专题08 函数与导数（6大考点）（广东专用）2026年高考数学二模分类汇编

**基本信息** 函数与导数专题二模试题汇编，涵盖6大核心考点，精选广东多地二模真题，注重基础与综合能力梯度设计，融入生物脉搏率等实际情境，适配高考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择（含多选）|28题|指对幂函数性质、分段函数应用、抽象函数奇偶性与周期性|结合生物脉搏率模型考查指幂函数应用，抽象函数多选型强化逻辑推理| |填空|4题|导数几何意义、函数单调性参数范围|切线方程求解与不等式恒成立参数问题，注重知识迁移| |解答|13题|导数单调性讨论、极值最值证明、零点问题|综合大题含切线方程、不等式恒成立、极值点与零点关系证明，适配高考压轴题难度|

专题08 函数与导数 6大考点概览 考点01指对幂函数的基本性质 考点02分段函数的应用 考点03抽象函数的应用 考点04导数的几何意义 考点05导数与函数的单调性、极值、最值 考点06导数的综合大题 ( 函数的基本性质 考点 1 ) 1．（2026·广东深圳·二模）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】单调递增，， 单调递增，， ， 即“”是“”的充要条件. 2．（2026·广东广州·二模）若函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（   ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】根据两个函数图象关于直线对称，得出它们互为反函数，进一步求出反函数表达式，并作为的解析式，最后根据题意得到关于的方程，求解. 【详解】因为两个函数图象关于直线对称， 所以是的反函数， 对整理得：，， 交换可得反函数：， 又因为，所以 ， 化简可得：，即， 两边取以3为底的对数，则. 3．（2026·广东深圳·二模）已知函数，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数，定义域为. 易知函数只含项， 因此关于直线对称.当增大时，增大，函数值增大， 所以在上单调递减，在上单调递增. 等价于离的距离小于离的距离大小问题， 即.两边平方得； 整理得，解得. 故的取值范围为. 4．（2026·广东佛山·二模）函数，则（   ） A．是奇函数 B．是周期函数 C．的最大值为2 D． 【答案】D 【详解】函数，定义域得. 化简得. 选项A：，故是偶函数，不是奇函数，A错误. 选项B：假设是周期函数，则存在非零常数，对任意，都有. 取，则，即，得，与矛盾. 故假设不成立，不是周期函数，B错误. 选项C：取，则，C错误. 选项D：，所以，D正确. 5．（2026·广东清远·二模）生物学家经过长期研究发现，睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位：次）与体重（单位：kg）、外界环境温度（单位：℃）有关，满足（为常数）．已知在环境温度为时，为两个睡眠中的恒温动物，的体重为、脉搏率为210次，的脉搏率是105次，则的体重为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知在环境温度为时， 的体重为、脉搏率为210次， 故， 的脉搏率是105次，设其体重为t kg，则， 则，即，解得（kg）. ( 分段函数的应用 考点 2 ) 6．（2026·广东广州·二模）函数是奇函数的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数定义：若是奇函数，则对任意都满足，且定义域为时必有. 【详解】代入得，因此， 代入得，结合即， 整理得对任意恒成立，平方化简得对任意恒成立，因此， 因此是奇函数等价于且，即， 反之若，必有， 此时确实是奇函数，故充要条件为. 7．（2026·广东江门·二模）已知函数， ，若恰有个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数判断函数的单调性，结合函数性质作函数的图象，条件 恰有个零点可转化为直线与的图象恰有2个交点，结合图象求结论. 【详解】当时，，则， 所以当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以当时，函数的取值范围为． 作出的大致图象，如图所示． 由，得， 由图可知，当时，直线与的图象恰有2个交点， 即恰有2个零点． 所以的取值范围是. 8．（2026·广东佛山·二模）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用奇偶函数的定义确定函数的奇偶性，再变形不等式，借助指数函数单调性求解. 【详解】当时，，；当时，，； ，则当时，，即函数是R上的偶函数， 不等式， 整理得，解得，所以原不等式的解集为. ( 抽象函数的应用 考点 3 ) 9．（2026·广东茂名·二模）（多选）已知是定义在上的函数，且，，则（    ） A． B．是奇函数 C．的图象关于直线对称 D．是的周期 【答案】ACD 【详解】在中,令，可得，所以，故A正确； 由，可得的图象关于直线对称，故C正确； 在中，令，可得，又由选项A知，故， 若是定义在上的奇函数，则与矛盾，故不是奇函数，故B错误； 由，可得的图象关于点对称，又因为的图象关于直线对称， 故，故D正确． 10．（2026·广东清远·二模）（多选）已知函数满足对且，若数列满足，则（   ） A． B． C．数列是等比数列 D． 【答案】ABD 【详解】对于A，令，可得，正确； 对于B，令，则， 由和可得，正确； 对于C，因为，令， 则，即， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，故错误； 对于D，所以. 11．（2026·广东江门·二模）（多选）若函数的定义域为，，且，，，则（   ） A． B．， C．为奇函数 D．当时， 【答案】ACD 【分析】对于A，由条件恒等式取可求即可判断，对于B，由条件恒等式取可得，再取即可判断，对于C，由条件恒等式取可得，由此证明，结合奇函数定义即可判断，对于D，结合选项C推出，由此判断D. 【详解】对于A，令，得，A正确． 对于B，令，，得，因为， 所以，令，得， 即存在使得，B错误． 对于C，令，得，用替换可得， 所以， 当时，，又因为， 所以为奇函数，设， 则， 所以为奇函数，C正确． 对于D，因为， 由选项C知，同理，又为奇函数， 所以， 用替换，替换可得， 同理可得， 故当时，，D正确． 12．（2026·广东佛山·二模）（多选）定义域关于原点对称的函数，满足，，为偶函数且，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．若，则 【答案】ABD 【详解】令，则，化简得，又，，故A正确， 令，，化简得，又，，故B正确， 令，则，化简得，故为奇函数，故C错误. 令，则，化简得， 又，， 再令，则， 又为偶函数，，又为奇函数，， 故化简得， ，解得，故D正确. ( 导数的几何意义 考点 4 ) 13．（2026·广东茂名·二模）曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以 ， 又，，则所求切线方程为. 14．（2026·广东东莞·二模）（多选）若直线与曲线相交于不同两点，曲线在A，B点处的切线交于点，设AP的斜率为的斜率为，则（   ） A．时， B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，求出曲线过原点的切线方程即可判断；对于B，取即可判断；对于C，不妨取，则，再令，利用导数即可得到，进而可得即可判断；对于D，作差得，令，，再利用导数证明即可． 【详解】对于A，时，， 又过原点作曲线的切线，设切点为， ，则切线方程为，又过， ，解得，即过原点与曲线相切的直线方程为， 又直线与曲线相交于不同两点，，故A正确； 对于B，不妨取， 则曲线在处的切线方程分别为， 解得，此时，故B错误； 对于C，不妨取，则， 曲线在处的切线方程为， 设，则， 令，解得， 时，，单调递减， 时，，单调递增， ，即（当且仅当时取等）， 由题易知，， 又，所以单调递增，且， ，则，故C正确； 对于D，由题可知，， ， 不妨取，则，令， 则，令， ， 令， 时，，在单调递增， ，则， 在单调递增，则， ，即，故D正确． 15．（2026·广东深圳·二模）若直线是曲线的一条切线，则___________． 【答案】 【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解. 【详解】设切点为， 由于，则，解得， 于是切点为，则，解得． ( 导数与函数的单调性、极值、最值 考点 5 ) 16．（2026·广东东莞·二模）已知，若恒成立，则（   ） A．0 B．1 C．e D．3 【答案】D 【分析】根据不等式恒成立可得必为函数的最小值点，由可得，经检验符合题意. 【详解】因为，可得，所以当时，等号成立； 若恒成立，则必为函数的最小值点，可得； 又，即可得，所以； 经检验，当时， 令，则在上恒成立， 因此在上单调递增，即在上单调递增， 又因为，所以当时，，当时，， 可知在上单调递减，在上单调递增， 此时函数在处取得极小值，也是最小值，即恒成立， 所以符合题意. 17．（2026·广东湛江·二模）已知定义在上的可导函数满足是偶函数；；，，则（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】判断的图象关于直线对称，再求证和的周期均为4即可求解. 【详解】由， 令，得， 所以的图象关于直线对称，所以. 将换为代入得. 又，因此， 即，则①， 所以， 对①两边求导得，故， 故和的周期均为4， 于是，. 在中，取得. 在中取得， 所以. 18．（2026·广东东莞·二模）已知函数的图象如图所示，则其导函数图象可以是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【详解】由图象可知，在整个定义域内，始终单调递减，， 在从到的变化过程中，切线斜率（导数）在递增且为负数； 在从到的变化过程中，切线斜率（导数）在递减且为负数. 故只有C选项，导函数图象满足题意. 19．（2026·广东汕头·二模）集合中所有元素之和记作，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，求得，得到的单调性，结合和，得到在和上各有一个零点，得到零点的范围，结合对数的运算，即可求解. 【详解】令函数，其定义域为，可得， 当时，，在区间上单调递增； 当时，，在区间上在单调递减， 所以当时，函数取得极大值，也是最大值， 又因为， 根据零点存在性定理得，函数在和上各有一个零点， 即集合中有两个元素，且， 因为，即， 两式相加，可得，即， 因为，可得，所以， 所以，所以. 20．（2026·广东惠州·二模）已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，则， ，即， 由，，则在上单调递增， 由，得， 根据函数单调性可得， ，，在上恒成立， 即，， 解得. 21．（2026·广东广州·二模）若函数有且仅有两个零点，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用导数求出函数的极大值和极小值，再由函数有极大值为0或极小值为0求出的函数关系，换元并利用导数求出最小值即可. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 当时，恒成立，函数在R上单调递增，最多一个零点，不符合题意； 当时，由，得；由，得或， 令，则函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得极大值， 当时，函数取得极小值， 而当时，，当时，， 由函数有且仅有两个零点，得，即，或，即， 则，令，则，令函数， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 所以的最小值为. 22．（2026·广东茂名·二模）已知f（x）是定义在区间上的函数，且，，则（    ） A．只有1个零点 B．有2个零点 C．， D．， 【答案】D 【分析】结合题意构造函数，可得，进而根据函数性质可以判断选项A,B,C；整理原不等式可得，进而转化为证明，构造函数，求导分析函数单调性和最值即可. 【详解】由题意，可得，令， 则，故为常函数，设，m为常数，则， 即，则，， 那么没有零点且，故A，B，C错误； 由对任意，均有，即对任意，均有， 那么． 不等式两边同乘正数，等价于证明， 令，，令得： 时，，递减；时，，递增； 故最小值为，即恒成立，原不等式成立，D正确. 23．（2026·广东清远·二模）已知定义域为的函数满足，且对于任意的，当时，都有．设，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断的奇偶性和单调性，设，判断其奇偶性和单调性，再结合复合函数的性质，判断的奇偶性和单调性，利用其奇偶性将不等式变形，再利用单调性转化为关于的一元二次不等式，进而求解的取值范围. 【详解】由题意知定义域为的函数满足，故为奇函数， 对于任意的，当时，都有， 故在上单调递增； 设，由于，故的定义域为， 又， 故为奇函数； 的定义域为， ，即为奇函数； 当时，单调递增，则也单调递增， 故在上单调递增，结合为奇函数，可知在上单调递增， 且，故在上单调递增， 又，故， 所以，解得，即实数的取值范围是. 24．（2026·广东惠州·二模）（多选）深度神经网络是人工智能领域中的重要模型之一，激活函数是神经网络的重要组成部分.函数是其中重要的激活函数之一，则（    ） A．有且仅有一个零点 B．在区间上不单调 C．存在唯一极值点 D．恒成立 【答案】ACD 【详解】对A：因为恒成立， 所以当时，；当时，；当时，. 所以函数有且仅有一个零点，故A正确； 对B：因为， 当时，，所以函数在上单调递增，故B错误； 对C：由B可得. 设，易知在上单调递增，且，， 所以存在，当时，. 当时，，所以，在上单调递减； 当时，，所以，在上单调递增. 所以存在唯一极值点，故C正确； 对D：由C，， 且， 所以，因为，所以. 所以，故D正确. 25．（2026·广东肇庆·二模）（多选）若存在，使得函数在区间和上单调递减，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】BC 【分析】先应用指数函数单调性转化已知条件，再应用导函数得出函数单调性求解参数判定A和B，再根据单调性判断C，D. 【详解】因为函数在上单调递增，所以原命题等价于“存在，使得函数在区间和上单调递减”. 又因为，所以，故A错误､B正确； 此时在上单调递增，在和上单调递减， 所以在上单调递增，在和上单调递减，故C正确､D错误. 26．（2026·广东清远·二模）（多选）已知函数，设，则下列说法正确的是（   ） A．用表示不大于的最大整数，若，则恒成立 B．若关于的方程与的实数根相同，则 C．若存在两个零点，则 D．若方程在上无解，则的取值范围是 【答案】ACD 【详解】对于A，因为， 所以，故A正确； 对于B，恒成立，所以单调递减， 又， 所以有唯一的实数根， 因为方程与的实数根相同 所以， 所以， 令，则， 所以当时恒成立，所以单调递减， 所以，而，所以， 即，故B错误； 对于C，，即有两个解， 所以函数的图象与函数的图象有两个交点，如图 由图可知，不妨取， ，所以，所以，C正确； 对于D，即， 当时，单调递增，值域为， 当时，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 又当时，，当时，， 所以当时，的值域为， 所以在上的值域为， 所以方程在上无解，则的取值范围是，正确. 27．（2026·广东广州·二模）（多选）对于函数，下面说法正确的有（    ） A．当时，函数有两个零点 B．当时，函数不存在极值点 C．当最小值为时， D．当时，函数在区间单调递减 【答案】BCD 【分析】对于AB，利用导数分析极值点及零点即可判断；对于C，由最值可确定，进而得到，结合最值即可判断；对于D，对求导，利用导数确定单调性即可． 【详解】函数的定义域为，， 当时，，解得， 不妨取，当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， ， 易知当时，函数，此时函数只有一个零点，故A错误； 当时，若，因，则，，则在上单调递增，无极值点； 若，因，则,，则在上单调递减，无极值点； 综上，当时，函数不存在极值点，故B正确； 由A项分析可知，当最小值为时，有， ，即， 令，则，即， 令，， 当时，,当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，的解为， 即，，此时，即，故C正确； 当时，函数 由，可得，即函数的定义域为， 则，因， 则， 故当时，，即在上单调递减，故D正确． 28．（2026·广东湛江·二模）（多选）若函数图象上存在不同的两点和，使得的图象在点，处的切线交于直线（为常数）上同一点，则称，为函数的一对“关于直线的共轴切点”. 已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．存在实数，使得不存在关于轴的共轴切点 B．若存在关于直线的共轴切点，则两切点的横坐标之积为定值 C．若，则存在实数，使得存在关于直线的共轴切点，且对应的两切线斜率之和大于0 D．若，则对于任意，都存在关于直线的共轴切点 【答案】ACD 【分析】设，，写出在点，处的切线方程，根据它们交于直线上同一点得到包含两个参数的关于的方程，A选项中，取，构造出一个单调函数即可判断不存在不同的满足方程；选项中，取构造出一个先增后减的函数即可找到无穷对满足方程的但积不为定值；C选项，取得到关于的方程，根据得到恒有解，此时两切线斜率之和便大于；D选项，观察切线方程的一般形式，通过构造函数将问题转为证明方程有两个解的问题. 【详解】由题意可知，设，， 在处的切线方程为即， 同理在处的切线方程为，两条切线交于直线上同一点， 故有（*）， 当时，*式可化为， 令，则，当时，， 时，时，均有， 时 ，则在上单调递减，所以不存在不同的，使得， 因此当时，不存在关于轴的共轴切点，A正确； 当时，取得，考虑函数， ，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，且当时，， 所以对有满足，同样有使得， 而，故横坐标之积不是定值，B错误； 当时，取，代入（*）解得， 此使，成为关于直线的共轴切点， 此时斜率之和，C正确； 当时，设，则， 在处的切线方程具有一般形式， 考虑函数，则， 时，，时，， 故在处取最大值，可知存在使得方程存在两个不同的解， 即存在两个不同的使得，也就是同时在这两处的切线上 即存在关于直线的共轴切点，D正确. 29．（2026·广东肇庆·二模）已知函数的定义域为，且，若，则不等式的解集为__________.（结果用区间表示） 【答案】 【分析】由，可得在R上单调递增，又注意到原不等式等价于，据此可得答案. 【详解】因为，构造函数， 因为，所以函数是增函数， 因为，所以， 因为，所以原不等式即，解得， 所以不等式的解集为. 30．（2026·广东东莞·二模）写出一个同时具有下列性质①②③的函数：__________. ①；②任意，都有；③是偶函数. 【答案】（答案不唯一）如等 【详解】任意，都有，所以函数在上单调递增或常函数等， 因为，所以可以是幂函数或或等函数， 又是偶函数，故，即， 所以，所以，为常数， 综上，函数的解析式不唯一， 可以是，等. 31．（2026·广东广州·二模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】由在区间上单调递增，得到在区间上恒成立，从而得到在区间内恒成立，即，计算得解. 【详解】，， 在区间上单调递增， 在区间上恒成立， 在区间上恒成立， ，在区间内恒成立， ，， 的取值范围为. 32．（2026·广东肇庆·二模）已知关于的不等式恒成立，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】先将不等式变形构造得到恒成立，构造函数，利用单调性可得，再构造函数，利用导数研究函数的最大值. 【详解】因为且， 所以，即， 令，易知恒成立，则单调递增． 因为， 所以， 则，即， 设，则， 当时，单调递减， 当时，单调递增，所以， 所以，则的取值范围为． 故答案为： ( 导数的综合大题 考点 6 ) 33．（2026·广东茂名·二模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若存在小于0的极小值，求a的取值范围． 【答案】(1)当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增 (2) 【分析】（1）求导函数，分讨论，由确定增区间，确定减区间； （2）结合（1）得的极小值，再由极小值小于0得参数范围. 【详解】（1）的定义域为，且 ①当时，则，所以在区间上单调递增； ②当时，，令，可得， 时，，时，， 故在区间上单调递减，在区间上单调递增． 综上，当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增． （2）由（1）可知若，在区间上单调递增，没有极值点，故， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 则在处取到极小值， 则，即． 令，由，故单调递增，且， 因此，即a的取值范围为． 34．（2026·广东深圳·二模）已知函数． (1)若在时取极值，求的值和的极小值； (2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据极值点可得，则，从而，利用导数求极小值； （2）解法1：根据题意，可得，则，令，利用单调性求最值；解法2：参变分离得，设，利用导数求其最小值，可得解；解法3：利用导数研究函数的单调性，从而得解；解法4：不等式转化为，设，利用导数求的最大值，从而得解. 【详解】（1）由题意可知：，， 因为，解得， 则，， 令，则， 令，解得；令，解得； 可知在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值为，且， 当趋近于或时，趋近于， 可知在定义域内有2个零点和1， 当时，，当时，， 可知在，内单调递增，在内单调递减， 所以在处取极小值，极小值为． （2）解法1：由于不等式对任意恒成立， 则，解得， 下证：当时，， 若，则， 令，由（1）可知，在上单调递增， 则，则， 所以的取值范围为； 解法2：令，则， 设，，则， 设，，则, 可知在上单调递增，则， 即，可知在上单调递增，则， 可得，所以的取值范围为； 解法3：因为，，则， 设，，则， 可知在上单调递增，即在上单调递增， 则，且当趋近于时，趋近于， 当，即时，则在内存在零点， 若，则，可知在内单调递减， 可得，不合题意； 当，即时，则，可知在上单调递增， 则，符合题意； 综上所述：的取值范围为； 解法4：因为，则， 设， 则， 当，即时，则，可知在单调递减， 则，解得； 当，即时， 令，解得；令，解得； 可知在上单调递增，在上单调递减， 则， 令，下证：， 设,，则， 可知在上单调递增，则， 即，可得，可知不等式恒成立； 综上所述：的取值范围为. 35．（2026·广东东莞·二模）设a为非负实数，函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若恒成立，求的最小值. 【答案】(1)减区间为，增区间为； (2). 【分析】（1）对函数求导并结合余弦函数单调性解不等式即可求得单调区间； （2）根据不等式恒成立构造函数，结合（1）中单调性对参数进行分类讨论求出可求得结论. 【详解】（1）当时，， 所以， 当时，，令，得， 令，得， 故的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）由恒成立，可得， 令，则 因为， 当时，由（1）知，在上单调递增，在单调递减， 故此时， 所以的最小值为； 当时，， 当时，易得为减函数， 又时，， 由零点存在性定理得，存在，使得， 在上单调递增，在单调递减， 故此时， 此时， 综上可知当时，的最小值为. 36．（2026·广东广州·二模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)若是函数的极值点，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程，然后求出切线在坐标轴上的截距即可求解； （2）根据是函数的极值点可得，然后结合定义域得出的范围并化简，构造函数，，然后利用导数得出的单调性即可证明. 【详解】（1）当时，，， ，， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 令，解得，令，解得， 所以三角形的面积是：. （2），， ， 因为是函数的极值点，所以且，即， 因为，所以，所以，解得， ，将代入得：， 令，， ， 令，，则， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 所以，所以在上单调递减，所以， 所以. 37．（2026·广东江门·二模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若不等式对恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求函数的导函数，再求，结合导数的几何意义求切线的斜率，再利用点斜式求切线方程； （2）化简，条件可转化为对恒成立，利用导数求函数，的最小值，由此可求的取值范围． 【详解】（1）函数的导函数， 则，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）． 由，得， 设，，则． ． 令，得，则在上单调递减； 令，得，则在上单调递增． 所以， 故的取值范围为． 38．（2026·广东佛山·二模）已知函数，为的导函数，曲线关于点对称. (1)求的值； (2)，恒成立. （i）求b的值并探究的零点个数； （ii）若，且，证明：. 【答案】(1) (2)（i），有个零点；（ii）证明见详解. 【分析】（1）对进行求导，又曲线关于点对称，得到化简即可求出； （2）（i）若恒成立，即恒成立，分类讨论即可求出b的值，继而得到，再令，分类讨论并结合对称性即可求出； （ii）先求出的图像关于对称，判断的单调性，再设，求导判断即可证明. 【详解】（1）对进行求导，得， 又曲线关于点对称，， 即， 即，. （2）（i）由（1）知，，， 若恒成立，即恒成立， 若，取，则，不合题意， 若，，此时，故 b的值为.， 记，则， 当时，单调递增，且， 故存在，使得， 当时，，，无零点； 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 又，时，有一个零点， 由对称性可得时，有一个零点， 综上，有个零点. （ii），， 故的图像关于对称， 由（i）得，当时，，单调递增； 时，，单调递减， 由对称性可知，时，单调递增；时，单调递减， 当时，，下证此时， 设，则， 当时，单调递增，, 即，又，，即， 当时，显然， 当时，显然， 综上，得证. 39．（2026·广东湛江·二模）已知函数（），. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，对任意，都有； (3)若方程没有实根，求整数的最小值. 【答案】(1)当时，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减. (2)证明见解析 (3)1 【分析】（1）求导后,讨论的取值范围进行求解； （2）转化为，即.设，求导，研究函数的单调性进行求解； （3）方程可化为，所以.记，，对函数求导，由单调性和最值求解． 【详解】（1）解：的定义域为，， 当时，恒成立，在区间上单调递增； 当时，令，得， 在区间上单调递增，在区间上单调递减. 综上，当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减. （2）证明：当时，，要证， 即证，即. 设， 则， 令（），则， 故当时，，在区间上单调递增， 当时，，在区间上单调递减. 故， 所以当时，，当时，， 所以在处取最小值， 故恒成立，原不等式得证. （3）解：方程可化为，所以. 记，，则. 记， 则. 记， 则， 故函数在区间，上单调递增，在区间上单调递减， 又，，当时，， 故当时，，即，在区间上单调递减， 由，， 根据零点存在性定理可知存在，使得，即. 且当时，单调递增，当时，单调递减， 故， 且，当时，， 设（），则， 设（），则， 所以， 所以在区间上单调递减， 且，，所以， 所以若没有实数根，则整数的最小值为1. 40．（2026·广东惠州·二模）已知函数，其中. (1)若，求的单调区间； (2)若， （i）证明：在区间内有且仅有1个零点； （ii）设为的极值点，为的零点，且，证明：. 【答案】(1)的单调递减区间为 ，无单调递增区间； (2)证明见解析 【分析】（1）利用求导分析正负，即可得到单调区间，注意定义域的限制； （2）（i）利用二阶导数来判断一阶导数的单调性，再结合零点存在性定理，即可得到证明； （ii）利用极值点和零点的恒等式，消去参数，再结合切线不等式，化简后问题即可得证. 【详解】（1）求导得：， 因为，对任意 ，都有， 所以的单调递减区间为 ，无单调递增区间； （2）（i）由（1）知，当时，令 ， 当 时，， 故 在上单调递减， 因为，所以， 又因为，所以在区间内存在零点， 即结合在 上单调递减， 可得在区间内有且仅有1个零点，且； 则当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 又因为，所以根据单调性可知：， 又因为当，，所以根据零点存在性定理结合函数单调递减， 可知：在区间内有且仅有1个零点， 又因为时，结合在单调递增，所以， 即在区间函数没有零点， 所以在区间内有且仅有1个零点， （ii）由题意可知：，即， 消可得：， 当时，构造函数， 求导得，则在时单调递增， 即，所以， 即可知， 则， 两边取对数得：，即. 41．（2026·广东揭阳·二模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时， （i）过点可以作函数的两条切线，求b的取值范围； （ii）设A，B是图象上两个不同的点，且A，B两点到的距离相等，判断线段AB的中点在第几象限，并证明. 【答案】(1)单调性见解析； (2)（i）；（ii）第四象限，证明见解析. 【分析】（1）求导后对分类讨论即可； （2）（i）求出切线方程代入点坐标得到，再设新函数求导研究即可； （ii）设点坐标，根据得到方程，再构造函数，求导后研究其单调性，从而构造函数，求导后得到即可. 【详解】（1）， ①当时，，则在上单调递增； ②时，令，得，则在上单调递增； 令，得，则在上单调递减； （2）（i），设切点为，则切线方程为， 代入点坐标，得， 由题，上述关于的方程有两个不同的解， 令，则， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减；所以的极大值为， 当时，；当时，， 则的取值范围为. （ii）线段的中点在第四象限，证明如下： 设,两点的坐标分别为， 由，可得， 令，则， 当时，，则，则在上单调递减； 当时，，则，则在上单调递增； 由，不妨设． 令 ∴当时，，则， 又， 而在上单调递增，从而有，可得； ∴线段的中点的纵坐标，横坐标， 故其位置在第四象限． 42．（2026·广东清远·二模）已知函数． (1)若，求在点处的切线方程； (2)若． （i）证明：存在唯一的极值点且为极小值点； （ii）当恒成立时，证明：． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析（ii）证明见解析 【分析】（1）求导得到，进而计算，可得到切线斜率，再利用点斜式写出切线方程； （2）(i)代入得到的表达式；对求导得到，分类讨论分析的单调性和零点情况；进而判断g(x)的极值点情况；(ii)结合（2）(i)的结论，利用的极小值建立关于的不等式；先通过不等式求出的范围，再构造函数，利用函数单调性证明不等式. 【详解】（1）当时，， 则， 所以，， 所以在点处的切线方程为， 即. （2）（i）， 当时，，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以为函数的唯一极值点且为极小值点； 当时：， 当时，，，所以， 所以在上单调递增，无极值点. 当时，， 设，恒成立，所以在上单调递增， 令得，所以， 所以，所以， 设，易知在上单调递增， ， 令，设，， 当时，，单调递减，所以，所以， 而，根据函数零点存在定理可知，存在唯一的， 使得，所以， 当时，，所以，当时，，所以， 故是函数唯一的极值点且为极小值点， 综上所述，存在唯一的极值点且为极小值点； （ii）设的极小值点为，由（i）可知在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 又，所以，所以， 若恒成立，则， 令，则，要证， 即证， 设，，，在上单调递减， 所以， 令，则， 令，因为， 仅当时，“”成立，所以单调递增， 所以当时，，单调递增，，所以， 所以， 所以，所以在上单调递增，所以， 所以，所以成立. 43．（2026·广东广州·二模）已知函数. (1)直线过点且与曲线相切，求直线方程； (2)已知在导函数的图象上，以点为圆心的与轴都相切，且与彼此外切.若，且，求数列的前项之和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设切点坐标为，根据导数的几何意义可得切线方程为，代入点可得，即可得结果； （2）根据题意可知的圆心和半径，结合两圆外切可知数列是以首项，公差的等差数列，结合裂项相消法求解即可. 【详解】（1）因为，则， 设切点坐标为，则切线斜率， 可得切线方程为，即， 代入点可得，解得， 所以直线方程为. （2）由（1）可知：，则， 由题意可知：的圆心为，半径， 因为与外切，则， 可得，且， 整理可得，即， 可知数列是以首项，公差的等差数列， 则，即， 则， 所以. 44．（2026·广东肇庆·二模）已知函数，其中且. (1)当时，求函数图象在处的切线方程； (2)若对于给定的自然数，函数有意义，求的取值范围； (3)对任意的，若，求的最大值. 【答案】(1) (2). (3). 【分析】（1）代入化简，对其求导并计算处的导数值得到切线斜率，由确定切点为原点，最后用点斜式写出过原点的切线方程为. （2）根据不等式在给定区间恒成立，分离参数，构造关于的函数，利用底数小于1的指数函数单调递减，判断复合函数单调性，求出函数在区间上的最大值，进而得到参数的取值范围. （3）由判断各指数函数单调递增，结合得到内层和函数单调递增，进而推出在区间上单调递增，故最大值为.根据恒成立列出对数不等式，化简整理得到关于的不等式，构造新函数求导判断单调性，求出函数取值范围，最终确定正整数的最大值为3. 【详解】（1）当时，函数， 求导得，所以， 因为，所以切点为原点， 所以函数图象过原点的切线方程为. （2）由题意得，对于给定的自然数在上恒成立， 因为，所以恒成立， 因为，所以在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以， 所以. （3）因为，所以在上单调递增， 又因为，所以在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以， 由恒成立，所以，即， 所以，令， 求导得恒成立，所以在上单调递增， 所以，所以，即的最大值为. 45．（2026·广东佛山·二模）已知函数， (1)若，讨论的单调性； (2)若，记为在区间，上的零点． （i）证明：数列为等比数列； （ii）对任意，比较与的大小． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）求导，利用导数分析函数的单调性； （2）（i）求导，结合题设可得，结合同角三角函数的基本关系可得，易得，进而得到，即可求证； （ii）结合（i）可得，进而构造函数，，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【详解】（1）当时，， 则， 由于，则时，，即， 时，，即， 则函数在上单调递减，在上单调递增. （2）（i）由，，， 则， 令，得， 即， 则，其中，， 又，则，， 所以， 又，则， 所以， （ii）由（i）知，，， 则， 因此，而， 设，， 则，所以函数在上单调递减， 则，即， 则， 即， 由，则，即， 则，即. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 函数与导数 6大考点概览 考点01指对幂函数的基本性质 考点02分段函数的应用 考点03抽象函数的应用 考点04导数的几何意义 考点05导数与函数的单调性、极值、最值 考点06导数的综合大题 ( 函数的基本性质 考点 1 ) 1．（2026·广东深圳·二模）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·广东广州·二模）若函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（   ） A． B． C． D．9 3．（2026·广东深圳·二模）已知函数，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·广东佛山·二模）函数，则（   ） A．是奇函数 B．是周期函数 C．的最大值为2 D． 5．（2026·广东清远·二模）生物学家经过长期研究发现，睡眠中的恒温动物的脉搏率（单位：次）与体重（单位：kg）、外界环境温度（单位：℃）有关，满足（为常数）．已知在环境温度为时，为两个睡眠中的恒温动物，的体重为、脉搏率为210次，的脉搏率是105次，则的体重为（   ） A． B． C． D． ( 分段函数的应用 考点 2 ) 6．（2026·广东广州·二模）函数是奇函数的充要条件是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·广东江门·二模）已知函数， ，若恰有个零点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（2026·广东佛山·二模）已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． ( 抽象函数的应用 考点 3 ) 9．（2026·广东茂名·二模）（多选）已知是定义在上的函数，且，，则（    ） A． B．是奇函数 C．的图象关于直线对称 D．是的周期 10．（2026·广东清远·二模）（多选）已知函数满足对且，若数列满足，则（   ） A． B． C．数列是等比数列 D． 11．（2026·广东江门·二模）（多选）若函数的定义域为，，且，，，则（   ） A． B．， C．为奇函数 D．当时， 12．（2026·广东佛山·二模）（多选）定义域关于原点对称的函数，满足，，为偶函数且，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．若，则 ( 导数的几何意义 考点 4 ) 13．（2026·广东茂名·二模）曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 14．（2026·广东东莞·二模）（多选）若直线与曲线相交于不同两点，曲线在A，B点处的切线交于点，设AP的斜率为的斜率为，则（   ） A．时， B． C． D． 15．（2026·广东深圳·二模）若直线是曲线的一条切线，则___________． ( 导数与函数的单调性、极值、最值 考点 5 ) 16．（2026·广东东莞·二模）已知，若恒成立，则（   ） A．0 B．1 C．e D．3 17．（2026·广东湛江·二模）已知定义在上的可导函数满足是偶函数；；，，则（   ） A． B． C．1 D．3 18．（2026·广东东莞·二模）已知函数的图象如图所示，则其导函数图象可以是（   ） A．B．C． D． 19．（2026·广东汕头·二模）集合中所有元素之和记作，则（   ） A． B． C． D． 20．（2026·广东惠州·二模）已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．（2026·广东广州·二模）若函数有且仅有两个零点，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D．2 22．（2026·广东茂名·二模）已知f（x）是定义在区间上的函数，且，，则（    ） A．只有1个零点 B．有2个零点 C．， D．， 23．（2026·广东清远·二模）已知定义域为的函数满足，且对于任意的，当时，都有．设，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 24．（2026·广东惠州·二模）（多选）深度神经网络是人工智能领域中的重要模型之一，激活函数是神经网络的重要组成部分.函数是其中重要的激活函数之一，则（    ） A．有且仅有一个零点 B．在区间上不单调 C．存在唯一极值点 D．恒成立 25．（2026·广东肇庆·二模）（多选）若存在，使得函数在区间和上单调递减，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．在上单调递增 D．在上单调递减 26．（2026·广东清远·二模）（多选）已知函数，设，则下列说法正确的是（   ） A．用表示不大于的最大整数，若，则恒成立 B．若关于的方程与的实数根相同，则 C．若存在两个零点，则 D．若方程在上无解，则的取值范围是 27．（2026·广东广州·二模）（多选）对于函数，下面说法正确的有（    ） A．当时，函数有两个零点 B．当时，函数不存在极值点 C．当最小值为时， D．当时，函数在区间单调递减 28．（2026·广东湛江·二模）（多选）若函数图象上存在不同的两点和，使得的图象在点，处的切线交于直线（为常数）上同一点，则称，为函数的一对“关于直线的共轴切点”. 已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．存在实数，使得不存在关于轴的共轴切点 B．若存在关于直线的共轴切点，则两切点的横坐标之积为定值 C．若，则存在实数，使得存在关于直线的共轴切点，且对应的两切线斜率之和大于0 D．若，则对于任意，都存在关于直线的共轴切点 29．（2026·广东肇庆·二模）已知函数的定义域为，且，若，则不等式的解集为__________.（结果用区间表示） 30．（2026·广东东莞·二模）写出一个同时具有下列性质①②③的函数：__________. ①；②任意，都有；③是偶函数. 31．（2026·广东广州·二模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为__________. 32．（2026·广东肇庆·二模）已知关于的不等式恒成立，则的取值范围是___________． ( 导数的综合大题 考点 6 ) 33．（2026·广东茂名·二模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若存在小于0的极小值，求a的取值范围． 34．（2026·广东深圳·二模）已知函数． (1)若在时取极值，求的值和的极小值； (2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 35．（2026·广东东莞·二模）设a为非负实数，函数. (1)当时，求的单调区间； (2)若恒成立，求的最小值. 36．（2026·广东广州·二模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)若是函数的极值点，证明：． 37．（2026·广东江门·二模）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若不等式对恒成立，求的取值范围． 38．（2026·广东佛山·二模）已知函数，为的导函数，曲线关于点对称. (1)求的值； (2)，恒成立. （i）求b的值并探究的零点个数； （ii）若，且，证明：. 39．（2026·广东湛江·二模）已知函数（），. (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，对任意，都有； (3)若方程没有实根，求整数的最小值. 40．（2026·广东惠州·二模）已知函数，其中. (1)若，求的单调区间； (2)若， （i）证明：在区间内有且仅有1个零点； （ii）设为的极值点，为的零点，且，证明：. 41．（2026·广东揭阳·二模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时， （i）过点可以作函数的两条切线，求b的取值范围； （ii）设A，B是图象上两个不同的点，且A，B两点到的距离相等，判断线段AB的中点在第几象限，并证明. 42．（2026·广东清远·二模）已知函数． (1)若，求在点处的切线方程； (2)若． （i）证明：存在唯一的极值点且为极小值点； （ii）当恒成立时，证明：． 43．（2026·广东广州·二模）已知函数. (1)直线过点且与曲线相切，求直线方程； (2)已知在导函数的图象上，以点为圆心的与轴都相切，且与彼此外切.若，且，求数列的前项之和. 44．（2026·广东肇庆·二模）已知函数，其中且. (1)当时，求函数图象在处的切线方程； (2)若对于给定的自然数，函数有意义，求的取值范围； (3)对任意的，若，求的最大值. 45．（2026·广东佛山·二模）已知函数， (1)若，讨论的单调性； (2)若，记为在区间，上的零点． （i）证明：数列为等比数列； （ii）对任意，比较与的大小． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $