客观题限时练（1-2）-2026届高三数学三轮复习

客观题限时练2 （满分73分， 时间：40分钟） 一、单选题： 1．已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.95 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 【详解】因为，则. 2．已知单位向量，满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】数量积的运算律、向量夹角的计算、已知模求数量积 【详解】由，得，而，则， 因此，又，所以与的夹角为． 3．已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、解含有参数的一元二次不等式 【详解】已知集合； 已知集合，由于可得是的正因数； 当时，；当时，；当时，；当时，； 所以； 因为，集合中的最大元素为，所以必须大于等于6，即，所以实数的取值范围是. 4．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 【详解】设的公差为， 由，，得， 解方程组，得， 所以． 5.（25-26高三下·山东·月考）已知抛物线的准线被圆截得的弦长为4，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、已知圆的弦长求方程或参数 【详解】抛物线的准线方程为， 圆化为标准方程， 圆心为，半径，圆心到准线的距离， 利用圆的弦长公式：得：，解得， 平方得，即，所以，又因为，所以. 6.（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知圆柱的上、下底面圆周都在一个球的球面上，若圆柱的表面积是球的表面积的一半，则圆柱的底面半径与球的半径的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】多面体与球体内切外接问题、圆柱的结构特征辨析、球的表面积的有关计算、圆柱表面积的有关计算 【分析】先设圆柱的底面半径为r，高为2h，球的半径为R，再求出圆柱及球的表面积构造即可求解. 【详解】设圆柱的底面半径为r，高为2h，球的半径为R，则． ， 分子分母同除以，然后设，即，解得（舍去）， 即， 所以． 7．冷链物流是指冷藏冷冻类物品在生产、贮藏、运输、销售到消费前的各个环节中始终处于规定的低温环境下，以保证物品质量、减少损耗的系统工程.主要包括初级农产品（如蔬菜、水果、肉禽蛋等）、加工食品（如速冻食品、冰淇淋等）和特殊商品（如药品等）.已知某蔬菜的保鲜时间y（单位：小时）与贮藏温度x（单位：℃）之间满足：（其中a，b为常数）.若该蔬菜在贮藏温度为9℃的环境下保鲜时间为261小时，在23℃的环境下保鲜时间为29小时，且该蔬菜所需物流时间为87小时，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能超过（   ） A．12℃ B．14℃ C．16℃ D．18℃ 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】利用已知条件求出指数函数的参数，再通过不等式求解温度范围. 【详解】已知保鲜时间与贮藏温度的关系为（为常数）. 当时，，代入得：① 当时，，代入得：② 将①②化简可得：，即，解得：， 代入①式求得：， 由题意，即：，即， 则，将代入：， 化简可得： ，当指数大于等于零时不等式成立，即 ，解得：. 所以该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能超过. 8.已知，函数满足，且在区间上恰好存在两条对称轴，则的最大值为（   ） A．2 B．5 C．8 D．11 【答案】C 【分析】由题意结合可得，进一步由可得，，由于要求的最大值，依次分，两种情况讨论即可. 【详解】函数的最小正周期为，则，在区间上恰好存在两条对称轴， ，所以，即，解得， 因为，所以点是函数图象的一个对称中心， 则，得，，即，， 因，则，且随k的增大而增大， 当时，，此时在内有三条对称轴，不合题意， 当时，，此时，其中，有两条对称轴， 则的最大值为8． 故选：C． 二、多选题： 9．已知，记一组数据1，2，3，a，8为，则（    ） A．若的极差为9，则 B．若的分位数是6，则 C．若的平均数为3，则 D．若的方差为6.8，则 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】根据平均数求参数、计算几个数据的极差、方差、标准差、根据方差、标准差求参数、总体百分位数的估计 【详解】对于A，的极差为9，则，，A正确； 对于B，由的分位数是6，得，当时，，不符合题意， 因此，则，解得，符合题意，B正确； 对于C，由的平均数为3，得，解得，C错误； 对于D，的平均数为，的平均数为， 由的方差为6.8，得，解得或，D错误. 10．已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．3是的极大值点 C．曲线在点处的切线方程为 D．若，则在上存在最大值 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值 【分析】对A，直接求的解析式，再由奇函数的判断方法，即可求解；对B，直接求出的极值，即可求解；对C，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再由点斜式，即可求解；对D，利用导数求出在上的单调性，再取一个值，通过验证即可求解. 【详解】对于A，因为，则， 令，易知的定义域为，关于原点对称， 又，所以为奇函数，故A正确， 对于B，因为，令，得到或， 当时，，当时，， 所以是的极小值点，故B错误， 对于C，因为，， 所以曲线在点处的切线方程为，即，所以C正确， 对于D，由选项B知，的增区间为，减区间为， 又，又，若，则在区间上单调递增， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 取，又，此时在上不存在最大值，故D错误. 11．（2026河北邯郸一模）如图1，在长方形中，是边上一点，且．将沿着翻折至，连接，得到如图2所示的四棱锥，则下列结论正确的是（    ） A．四棱锥体积的最大值为 B．当平面平面时，三棱锥的外接球的表面积为 C．在翻折的过程中，与始终不垂直 D．若，则 【答案】ABD 【难度】0.35 【知识点】锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、面面垂直证线面垂直 【分析】过点作，求出再利用体积公式计算可判断A；记外接圆的圆心为的中点，利用余弦定理计算三棱锥外接球的半径判断B；过点作，并与交于点，求证平面，进而求证判断C；在上取靠近点处的四等分点，利用勾股定理计算判断D. 【详解】当平面平面时，四棱锥的体积取得最大值． 过点作，垂足为，则， 则四棱锥体积的最大值为，A正确； 连接，记外接圆的圆心为的中点，连接， 因为， 所以， 因为，， 则， 则， 则三棱锥外接球的半径为， 则三棱锥的外接球的表面积为，B正确； 连接，因为， 所以，则， 因为平面，，所以平面， 又平面，所以平面平面， 则点在平面上的射影在直线上， 过点作，并与交于点，连接， 若点在平面上的射影为，即平面， 由平面，得, 又，平面，则平面， 因为平面，所以，故C错误； 在上取靠近点处的四等分点，连接， 因为，所以，且， 从而四边形为平行四边形，则，D正确． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 选项 三、填空题： 12．的展开式中所有奇数项的系数和为______． 【答案】121 【难度】0.65 【知识点】求指定项的系数 【详解】通项：，其中. 展开式的奇数项对应（第1、3、5项） 当时： 当时： 当时： 所以奇数项的系数和为：. 13．已知双曲线的右顶点为，点．若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示、轨迹问题——圆、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】法1：设点在渐近线上，由向量垂直得数量积为零，整理出关于的一元二次方程，利用方程有解判别式非负，结合双曲线关系化简，最终求得离心率范围. 法2：由向量垂直知在以为直径的圆上，利用渐近线与圆有公共点，得圆心到渐近线距离不大于半径，代入双曲线关系化简，求出离心率取值范围. 【详解】法1：双曲线的右顶点， 不妨取渐近线方程为.设，则，. 由，得，整理得. 由题意知该关于的方程有解，所以. 化简可得，即，所以，又. 所以，即的离心率的取值范围是． 法2：由知，点在以为直径的圆上. 由题意知的渐近线与圆有公共点，所以到的渐近线的距离满足，即， 所以，所以. 所以，又，所以，即的离心率的取值范围为． 14．设正整数，其中，．记．从集合中随机抽取一个数，则的概率为________． 【答案】 【难度】0.45 【知识点】实际问题中的计数问题、计算古典概型问题的概率 【详解】因为，所以表示的二进制数最多有11位，即， 而为的二进制表示中1的个数，又，且， 当时，取得最大值为 ，故满足条件的均不超过 2000， 所以，对应的的个数为，，对应的的个数为，，对应的的个数为，综上，满足条件的的个数为，所以的概率为. 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 客观题限时练2 （满分73分， 时间：40分钟） 一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分. 1．已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．已知单位向量，满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 5.已知抛物线的准线被圆截得的弦长为4，则的值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 6.已知圆柱的上、下底面圆周都在一个球的球面上，若圆柱的表面积是球的表面积的一半，则圆柱的底面半径与球的半径的比值为（   ） A． B． C． D． 7.已知某蔬菜的保鲜时间y（单位：小时）与贮藏温度x（单位：℃）之间满足：（其中a，b为常数）.若该蔬菜在贮藏温度为9℃的环境下保鲜时间为261小时，在23℃的环境下保鲜时间为29小时，且该蔬菜所需物流时间为87小时，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能超过（   ） A．12℃ B．14℃ C．16℃ D．18℃ 8.已知，函数满足，且在区间上恰好存在两条对称轴，则的最大值为（   ） A．2 B．5 C．8 D．11 二、多选题 9．已知，记一组数据1，2，3，a，8为，则（    ） A．若的极差为9，则 B．若的分位数是6，则 C．若的平均数为3，则 D．若的方差为6.8，则 10．已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．3是的极大值点 C．曲线在点处的切线方程为 D．若，则在上存在最大值 11．（2026河北邯郸一模）如图1，在长方形中，是边上一点，且．将沿着翻折至，连接，得到如图2所示的四棱锥，则下列结论正确的是（    ） A．四棱锥体积的最大值为 B．当平面平面时，三棱锥的外接球的表面积为 C．在翻折的过程中，与始终不垂直 D．若，则 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 选项 三、填空题： 12．的展开式中所有奇数项的系数和为______． 13．已知双曲线的右顶点为，点．若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是________． 14．（2026南京一模）设正整数，其中，．记．从集合中随机抽取一个数，则的概率为________． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 客观题限时练1 （满分73分， 时间：40分钟） 一、单选题 1．（山东枣庄市2026届高三下学期5月模拟考试数学试题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·吉林延边·三模）若复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2026·广东江门·二模）已知两个单位向量，的夹角为，则（   ） A．0 B． C． D． 4．(2026·四川宜宾·模拟)在平面直角坐标系中，设角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·西藏日喀则·模拟预测）抛物线（）的准线被圆所截得的弦长为4，则（    ） A．8 B． C．4 D． 6．（2026·江西·三模）设是定义在上的奇函数，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 7.（2026·山西太原·二模）已知分别是等差数列和等比数列，其前项和分别是和，且，，则（    ） A．5或11 B．7或13 C．9或18 D．12或21 8．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知圆锥的底面半径为2，其体积为，则该圆锥内切球（球与圆锥的底面与侧面均相切）的表面积为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026·吉林延边·三模）某奶茶店统计了六天每天天气平均气温t（℃）和每天凉茶的销售数量n（单位：杯），得到以下数据： t（℃） 3 0 5 7 9 12 n（单位：杯） 23 17 27 29 36 42 若t与n线性相关，且回归直线方程为，则（    ） A．t和n正相关 B．点在回归直线上 C． D． 10．（2026·陕西咸阳·二模）已知函数，则（    ） A． B．恰有2个极值点 C．的最大值为 D．的图象与轴有且仅有1个交点 11．（2026·河北保定·三模）如图，在棱长均为2 的正三棱柱中，D 为 的中点，则（    ） A． B．异面直线 与 所成角的余弦值为 C．若分别为 上的点，则的最小值为1 D．若点P 在底面上，且平面，则点P的轨迹长度为 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 选项 三、填空题 12.（2026·山西吕梁·三模）某小区安装人脸识别门禁系统，系统对出入人员仅作出“允许通行”或“禁止入内”两种判断．现对系统进行测试，结果如下：小区业主被判定为“禁止入内”的概率为，外来访客被判定为“允许通行”的概率为．已知进入该小区的人员中，外来访客和小区业主的比为，经测试某人被判定为“允许通行”，则其是小区业主的概率为________． 13.（2023·浙江金华·模拟预测）已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围是________． 14． （2026·四川广元·三模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，且，若的平分线与轴交于点，有，则双曲线的离心率为 ______. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 客观题限时练1 （满分73分，时间：40分钟） 一、单选题 1．（山东枣庄市2026届高三下学期5月模拟考试数学试题）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】并集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】解不等式求得集合，进而求得. 【详解】由，解得，所以. 易知，所以. 所以. 2．（2026·吉林延边·三模）若复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据复数的运算法则，求得，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由复数z满足，可得， 则复数在复平面内对应的点为，位于第二象限. 3．（2026·广东江门·二模）已知两个单位向量，的夹角为，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【详解】依题意可得． 4．(2026·四川宜宾·模拟)在平面直角坐标系中，设角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为角终边经过点，所以，则.故选：A 5．（2026·西藏日喀则·模拟预测）抛物线（）的准线被圆所截得的弦长为4，则（    ） A．8 B． C．4 D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数、根据抛物线方程求焦点或准线 【详解】抛物线的准线方程为， 圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离， 所以直线被圆所截得的弦长为，解得． 6．（2026·江西·三模）设是定义在上的奇函数，，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】根据题意得，则利用周期性和奇函数性质求值. 【详解】由于， 所以是以4为周期的周期函数， 则. 7.（2026·山西太原·二模）已知分别是等差数列和等比数列，其前项和分别是和，且，，则（    ） A．5或11 B．7或13 C．9或18 D．12或21 【答案】D 【难度】0.7 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算 【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为， 所以，，，， ，即，化简可得， 因为，即， 代入可得， 化简可得， 解得或， ， 代入可得或. 8．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知圆锥的底面半径为2，其体积为，则该圆锥内切球（球与圆锥的底面与侧面均相切）的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.55 【知识点】球的截面的性质及计算、锥体体积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【分析】利用圆锥的体积公式求出圆锥的高，进而求出母线长，利用几何法求出球的半径，最后利用球的表面积公式求解． 【详解】已知圆锥底面半径，体积为，设圆锥的高为，则 ，解得， 设圆锥母线长为，则， 设圆锥内切球半径为，则截面图如下： 则，，， ，即， ， 该内切球的表面积为． 二、多选题 9．（2026·吉林延边·三模）某奶茶店统计了六天每天天气平均气温t（℃）和每天凉茶的销售数量n（单位：杯），得到以下数据： t（℃） 3 0 5 7 9 12 n（单位：杯） 23 17 27 29 36 42 若t与n线性相关，且回归直线方程为，则（    ） A．t和n正相关 B．点在回归直线上 C． D． 【答案】ABD 【难度】0.68 【知识点】相关系数的意义及辨析、计算样本的中心点、根据回归方程进行数据估计 【分析】根据表格中的数据，求得样本中心，结合选项，逐项分析、计算，即可求解. 【详解】根据表格中的数据，可得， 即数据的样本中心为， 对于A，由表格中的数据得，当气温从0到12时，从17增加到42， 所以随着气温的升高，凉茶的销售数量总体呈上升趋势，所以t和n正相关，故A正确； 对于B，根据回归直线过样本中心，所以点在回归直线上，所以B正确； 对于C，由气温t和销售数量总体上正相关，所以，所以C不正确； 对于D，由表格中的数据得： 第一组：；第二组：； 第三组：；第四组：； 第五组：；第六组：； 所以，所以D正确. 10．（2026·陕西咸阳·二模）已知函数，则（    ） A． B．恰有2个极值点 C．的最大值为 D．的图象与轴有且仅有1个交点 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点 【详解】求导得：，定义域， 代入得：，解得，A正确； 因此，， 当时，，当时，， 所以在时单调递增，在时单调递减， 即在时取到极大值，无极小值，故B错误; 因此最大值为，C正确； 因为最大值，且时， ，时，， 即在和各存在一个唯一零点， 故与轴有2个交点，D错误. 11．（2026·河北保定·三模）如图，在棱长均为2 的正三棱柱中，D 为 的中点，则（    ） A． B．异面直线 与 所成角的余弦值为 C．若分别为 上的点，则的最小值为1 D．若点P 在底面上，且平面，则点P的轨迹长度为 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】求异面直线所成的角、证明线面平行、异面直线夹角的向量求法、立体几何中的轨迹问题 【分析】先证平面，即可判断A；先证为异面直线与所成的角或其补角，再解三角形即可判断B，取，分别为，的中点，取，，即可判断C，先证平面 平面，得出点的轨迹为线段，即可判断D. 【详解】对于A，如下图，连接，易得， 因为平面，平面,所以， 又 平面，所以平面， 因为平面，所以 ，A正确； 对于B，如下图，连接， 由题可得，所以为异面直线与所成的角或其补角， 在中，，，所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为，B正确； 对于C，如下图，若,，分别为,，的中点，连接和， 所以，，所以四边形是平行四边形， 又因平面，平面，则，同理可得， 因,则，又因，平面, 则平面,又平面,则， 因,故，即是异面直线 的公垂线段， 故此时的最小值为，C错误； 对于D，如图，取的中点，连接，，， 易得 ， ，由线面平行的判定定理可得平面，平面， 又，平面，平面， 所以平面平面， 因为点在底面上运动，且平面， 所以点的轨迹为线段，所以点的轨迹长度为，D正确. 三、填空题 12.（2026·山西吕梁·三模）某小区安装人脸识别门禁系统，系统对出入人员仅作出“允许通行”或“禁止入内”两种判断．现对系统进行测试，结果如下：小区业主被判定为“禁止入内”的概率为，外来访客被判定为“允许通行”的概率为．已知进入该小区的人员中，外来访客和小区业主的比为，经测试某人被判定为“允许通行”，则其是小区业主的概率为________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】计算条件概率、利用全概率公式求概率 【详解】设表示“被检测人员是业主”，表示“被检测人员是外来访客”， 设表示“允许通行”， 已知外来访客和小区业主的比为，则， 小区业主被判定为“禁止入内”的概率为， 则业主被允许通行的概率为， 外来访客被判定为“允许通行”的概率为， “允许通行”的概率为： ； ． 13.（2023·浙江金华·模拟预测）已知函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围是________． 【解析】 因为在上仅有2个零点， 当时，（）， 所以，解得． 14．（2026·四川广元·三模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，且，若的平分线与轴交于点，有，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】余弦定理解三角形、利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据题意分析可得，利用角平分线可得，再根据双曲线的定义结合余弦定理计算得出齐次式得出离心率即可. 【详解】∵，设的高为，则，可得，所以， ∵平分，可得， 则， 又因为，所以， 又中，由余弦定理得，则， 所以整理得， 故， 所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $