第三单元 长方体和正方体（高频常考易错题单元检测提升二）2025-2026学年人教版数学五年级下册

第三单元 长方体和正方体（高频常考易错题单元检测提升二） 考试时间：90分钟，试卷满分：100分 姓名：__________班级：__________考号：__________成绩：__________ 题号 一 二 三 四 五 总分 评分 一、选择题（每题2分，共16分） 1．如图是一正方体的展开图，则该正方体展开前，与5号面相对的面是（    ）号面。 A．1 B．2 C．3 D．4 2．一个长方体正好可以切成两个棱长是4cm的正方体，这个长方体的表面积是（    ）cm2。 A．192 B．148 C．160 D．176 3．明明想请木匠师傅给自己做一个抽屉，抽屉是长方体形状，长40厘米，宽30厘米，高20厘米，做这个抽屉至少需要（    ）平方厘米的木板。 A．4000 B．1600 C．3800 D．3200 4．把一块长是5cm、宽是4cm、高是5cm的长方体橡皮泥放在桌面上，切一刀分成两个大小一样的小长方体，表面积最多增加（    ）cm2。 A．50 B．40 C．25 D．20 5．用下面这些小棒搭成一个长方体，这个长方体的体积不可能是（    ）立方厘米。 小棒长度 10厘米 8厘米 6厘米 根数 8根 4根 5根 A．384 B．480 C．600 D．800 6．一种小礼品的包装盒是棱长为2分米的正方体，把这种小礼品盒装在长80厘米、宽70厘米、高40厘米的长方体大包装箱里，最多能放（    ）个。 A．14 B．24 C．25 D．28 7．爸爸带乐乐和天天一起去海边捡贝壳，乐乐捡到一个海螺，天天捡到一个海星，他们想要比一比谁的体积大，于是他们做了如图的实验，体积较大的是（    ）。 A．海螺 B．海星 C．一样大 D．无法比较 8．把3个大小相同的小正方体拼成一个高15cm的大长方体（如下图），表面积之和就减少了100cm2。原来1个小正方体的体积是（    ）cm3。 A．375 B．250 C．75 D．125 二、填空题（每题3分，共30分） 9．中国素有“礼仪之邦”之称给客人倒茶不能倒满。往容量为100毫升的杯子里倒茶时，应倒70~80毫升。一壶1.5升的茶水，最少可以倒( )杯。 10．一个完全没有开口的长方体纸盒，用剪刀至少剪开( )条边，就可以把它平铺在桌面上。 11．至少需要( )个小正方体才能拼成一个大正方体，若一个小正方体的棱长是2厘米，这个大正方体的体积是( )，将它们拼成长方体，长方体的表面积可能是( )平方厘米或( )平方厘米。 12．一个长方体的长宽高都扩大到原来的3倍，表面积扩大到原来的( )倍，若将它的长扩大到原来的2倍，宽也扩大到原来的2倍，高扩大到原来的3倍，则它的体积扩大到原来的( )倍。 13．下图是一根长方体木料，( )根这样的木料叠放起来才够1方（1方＝1立方米）。 14．把9个同样的正方体拼成一个长方体（如图），表面积减少了216dm2，这个长方体的表面积是( )dm2，体积是( )dm3。 15．一个长方体木块，长12厘米、宽8厘米、高6厘米，若将其切割成棱长为2厘米的小正方体（无剩余）。最多能切出( )个小正方体；这些小正方体的表面积之和比原长方体多( )平方厘米（切割损耗不计）。 16．如图是一个长方体的展开图，①和③都是正方形，①的面积是，②的面积是，长方体的表面积是( )，体积是( )。 17．下图摆放着若干个小正方体，1个小正方体有5个面露在外面，3个小正方体摞在一起有____个面露在外面，5个小正方体摞在一起有____个面露在外面。 18．一个水槽，从里面量长是40厘米，宽是25厘米，高是30厘米，水面高度是20厘米，底部排水口每分钟排水4升，需要( )分钟才能把水排空。 三、判断题（每题2分，共10分） 19．长方体和正方体都有6个顶点和6个面。( ) 20．有两个相对的面是正方形的长方体一定是正方体。( ) 21．把一个长2m、宽1.5m、高3m的纸箱放在地面上，它最多占地6m2。( ) 22．将两个棱长为3分米的正方体拼成一个长方体，表面积减少18平方分米。( ) 23．将一个长方体切成两个同样大小的长方体，每个小长方体的表面积和体积都是原长方体表面积和体积的一半。( ) 四、计算题（共12分） 24．计算长方体表面积、正方体体积。 25．计算下列图形的表面积和体积。（单位：dm） 五、解答题（共36分） 26．一根长方体铜条的体积是60立方厘米，其横截面的面积是5平方厘米，这根铜条的长是多少？ 27．一个长方体的表面积是158平方厘米，底面积是24平方厘米，底面周长是22厘米。这个长方体的体积是多少立方厘米？ 28．学校要粉刷会议室（地面除外），已知会议室长20米，宽12.5米，高3米，扣除门窗的面积30平方米。如果每平方米需要4元涂料费，粉刷这间会议室需要花费多少元？这个会议室占多大的空间？ 29．仓库里有一些角铁，长度和根数如下表。王叔叔从中选出一些，正好可以直接焊接成一个长方体框架。如果王叔叔想利用这个长方体框架贴上玻璃做一个无盖的鱼缸，至少需要多少玻璃？ 角铁的长度 根数 9分米 3 6分米 8 4分米 5 30．在科学实验室里，有一个水深24厘米的长方体水箱B，还有一个空的长方体水箱A。水箱A长15厘米、宽10厘米，水箱B长30厘米、宽15厘米。为了做对比实验，实验员要把水箱B中的水倒一部分到水箱A中，使两个水箱的水深度相同，此时水箱里的水深是多少呢？ 31．小王同学想知道一个瓶子的容积，他先把这个瓶子装满水，然后将水倒入一个从里面量长20厘米，宽10厘米，高9厘米的长方体透明箱子，这时他测量水面的高度是4厘米，请问这个瓶子的容积是多少毫升？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元 长方体和正方体（高频常考易错题单元检测提升二） 考试时间：90分钟，试卷满分：100分 姓名：__________班级：__________考号：__________成绩：__________ 题号 一 二 三 四 五 总分 评分 一、选择题（每题2分，共16分） 1．如图是一正方体的展开图，则该正方体展开前，与5号面相对的面是（    ）号面。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】正方体展开图的相对面辨别方法：位于同一行或同一列且中间间隔1个正方形面的两个正方形面是正方体的相对面；位于“Z”字两端处的两个正方形面是正方体的相对面。据此解答。 【详解】5号面与1号面是位于“Z”字两端处的两个正方形面且中间间隔1个正方形面，因此与5号面相对的面是1号面。 故答案为：A 2．一个长方体正好可以切成两个棱长是4cm的正方体，这个长方体的表面积是（    ）cm2。 A．192 B．148 C．160 D．176 【答案】C 【分析】长方体可切成两个棱长4cm的正方体，说明长方体的长等于宽，长方形的长、宽分别为4cm、4cm；高为4×2＝8cm，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【详解】长方体的长是4cm，宽是4cm，高是：4×2＝8（cm） （4×4＋4×8＋4×8）×2 ＝（16＋32＋32）×2 ＝（48＋32）×2 ＝80×2 ＝160（cm2） 一个长方体正好可以切成两个棱长是4cm的正方体，这个长方体的表面积是160cm2。 故答案为：C 3．明明想请木匠师傅给自己做一个抽屉，抽屉是长方体形状，长40厘米，宽30厘米，高20厘米，做这个抽屉至少需要（    ）平方厘米的木板。 A．4000 B．1600 C．3800 D．3200 【答案】A 【分析】抽屉没有上面的面，木板的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，据此列式计算。 【详解】40×30＋40×20×2＋30×20×2 ＝1200＋1600＋1200 ＝4000（平方厘米） 做这个抽屉至少需要4000平方厘米的木板。 故答案为：A 4．把一块长是5cm、宽是4cm、高是5cm的长方体橡皮泥放在桌面上，切一刀分成两个大小一样的小长方体，表面积最多增加（    ）cm2。 A．50 B．40 C．25 D．20 【答案】A 【分析】切一刀增加2个面，平行于最大的面切一刀增加的表面积最多，5×5＞5×4＞4×5，平行于前后面切增加的表面积最多；最多增加的表面积＝长×高×2，据此列式计算。 【详解】5×5＞5×4＞4×5 5×5×2＝50（cm2） 表面积最多增加50cm2。 故答案为：A 5．用下面这些小棒搭成一个长方体，这个长方体的体积不可能是（    ）立方厘米。 小棒长度 10厘米 8厘米 6厘米 根数 8根 4根 5根 A．384 B．480 C．600 D．800 【答案】A 【分析】由长方体的特征可知，长方体有12条棱，相对的4条棱长度相等，按棱的长度可以分为三组，相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫作长方体的长、宽、高，长方体中最少有4条棱的长度相等，最多有8条棱的长度相等，据此用表格列出所有可以搭成长方体的可能，再利用“长方体的体积＝长×宽×高”求出各个长方体的体积，据此解答。 【详解】分析可知： 10厘米 （8根） 8厘米 （4根） 6厘米 （5根） 体积 （立方厘米） 长方体1 8根 4根 800立方厘米 长方体2 8根 4根 600立方厘米 长方体3 4根 4根 4根 480立方厘米 长方体1：10×10×8 ＝100×8 ＝800（立方厘米） 长方体2：10×10×6 ＝100×6 ＝600（立方厘米） 长方体3：10×8×6 ＝80×6 ＝480（立方厘米） 综上所述，这个长方体的体积不可能是384立方厘米。 故答案为：A 6．一种小礼品的包装盒是棱长为2分米的正方体，把这种小礼品盒装在长80厘米、宽70厘米、高40厘米的长方体大包装箱里，最多能放（    ）个。 A．14 B．24 C．25 D．28 【答案】B 【分析】先把正方体的棱长2分米转化为20厘米，计算长方体大包装箱长、宽、高能容纳的小礼品盒的数量，用长方体的长、宽、高分别除以正方体的棱长，结果取整数部分，最后三个整数相乘求出最多能装小礼品盒的数量，据此解答。 【详解】2分米＝20厘米 80÷20＝4（个） 70÷20≈3（个） 40÷20＝2（个） 4×3×2 ＝12×2 ＝24（个） 所以，最多能放24个。 故答案为：B 7．爸爸带乐乐和天天一起去海边捡贝壳，乐乐捡到一个海螺，天天捡到一个海星，他们想要比一比谁的体积大，于是他们做了如图的实验，体积较大的是（    ）。 A．海螺 B．海星 C．一样大 D．无法比较 【答案】A 【分析】放入海螺后，水面从6上升到9.8，则海螺使水面上升的高度为9.8－6＝3.8。放入海星后，水面从9.8上升到13.5，则海星使水面上升的高度为13.5－9.8＝3.7。因为是同一个长方体容器，底面积相同，根据V＝S×h（V是体积，S是底面积，h是高），在S相同的情况下，h越大，体积越大。 【详解】9.8－6＝3.8 13.5－9.8＝3.7 3.8＞3.7 所以体积较大的是海螺。 故答案为：A 8．把3个大小相同的小正方体拼成一个高15cm的大长方体（如下图），表面积之和就减少了100cm2。原来1个小正方体的体积是（    ）cm3。 A．375 B．250 C．75 D．125 【答案】D 【分析】根据题意，3个大小相同的小正方体拼成一个高15cm的大长方体，那么小正方体的棱长是（15÷3）cm；根据正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算，求出1个小正方体的体积。 【详解】小正方体的棱长：15÷3＝5（cm） 小正方体的体积：5×5×5＝125（cm3） 原来1个小正方体的体积是125cm3。 故答案为：D 二、填空题（每题3分，共30分） 9．中国素有“礼仪之邦”之称给客人倒茶不能倒满。往容量为100毫升的杯子里倒茶时，应倒70~80毫升。一壶1.5升的茶水，最少可以倒( )杯。 【答案】18 【分析】1升＝1000毫升，先将1.5升的茶水单位换算成毫升，茶杯中应倒70~80毫升，问最少可以倒几杯，也就是按每杯最多倒80毫升计算，也就是求1500毫升中有几个80毫升，用1500除以80，去尾取整数即可。 【详解】1.5升＝1500毫升 1500÷80≈18（杯） 所以最少可以倒18杯。 10．一个完全没有开口的长方体纸盒，用剪刀至少剪开( )条边，就可以把它平铺在桌面上。 【答案】 7 【分析】根据题意，一个完全没有开口的长方体纸盒有6个面和12条棱，要将其平铺在桌面上，需要剪开足够的棱，使得剩余未剪开的棱能连接所有面，即6个面；根据数学原理，连接6个面至少需要5条棱，因此至少需要剪开12-5＝7条棱，据此填空。 【详解】根据分析可得： 12－5＝7（条） 所以至少需要剪开7条边才能把它平铺在桌面上。 【点睛】本题考查长方体的展开图知识，需要熟练掌握长方体的基本特征：长方体右6个面12条棱，是解题的关键。 11．至少需要( )个小正方体才能拼成一个大正方体，若一个小正方体的棱长是2厘米，这个大正方体的体积是( )，将它们拼成长方体，长方体的表面积可能是( )平方厘米或( )平方厘米。 【答案】 8 64立方厘米/64 136 112 【分析】第一问要求拼成一个大正方体所需的最小小正方体数量。大正方体由小正方体堆砌而成，每条棱上小正方体的个数相同，至少需要2个小正方体拼棱，因此总数为23＝8。 第二问给定小正方体棱长2厘米，大正方体棱长为2×2＝4（厘米），体积为4³＝64（立方厘米）。 第三问和第四问要求用8个小正方体拼成长方体（非正方体）的可能表面积。8个小正方体拼成长方体有两种常见拼法（1×1×8和1×2×4），根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据分别计算表面积得136平方厘米和112平方厘米。 【详解】2×2×2 ＝4×2 ＝8（个） 即至少需要8个小正方体才能拼成一个大正方体； 2×2＝4（厘米） 4×4×4 ＝16×4 ＝64（立方厘米） 即若一个小正方体的棱长是2厘米，这个大正方体的体积是64立方厘米； 拼法一：将8个小正方体排成一行，长方体的长、宽、高分别为16厘米、2厘米、2厘米。 （16×2＋16×2＋2×2）×2 ＝（32＋32＋4）×2 ＝（64＋4）×2 ＝68×2 ＝136（平方厘米） 拼法二：将8个小正方体排成一层，每行4个，排2行，长方体的长、宽、高分别为8厘米、4厘米、2厘米。 （8×4＋8×2＋4×2）×2 ＝（32＋16＋8）×2 ＝（48＋8）×2 ＝56×2 ＝112（平方厘米） 即将它们拼成长方体，长方体的表面积可能是136平方厘米或112平方厘米。 至少需要8个小正方体才能拼成一个大正方体，若一个小正方体的棱长是2厘米，这个大正方体的体积是64立方厘米，将它们拼成长方体，长方体的表面积可能是136平方厘米或112平方厘米。 【点睛】解题关键在于明确拼成大正方体时，小正方体个数与棱长的关系（至少8个小正方体拼成大正方体，大正方体棱长是小正方体棱长的2倍），据此算出大正方体体积；对于拼成长方体，要考虑两种拼法（8×1×1和4×2×1排列），分别算出表面积。 12．一个长方体的长宽高都扩大到原来的3倍，表面积扩大到原来的( )倍，若将它的长扩大到原来的2倍，宽也扩大到原来的2倍，高扩大到原来的3倍，则它的体积扩大到原来的( )倍。 【答案】 9 12 【分析】利用长方体表面积和体积公式的应用，通过设出原长方体的长、宽、高分别为a、b、c，分别计算出变化前后的表面积和体积，再进行比较得出倍数关系。 【详解】①设原长方体的长、宽、高分别为a、b、c，原表面积S1＝（ab＋bc＋ac）×2 长宽高都扩大到原来的3倍后，长、宽、高变为3a、3b、3c， 新表面积S2＝（3a×3b＋3b×3c＋3a×3c）×2 ＝（9ab＋9bc＋9ac）×2 ＝9×（ab＋bc＋ac）×2 ＝9S1 一个长方体的长宽高都扩大到原来的3倍，表面积扩大到原来的9倍。 ②设原长方体的长、宽、高分别为a、b、c，原体积V1＝abc。 变化后长、宽、高变为2a、2b、3c， 新体积V2＝2a×2b×3c ＝2×2×3×abc ＝12abc ＝12V1 若将它的长扩大到原来的2倍，宽也扩大到原来的2倍，高扩大到原来的3倍，则它的体积扩大到原来的12倍。 13．下图是一根长方体木料，( )根这样的木料叠放起来才够1方（1方＝1立方米）。 【答案】20 【分析】根据1平方米＝100平方分米，把2.5平方分米换算成用平方米作单位的数；根据（即横截面面积×长），代入数据算出一根长方体木料的体积，然后用1立方米除以一根长方体木料的体积，即可得解。 【详解】2.5平方分米＝0.025平方米 0.025×2＝0.05（立方米） 1÷0.05＝20（根） 题图是一根长方体木料，20根这样的木料叠放起来才够1方。 14．把9个同样的正方体拼成一个长方体（如图），表面积减少了216dm2，这个长方体的表面积是( )dm2，体积是( )dm3。 【答案】 270 243 【分析】通过观察图形可知，把9个同样的正方体拼成一个长方体，表面积减少了216dm2，表面积减少的是小正方体的24个面的面积，据此可以求出小正方体的一个面的面积，根据正方体的表面积＝一个面的面积×6，用9个小正方体的表面积和减去216平方分米即可求出这个长方体的表面积，再根据正方形的面积公式：S＝a2，可以求出小正方体的棱长，然后根据正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式求出9个这样的小正方体的体积和就是这个长方体的体积。 【详解】表面积减少的是小正方体的24个面的面积。 216÷24＝9（dm2） 9×6×9－216 ＝54×9－216 ＝486－216 ＝270（dm2） 因为3×3＝9（dm2），所以小正方体的棱长是3dm。 3×3×3×9 ＝27×9 ＝243（dm3） 这个长方体的表面积是270dm2，体积是243dm3。 15．一个长方体木块，长12厘米、宽8厘米、高6厘米，若将其切割成棱长为2厘米的小正方体（无剩余）。最多能切出( )个小正方体；这些小正方体的表面积之和比原长方体多( )平方厘米（切割损耗不计）。 【答案】 72 1296 【分析】因为切割后无剩余，所以长方体的体积和所有小正方体的体积之和相等。根据长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长。先求出长方体的体积和小正方体的体积，再用长方体体积除以小正方体体积可以算出最多能切出多少个小正方体。 根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体表面积＝棱长×棱长×6，用所有小正方体的表面积之和减去长方体表面积即可。 【详解】（12×8×6）÷（2×2×2） ＝576÷8 ＝72（个） 2×2×6×72−（12×8＋12×6＋8×6）×2 ＝2×2×6×72−（96＋72＋48）×2 ＝2×2×6×72−216×2 ＝1728－432 ＝1296（平方厘米） 综上可知，最多能切出72个小正方体；这些小正方体的表面积之和比原长方体多1296平方厘米。 16．如图是一个长方体的展开图，①和③都是正方形，①的面积是，②的面积是，长方体的表面积是( )，体积是( )。 【答案】 112 80 【分析】因为①是正方形，面积是16cm2，正方形面积等于边长乘边长，16＝4×4，所以正方形的边长是4cm，也就是长方体的宽和高都是4cm。②是长方形，面积是20cm2，长方形的一条边是4cm，长方形面积等于长乘宽，所以另一条边（长方体的长）是20÷4＝5cm。 长方体表面积公式为：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；长方体体积公式为：体积＝长×宽×高，把长5cm，宽4cm，高4cm，分别代入公式计算即可。 【详解】16＝4×4 20÷4＝5（cm） 长方体长为5cm，宽为4cm，高为4cm。 （5×4＋5×4＋4×4）×2 ＝（20＋20＋16）×2 ＝（40＋16）×2 ＝56×2 ＝112（cm2） 5×4×4＝80（cm3） 长方体的表面积是112cm2，体积是80cm3。 17．下图摆放着若干个小正方体，1个小正方体有5个面露在外面，3个小正方体摞在一起有____个面露在外面，5个小正方体摞在一起有____个面露在外面。 【答案】 13 21 【分析】①3个小正方体摞在一起时，下面的2个小正方体的4个侧面均露在外面，最上面的正方体4个侧面和顶面都露在外面，加在一起即可； ②5个小正方体摞在一起时，下面的4个小正方体的4个侧面均露在外面，最上面的正方体4个侧面和顶面都露在外面，加在一起即可； 【详解】①（个） 3个小正方体摞在一起有13个面露在外面； ②（个） 5个小正方体摞在一起有21个面露在外面。 18．一个水槽，从里面量长是40厘米，宽是25厘米，高是30厘米，水面高度是20厘米，底部排水口每分钟排水4升，需要( )分钟才能把水排空。 【答案】5 【分析】先根据长方体的体积＝长×宽×高求出水的体积，再根据1升＝1000立方厘米把单位换算成升，最后用水的体积除以每分钟排出的水的体积即可解答。 【详解】40×25×20 ＝1000×20 ＝20000（立方厘米） 20000立方厘米＝20升 20÷4＝5（分） 一个水槽，从里面量长是40厘米，宽是25厘米，高是30厘米，水面高度是20厘米，底部排水口每分钟排水4升，需要5分钟才能把水排空。 三、判断题（每题2分，共10分） 19．长方体和正方体都有6个顶点和6个面。( ) 【答案】× 【分析】长方体有8个顶点和6个面，且相对的面完全一样，正方体是特殊的长方体，长方体有的特征正方体都具备，正方体6个面都完全一样，据此分析。 【详解】 如图，长方体和正方体都有8个顶点和6个面，所以原题说法错误。 故答案为：× 20．有两个相对的面是正方形的长方体一定是正方体。( ) 【答案】× 【分析】根据长方体的特征，它的6个面一般情况下是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），相对的面的面积相等；如果一个长方体有两个相对的面是正方形，也就是这个长方体的高和宽相等，那么它的另外4个面是完全相同的长方形，由此解答。 【详解】有两个相对的面是正方形的长方体一定是正方体，说法错误。 故答案为：×。 【点睛】本题考查长方体，解答本题的关键是掌握长方体表面的特征。 21．把一个长2m、宽1.5m、高3m的纸箱放在地面上，它最多占地6m2。( ) 【答案】√ 【分析】根据长方体的特征得知，长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形。 求纸箱的最大占地面积，就是长方体的最大面的面积，根据长方形的面积公式S＝ab，分别求出三组面的面积，再比较大小即可。 【详解】2×1.5＝3（m2） 2×3＝6（m2） 1.5×3＝4.5（m2） 6＞4.5＞3 它最多占地6m2。 原题说法正确。 故答案为：√ 22．将两个棱长为3分米的正方体拼成一个长方体，表面积减少18平方分米。( ) 【答案】√ 【分析】把两个完全一样的正方体拼成一个长方体后，表面积由原来的12个正方形的面积之和变为10个正方形的面积之和，所以表面积减少的面积相当于两个小正方形的面积，据此解答。 【详解】3×3×2 ＝9×2 ＝18（平方分米） 将两个棱长为3分米的正方形拼成一个长方体，表面积减少18平方分米，题意表述正确。 故答案为：√ 23．将一个长方体切成两个同样大小的长方体，每个小长方体的表面积和体积都是原长方体表面积和体积的一半。( ) 【答案】× 【分析】两个小长方体的体积相加，等于原来大长方体的体积。但，将原来大长方体切成两个小长方体后，小长方体表面积之和增加了两个切面的面积。据此解题。 【详解】将一个长方体切成两个同样大小的长方体，每个小长方体的体积是原长方体体积的一半。但，每个小长方体的表面积比原长方体的表面积的一半还多了一个切面的面积。 故答案为：× 四、计算题（共12分） 24．计算长方体表面积、正方体体积。 【答案】长方体的表面积202；正方体的体积343 【分析】根据长方体的表面积公式S＝2（ab＋ah＋bh），正方体的体积公式V＝a3，代入数据计算即可求解。 【详解】（9×4＋9×5＋4×5）×2 ＝（36＋45＋20）×2 ＝101×2 ＝202 7×7×7 ＝49×7 ＝343 长方体的表面积是202，正方体的体积是343。 25．计算下列图形的表面积和体积。（单位：dm） 【答案】2532dm2，6688dm3；150dm2，113dm3 【分析】第一个组合体，通过平移，表面积＝完整的大长方体表面积＋小长方体前后左右4个面的面积和，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，小长方体4个面的面积和＝（长×高＋宽×高）×2；体积＝大长方体体积＋小长方体体积，长方体体积＝长×宽×高； 第二个组合体，挖去一个长方体，减少了3个面，又出现了同样的3个面，因此表面积＝完整的正方体表面积，正方体表面积＝棱长×棱长×6；体积＝正方体体积－长方体体积，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，长方体体积＝长×宽×高，据此列式计算。 【详解】第一个组合体： 表面积：（37×16＋37×10＋16×10）×2＋（16×6＋8×6）×2 ＝（592＋370＋160）×2＋（96＋48）×2 ＝1122×2＋144×2 ＝2244＋288 ＝2532（dm2） 体积：37×16×10＝5920（dm3） 16×8×6＝768（dm3） 5920＋768＝6688（dm3） 第二个组合体： 表面积：5×5×6＝150（dm2） 体积：5×5×5－2×2×3 ＝125－12 ＝113（dm3） 第一个组合体的表面积是2532dm2，体积是5920dm3；第二个组合体的表面积是150dm2，体积是113dm3。 五、解答题（共36分） 26．一根长方体铜条的体积是60立方厘米，其横截面的面积是5平方厘米，这根铜条的长是多少？ 【答案】12厘米 【分析】根据长方体体积＝横截面的面积×长，可得这根铜条的长＝体积÷横截面的面积，据此列式解答。 【详解】60÷5＝12（厘米） 答：这根铜条的长是12厘米。 27．一个长方体的表面积是158平方厘米，底面积是24平方厘米，底面周长是22厘米。这个长方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】120立方厘米 【分析】长方体表面积＝2个底面积＋4个侧面的面积。已知表面积为158平方厘米，底面积为24平方厘米，所以4个侧面的总面积为：158－24×2＝158－48＝110平方厘米。长方体的4个侧面可看作一个“长方形”，这个长方形的长＝底面周长，即22厘米，宽＝长方体的高，其面积就是侧面积总和。根据“长方形面积＝长×宽”，所以宽（即长方体的高）为：110÷22＝5厘米。长方体体积公式为：体积＝底面积×高，已知底面积24平方厘米，高5厘米，把数据代入计算即可。 【详解】158－24×2 ＝158－48 ＝110（平方厘米） 110÷22＝5（厘米） 24×5＝120（立方厘米） 答：这个长方体的体积是120立方厘米。 28．学校要粉刷会议室（地面除外），已知会议室长20米，宽12.5米，高3米，扣除门窗的面积30平方米。如果每平方米需要4元涂料费，粉刷这间会议室需要花费多少元？这个会议室占多大的空间？ 【答案】1660元；750立方米 【分析】根据题意，要粉刷会议室（地面除外），即粉刷的是长方体的上面、前后面、左右面共5个面；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和，再减去门窗的面积，就是需粉刷的面积；最后用每平方米的涂料费乘粉刷的面积即可求出粉刷这间会议室需要的钱数。 根据长方体的体积＝长×宽×高，求出这个会议室所占空间的大小。 【详解】20×12.5＋20×3×2＋12.5×3×2 ＝250＋120＋75 ＝445（平方米） 445－30＝415（平方米） 4×415＝1660（元） 20×12.5×3＝750（立方米） 答：粉刷这间会议室需要花费1660元。这个会议室占750立方米大的空间。 29．仓库里有一些角铁，长度和根数如下表。王叔叔从中选出一些，正好可以直接焊接成一个长方体框架。如果王叔叔想利用这个长方体框架贴上玻璃做一个无盖的鱼缸，至少需要多少玻璃？ 角铁的长度 根数 9分米 3 6分米 8 4分米 5 【答案】132平方分米 【分析】根据长方体的特征，长、宽、高分别有4条，所以要想做成一个长方体框架，要选择4根4分米角铁、8根6分米角铁。要使无盖的鱼缸的表面积最少，则底面的面积尽可能大，所以长、宽分别是6分米，高是4分米；根据无盖的表面积公式：S＝ab＋2ah＋2bh，代入数据解答。 【详解】选6分米的角铁8根，4分米的角铁4根。 长方体框架长：6分米，宽：6分米，高：4分米 6×4×4＋6×6 ＝96＋36 ＝132（平方分米） 答：至少需要132平方分米玻璃。 30．在科学实验室里，有一个水深24厘米的长方体水箱B，还有一个空的长方体水箱A。水箱A长15厘米、宽10厘米，水箱B长30厘米、宽15厘米。为了做对比实验，实验员要把水箱B中的水倒一部分到水箱A中，使两个水箱的水深度相同，此时水箱里的水深是多少呢？ 【答案】18厘米 【分析】先根据“”求出水箱里面水的体积，倒入水后，把两个水箱里面的水看作两个长方体，由“”可知“”，两个水箱的水深度相同，所以水箱里的水深＝水的体积÷（水箱A的底面积＋水箱B的底面积），据此解答。 【详解】水的体积：30×15×24 ＝450×24 ＝10800（立方厘米） 水箱里水的深度：10800÷（15×10＋30×15） ＝10800÷（150＋450） ＝10800÷600 ＝18（厘米） 答：此时水箱里的水深是18厘米。 31．小王同学想知道一个瓶子的容积，他先把这个瓶子装满水，然后将水倒入一个从里面量长20厘米，宽10厘米，高9厘米的长方体透明箱子，这时他测量水面的高度是4厘米，请问这个瓶子的容积是多少毫升？ 【答案】800毫升 【分析】瓶子装满水，水的体积等于瓶子容积；将水倒入长方体箱子后，水的形状为长方体，体积可通过长方体体积公式计算。根据长方体体积公式：V＝a×b×h（a为长，b为宽，h为高），长方体箱子长为20厘米，宽为10厘米，水面高度为4厘米。把数据代入公式计算即可。 【详解】20×10×4＝800（立方厘米） 800立方厘米＝800毫升 答：这个瓶子的容积是800毫升。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $