第四单元 长方体（二） 易错题单元提升自测-2025-2026学年五年级下册数学北师大版

第四单元 长方体（二） 易错题单元提升自测 考试时间：90分钟，试卷满分：100分 姓名：__________班级：__________考号：__________成绩：__________ 题号 一 二 三 四 五 总分 评分 一、选择题（每题2分，共10分） 1．一塑料桶用40升水正好装满，我们就说这个塑料桶的（    ）是40升。 A．表面积 B．体积 C．容积 D．底面积 【答案】C 【分析】一塑料桶用40升水正好装满，是指这个塑料桶的所能容纳的物体的体积是40升，根据容积的意义，是指这个塑料桶的容积是40升。 【详解】A．表面积：指物体表面的总面积，单位通常是平方厘米、平方米等，和“升”无关。 B．体积：指物体自身所占空间的大小，而塑料桶本身的体积（包括桶壁材料）和它能装的水量是不同的概念。 C．容积：指容器内部所能容纳物体的体积，也就是它能装多少东西。一塑料桶用40升水正好装满，我们就说这个塑料桶的容积是40升。 D．底面积：指桶底部的面积，单位是平方单位，和容量无关。 2．有一个底面是正方形的长方体铁箱，如果把它的侧面展开，正好得到一个边长是20厘米的正方形，这个铁箱的容积是（    ）毫升。（铁皮厚度忽略不计） A．1 B．5 C．500 D．0.5 【答案】C 【分析】根据题意，长方体底面的周长等于高。长方体的高是20厘米，用20除以4算出长方体底面的边长，也是长方体的长或宽。根据长方体容积＝长×宽×高计算即可。1立方厘米＝1毫升。 【详解】20÷4＝5（厘米） 5×5×20＝500（立方厘米） 500立方厘米＝500毫升 这个铁箱的容积是500毫升。 3．把一个正方体铁块浸没在一个棱长是1分米的正方体玻璃缸中，水面上升了2厘米（水未溢出），这个正方体铁块的体积是（    ）立方厘米。 A．100 B．200 C．800 D．1000 【答案】B 【分析】根据浸入物体的体积等于容器底面积乘水面上升或下降高度。先求出正方体底面积，然后再乘水面上升高度。即可求出正方体铁块的体积，注意单位的换算。 【详解】1分米＝10厘米 10×10×2 ＝100×2 ＝200（立方厘米） 这个正方体铁块的体积是200立方厘米。 4．蜡像厂把一个亚冬会吉祥物“滨滨”熔化后，又塑造成另一个亚冬会吉祥物“妮妮”（工艺品为实心，且无损耗），这两件工艺品的体积相比，（    ）。 A．“滨滨”的体积大 B．“妮妮”的体积大 C．一样大 D．无法比较 【答案】C 【分析】“滨滨”熔化后，又塑造成“妮妮”过程中因为是实心，且无损耗，所以体积没有变化。 【详解】工艺品为实心且熔化过程中无损耗，所以体积没有变化。 故答案为：C 5．在一个长为15cm，宽为10cm，高为20cm的长方体空盒里放入一个土豆，加满水，再将土豆拿起来，此时水的高度下降了2cm，可以知道土豆的体积是（    ）cm3。 A．3000 B．300 C．2700 D．600 【答案】B 【分析】从装有水的长方体盒子中取出一个土豆，水的高度下降了2cm，那么水下降部分的体积等于土豆的体积；根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，求出土豆的体积。 【详解】15×10×2 ＝150×2 ＝300（cm3） 土豆的体积是300cm3。 故答案为：B 二、填空题（每题3分，共30分） 6．一个正方体的底面积是9平方厘米，这个正方体的体积是( )立方厘米。 【答案】27 【分析】正方体底面积＝棱长×棱长，据此确定棱长，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出体积。 【详解】9＝3×3，因此这个正方体的棱长是3厘米。 体积：3×3×3＝27（立方厘米） 7．王叔叔把一根长2m的长方体木料横截成3段，表面积增加了100dm2，则原木料的体积是( )dm3。 【答案】500 【分析】把长方体木料横截成3段，表面积增加了4个截面的面积，增加的表面积÷增加的截面个数＝截面的面积，根据长方体体积＝截面的面积×长，求出原木料的体积。注意统一单位。 【详解】2m＝20dm 100÷4×20＝500（dm3） 8．深圳读书月期间，妙想分享了她制作的阅读主题创意手工，如图所示，寓意着“知识是人类进步的阶梯”。这件手工作品的占地面积是( )cm2，体积是( )cm3。 【答案】 180 960 【分析】占地面积指的是底面积，看图可知，这件手工作品的底面积是个长（6×3）cm，宽10cm的长方形，底面积＝长×宽；体积是3个长方体的体积之和，长方体体积＝长×宽×高。 【详解】底面积：6×3×10＝180（cm2） 体积：10×6×8＋10×6×6＋10×6×2 ＝480＋360＋120 ＝960（cm3） 9．一个长方体容器，从里面量长50cm，宽20cm，里面盛有15cm深的水，将一石块完全浸没在水中后（水未溢出），水面上升了2cm，这块石块的体积是( )cm3。 【答案】2000 【分析】水面上升部分体积就是石块的体积，石块的体积＝容器的底面积×水面上升的高度，据此解答。 【详解】50×20×2 ＝1000×2 ＝2000（cm3） 10．将一个正方体的棱长由3cm变为6cm，它的表面积扩大到原来的( )倍，体积扩大到原来的( )倍。 【答案】 4 8 【分析】正方体的体积公式，正方体表面积公式，求一个数是另一个数的几倍，用除法计算，据此用扩大后的表面积除以原来的表面积，用扩大后的体积除以原来的体积，即可解答。 【详解】6×62÷（6×32） ＝6×36÷6÷9 ＝4 63÷33 ＝216÷27 ＝8 故表面积扩大到原来的4倍，体积扩大到原来的8倍。 11．永城泥塑是永城地区传统民间工艺之一，以造型生动、色彩鲜艳、制作精细而著称。乐乐酷爱捏泥塑，他将一个棱长为6cm的正方体彩泥捏成了一个长8cm，宽3cm的长方体，捏成的长方体的高是( )cm。 【答案】9 【分析】正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，长方体的体积＝长×宽×高，正方体彩泥的体积和长方体彩泥的体积相等，先求出正方体彩泥的体积，然后除以长方体彩泥的长和宽即可求出长方体彩泥的高。 【详解】6×6×6÷8÷3 ＝216÷8÷3 ＝27÷3 ＝9（cm） 所以捏成的长方体的高是9cm。 12．刘师傅要制作一个棱长为1.4米的正方体储物箱，为了增强美观和耐用性，实际使用的外层包装材料面积是其表面积的1.1倍。制作这个储物箱实际需要( )平方米的包装材料，这个储物箱的体积为( )立方米。 【答案】 12.936 2.744 【分析】正方体的表面积＝棱长×棱长×6，实际需要的包装材料是表面积的1.1倍，即表面积×1.1。正方体的体积＝棱长×棱长×棱长。 【详解】1.4×1.4×6×1.1＝12.936（平方米） 1.4×1.4×1.4＝2.744（立方米） 13．乐乐家的水龙头漏水，他每天早上用一个长12cm，宽10cm，高的长方体器皿接水，回家发现水深12cm，长方体器皿一共接了( )L水。 【答案】1.44 【分析】接水的体积相当于长12cm，宽10cm，高12cm的长方体，根据“长方体的体积＝长×宽×高”代入数值计算再换算单位即可。 【详解】12×10×12 ＝120×12 ＝1440（立方厘米） ＝1.44L 长方体器皿一共接了1.44L水。 14．如图是同样大小的小正方体堆积在墙角，每个小正方体的棱长为2分米，有( )个面露在外面，露在外面的面积是( )平方分米，这堆小正方体的体积是( )立方分米。 【答案】 11 44 48 【分析】从前面看有4个面露在外面，从上面看有4个面露在外面，从右面看有3个面露在外面，一共有4＋4＋3＝11个面露在外面；再根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，代入数据，求出正方体一个面的面积，再乘露在外面的面的个数。 根据“正方体的体积＝棱长×棱长×棱长”求出1个小正方体的体积，分层数出小正方体的总个数，这个物体的体积＝每个小正方体的体积×小正方体的总个数， 【详解】2×2＝4（平方分米） 4＋4＋3＝8＋3＝11（个） 4×11＝44（平方分米） 2×2×2 ＝4×2 ＝8（立方分米） 8×（4＋2） ＝8×6 ＝48（立方分米） 所以，有11个面露在外面，露在外面的面积是44平方分米，这堆小正方体的体积是48立方分米。 15．一个正方体木块，从它的高上截去4cm，就变成了一个长方体，这时表面积比原来减少112，原来正方体木块的体积是( )。 【答案】343 【分析】从正方体的高上截去4cm，表面积减少了4个完全相同的长方形的面积之和。这4个长方形的宽都是4cm，表面积共减少112，据此可以求出这4个长方形的长，这4个长方形的长等于正方体的棱长。正方体的体积＝棱长×棱长×棱长。 【详解】112÷4÷4 ＝28÷4 ＝7（cm） 7×7×7 ＝49×7 ＝343（） 三、判断题（每题2分，共10分） 16．把一个长方体平均分成5段，5个小长方体的体积之和与原长方体的体积相等。( ) 【答案】√ 【分析】物体所占空间的大小叫做物体的体积。把一个长方体切割成若干个小长方体，虽然形状发生了变化，但各部分所占空间的总和与原物体所占空间的大小没有发生变化，所以体积之和不变。据此判断。 【详解】根据体积的意义可知，物体所占空间的大小叫做物体的体积。把一个长方体平均分成5段，得到5个小长方体，这5个小长方体所占空间的总和与原长方体所占空间的大小相等。所以5个小长方体的体积之和与原长方体的体积相等。 故答案为：√ 17．一个长方体的长、宽、高分别扩大到原来的5倍，则体积扩大到原来的15倍。( ) 【答案】× 【分析】长方体体积＝长×宽×高。可以设原来长方体的长为a，宽为b ，高为h。则长、宽、高分别扩大到原来的5倍后长方体的长为5a，宽为5b，高为5h。分别计算出原来长方体和新的长方体的体积后，用新的长方体的体积除以原来长方体的体积解答。 【详解】原来长方体的体积： 新的长方体的体积： 一个长方体的长、宽、高分别扩大到原来的5倍，则体积扩大到原来的125倍。 故答案为：× 18．用8块棱长是1厘米的小正方体就可以拼成一个较大的正方体。( ) 【答案】√ 【分析】正方体的每条棱长都相等，要拼成一个较大的正方体，每条棱上至少需要2个小正方体。据此用大正方体的体积除以小正方体的体积，求出所需小正方体总数，最后判断是否为8个。正方体体积＝棱长×棱长×棱长。 【详解】大正方体棱长为2厘米，体积为2×2×2＝8（立方厘米）；小正方体棱长为1厘米，体积为1×1×1＝1（立方厘米）。 所需小正方体个数：8÷1＝8（块） 因为8块小正方体正好可以拼成一个棱长为2厘米的大正方体，所以题干说法正确。 故答案为：√ 19．长方体的表面积越大，体积也一定越大。( ) 【答案】× 【分析】长方体表面积大小与体积都由其长、宽、高共同决定，但表面积和体积之间没有直接联系；根据长方体表面积＝（长×宽＋宽×高＋高×长）×2；长方体体积＝长×宽×高，可以通过举例证明。 【详解】比如：有两个长方体，长、宽、高分别是5、4、3 和7、4、2。 第一个体积： 5×4×3 ＝20×3 ＝60 表面积： （5×4＋5×3＋4×3）×2 ＝（20＋15＋12）×2 ＝（35＋12）×2 ＝47×2 ＝94 第二个体积： 7×4×2 ＝28×2 ＝56 表面积： （7×4＋7×2＋4×2）×2 ＝（28＋14＋8）×2 ＝（42＋8）×2 ＝50×2 ＝100 60＞56，94＜100 第二个的表面积比第一个的大，但体积反而比第一个的小。 因此题干的结论是错误的。 故答案为：× 【点睛】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 20．用12个体积是1cm3的正方体搭成的所有几何体的体积都是12cm3。( ) 【答案】√ 【分析】用12立方厘米的正方体拼成的每一个立体图形，无论拼成什么样的立体图形，它的体积都是12立方厘米，据此判断。 【详解】12×1＝12（cm3） 用12个体积是1cm3的正方体搭成的所有几何体的体积都是12cm3，所以题意说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题考查了正方体的体积知识，要灵活掌握。 四、计算题（共20-分） 21．计算下列图形的表面积和体积。 【答案】（1）表面积220dm2，体积200dm3；（2）表面积384cm2，体积512cm3 【分析】（1）长方体表面积：，体积公式：； （2）正方体表面积：，体积公式：，代入数值求解。 【详解】（1）表面积： 2×（10×5＋10×4＋5×4） ＝2×（50＋40＋20） ＝2×110 ＝220（dm2） 体积：10×5×4＝200（dm3） （2）表面积：6×8×8＝384（cm2） 体积：8×8×8＝512（cm3） 22．计算下面立体图形的体积。（单位：厘米） 【答案】 立方厘米；立方厘米；立方厘米 【分析】长方体体积＝长×宽×高 正方体体积＝棱长×棱长×棱长 组合体体积＝各部分体积相加（叠加型）/大体积减去挖去部分体积（挖空型） 【详解】 （立方厘米） （立方厘米） （立方厘米） 五、解答题（每题5分，共30分） 23．某汽车油箱的长为50厘米，宽为40厘米，高为30厘米，如果每升油可行驶12千米，这箱油最多可以供这辆汽车行驶多少千米？ 【答案】720千米 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，求出汽车油箱的体积，根据1升＝1000毫升，1毫升＝1立方厘米进行单位换算，然后再乘12； 【详解】50×40×30 ＝2000×30 ＝60000（立方厘米） 60000立方厘米＝60升 12×60＝720（千米） 答：这箱油最多可以供这辆汽车行驶720千米。 24．有一个长方体容器，从里面量长30厘米，宽20厘米，高15厘米，里面注入一些水，水深10厘米，把一块石头浸没在水中，这时水深12厘米，这块石头的体积是多少立方厘米？ 【答案】1200立方厘米 【分析】根据排水法原理，石头浸没在水中，石头的体积等于水面上升部分的体积。水面上升部分是一个长方体，其长和宽与容器的内部长和宽相等，高为水面上升的高度。长方体的体积＝长×宽×高，代入计算即可。 【详解】30×20×（12－10） ＝600×2 ＝1200（立方厘米） 答：这块石头的体积是1200立方厘米。 25．一个无盖的玻璃鱼缸长60厘米、宽40厘米、水深10厘米（玻璃厚度忽略不计）。如果放进一尾鱼，水深为12厘米，这尾鱼的体积是多少？ 【答案】4800立方厘米 【分析】根据排水法原理，鱼的体积等于放入鱼后水面上升部分水的体积。水面上升部分水的形状为长方体，它的长和宽与鱼缸的长和宽相等，高就是水面上升的高度。用鱼缸的长乘宽，再乘水面上升的高度，算出上升部分水的体积，也就是鱼的体积。 【详解】 （立方厘米） 答：这尾鱼的体积是4800立方厘米。 26．将一个体积为120立方厘米的石块完全浸没在装有水的长方体容器中，长方体容器的底面积为30平方厘米，水面高度为10厘米，把石块捞出来后，水面高多少厘米？ 【答案】6厘米 【分析】石块完全浸没在水中时，石块的体积等于它排开水的体积。当把石块捞出后，水面会下降，下降部分水的体积等于石块的体积。据此先利用长方体体积公式的变式“高＝体积÷底面积”，求出水面下降的高度，再用原来的水面高度减去下降的高度，即可求出现在的水面高度。 【详解】（厘米） （厘米） 答：水面高6厘米。 27．笑笑想利用纸板制作一个礼物盒。下面是礼物盒的展开图，求这个礼物盒的表面积和体积。（纸板厚度和重叠部分忽略不计，单位：厘米） 【答案】表面积：792平方厘米； 体积：1296立方厘米 【分析】由图可知，长方体的长是18厘米，高是12厘米，2个长与2个宽的和为48厘米，用48减去2个长再除以2计算出宽，即（48－18×2）÷2＝6厘米。 根据“长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”计算出该礼物盒的表面积；根据“长方体体积＝长×宽×高”计算出该礼物盒的体积。 【详解】（48－18×2）÷2 ＝（48－36）÷2 ＝12÷2 ＝6（厘米） （18×6＋18×12＋6×12）×2 ＝（108＋216＋72）×2 ＝（324＋72）×2 ＝396×2 ＝792（平方厘米） 答：这个礼物盒的表面积是792平方厘米。 18×6×12 ＝108×12 ＝1296（立方厘米） 答：这个礼物盒的体积是1296立方厘米。 28．在科技馆的趣味实验展示区，有一个利用水位变化测量物体高度的实验装置，该装置是一个长方体水箱，齐齐往里面放了一个长方体铁块，水箱相关尺寸以及放入铁块前后水位的变化情况如下图所示，那么放入的铁块的高是多少？ 【答案】8厘米 【分析】铁块放入水中水面上升部分的水的体积就是铁块的体积。这部分水看作长方体，长宽高分别是10厘米、8厘米、9.5－8＝1.5（厘米），根据V＝abh计算铁块体积，再根据h＝V÷ab求出铁块高即可。 【详解】10×8×（9.5－8）÷（5×3） ＝10×8×1.5÷15 ＝120÷15 ＝8（厘米） 答：放入的铁块的高是8厘米。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 长方体（二） 易错题单元提升自测 考试时间：90分钟，试卷满分：100分 姓名：__________班级：__________考号：__________成绩：__________ 题号 一 二 三 四 五 总分 评分 一、选择题（每题2分，共10分） 1．一塑料桶用40升水正好装满，我们就说这个塑料桶的（    ）是40升。 A．表面积 B．体积 C．容积 D．底面积 2．有一个底面是正方形的长方体铁箱，如果把它的侧面展开，正好得到一个边长是20厘米的正方形，这个铁箱的容积是（    ）毫升。（铁皮厚度忽略不计） A．1 B．5 C．500 D．0.5 3．把一个正方体铁块浸没在一个棱长是1分米的正方体玻璃缸中，水面上升了2厘米（水未溢出），这个正方体铁块的体积是（    ）立方厘米。 A．100 B．200 C．800 D．1000 4．蜡像厂把一个亚冬会吉祥物“滨滨”熔化后，又塑造成另一个亚冬会吉祥物“妮妮”（工艺品为实心，且无损耗），这两件工艺品的体积相比，（    ）。 A．“滨滨”的体积大 B．“妮妮”的体积大 C．一样大 D．无法比较 5．在一个长为15cm，宽为10cm，高为20cm的长方体空盒里放入一个土豆，加满水，再将土豆拿起来，此时水的高度下降了2cm，可以知道土豆的体积是（    ）cm3。 A．3000 B．300 C．2700 D．600 二、填空题（每题3分，共30分） 6．一个正方体的底面积是9平方厘米，这个正方体的体积是( )立方厘米。 7．王叔叔把一根长2m的长方体木料横截成3段，表面积增加了100dm2，则原木料的体积是( )dm3。 8．深圳读书月期间，妙想分享了她制作的阅读主题创意手工，如图所示，寓意着“知识是人类进步的阶梯”。这件手工作品的占地面积是( )cm2，体积是( )cm3。 9．一个长方体容器，从里面量长50cm，宽20cm，里面盛有15cm深的水，将一石块完全浸没在水中后（水未溢出），水面上升了2cm，这块石块的体积是( )cm3。 10．将一个正方体的棱长由3cm变为6cm，它的表面积扩大到原来的( )倍，体积扩大到原来的( )倍。 11．永城泥塑是永城地区传统民间工艺之一，以造型生动、色彩鲜艳、制作精细而著称。乐乐酷爱捏泥塑，他将一个棱长为6cm的正方体彩泥捏成了一个长8cm，宽3cm的长方体，捏成的长方体的高是( )cm。 12．刘师傅要制作一个棱长为1.4米的正方体储物箱，为了增强美观和耐用性，实际使用的外层包装材料面积是其表面积的1.1倍。制作这个储物箱实际需要( )平方米的包装材料，这个储物箱的体积为( )立方米。 13．乐乐家的水龙头漏水，他每天早上用一个长12cm，宽10cm，高的长方体器皿接水，回家发现水深12cm，长方体器皿一共接了( )L水。 14．如图是同样大小的小正方体堆积在墙角，每个小正方体的棱长为2分米，有( )个面露在外面，露在外面的面积是( )平方分米，这堆小正方体的体积是( )立方分米。 15．一个正方体木块，从它的高上截去4cm，就变成了一个长方体，这时表面积比原来减少112，原来正方体木块的体积是( )。 三、判断题（每题2分，共10分） 16．把一个长方体平均分成5段，5个小长方体的体积之和与原长方体的体积相等。( ) 17．一个长方体的长、宽、高分别扩大到原来的5倍，则体积扩大到原来的15倍。( ) 18．用8块棱长是1厘米的小正方体就可以拼成一个较大的正方体。( ) 19．长方体的表面积越大，体积也一定越大。( ) 20．用12个体积是1cm3的正方体搭成的所有几何体的体积都是12cm3。( ) 四、计算题（共20-分） 21．计算下列图形的表面积和体积。 22．计算下面立体图形的体积。（单位：厘米） 五、解答题（每题5分，共30分） 23．某汽车油箱的长为50厘米，宽为40厘米，高为30厘米，如果每升油可行驶12千米，这箱油最多可以供这辆汽车行驶多少千米？ 24．有一个长方体容器，从里面量长30厘米，宽20厘米，高15厘米，里面注入一些水，水深10厘米，把一块石头浸没在水中，这时水深12厘米，这块石头的体积是多少立方厘米？ 25．一个无盖的玻璃鱼缸长60厘米、宽40厘米、水深10厘米（玻璃厚度忽略不计）。如果放进一尾鱼，水深为12厘米，这尾鱼的体积是多少？ 26．将一个体积为120立方厘米的石块完全浸没在装有水的长方体容器中，长方体容器的底面积为30平方厘米，水面高度为10厘米，把石块捞出来后，水面高多少厘米？ 27．笑笑想利用纸板制作一个礼物盒。下面是礼物盒的展开图，求这个礼物盒的表面积和体积。（纸板厚度和重叠部分忽略不计，单位：厘米） 28．在科技馆的趣味实验展示区，有一个利用水位变化测量物体高度的实验装置，该装置是一个长方体水箱，齐齐往里面放了一个长方体铁块，水箱相关尺寸以及放入铁块前后水位的变化情况如下图所示，那么放入的铁块的高是多少？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $