2）如图， 当点P在线段AC上时，连接BP，交CQ于R， ∵点B和点Q关于CQ对称， ∴CP＝CB， 设P（t，t+3）， 由CP2＝CB2得， 2t2＝10， ∴t1，t2（舍去）， ∴P（，3）， ∵PQ∥BC， ∴1， ∴CR＝QR， ∴四边形BCPQ是平行四边形， ∵1+（）﹣0＝1，0+（3）﹣3， ∴Q（1，）； 如图， 当点P在AC的延长线上时，由上可知：P（，3）， 同理可得：Q（1，）， 综上，Q（1，）或（1，）； （3）设G（m，﹣m2﹣2m+3），H（n，﹣n2﹣2n+3）， 设直线GH解析式为y＝kx+d， 则，解得：， ∴直线GH解析式为y＝（﹣m﹣n﹣2）x+mn+3， 同理可得：直线AH解析式为y＝（1﹣n）（x+3）， 直线AG解析式为y＝（1﹣m）（x+3）， 令x＝0，得yS＝3﹣3m，yT＝3﹣3n， ∴OS＝3﹣3m，OT＝3﹣3n， ∵OS·OT＝6， ∴（3﹣3m）（3﹣3n）＝6，整理得：m+n＝mn， 代入直线GH解析式，得y＝（﹣mn）x+mn+3＝mn（﹣x+1）x+3， 当x＝1时，y， ∴直线GH经过定点（1，）． 3．（2026·海州区·校级模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），AB＝8，顶点C的坐标为（0，﹣4）． （1）求抛物线的函数表达式． （2）过线段OC的中点D的直线l：y＝kx+b（k＜0）与抛物线交于E，F两点（E在y轴左侧）． ①若点D为EF的三等分点，求k的值． ②连接AF，BE分别交y轴于点M，N，求CM+CN的最小值． 【答案】（1）；（2）①；②当时，CM+CN取得最小值，最小值为． 【详解】解：（1）∵在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），AB＝8，顶点C的坐标为（0，﹣4）． ∴A（﹣4，0），B（4，0）， 将点A，点C的坐标代入得：，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）①∵D为OC的中点， ∴D（0，﹣2）， ∴直线l的表达式为y＝kx﹣2， 联立得：y，整理得：， ∴x1+x2＝4k，x1x2＝﹣8， 设E（x1，y1），F（x2，y2）， ∵点D为EF的三等分点， ∴DE＝2DF或DF＝2DE， 当DE＝2DF时，|x1|＝2|x2|， ∴﹣x1＝2x2， ∵x1+x2＝4k， ∴x1＝8k，x2＝﹣4k． 又∵x1x2＝﹣8， ∴8k（﹣4k）＝﹣8，解得：k（k＜0，不合题意，舍去）或k； 当DF＝2DE时，同理可得：； 综上，； ②设E（x1，y1），F（x2，y2），直线AF的解析式为y＝mx+n，直线BE的解析式为y＝sx+t， ∵A（﹣4，0），B（4，0）， 由题意可得：，解得：， ∴直线， 由题意可得：，解得：， ∴直线， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵x1＜0，x2＞0， ∴CM＝x2，CN＝﹣x1， ∴CM+CN＝x2﹣x1， ∵x1+x2＝4k，x1x2＝﹣8， ∴， ∵k2≥0， ∴， ∴CM+CN的最小值为． 4．（2026·常州·校级模拟）如图，已知抛物线与x轴交于A，B（8，0）两点，与y轴交于点C．点P为第一象限抛物线上的点，连接CA，CB，PB，PC． （1）直接写出结果：b＝　　，tan∠ABC＝　　； （2）如图1，当∠PCB＝2∠ABC时，求点P的坐标； （3）如图2，点D在y轴负半轴上，OD＝OB，点Q为抛物线上一点，∠QBD＝90°．点E，F分别为△BDQ的边DQ，DB上的动点，且QE＝DF，求BE+QF的最小值． 【答案】（1），；（2）（4，6）；（3）． 【详解】解：（1）抛物线与x轴交于A，B（8，0）两点，与y轴交于点C， 将点B的坐标代入得：，解得：， ∴抛物线解析式为， 当x＝0时，得y＝4， ∴C（0，4）， ∴OC＝4， ∵B（8，0）， ∴OB＝8， 在Rt△COB中，， 故答案为：，； （2）如图1，过点C作CD∥x轴，交BP于点D，过点P作PE∥x轴，交y轴于点E， ∴∠ABC＝∠DCB，∠EPC＝∠PCD， ∵∠PCB＝2∠ABC＝∠PCD+∠DCB， ∴∠PCB＝2∠ABC＝∠EPC+∠ABC ∴∠EPC＝∠ABC， 又∵∠PEC＝∠BOC＝90°， ∴△PEC∽△BOC， ∴， 设点P坐标为，则， ∴，解得：t＝0（不合题意，舍去）或t＝4， ∴点P坐标为（4，6）； （3）如图2，作DH⊥DQ，且使DH＝BQ，连接FH，QH， ∵∠BQD+∠BDQ＝90°，∠HDF+∠BDQ＝90°， ∴∠BQD＝∠HDF， 在△BQE和△HDF中， ， ∴△BQE≌△HDF（SAS）， ∴BE＝FH， ∴BE+QF＝FH+QF≥QH， ∴Q，F，H共线时，BE+QF的值最小，即为QH， 作QG⊥AB于点G， ∵OB＝OD，∠BOD＝90°， ∴∠OBD＝45°， ∵∠QBD＝90°， ∴∠QBG＝45°， ∴QG＝BG， 设G（n，0），则， ∴，解得：n＝2或n＝8（不合题意，舍去）， ∴Q（2，6）， ∴QG＝BG＝8﹣2＝6， 在直角三角形BGQ中，由勾股定理可得：， ∵OD＝OB＝8， ∴D（0，﹣8）， ∵Q（2，6） ∴， 在直角三角形DHQ中，由勾股定理可得：． 5．（2025·宜兴市·模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于点和点B（4，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，点P为线段OB上一个动点，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点N，交线段BC于点M，点D是直线BC上方抛物线上一点．当△MND∽△BPM时，求点N的坐标． （3）如图2，点Q是抛物线上在第一象限的一个动点，连接AQ，交线段BC于点E，交y轴于点F，令S＝S△BQE﹣S△CEF，求S的最大值． 【答案】（1）y＝﹣x2x+2；（2），（3）． 【详解】解：（1）由题意可得：x2x+2； （2）由抛物线的表达式可知：点C（0，2）， 由点B、C的坐标可得：， 设点N（t，﹣t2t+2），则点M（t，t+2），点D（t，﹣t2t+2）， ∴． ∵PM∥OC，则△BOC∽△BPM， ∵△MND∽△BPM， ∴△MND∽△BOC， ∴MN：ND＝BO：OC，即， 解得：（舍去）或1或7（舍去）， ∴； （3）设点， 由点A、Q的坐标可得：AQ的表达式为：y＝﹣（m﹣4）（x）， ∴点F（0，2m）， ∴ ， ∴当时，． 6．（2026·锡山区·一模）如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C，OB＝OC＝2OA，C点坐标（0，﹣2），连接BC． （1）求抛物线的解析式； （2）在图1中，点D（x，y）是线段BC下方抛物线上一动点，连接DO交线段BC于E点，设，当∠ACD＝90°时，求k的值； （3）如图2，在线段BC上方有一条动直线EF始终与线段BC平行，且与抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）交于E、F两点，直线CE与BF交于点P，△BCP的面积能否为4，若能，直接写出点P的坐标，若不能，请说明理由． 【答案】（1）y＝x2﹣x﹣2；（2）；（3）点P（1，﹣5）． 【详解】解：（1）∵OB＝OC＝2OA，C点坐标（0，﹣2）， ∴点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（2，0）， 由题意可得：y＝a（x+1）（x﹣2）＝a（x2﹣x﹣2）， ∴﹣2a＝﹣2，解得：a＝1， ∴抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣2； （2）由点A、C的坐标可得：直线AC的表达式为：y＝﹣2x﹣2， 当∠ACD＝90°时，直线CD的表达式为：yx﹣2， 联立直线AC和抛物线的表达式得：x﹣2＝x2﹣x﹣2，解得：x＝0（舍去）或， ∴点D（，）， 由点B、C的坐标可得：直线BC的表达式为：y＝x﹣2， 如图，过点D作DH∥y轴交BC于点H，则点H（，）， ∴HD， ∵△HDE∽△COE， ∴k＝OE：ED＝OC：HD＝2：； （3）设点E、F的坐标分别为：（m，m2﹣m﹣2）、（n，n2﹣n﹣2）， 由点E、F的坐标可得：直线E、F的表达式为：y＝（m+n﹣1）（x﹣n）+n2﹣n﹣2， ∵FE∥BC， ∴m+n﹣1＝1，即m＝2﹣n， 由点E、C的坐标可得：直线EC的表达式为：y＝（m﹣1）x﹣2， 同理可得：直线BF的表达式为：y＝（n+1）（x﹣2）， 联立直线EC和BF的表达式得：（n+1）（x﹣2）＝（m﹣1）x﹣2，解得：x1， ∴点P（1，﹣n﹣1）， 如图，过点P作直线PN∥BC交y轴于点N，过点C作CT⊥PN于点T， ∴直线PN的表达式为：y＝x﹣1﹣n﹣1＝x﹣n﹣2， ∴点N（0，﹣n﹣2）， ∴CN＝﹣2+n+2＝n， ∴△BCP的面积BC×CTBCCN2n＝4，解得：n＝4， ∴点P（1，﹣5）． 7．（2025·江阴市·模拟）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0）图象的对称轴是经过点（1，0）且平行于y轴的直线，与x轴分别交于A、B两点（A点在B点的左侧），A点为（﹣1，0），与y轴交于点C． （1）求二次函数的表达式； （2）点M（m，y1）和N（m+1，y2）是二次函数图象上的两个点，比较y1和y2的大小； （3）在抛物线对称轴上找一点P，使得tan∠BPC＝3，求P点的坐标． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）当m时，y1＝y2；当m时，y1＜y2；当m时，y1＞y2； （3）P点坐标为（1，﹣4）或（1，1）． 【详解】解：（1）∵对称轴为直线x＝1， ∴b＝﹣2a， ∴y＝ax2﹣2ax﹣3， 将点A代入，得a+2a﹣3＝0，解得：a＝1， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）∵M（m，y1）和N（m+1，y2）是二次函数图象上的两个点， ∴y1＝m2﹣2m﹣3，y2＝m2﹣4， ∴y1﹣y2＝﹣2m+1， 当m时，y1＝y2； 当m时，y1＜y2； 当m时，y1＞y2； （3）设抛物线的顶点M（1，﹣4）， ∴CM，BM＝2，BC＝3， ∵BM2＝CM2+BC2， ∴△BCM是直角三角形，且∠BCM＝90°， ∴tan∠CMB3， ∴P点与M点重合，即P（1，﹣4）； 如图，过点B作BN∥CM，过点C作CN∥BM，BN与CN交于N点， ∴四边形CMBN是平行四边形， ∴∠BNC＝∠CMB，∠NBC＝∠MCB＝90°， ∴P点在以CN为直径的圆与对角线的交点处， 设P（1，m）， 直线CM的解析式为y＝﹣x﹣3，则直线BN的解析式为y＝﹣x+3， 直线BM的解析式为y＝2x﹣6，则直线CN的解析式为y＝2x﹣3， 当﹣x+3＝2x﹣3时，解得：x＝2， ∴N（2，1）， ∴CN＝2， 设NC的中点为G（1，﹣1）， ∴PGNC， ∴m+1，解得：m1， ∴P（1，1）； 综上，P点坐标为（1，﹣4）或（1，1）． 8．（2026·新吴区·二模）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A、点B（1，0），与y轴交于点E，且对称轴为直线x＝﹣1．该抛物线与直线交于C、D两点（点C在点D的左侧）． （1）求二次函数的表达式； （2）若△ACD与△CDE的面积相等时，求m的值； （3）当m为何值时，在x轴上存在唯一的点Q，使∠CQD＝90°？（直接写出m的值） 【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）m＝2；（3）或． 【详解】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点B（1，0）， ∴0＝﹣1+b+c； ∵对称轴为直线x＝﹣1， ∴，解得：b＝﹣2； 将b＝﹣2代入0＝﹣1+b+c，得c＝3， ∴二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）由（1）可知：二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3， 则点E（0，3）， 令y＝0，则﹣x2﹣2x+3＝0，解得：x＝﹣3或x＝1， ∴点A（﹣3，0）， 设直线AE：y＝kx+b'， 将A（﹣3，0）、E（0，3）代入，得， 解得：， ∴直线AE：y＝x+3， ∵直线CD：， ∴CD与AE相交， 如图，过点A作AM⊥CD、过点E作EN⊥CD，CD与AE相交于点F， ∵△ACD与△CDE的面积相等， ∴， ∴AM＝EN， 在△AMF和△ENF中， ， ∴△AMF≌△ENF（AAS）， ∴AF＝EF，即点F是线段AE的中点， ∵A（﹣3，0）、E（0，3）， ∴F的坐标为，即， 将代入直线，得，解得：m＝2； （3）在x轴上存在唯一的点Q，使∠CQD＝90°， 可以理解为以CD为直径的圆与x轴相切，分两种情况： 如图，当交点C、D均在x轴上方时，m＞0， 设抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与直线交点坐标C（x1，y1）、D（x2，y2）（点C在点D的左侧）， 联立，整理得：3x2+7x+3m﹣9＝0， ∴，x1x2＝m﹣3， ∴y1+y2＝（m）+（m）（x1+x2）+2m＝2m， ∴以CD为直径的圆的圆心M（，m）， CD ·， 当⊙M与x轴相切时，MQCD， ∴m， ∴36m2+12m﹣169＝0，解得：m或m（负值舍去）； 如图，当交点C、D均在x轴下方时，m＜0， 同理可知：， ∴36m2+12m﹣169＝0，解得：或（正值舍去）； 综上，或． 9．（2026·滨湖区·一模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象经过点A（﹣1，9），B（5，9），与y轴交于点C，顶点为P． （1）求该二次函数的函数表达式； （2）设二次函数y＝mx2+nx+p（m≠1）的图象经过点A，B，且与y轴交于点D，顶点为Q． ①求的值； ②当△PCQ是直角三角形时，求tan∠CDQ的值． 【答案】（1）y＝x2﹣4x+4；（2）①；②或． 【详解】解：（1）∵y＝ax2﹣4x+c的图象经过点A（﹣1，9），B（5，9）， ∴，解得：a＝1，c＝4， ∴y＝x2﹣4x+4； （2）①∵y＝mx2+nx+p（m≠1）的图象经过A（﹣1，9），B（5，9）， ∴，解得：n＝﹣4m，p＝9﹣5m， ∴y＝mx2﹣4mx+9﹣5m＝m（x﹣2）2+9﹣9m， ∴D（0，9﹣5m），Q（2，9﹣9m）， ∵y＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2， ∴C（0，4），P（2，0）， ∴CD＝|5m﹣5|＝5|m﹣1|，PQ＝|9﹣9m|＝9|m﹣1|， ∴； ②如图，当∠CQP＝90°时，四边形POCQ是矩形， ∴9﹣9m＝4，解得：， ∴，， ∴； 如图，当∠PCQ＝90°时，作QE⊥y轴， 由△POC∽△CEQ得：CE＝1， ∴OE＝4+1＝5， ∴9﹣9m＝5，解得：， ∴， ∴， ∴； 当m＜0时，不存在直角三角形PCQ； 综上，或． 10．（2026·钟楼区·校级模拟）如图，已知二次函数（b，c为常数）的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点B的坐标为（9，0），点C的坐标为（0，﹣3），连接AC，BC． （1）求抛物线的解析式． （2）若点P为抛物线上的一个动点，连接PC，当∠PCB＝∠OBC时，求点P的横坐标． （3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使△BCQ为直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）8或；（3）（4，15）或（4，﹣15）或或． 【详解】解：（1）将点B（9，0），C（0，﹣3）代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）①如图，当点P为直线BC下方的抛物线上的一个动点时， ∵∠PCB＝∠OBC， ∴PC∥x轴， ∴点P的纵坐标与点C的纵坐标相等，即为﹣3， 将y＝﹣3代入得：，解得：x＝8或x＝0（点C的横坐标）， ∴此时点P的横坐标为8； ②如图，当点P为直线BC上方的抛物线上的一个动点时，设PC与x轴交于点D， ∵B（9，0），C（0，﹣3）， ∴OB＝9，OC＝3， ∵∠PCB＝∠OBC， ∴BD＝CD， 设OD＝m（m＞0），则CD＝BD＝OB﹣OD＝9﹣m， 在Rt△COD中，OC2+OD2＝CD2，即32+m2＝（9﹣m）2，解得：m＝4， ∴D（4，0）， 设直线CD的解析式为y＝kx+b0（k≠0）， 将点D（4，0），C（0，﹣3）代入得：，解得：， ∴直线CD的解析式为， 联立可得：，解得：或， ∴此时点P的横坐标为； 综上，点P的横坐标为8或． （3）抛物线的对称轴为直线x＝4， 由题意，设点Q的坐标为Q（4，n）， ∵B（9，0），C（0，﹣3）， ∴BC2＝（0﹣9）2+（﹣3﹣0）2＝90， BQ2＝（4﹣9）2+（n﹣0）2＝n2+25，CQ2＝（0﹣4）2+（﹣3﹣n）2＝n2+6n+25， ①当∠CBQ＝90°时，△BCQ为直角三角形， ∴BC2+BQ2＝CQ2，即90+n2+25＝n2+6n+25，解得：n＝15， ∴此时点Q的坐标为（4，15）； ②当∠BCQ＝90°时，△BCQ为直角三角形， ∴BC2+CQ2＝BQ2，即90+n2+6n+25＝n2+25，解得：n＝﹣15， ∴此时点Q的坐标为（4，﹣15）； ③当∠BQC＝90°时，△BCQ为直角三角形， ∴BQ2+CQ2＝BC2，即n2+25+n2+6n+25＝90，解得：， ∴此时点Q的坐标为或； 综上，点Q的坐标为（4，15）或（4，﹣15）或或． 11．（2026·锡山区·一模）如图，已知二次函数（其中b，c为常数）的图象经过点A（6，2），点C（0，8），顶点为点M，过点A作AB∥x轴，交y轴于点D，交该二次函数图象于点B，连接BC． （1）求该二次函数的解析式及点M的坐标； （2）若点E是直线AC上方的抛物线上的动点，求四边形AECB面积的最大值； （3）点P是直线AC上的动点，过点P作直线AC的垂线PE，记点M关于直线PE的对称点为Q．当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求出点P的坐标． 【答案】（1）二次函数的解析式为，顶点M（2，10）； （2）四边形AECB面积的最大值为；（3）点P的坐标为（2，6）或（﹣6，14）． 【详解】解：（1）∵二次函数的图象经过点A（6，2），点C（0，8）， ∴，解得：， ∴， ∴顶点M（2，10）； （2）∵对称轴为直线x＝2，点A（6，2），AB∥x轴， ∴B（﹣2，2）， ∴AB＝8，CD＝6， ∴S△ABCAB·CD8×6＝24， 设直线AC解析式为y＝mx+n， ∴，解得：， ∴直线AC解析式为y＝﹣x+8， 如图，过E作EG∥y轴交AC于点G， 设E（t，t2+2t+8），则G（t，﹣t+8）， ∴EGt2+2t+8﹣（﹣t+8）t2+3t， ∴S△AEC（t2+3t）×6t2+9t， ∴S四边形AECB＝S△ABC+S△AECt2+9t+24（t﹣3）2， 当t＝3时，S为最大值， ∴四边形AECB面积的最大值为； （3）点P的坐标为（2，6）或（﹣3，11），理由如下： ①当四边形PAQM为平行四边形时，MQ＝PA， 如图，连接MC，过点M作MH⊥y轴于点H，设MQ与PE交于点F， ∵M（2，10），C（0，8）， ∴MH＝2，CH＝OH﹣OC＝10﹣8＝2， ∴∠MCH＝45°， ∵AD＝6，CD＝OC﹣OD＝8﹣2＝6， ∴∠ACD＝∠CAD＝45°， ∴∠MCP＝90°， ∴四边形PCMF为矩形， ∴PC＝MF， ∵点M关于直线PE的对称点为Q， ∴MFMQPA， 过点P作PG⊥y轴于点G，设P（x，﹣x+8），则PG＝x， ∵PG∥AD， ∴， ∴，解得：x＝2， ∴P（2，6）； ②当四边形PAMQ为平行四边形时，MQ＝PA， 如图，连接MC，过点M作MH⊥y轴于点H，设MQ与PE交于点F， ∵M（2，10），C（0，8）， ∴MH＝2，CH＝OH﹣OC＝10﹣8＝2， ∴∠MCH＝45°， ∵AD＝6，CD＝OC﹣OD＝8﹣2＝6， ∴∠ACD＝∠CAD＝45°， ∴∠MCP＝90°， ∴四边形PCMF为矩形， ∴PC＝MF， ∵点M关于直线PE的对称点为Q， ∴MFMQPA． 过点P作PG⊥y轴于点G，设P（x，﹣x+8），则PG＝﹣x， ∵PG∥AD， ∴1， ∴1，解得：x＝﹣6， ∴P（﹣6，14）； 综上，当以点P、A、M、Q为顶点的四边形为平行四边形时，点P的坐标为（2，6）或（﹣6，14）． 12．（2025·惠山区·一模）已知二次函数y＝ax2﹣3x+c的图象与x轴交于A、B两点，且点B（1，0），其对称轴为过点且平行于y轴的直线． （1）求二次函数的表达式； （2）过点D（0，﹣3）作x轴的平行线与二次函数图象交于点M、N，点E为直线MN上一动点，点P为二次函数图象上一动点（P不与B重合），连结BP、PE、BE，将△BPE沿直线BP翻折得到△BPE′． ①当点E在对称轴左侧，点E′与点A重合时，求点P的坐标． ②当以点B、E、P、E'为顶点的四边形是矩形时，直接写出点E'的坐标． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣3x+4； （2）①P；②E'或或或． 【详解】解：（1）由题意可得：对称轴为直线x， ∴，解得：a＝﹣1， ∴y＝﹣x2﹣3x+c， 将B（1，0）代入，得c＝4， ∴y＝﹣x2﹣3x+4； （2）如图， 令y＝0得：﹣x2﹣3x+4＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝1， ∴AB＝5， ①设E（m，﹣3）， ∵对称， ∴AB＝BE，∠1＝∠2， ∴（m﹣1）2+（﹣3）2＝52， ∴m＝5（舍）或m＝﹣3， 当m＝﹣3时， ∵AB∥FN， ∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∴EF＝BE＝5， ∴F（﹣8，﹣3）， ∴BF：， ∴，解得：（舍）， ∴P； ②a．设E（m，﹣3）， ∴P（m﹣3，﹣m﹣2）， ∴E'（﹣2，﹣m+1）， ∴﹣m﹣2＝﹣（m﹣3）2﹣3（m﹣3）+4，解得：， ∴E'或； b．设E（﹣m，﹣3）， ∴P（3+m，m﹣4）， ∴E'（4，m﹣1）， ∴m﹣4＝﹣（3+m）2﹣3（3+m）+4，解得：， ∴E'或； 综上，E'或或或． 13．（2026·宜兴市·一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+8经过点A（4，0），与y轴交于点B，且关于直线x＝1对称． （1）则抛物线解析式中a＝　　，b＝　　； （2）当3t+2≤x≤4时，y的取值范围是0≤y≤6t+3，求t的值； （3）点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】（1）﹣1，2；（2）t的值为；（3）CD的长为45或． 【详解】解：（1）∵对称轴为直线x＝1， ∴1，解得：b＝﹣2a， ∴y＝ax2﹣2ax+8， 将A（4，0）代入得：16a﹣8a+8＝0，解得：a＝﹣1， ∴b＝2， 故答案为：﹣1，2； （2）由（1）可知：a＝﹣1，b＝2， ∴y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9， ∴顶点坐标为（1，9）， 当y＝0时，可得：x＝﹣2或4， ∵y≥0， ∴﹣2≤x≤4， 当﹣2≤3t+2≤1时，， 此时最大值在顶点处，即6t+3＝9，解得：t＝1（舍）； 当1＜3t+2＜4时，， 此时当x＝3t+2时有最大值，即6t+3＝﹣9t2﹣6t+8，解得：，（舍）； 综上，t的值为； （3）对于y＝﹣x2+2x+8，令x＝0，得y＝8， ∴B（0，8）， 设直线AB解析式为y＝kx+n， 则，解得：， ∴直线AB的表达式为：y＝﹣2x+8， 设D（m，﹣2m+8），则C（m，﹣m2+2m+8）， ∴； ①当CD＝BD时，，解得：， 此时边长； ②当CB＝CD时，，解得：或m＝0（舍）， 此时边长； 综上，CD的长为45或． 14．（2025·锡山区·校级四模）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象经过点A（4，0）．经过点A的直线与该二次函数图象交于点B（1，3），与y轴交于点C． （1）求二次函数的解析式及点C的坐标； （2）点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过点P作PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为m． ①m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值； ②是否存在点P，使得△BPD与△AOC相似．若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）二次函数的解析式为：y＝﹣x2+4x；C（0，4）； （2）①m＝2.5时，PD最大值为：；②存在，P的坐标为（3，3）或（2，4）． 【详解】解：（1）∵二次函数经过A（4，0），B（1，3）， 则，解得：， ∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+4x； 由点A、B的坐标得：直线AB解析式为：y＝﹣x+4， ∵点C是直线与y轴交点， ∴令x＝0，则y＝4， ∴C（0，4）； （2）①如图， ∵点P在直线AB上方， ∴1＜m＜4， 由题意可知：P（m，﹣m2+4m），D（m，﹣m+4）， ∴PD＝yP﹣yD＝﹣m2+4m+m﹣4＝﹣m2+5m﹣4＝﹣（m﹣2.5）2， ∴当m＝2.5时，PD是最大值． ②存在，理由如下： ∵∠PDB＝∠ADE，∠ADE＝∠ACO， ∴∠BDP＝∠ACO， ∵△AOC是直角三角形， ∴要使△BPD与△AOC相似，只有保证△BPD是直角三角形就可以． 当△BPD∽△AOC时， ∵∠AOC＝90°， ∴∠BPD＝90°， 此时BP∥x轴，B、P关于对称轴对称， ∴P（3，3）； 当△PBD∽△AOC时， ∴∠PBD＝∠AOC＝90°， ∴AB⊥PB， ∵∠CAO＝45°， ∴△ADE和△BPD均为等腰直角三角形， 设P（t，﹣t2+4t）， ∴DPBP（t﹣1）＝2t﹣2，AE＝DE＝4﹣t， ∴PE＝DP+DE＝t+2，即t+2＝﹣t2+4t，解得：t＝1（舍）或2， ∴P（2，4）； 综上，存在点P使△BPD与△AOC相似，此时P的坐标为（3，3）或（2，4）． 15．（2026·苏州·校级模拟）抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴交于点C，P是直线BC上方抛物线上一动点． （1）点C的坐标为　　； （2）求抛物线的函数关系式和直线BC的函数关系式； （3）如图1，若AP与BC相交于点F，判断是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由； （4）如图2，过点P作PE⊥BC于E，若△PCE与△AOC相似，则点P的横坐标为　　． 【答案】（1）C（0，3）；（2）抛物线解析式为，直线BC解析式为； （3）存在，的最大值为；（4）或． 【详解】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+3与y轴交于点C， 当x＝0时，得y＝3， ∴点C的坐标为（0，3）， 故答案为：（0，3）； （2）抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）， 将点A、点B的坐标分别代入得：，解得：， ∴抛物线解析式为， 设直线BC解析式为y＝kx+n， 把点B，点C的坐标分别代入得：，解得： ∴直线BC解析式为； （3）存在最大值，理由如下： 如图1，过A作AK∥y轴交BC延长线于K，过P作PT∥y轴交BC于T， 在中，当x＝﹣1时，得， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵AK∥y轴∥PT， ∴∠AKF＝∠PTF，∠KAF＝∠TPF， ∴△PTF∽△AKF， ∴， ∴， ∵﹣（t﹣2）2≥0， ∴， ∴的最大值为． （4）如图2，过P作PH∥y轴交BC于H， 由（1）可知：抛物线解析式为， 设， 在中，当x＝0时，得y＝3， ∴C（0，3）， 由B（4，﹣0），C（0，3）可得：直线BC解析式为，， ∴， ∴，， ∵PH∥y轴， ∴∠OCB＝∠PHE， ∵∠BOC＝90°＝∠PEH， ∴△PEH∽△BOC， ∴，即， ∴，， ∴， ∵△PCE与△AOC相似，，∠AOC＝90°＝∠PEC， ∴或， ∴CE＝3PE或PE＝3CE， ∴或， 解得：或m＝0（不合题意，舍去）或， ∴点P的横坐标为或， 故答案为：或． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $