专题06 解析几何（5大考点）（广东专用）2026年高考数学二模分类汇编

专题06 解析几何 5大考点概览 考点01直线方程与圆的方程的应用 考点02离心率问题 考点03椭圆、双曲线及抛物线的性质及应用 考点04二次曲线方轨迹程的探究应用问题 考点05 解析几何的解答题综合 ( 直线方程与圆的方程的应用 考点 1 ) 1．（2026·广东江门·二模）若直线，的倾斜角分别为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，直线的斜率， 所以直线的斜率. 2．（2026·广东肇庆·二模）直线与圆相交于两点，则“”是“的面积为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据三角形面积公式求得，得，由点到直线的距离公式列出方程，求得的值，即可判断. 【详解】因为，所以， 即，所以圆心到直线的距离，即，解得，所以“”是“的面积为”的充分不必要条件. 3．（2026·广东揭阳·二模）若点关于动直线l：的对称点为N，则点N的轨迹为（   ） A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 【答案】A 【分析】先求出直线l过定点，再利用对称性得，最后根据圆的定义即可判断. 【详解】由直线l：， 令，解得， 则直线l（不包含直线）过定点， 由对称性可知，，即点N到定点的距离为， 又直线l不包含直线， 所以点关于直线的对称点不在点N的轨迹中， 则N的轨迹是以为圆心，为半径的圆（去掉点），因此，点N的轨迹为圆的一部分. 4．（2026·广东佛山·二模）设直线与圆交于两点，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】由圆，即，则圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 所以. 5．（2026·广东肇庆·二模）已知直线与圆交于两点，当的面积最大时，点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方法一：由三角形面积公式可得当时，的面积达到最大，进而可得圆心到直线的距离，即可得解；方法二：利用弦心距公式求出弦长，得出面积的表达式，得出最大值，从而得出答案；方法三：利用点到直线的距离公式和弦长公式可以求出的面积是关于的一个式子，得出最大值，从而得出答案. 【详解】方法一： 因为， 所以当，即时，的面积最大， 此时是等腰直角三角形， 点到直线的距离为． 方法二： 设点到直线的距离为， 则， 因为与圆相交，且不经过点，所以， 所以当时，取最大值，即取最大值， 此时， 即点到直线的距离为． 方法三： 设点到直线的距离为． 则， 联立 化简，得， 则， 因为， 所以， 当时，取最大值，即取最大值， 此时． 故选：D 6．（2026·广东广州·二模）已知点在圆上，点，当最大时，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】数形结合确定当最大时点位置，即可利用两角和的余弦公式求值. 【详解】设圆的圆心为，则，半径， 过作圆的切线，设交点为，如图， 由图可知，当与圆相切，且点在第四象限时，最大， 因为，所以, 又，所以, 所以. 7．（2026·广东清远·二模）（多选）已知方向向量为的直线与圆相切，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由题意可得直线的斜率， 设直线方程为， 因为直线与圆相切，所以， 所以直线的方程为或. 8．（2026·广东广州·二模）已知圆，若直线上至少存在一点，使得圆上恰有两个点与点的距离都为2，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【分析】求出圆的圆心和半径，由已知可得以点为圆心，2为半径的圆与圆相交，并求出的范围，再结合圆的性质建立不等式求解. 【详解】圆的圆心，半径， 由圆上恰有两个点与点的距离都为2，得以点为圆心，2为半径的圆与圆相交， 则，即，令圆心到直线的距离为， 于是直线上任意点到圆心距离都不小于，又直线上至少存在一点， 使得圆上恰有两个点与点的距离都为2，因此，即，解得， 所以实数的取值范围是. 9．（2026·广东惠州·二模）直线与轴交于点，与轴交于点，与交于C、D两点，，则__________． 【答案】 【详解】令，得，即, 令，得，即, 圆心，，所以，直线经过圆心， , 所以,. ( 离心率问题 考点 2 ) 10．（2026·广东湛江·二模）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点在上满足，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 由椭圆定义得，解得， 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 所以的离心率. 11．（2026·广东东莞·二模）椭圆的左、右焦点为为坐标原点，为椭圆上一点，，且成等比数列，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆的定义得，再结合成等比数列得，再用坐标表示焦半径并结合可得. 【详解】设椭圆半焦距为，，左右焦点. 由椭圆的定义得：，因为成等比数列， 故，即，得： . 对两边平方：代入 整理得：①，由，得. 所以②， 联立①②得：，，即，因此，. 所以椭圆的离心率为. 12．（2026·广东广州·二模）已知分别为双曲线的左、右焦点，点在的渐近线上，且满足，则的离心率为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】由题设，结合且，应用二倍角正切公式、双曲线离心率求法求解. 【详解】点在的渐近线上，且满足， 所以在中，而，则， 所以， 又双曲线的渐近线方程为， 所以，所以离心率. 13．（2026·广东江门·二模）若的中线，且，，，在平面直角坐标系中，点在双曲线上，则的离心率为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用余弦定理建立方程并求得双曲线，进而求出离心率. 【详解】在中，，， 由余弦定理得，则， 整理得，由点在双曲线上，得双曲线的方程为， 所以双曲线的离心率. 14．（2026·广东深圳·二模）双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，点是上一点，，则的离心率为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】通过已知数据确定轴，再由双曲线定义，列出关系式即可求解. 【详解】由， 则在中，， 则，则轴， 于是，由于， 则，所以. 15．（2026·广东茂名·二模）已知椭圆C：（）的右顶点为A，上顶点为B，直线AB与以C的短轴为直径的圆交于点P（不同于B），若△POB（O为原点）为正三角形，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆标准方程得出的坐标，进而得到直线的方程，结合题干写出圆的方程，利用正三角形的性质求出点的坐标，将的坐标代入直线的方程，得到与的关系式，进而求解离心率. 【详解】如图所示，椭圆中，右顶点，上顶点， 直线的截距式方程为：， 以短轴为直径的圆的圆心在原点，半径为，方程为， 为正三角形，，结合在第一象限，可得点坐标为， 将的坐标代入直线方程可得， 化简得：， 因为椭圆离心率，且， 所以，解得. 16．（2026·广东深圳·二模）已知，为椭圆与双曲线的公共左，右焦点，为它们的一个公共点，且，O为坐标原点，，分别为椭圆和双曲线的离心率，则的最大值为_________． 【答案】 【分析】由题意可知，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知，由勾股定理可得三边关系，由离心率的定义可得，再利用向量法即可求出最大值. 【详解】由题意可设椭圆和双曲线的方程分别为， 因为二者共焦点，所以， 如图，设，由椭圆和双曲线的定义可知， 由此解得，由题意知， 所以， 故在中，由勾股定理可知，代入的表达式可得， 由离心率的定义可得，设，则， 所以问题转化为求的最大值， 设，由可得， 当且仅当两向量同向共线时即取等号，所以的最大值为. ( 椭圆、双曲线及抛物线的性质与应用 考点 3 ) 17．（2026·广东肇庆·二模）双曲线与双曲线的（    ） A．顶点相同 B．焦点相同 C．虚轴长相等 D．离心率相等 【答案】B 【分析】由题意确定的范围，进而逐项判断即可. 【详解】由表示双曲线， 得，得，所以焦点在轴上， 又， 所以顶点坐标，焦点坐标，虚轴长，离心率， 双曲线的顶点坐标，焦点坐标，虚轴长，离心率， 因此两个双曲线具有相同的焦点，其他选项均不能确定满足. 18．（2026·广东肇庆·二模）已知双曲线的离心率为2，则其渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据离心率求出，进而可得渐近线方程. 【详解】由题意知，，即， 因为， 所以， 所以该双曲线的渐近线方程为． 故选：D 19．（2026·广东惠州·二模）已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为3，则的面积为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先利用抛物线得到焦点坐标，再通过抛物线的定义得到点的横坐标，进而求出纵坐标，最后利用三角形的面积公式算出答案 【详解】由可得焦点坐标为， 所以，所以代入抛物线可得， 因此的面积为. 20．（2026·广东佛山·二模）（多选）在平面直角坐标系中，斜率为1的直线l交抛物线于，两点，交x轴于点（），则（   ） A． B． C．的等差中项是2 D．m是，的等比中项 【答案】ACD 【分析】联立直线与抛物线，结合韦达定理，由弦长公式可得A；令可得B错误；结合等差中项和等比中项的概念由韦达定理可判断CD. 【详解】直线的方程为， 联立消去可得， 则，， 对于A，由得， ，故A正确； 对于B，， 令可得，此时，故B错误； 对于C，由可得的等差中项是2，故C正确； 对于D，由可得m是，的等比中项，故D正确. 21．（2026·广东肇庆·二模）（多选）已知椭圆为的右焦点，点在上，且关于轴对称，分别为线段的中点，为坐标原点，则（    ） A． B．的最小值为 C． D．存在点，使得 【答案】BCD 【分析】设的左焦点为，利用对称性，如，，取具体的点验证是否有判断A，利用椭圆上点到焦点距离的最值判断B，结合椭圆定义判断C，设，由求出判断D. 【详解】对于选项A，由题意得，如图，设的左焦点为，连接，由的对称性知且，则，由，取点，得，故A错误； 对于选项B，因为为线段的中点，所以，因为的最小值为，所以的最小值为，即，故B正确； 对于选项C，因为分别为线段的中点，所以，由椭圆的定义知，故C正确； 对于选项D，设，则，且，由，得，所以.，若，则，此时，故存在点，使得，故D正确. 22．（2026·广东佛山·二模）（多选）已知为坐标原点，双曲线的左右焦点分别为，点在上，直线为的内角平分线，过作于点，则（   ） A．当轴时，点在直线上 B．当轴时，点在轴上 C．点在圆上 D．直线与双曲线的公共点只有1个 【答案】BCD 【分析】由双曲线的光学性质可知，点处的切线平分，对A、B，写出直线方程代入求解即可；对C，求出是的中位线，再利用双曲线的定义求解即可；对D，利用双曲线的几何性质判断即可 【详解】由双曲线的光学性质可知，点处的切线平分，因此直线即为双曲线在点处的切线 对A，当轴时，不妨设点坐标为 双曲线在点的切线（即角平分线）方程为：， 将原点代入方程得，因此点不在直线l上，故A错误 对B，求得的方程为，，，的方程为， 联立得交点，横坐标为0，故在轴上，B正确 对C，延长交于，因为是角平分线且， 所以是等腰三角形，，是中点， 又是中点，是的中位线， 因此： 即， 故在圆上，C正确 对D，因为直线 即为双曲线在点处的切线，所以直线与双曲线的公共点只有1个，D正确 23．（2026·广东茂名·二模）双曲线的焦距为______． 【答案】4 【详解】双曲线，，， ，， 焦距为. 24．（2026·广东江门·二模）若椭圆的焦点在轴上，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】由条件结合椭圆方程的特征列不等式求的范围即可. 【详解】由椭圆方程的特征可知， 所以方程，可化为， 因为的焦点在轴上，所以， 所以， 故的取值范围是. 25．（2026·广东东莞·二模）已知抛物线的焦点为，点在上.若，则到轴的距离为__________. 【答案】1 【分析】首先求出抛物线的准线方程，利用抛物线定义得到点到准线的距离，计算到轴的距离. 【详解】抛物线的准线方程为， 点在上.若， 设，所以点到准线的距离为， 即，， 到轴的距离为. 26．（2026·广东揭阳·二模）已知点在抛物线上，若点P到点的距离与点到抛物线的准线的距离相等，则______. 【答案】4 【详解】由抛物线，则焦点，准线方程为， 因为点P到点的距离与点P到抛物线C的准线的距离相等， 结合抛物线的定义可得， 则点在线段的垂直平分线上，而，，则点的横坐标为3， 所以. 27．（2026·广东湛江·二模）已知抛物线：，点，，点在上运动，则面积的最小值为______. 【答案】1 【分析】由题意可得直线的方程，设点坐标为，求解到直线的距离，再求的最小值即可求解. 【详解】由题意直线的方程为，. 设点坐标为（）， 则到直线的距离为， 当且仅当时取等号，此时. 于是面积的最小值为. 28．（2026·广东广州·二模）已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则的渐近线为__________. 【答案】 【详解】由双曲线方程为，知：双曲线的实轴长为，虚轴长为， 由题意得：，解得， 双曲线的渐近线方程为， 因此，的渐近线为. 29．（2026·广东佛山·二模）已知，分别为双曲线的左、右焦点，A，B两点均在双曲线H上，且满足（），，则的内切圆半径为______. 【答案】 【分析】首先根据向量的线性关系判断出的位置，设，根据双曲线的定义得到，在中，由余弦定理得到的一个关系式，根据的面积相等得到一个关于内切圆半径的方程，进而求解. 【详解】因为（），所以三点共线，且位于之间， 所以均在双曲线的右支上，如图： 所以, 设，则， 在中，由余弦定理得， 即， 展开并化简得. 因为，所以， 所以 . 设的内切圆半径为r，则 ， 由等面积法可得，解得. 30．（2026·广东佛山·二模）已知为坐标原点，椭圆与抛物线有共同的焦点，且在第一象限相交于点，若，则___________． 【答案】 【分析】联立曲线方程，求得，然后将代入得出，化简整理即可求解. 【详解】设椭圆的右焦点为，依题意可得， 因为， 由，解得，即， 所以，即，即， 所以，解得， 所以. ( 二次曲线方轨迹程的探究应用问题 考点 4 ) 31．（2026·广东惠州·二模）（多选）已知点在曲线上，，则（    ） A．点不可能在第三象限 B．点可能在直线上 C．当点在第一象限时，的最小值为 D．当直线与曲线有两个交点时，的取值范围为 【答案】AC 【分析】当时，可得曲线的方程，分析可判断A的正误；将与曲线联立，分析可判断B的正误；当点在第一象限时，可得点的方程，根据椭圆的定义，分析求解，可判断C的正误；分别求出曲线在各个象限内的方程，联立求解，结合双曲线的渐近线的性质，分析可判断D的正误. 【详解】选项A：当时，方程为，即，无实数根，故A正确； 选项B：若点在直线上，则， 与曲线W联立得，整理得，无实数根，故B错误； 选项C：当时，方程为，整理得， 则，所以， 则点A为左焦点，设右焦点为F， 由椭圆的定义可得，则， 所以， 当且仅当三点共线时取等号，故C正确； 选项D：当时，方程为， 与联立，得， 由判别式，解得， 当时，，解得，不符合题意，（舍去） 当时，，解得，，符合题意； 所以当直线与曲线在第一象限有两个交点时，； 当时，方程为，渐近线方程为，（舍去） 当时，方程为，渐近线方程为，（舍去）， 综上，若要直线与曲线有两个交点，的取值范围为，故D错误. 32．（2026·广东·二模）（多选）某市以“渤海湾畔､生态宜居”为发展理念，将“生态渤海”融入城市脉络，一位数学爱好者设计了“渤海明珠”曲线，其方程为．对于曲线，则下列结论正确的是（    ） A．若直线与曲线有唯一公共点，则取值范围为 B．曲线上存在唯一的点，使得点到点与到点的距离之差为4 C．曲线所围成的封闭区域面积等于 D．若曲线上恰好存在4个不同点到直线的距离为，则实数的取值范围为 【答案】BC 【分析】先根据方程分象限讨论曲线的方程，其图形是四个圆的一部分圆弧组成图形，根据直线与圆的相交相切关系可判断AD，根据双曲线的定义可判断B，根据弧长公式及扇形面积公式可判断C，进而可得结果. 【详解】因为曲线：，分象限讨论： 当时，方程为，即，其表示以为圆心，以为半径的圆的第一象限部分； 当时，方程为，即，其表示以为圆心，以为半径的圆的第二象限部分； 当时，方程为，即，其表示以为圆心，以为半径的圆的第三象限部分； 当时，方程为，即，其表示以为圆心，以为半径的圆的第四象限部分； 如图： 曲线C由四段圆弧组成，关于x轴、y轴、原点对称. 对于A，直线过原点，所以直线必和曲线C有一个交点， 再以第一象限为例，圆心到直线的距离， 化简得，即当时直线与圆相切，同理可分析其它各个象限， 所以当时，直线与曲线有唯一公共点， 当或时，直线与曲线有3个公共点，如图：故A错误； 对于B，因为点到点与到点的距离之差为4， 所以点在以，为焦点，以实轴长为4的双曲线的下支上，方程为， 显然双曲线的一个实顶点在曲线C上且只有这一个点，所以B正确； 对于C，先计算第一象限部分的弓形弧的面积，扇形弦长为2，半径为， 所以扇形的圆心角为，所以第一象限部分的弓形的面积， 所以曲线所围成的封闭区域面积等于，故C正确； 对于D，由A选项的分析可知，与直线平行且与曲线C相切的两条直线为， 而这两条切线间的距离为. 当直线与切线的距离为时，则，解得或（舍去）； 当直线与切线的距离为时，则，解得或（舍去）； 当直线与切线的距离为时，则，解得或； 因为曲线上恰好存在4个不同点到直线的距离为， 由图可得实数的取值范围为，D错误. ( 解析几何的解答题综合 考点 ) 33．（2026·广东佛山·二模）椭圆的光学性质是：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.已知椭圆（）的左顶点为，点在E上，且在x轴的上方，从E的左焦点发出的光线，经过E反射后，交E于点.按照如下方式依次构造点和（）：光线经过E反射后，交E于点；光线经过E反射后，交E于点. (1)求E的方程； (2)设直线的斜率为，求证：数列是等比数列，并求出其公比； (3)求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)数列是等比数列，公比为 (3)直线恒过定点 【分析】（1）根据的关系即可求出； （2）设，直线的方程为，联立得到，再求直线的斜率之积，设直线的斜率为，求出即可证明； （3）直线的方程为，根据（2）的结论求出即可证明. 【详解】（1）由题意得，， 故E的方程为. （2）设，直线的方程为， 由，消去，整理得， ， 直线的斜率之积为 ， 设直线的斜率为，依题意可知均存在且不为零， 由经过E的右焦点，知①， 由经过E的左焦点，知②， ②①得，故数列是等比数列，公比为. （3）直线的方程为，由（2）知， 故，解得， 故直线恒过定点. 34．（2026·广东茂名·二模）已知，M是抛物线与的公共点，O为坐标原点，． (1)求p的值； (2)（在最左侧）是上不同于M的三点，直线与相切，切点分别为，点为的重心． （ⅰ）证明：在轴上，且； （ⅱ）若，求的值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析（ⅱ）8 【分析】（1）设，根据题意，联立方程组，求得，结合，即可求得的值； （2）（ⅰ）设，求得直线方程，与的方程组，求得，同理可得，进而得到，，求得，结合函数的性质，即可得证； （ⅱ）由（ⅰ）得到和，求得和，化简，列出方程，求得，结合，得到，得出，设点到直线的距离为，结合重心的性质，求得点到直线的距离，即可求解. 【详解】（1）设，其中，， 因为M是抛物线：与：的公共点， 可得，解得，则， 又因为，所以， 则，可得， 因为，可得； （2）（ⅰ）证明：由（1）知，， 设，，， 因为， 所以直线方程为， 联立直线与的方程，消去x得，，① 因为直线与相切，所以由，可得， 同理，所以，为关于x的方程的两根， 故，，即，，② 设的重心，则，所以G点在y轴上， 而， 因为点P在最左侧，由②知：，且，否则， 则，，从而，矛盾； 设，，则在区间上单调递减， 故，则． （ⅱ）由，即的面积是的面积的4倍， 由①②知，，同理， 则， ， 所以 ， 所以，得，解得， 而直线AB斜率为， 直线DE斜率为 ， 因此，所以，于是，即AB为的中位线， 设点到直线的距离为，则由为的重心及中位线的性质， 可知点到直线的距离为，且点到直线的距离为, 因此与的面积之比为． 35．（2026·广东湛江·二模）已知双曲线的离心率为，且经过点. (1)求的标准方程； (2)若过点的直线与交于、两点，求线段的中点的轨迹方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程； （2）解法一：设点、、，分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，将该直线的方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线相交可得出关于的不等式组，求出的取值范围，利用韦达定理求出点的坐标，再消去可得出点的轨迹方程，根据与的关系求出的取值范围，即可得出答案； 解法二：设点、、，分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，将该直线的方程与双曲线的方程联立，根据直线与双曲线相交可得出关于的不等式组，求出的取值范围，再利用点差法求出点的坐标，再消去可得出点的轨迹方程，根据与的关系求出的取值范围，即可得出答案. 【详解】（1）设双曲线的焦距为，由离心率，得， 又，所以，即. 将点代入方程，得，即，所以，. 故双曲线的标准方程为. （2）解法一：设点、、， 若直线的斜率不存在，则点、关于轴对称，此时线段的中点在轴上，不符合题意， 故直线的斜率存在， 设直线的方程为，即. 联立方程，代入消去，整理得. 则， 即，且，所以. 于是，中点的横坐标，则. 又点在直线上，所以，即. 因为，且， 当时，，可得，则， 当时，，可得，则， 故线段的中点的轨迹方程为或. 解法二：设点、、， 若直线的斜率不存在，则点、关于轴对称，此时线段的中点在轴上，不符合题意， 故直线的斜率存在， 设直线的方程为，即. 联立方程代入消去，整理得. 则即，且， 由、两点在双曲线上得，作差得，① 当时，易知； 当时，①式可化为，即. 故（由题意可得且）， 可得， 因为，所以. 当时，也在直线上. 又，可得，且， 当时，，可得，则， 当时，，可得，则， 综上，线段的中点的轨迹方程为或. 36．（2026·广东汕头·二模）设是椭圆的左、右焦点，点是第一象限内上的动点，直线交于点.已知存在点，使得的面积为2. (1)求椭圆的方程； (2)设直线交于点，记分别为的内切圆半径，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过分析长度关系，利用计算出正弦、余弦函数值，充分利用三角形面积，最后再用余弦定理解决问题； （2）把的最大值转化求解面积之差的最大值，转化为三角形高的差的最大值，最后转化为点的纵坐标之差的最大值，运用联立方程转化一个关于P的坐标的表达式，通过均值不等式解决问题. 【详解】（1）设，那么 ， 由于，那么 由可知， 所以， 在中，， 即， 解得 或（由于,不满足椭圆的定义，舍去） 所以， 由,可得 所以，， 所以，椭圆的方程. （2）设，那么直线方程为, 直线方程为 令，则直线方程为， 令，则直线方程为， 联立 所以， 联立 所以， 所以， 因为，所以 当且仅当即取等号， 所以，的最大值为. 37．（2026·广东东莞·二模）已知反比例函数的图象是双曲线，两条坐标轴是其两条渐近线，将曲线绕原点顺时针旋转，得到曲线，设曲线的左顶点为. (1)求的坐标及曲线的标准方程； (2)若B，C为曲线右支上不同两点，为的垂心，为关于原点的对称点，证明： （i）点在曲线上； （ii）A，B，C，E四点共圆. 【答案】(1)， (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据旋转前的实半轴长和渐近线方程即可求出双曲线方程和左顶点坐标； （2）（i）表示出各边上的高所在直线方程，联立求出垂心坐标，代入曲线方程即可得证；（ii）利用斜率公式和正切和差公式表示出，即可得，即，即可得证. 【详解】（1）因为的两条渐近线为两条坐标轴，对称轴为，顶点坐标分别为，，实半轴长为， 将曲线绕原点顺时针旋转得到曲线，则是焦点在轴上的双曲线，渐近线方程为，实半轴长为， 所以的左顶点的坐标为， 所以曲线的标准方程为： （2）（i）方法一： 证明：因为曲线是曲线绕原点顺时针旋转得到，不妨设曲线上的点A，B，C分别对应曲线上的点，曲线的方程为，则的坐标为， 设点为的垂心，，且． 所以直线的斜率， 边的高所在的直线的方程为，① 同理：边的高所在的直线的方程为，② 因为垂心同时在上，联立①②，得，即. 所以的垂心在曲线上． 将曲线上的点绕原点顺时针旋转后得到曲线上对应的点分别为A，B，C，D， 则的垂心在曲线上. 方法二： 证明：因为B、C为曲线右支上不同的两点， 设，设的垂心为， 有，， 恒成立，① 恒成立，② ①式两边同时乘以，得， 又因为，所以有恒成立．③ 同理，②式两边同时乘以，化简可得恒成立，④ ③-④，得：恒成立，⑤ 因为为的垂心， 所以有恒成立．⑥ ⑤式两边同时乘以，得恒成立，⑦ ⑥式两边同时乘以，得恒成立⑧ ⑧-⑦，得恒成立， 当时，恒成立，即的垂心在曲线上. 当时，的垂心是双曲线的右顶点，综上的垂心总在曲线上. 方法三： 证明：因为B、C为曲线右支上不同的两点， 当BC的斜率不存在时，不妨设，则有， 所以BC边上的高所在的直线方程为，则与双曲线交于点， 下证为的垂心． 因为， 所以，所以， ，所以， 即为的垂心，所以垂心在曲线右支上． 当BC的斜率存在时，设直线BC的方程：， 联立，得， 所以有， 所以有， 则BC边上的高所在的直线方程为，交双曲线右支于点，交左支于点， 联立，可得， 所以有，即， 即 下证为的垂心. 因为， ， 所以③ 因为，代入③中，可得： 所以， 同理可得， 即为的垂心，因为所以垂心在曲线右支上. 综上所述：的垂心在曲线上. 方法四： 证明：因为B、C为曲线右支上不同的两点， 当BC的斜率不存在时，由双曲线的对称性不妨设， 所以BC边上的高所在的直线方程为， AC边上的高所在的直线方程为， 联立可得，，因为点在双曲线上，有，所以， 即垂心的坐标为，显然点在曲线右支上； 当或时，不妨设，则边AC的高所在的直线方程为， 边AB的高所在的直线方程为，联立可得， 因为，所以在曲线上． 当BC的斜率存在时，设，且， 设直线BC的方程：，联立，得， 所以有， 所以有， 所以AB边上的高所在的直线方程为，① AC边上的高所在的直线方程为，② 设垂心的坐标为，联立①、②， 得， 即垂心的横坐标 所以. 又因为垂心必然在BC边上的高所在的直线方程上， 所以，即有， 因为，所以，即垂心在曲线的右支上. 综上所述：的垂心在曲线上. （ii）方法一 证明：由（i）可知，曲线上的点A，B，C，D分别对应曲线上的点， 有的垂心在曲线上， 则关于原点的对称点也在曲线上. 由双曲线的对称性，不妨设点在直线的上方，在直线的下方， 因为，所以直线的斜率都存在． 即，， 当时，所以， ， 即有，所以． 所以四点共圆. 当时，，所以， 所以，所以 同理：可得，即，所以四点共圆. 将点绕原点顺时针旋转后得到对应的点分别为A，B，C，E， 则A，B，C，E四点共圆. 方法二 证明：由（i）可知，点D在双曲线右支上， 因为双曲线的图像关于原点中心对称，为关于原点的对称点， 所以点在双曲线的左支上. 当BC的斜率不存在时，不妨设，此时垂心的坐标为， 则关于原点的对称点与点重合. 因为存在外接圆，所以A，B，C，E四点共圆. 当BC的斜率存在时，设直线BC的方程为， 由双曲线的对称性，不妨设点在直线AC的上方，点在直线AC的下方， 则此时AB，AE，CE的斜率都存在， 设点，点， 因为点为垂心，且，所以，即， 又因为，即， 因为，所以， 因为，所以， 当时，此时有，即， 所以 则A，B，C，E四点共圆； 当时，即，此时有， ，则， 即，则A，B，C，E四点共圆. 综上所述：A，B，C，E四点共圆. 方法三 证明：由（i）可知，点D在双曲线右支上， 因为双曲线的图像关于原点中心对称，为关于原点的对称点， 所以点在双曲线的左支上． 当BC的斜率不存在时，不妨设，此时垂心的坐标为， 则关于原点的对称点与点重合. 因为存在外接圆，所以A，B，C，E四点共圆. 当BC的斜率存在时，设直线BC的方程为， 由双曲线的对称性，不妨设点在直线AC的上方，点在直线AC的下方， 则此时AB，AE，CE的斜率都存在，设点， 则， 因为， 则 因为， 代入得： 即 所以 当时，此时有，即， 所以，则A，B，C，E四点共圆； 当时，即，此时有， ，则， 即，则A，B，C，E四点共圆. 综上所述：A，B，C，E四点共圆. 38．（2026·广东深圳·二模）已知抛物线的焦点为是上不同的两点（其中在第一象限），点．当与轴垂直，且时，． (1)求的方程； (2)若为轴上一点，且（点与不重合）．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立： ①三点共线； ②轴； ③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意可得直线过焦点，利用即可求得值，得到抛物线方程； （2）选①②⇒③，解法1：设点，由三点共线，可得，取中点，将问题转化为证明； 解法2：设直线，点，，联立直线与抛物线方程，取中点，结合由韦达定理将问题转化为证明，； 解法3：设的准线为，过点分别作的垂线，垂足为，过点作，设直线的倾斜角为，可得，，取中点，利用几何关系即可证明，得到结论； 选①③②解法1：设点，由三点共线，可得，取中点，利用化简即可证明结论； 解法2：设直线，点，，联立直线与抛物线方程，取中点，利用化简即可证明结论； 解法3：过点分别作的垂线，垂足为，设直线的倾斜角为，可得，，取中点，连接，利用几何关系即可证明结论； 选②③①解法1：设点，取中点，连接，利用，化简得到，代入直线可得直线恒过定点，从而证明结论； 解法2：设直线，点，联立直线与抛物线方程，取中点，利用化简即可证明结论. 【详解】（1）由题，关于轴对称，令，则，于是直线过焦点， 在中，有，可得：， 则，于是的方程为：； （2）选①②⇒③ 解法1：由题意知，与轴不垂直，不妨设点， 则， 于是直线，即， 若三点共线，，则， 取中点，连接，由，则， 而， 则，则； 解法2：由题，与轴不垂直，不妨设直线， 点，，联立直线与： 则 所以 取中点，连接，由，则， 而， 则，则； 解法3：如图，设的准线为，过点分别作的垂线，垂足为， 过点作， 设直线的倾斜角为，于是，则， 即，同理，， 在与中，， 取中点，连接， 于是，则， 于是， 且， 且，则，于是，即； ①③② 解法1：由题，与轴不垂直，不妨设点， 则， 于是直线，即， 若三点共线，则， 取中点，连接， 由于， 由，且，则， ，且， 则，即， 则，则轴，轴； 解法2：由题，与轴不垂直，不妨设直线， 点，，联立直线与： 取中点，连接， 由于， 由，且，则， ，且， 则，即， 则，则轴，轴： 解法3：如图，设的准线为，过点分别作的垂线，垂足为， 设直线的倾斜角为，于是，则， 即，同理，， 在中，， 取中点，连接， 于是，则， 则， 在与中，， 且，则，于是，即轴，轴； 选②③① 解法1：由题，与轴不垂直，不妨设点， 则， 于是直线，即， 取中点，连接，由，则， 而 由，则， ，于是， 则直线恒过定点，即三点共线． 解法2：由题，与轴不垂直，不妨设直线， 点，联立直线与： 取中点，连接，由，则， 而， 由，则， ，于是，此时， 则直线恒过定点，即三点共线． 39．（2026·广东广州·二模）已知椭圆的离心率为，直线被椭圆所截得的线段的长为3． (1)求的方程： (2)已知点，过点的直线交于E，F两点在轴的下方），直线BF交直线于点． （i）设直线ME的斜率为，直线MF的斜率为，判断是否为定值，并说明理由； （ii）证明：直线ME过定点． 【答案】(1) (2)（i） 不为定值.证明见解析.（ii）证明见解析. 【分析】（1）利用椭圆的定义求解即可. （2）（i）设点 ， ， 设 联立椭圆的方程，进而将斜率表示出来，得到，与点的坐标有关，从而 不为定值. （ii）通过（i）中将斜率表示成，从而直线方程转化为从而直线过定点 【详解】（1）因为直线被椭圆所截得的线段的长为3， 所以在椭圆上，代入得， 又，解得：. （2）设点， 设 ， 由 得， 由 ，得 ，解得 或 ， 又点 ， 在 轴下方，则 ， 由韦达定理得    得 ，即 ， 因为 ， 所以 ， 所以 不是定值. （ii）证明： 由（i）得    则直线 的方程为 ， 即 ， 当 时，得 ， 所以必过定点. 40．（2026·广东清远·二模）设双曲线的左、右焦点分别为，离心率为2．过点作轴的垂线与交于两点，． (1)求的方程； (2)若直线与的右支交于不同的两点，求的取值范围； (3)过作一条不垂直于轴的射线与的左支在第二象限交于点，过作与平行的一条射线与在第一象限交于点，证明：成等差数列． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由条件结合双曲线定义列关于的方程，解方程，可得到双曲线方程； （2）将直线方程与双曲线方程联立，消去得到关于的一元二次方程，所以需满足二次项系数不为0，且判别式，因为交点在右支，所以利用韦达定理得到两根之和大于0、两根之积大于0，联立不等式求解的取值范围； （3）设，点关于原点的对称点记为，此时，，由，可得，，三点共线，且可设直线的方程为， 将直线方程与双曲线方程联立，由韦达定理可得的关系式，设直线的倾斜角为，从而可得，的表达式，利用等差数列的性质可证明. 【详解】（1）由题可得. 由双曲线定义知，则. 因为，所以， 又，所以， 所以双曲线的方程为. （2）联立，所以， 由题知：， 所以，解得或， 即. （3）设，点关于原点的对称点记为， 此时，， 因为，，所以， 因为，所以，即， 所以，，三点共线，且， 设直线的方程为， 联立，消去并整理得， 此时且，，， 因为，所以， 且， 则，所以， 设直线的倾斜角为，此时，， 所以， 同理可得， 所以， 所以，，成等差数列. 41．（2026·广东揭阳·二模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，实轴长为，点到双曲线的渐近线的距离为1，过的直线与交于右支两点. (1)求双曲线的方程； (2)证明存在轴上的一点，使得为定值； (3)求的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求出双曲线的基本量后可得双曲线的方程； （2）设，，联立直线方程和双曲线方程，结合韦达定理化，根据该值为定值可求的坐标； （3）先求、，再根据两角和的正切公式结合韦达定理可求，故可求的最大值. 【详解】（1）因为实轴长为，故， 而点到双曲线C的渐近线的距离为1，故， 故双曲线的方程为：. （2）设为半焦距，则，故， 因为与双曲线的右支相交于两个不同的点，故可设，， 由可得即， 故且，所以. 又. 设，则，， 故 为定值当且仅当，故， 故存在轴上的一点，使得为定值且定值为. （3）由双曲线的对称性不妨设，， 故，， 故 ，其中， 设，则， 故， 而，故， 注意到，故的最大值为. 42．（2026·广东江门·二模）已知圆的圆心在第一象限且圆与两坐标轴均相切，抛物线经过圆心． (1)求圆的标准方程． (2)设与圆交于，两点，证明：，两点到轴的距离均不小于． (3)为坐标原点，过圆心的直线交于另一点，的焦点为，求的最小值． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）设出圆心坐标，代入抛物线方程求出圆半径即可. （2）联立圆与抛物线方程，借助不等式的性质求出的范围即可. （3）设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理及抛物线定义列出目标式的函数关系求出最小值. 【详解】（1）设圆的半径为， 圆的圆心在第一象限且圆与两坐标轴均相切，则圆心， 由抛物线经过圆心， 得，解得， 所以圆的标准方程为. （2）由，得， 即，则， 而，因此， 所以两点到轴的距离均不小于. （3）抛物线的焦点为，设， 由抛物线定义得， 则， 同理， 因此 ， 设直线的方程为， 由，得， ，则，， 因此， 所以当时，取得最小值. 43．（2026·广东肇庆·二模）已知抛物线的焦点为，准线为，直线交准线和抛物线于两点，且. (1)求的值； (2)如图，若抛物线上有三个点，且直线均与抛物线相切. （i）证明：直线与抛物线相切. （ii）探究点与外接圆的位置关系，并说明理由. 【答案】(1)2 (2)（i）证明见解析；（ii）点在的外接圆上，理由见解析 【分析】（1）根据抛物线定义结合正切值计算得出参数值； （2）（i）先设点，再结合判别式计算证明直线和抛物线关系；（ii）应用两角和正切公式计算，再结合向量数量积坐标公式计算得出四点共圆即可求解. 【详解】（1）如图，由抛物线定义得， 又因为， 所以为等边三角形， 所以， 记准线与轴的交点为， 因为的纵坐标为，所以， 由抛物线的定义知， 所以， 所以. （2）（i）设， 因为任意与轴垂直的直线与抛物线只有一个交点，所以易知直线斜率存在（即）. 设直线的方程为，即， 代入，得， 因为抛物线没有与轴垂直的切线，所以， 又因为若是坐标原点，则过只能画一条的切线，所以. 由题意得，即， 同理，由直线与抛物线相切得， 所以是方程的两个根， 由韦达定理得， 同理，联立直线与抛物线的方程，得， 因为，所以， 所以， 所以直线与抛物线相切. （ii）①当时， 由（i）中方程和，易判断， 由（1）知， 所以 由（i）同理可得， 所以， 同理， ， 所以， 所以. ②当时，， 计算得， 此时， ， 所以，满足. 综上所述，，即四点共圆， 所以点在的外接圆上. 44．（2026·广东惠州·二模）已知双曲线的右焦点为，离心率为2，过作垂直于轴的直线，该直线被截得的弦长为6. (1)求双曲线方程； (2)若面积为3的的三个顶点均在上，直线AB经过坐标原点，直线BC经过右焦点，求直线BC的方程； (3)已知，过点的直线与在轴的右侧交于不同的两点P，Q，直线上是否存在点满足，且？若存在，求的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）依题意由双曲线离心率公式、通径公式进行求解即可； （2）根据直线与双曲线相交，由弦长公式及三角形面积公式可得结果； （3）根据直线与双曲线相交，由条件得出点S的轨迹可判断结果. 【详解】（1）过右焦点作垂直于轴的直线，所以令，解得，所以有 ①     又由离心率为2，得 ②，由①②解得， 所以双曲线E的标准方程是． （2）设，，由已知，得，根据直线过原点及对称性， 知，     由题可知直线斜率不能为0，可设为， 联立方程，得，化简整理，得，     所以且，且，     所以 ，解得，   所以直线的方程是或．    （3）若直线l斜率不存在，此时直线l与双曲线右支无交点，不合题意， 故直线l斜率存在，设直线l方程，联立方程，得， 化简整理，得，设，， 依题意有，因为恒成立， 所以，故，解不等式组得：，         设点S的坐标为，由，得， 则，变形得到， 将，代入，解得， 将代入中，解得， 消去k，得到点S的轨迹为定直线：上的一段线段（不含线段端点，，设直线与双曲线切于，直线与渐近线平行时与交点为）．     因为，，且，取中点， 因为， 所以， 所以，故， 即S的轨迹方程为，表示以点H为圆心，半径为的圆H， 设直线与y轴，x轴分别交于，， 依次作出直线，，，， 且四条直线的斜率分别为：，，，， 因为，所以线段是线段的一部分     经检验点，均在圆H内部，所以线段也必在圆H内部， 因此线段也必在圆H内部，所以满足条件的点S始终在圆H内部， 故不存在这样的点S，使得，且成立．     45．（2026·广东广州·二模）已知点为抛物线的焦点，点在上. (1)求的方程与点F坐标： (2)过点的直线，与抛物线相交于两点，一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线相交于两点. （i）若为线段的中点，求证：直线为抛物线的切线； （ii）若直线为抛物线的切线，过点作直线的垂线，垂足为，求的最大值. 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）将点代入得到，从而得到抛物线的标准方程和焦点坐标； （2）（i）由过点的直线与抛物线相交于两点得到此直线一定存在斜率，设过点的直线方程为点斜式，代入抛物线得到关于的一元二次方程，设，根据韦达定理写出，结合中点坐标公式得到点的坐标，同时得到的坐标，求出，利用导数的几何意义求出在点处的切线的斜率，从而得到与切点为的斜率相等，故直线为抛物线的切线； （ii）由（i）知，当为抛物线的切线时，， ，求出，利用点斜式求出直线的方程，由过点作直线的垂线，垂足为，得到在直线上从而得到点的坐标，由得到，利用数量积求出的坐标，利用两点间距离公式求出通过构造函数，利用判别式法求值域即可得到的最大值. 【详解】（1）点在，， ，； 点为抛物线的焦点，； （2）（i）过点的直线与抛物线相交于两点，此直线一定存在斜率， 设过点的直线方程为， 将代入，得到， 整理得到， 如图，设，则有， 为线段的中点，， ，， ， 在直线上，， ，，， 在上，，， ， ， ，，， 切点为，， 与切点为的斜率相等，直线为抛物线的切线； （ii）由（i）知，当为抛物线的切线时， ，， ，， 直线的方程为， 如图，作出符合题意的图形， 过点作直线的垂线，垂足为， 在直线上，，， ，，， ，， ，， ， ，， ，，， ，， 设，整理得到， 则，解得， 的最大值为，的最大值为. 46．（2026·广东佛山·二模）已知椭圆的左顶点，上顶点． (1)求椭圆的方程和直线的方程； (2)过椭圆上异于的点作轴的垂线交直线于点，延长至点，使，直线交椭圆于点． （i）求证：直线的斜率之和为定值； （ii）求面积的最大值． 【答案】(1)，； (2)（i）证明见解析；（ii）. 【分析】（1）根据给定条件，直接写出椭圆及直线方程. （2）（i）设出直线方程，与椭圆方程联立求出点的坐标，进而求出点的坐标，再利用斜率坐标公式计算得证；（ii）由（i）求出点坐标，进而求出三角形面积关系，利用换元法，结合导数求出最大值. 【详解】（1）由椭圆的左顶点，上顶点，得， 所以椭圆的方程为，直线的方程为. （2）（i）直线斜率存在，设其方程为，点 由，得，则， 解得，即点， 直线交直线于点， 由点是线段的中点，得点， 因此直线的斜率，即， 所以直线的斜率之和为定值. （ii）由（i）同理得，， 点到直线的距离， 则的面积， 显然，，令， ，求导得， 当时，；当时，，函数在上递增，在上递减， 当时，，所以面积的最大值为. 47．（2026·广东肇庆·二模）已知椭圆：的焦距为，点在上． (1)求的方程． (2)直线与交于两点． （i）若线段的中点为，求直线的方程； （ii）在（i）的条件下，是椭圆上任意一点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）方法一：由椭圆的定义以及即可求解； 方法二：将点代入椭圆方程以及求解即可. （2）（i）设，，求解线段的中点，利用点差法求解即可. （ii）方法一：直线与椭圆方程联立，通过参数方程求解点到直线的距离，求解即可. 方法二：直线与椭圆方程联立，再由直线平行，点到直线的距离的最大值就是平行线间的距离，求解即可. 【详解】（1）方法一： 由题意知，，即，设椭圆的左、右焦点分别为， 则．因为，所以， 解得，又因为，所以.所以椭圆的方程为. 方法二： 由题意知，，即，因为点在椭圆上，所以，又因为，所以， 所以，即，化简得或（舍去），所以，所以，所以椭圆的方程为. （2）（i）设，， 因为线段的中点为，所以， ，因为，两点在椭圆上，所以 所以，所以，所以， 所以直线的方程为. （ii）方法一： 直线的方程为，联立 化简得，. 所以. 设，则点到直线的距离 其中，当时，取最大值，此时， 所以面积的最大值为. 方法二： 直线的方程为， 设与直线平行，且与椭圆相切的直线的方程为， 联立化简得，，解得， 当时，直线与直线的距离更大，此时，切点就是椭圆上到直线距离最大的点， 点到直线的距离的最大值就是平行线间的距离， 联立化简得，则， 所以，， 所以面积的最大值为 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 解析几何 5大考点概览 考点01直线方程与圆的方程的应用 考点02离心率问题 考点03椭圆、双曲线及抛物线的性质及应用 考点04二次曲线方轨迹程的探究应用问题 考点05 解析几何的解答题综合 ( 直线方程与圆的方程的应用 考点 1 ) 1．（2026·广东江门·二模）若直线，的倾斜角分别为，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广东肇庆·二模）直线与圆相交于两点，则“”是“的面积为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·广东揭阳·二模）若点关于动直线l：的对称点为N，则点N的轨迹为（   ） A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分 4．（2026·广东佛山·二模）设直线与圆交于两点，则（   ） A． B． C．1 D． 5．（2026·广东肇庆·二模）已知直线与圆交于两点，当的面积最大时，点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·广东广州·二模）已知点在圆上，点，当最大时，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·广东清远·二模）（多选）已知方向向量为的直线与圆相切，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·广东广州·二模）已知圆，若直线上至少存在一点，使得圆上恰有两个点与点的距离都为2，则实数的取值范围是____________． 9．（2026·广东惠州·二模）直线与轴交于点，与轴交于点，与交于C、D两点，，则__________． ( 离心率问题 考点 2 ) 10．（2026·广东湛江·二模）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点在上满足，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 11．（2026·广东东莞·二模）椭圆的左、右焦点为为坐标原点，为椭圆上一点，，且成等比数列，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 12．（2026·广东广州·二模）已知分别为双曲线的左、右焦点，点在的渐近线上，且满足，则的离心率为（   ） A．3 B．2 C． D． 13．（2026·广东江门·二模）若的中线，且，，，在平面直角坐标系中，点在双曲线上，则的离心率为（   ） A． B． C． D．2 14．（2026·广东深圳·二模）双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，点是上一点，，则的离心率为（   ） A． B． C．3 D． 15．（2026·广东茂名·二模）已知椭圆C：（）的右顶点为A，上顶点为B，直线AB与以C的短轴为直径的圆交于点P（不同于B），若△POB（O为原点）为正三角形，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 16．（2026·广东深圳·二模）已知，为椭圆与双曲线的公共左，右焦点，为它们的一个公共点，且，O为坐标原点，，分别为椭圆和双曲线的离心率，则的最大值为_________． ( 椭圆、双曲线及抛物线的性质与应用 考点 3 ) 17．（2026·广东肇庆·二模）双曲线与双曲线的（    ） A．顶点相同 B．焦点相同 C．虚轴长相等 D．离心率相等 18．（2026·广东肇庆·二模）已知双曲线的离心率为2，则其渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 19．（2026·广东惠州·二模）已知抛物线的焦点为，抛物线上一点到焦点的距离为3，则的面积为（    ） A． B． C．2 D． 20．（2026·广东佛山·二模）（多选）在平面直角坐标系中，斜率为1的直线l交抛物线于，两点，交x轴于点（），则（   ） A． B． C．的等差中项是2 D．m是，的等比中项 21．（2026·广东肇庆·二模）（多选）已知椭圆为的右焦点，点在上，且关于轴对称，分别为线段的中点，为坐标原点，则（    ） A． B．的最小值为 C． D．存在点，使得 22．（2026·广东佛山·二模）（多选）已知为坐标原点，双曲线的左右焦点分别为，点在上，直线为的内角平分线，过作于点，则（   ） A．当轴时，点在直线上 B．当轴时，点在轴上 C．点在圆上 D．直线与双曲线的公共点只有1个 23．（2026·广东茂名·二模）双曲线的焦距为______． 24．（2026·广东江门·二模）若椭圆的焦点在轴上，则的取值范围是______． 25．（2026·广东东莞·二模）已知抛物线的焦点为，点在上.若，则到轴的距离为__________. 26．（2026·广东揭阳·二模）已知点在抛物线上，若点P到点的距离与点到抛物线的准线的距离相等，则______. 27．（2026·广东湛江·二模）已知抛物线：，点，，点在上运动，则面积的最小值为______. 28．（2026·广东广州·二模）已知双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则的渐近线为__________. 29．（2026·广东佛山·二模）已知，分别为双曲线的左、右焦点，A，B两点均在双曲线H上，且满足（），，则的内切圆半径为______. 30．（2026·广东佛山·二模）已知为坐标原点，椭圆与抛物线有共同的焦点，且在第一象限相交于点，若，则___________． ( 二次曲线方轨迹程的探究应用问题 考点 4 ) 31．（2026·广东惠州·二模）（多选）已知点在曲线上，，则（    ） A．点不可能在第三象限 B．点可能在直线上 C．当点在第一象限时，的最小值为 D．当直线与曲线有两个交点时，的取值范围为 32．（2026·广东·二模）（多选）某市以“渤海湾畔､生态宜居”为发展理念，将“生态渤海”融入城市脉络，一位数学爱好者设计了“渤海明珠”曲线，其方程为．对于曲线，则下列结论正确的是（    ） A．若直线与曲线有唯一公共点，则取值范围为 B．曲线上存在唯一的点，使得点到点与到点的距离之差为4 C．曲线所围成的封闭区域面积等于 D．若曲线上恰好存在4个不同点到直线的距离为，则实数的取值范围为 ( 解析几何的解答题综合 考点 5 ) 33．（2026·广东佛山·二模）椭圆的光学性质是：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.已知椭圆（）的左顶点为，点在E上，且在x轴的上方，从E的左焦点发出的光线，经过E反射后，交E于点.按照如下方式依次构造点和（）：光线经过E反射后，交E于点；光线经过E反射后，交E于点. (1)求E的方程； (2)设直线的斜率为，求证：数列是等比数列，并求出其公比； (3)求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 34．（2026·广东茂名·二模）已知，M是抛物线与的公共点，O为坐标原点，． (1)求p的值； (2)（在最左侧）是上不同于M的三点，直线与相切，切点分别为，点为的重心． （ⅰ）证明：在轴上，且； （ⅱ）若，求的值． 35．（2026·广东湛江·二模）已知双曲线的离心率为，且经过点. (1)求的标准方程； (2)若过点的直线与交于、两点，求线段的中点的轨迹方程. 36．（2026·广东汕头·二模）设是椭圆的左、右焦点，点是第一象限内上的动点，直线交于点.已知存在点，使得的面积为2. (1)求椭圆的方程； (2)设直线交于点，记分别为的内切圆半径，求的最大值. 37．（2026·广东东莞·二模）已知反比例函数的图象是双曲线，两条坐标轴是其两条渐近线，将曲线绕原点顺时针旋转，得到曲线，设曲线的左顶点为. (1)求的坐标及曲线的标准方程； (2)若B，C为曲线右支上不同两点，为的垂心，为关于原点的对称点，证明： （i）点在曲线上； （ii）A，B，C，E四点共圆. 38．（2026·广东深圳·二模）已知抛物线的焦点为是上不同的两点（其中在第一象限），点．当与轴垂直，且时，． (1)求的方程； (2)若为轴上一点，且（点与不重合）．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立： ①三点共线； ②轴； ③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 39．（2026·广东广州·二模）已知椭圆的离心率为，直线被椭圆所截得的线段的长为3． (1)求的方程： (2)已知点，过点的直线交于E，F两点在轴的下方），直线BF交直线于点． （i）设直线ME的斜率为，直线MF的斜率为，判断是否为定值，并说明理由； （ii）证明：直线ME过定点． 40．（2026·广东清远·二模）设双曲线的左、右焦点分别为，离心率为2．过点作轴的垂线与交于两点，． (1)求的方程； (2)若直线与的右支交于不同的两点，求的取值范围； (3)过作一条不垂直于轴的射线与的左支在第二象限交于点，过作与平行的一条射线与在第一象限交于点，证明：成等差数列． 41．（2026·广东揭阳·二模）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，实轴长为，点到双曲线的渐近线的距离为1，过的直线与交于右支两点. (1)求双曲线的方程； (2)证明存在轴上的一点，使得为定值； (3)求的最大值. 42．（2026·广东江门·二模）已知圆的圆心在第一象限且圆与两坐标轴均相切，抛物线经过圆心． (1)求圆的标准方程． (2)设与圆交于，两点，证明：，两点到轴的距离均不小于． (3)为坐标原点，过圆心的直线交于另一点，的焦点为，求的最小值． 43．（2026·广东肇庆·二模）已知抛物线的焦点为，准线为，直线交准线和抛物线于两点，且. (1)求的值； (2)如图，若抛物线上有三个点，且直线均与抛物线相切. （i）证明：直线与抛物线相切. （ii）探究点与外接圆的位置关系，并说明理由. 44．（2026·广东惠州·二模）已知双曲线的右焦点为，离心率为2，过作垂直于轴的直线，该直线被截得的弦长为6. (1)求双曲线方程； (2)若面积为3的的三个顶点均在上，直线AB经过坐标原点，直线BC经过右焦点，求直线BC的方程； (3)已知，过点的直线与在轴的右侧交于不同的两点P，Q，直线上是否存在点满足，且？若存在，求的坐标，若不存在，请说明理由． 45．（2026·广东广州·二模）已知点为抛物线的焦点，点在上. (1)求的方程与点F坐标： (2)过点的直线，与抛物线相交于两点，一条垂直于轴的直线，分别与线段和直线相交于两点. （i）若为线段的中点，求证：直线为抛物线的切线； （ii）若直线为抛物线的切线，过点作直线的垂线，垂足为，求的最大值. 46．（2026·广东佛山·二模）已知椭圆的左顶点，上顶点． (1)求椭圆的方程和直线的方程； (2)过椭圆上异于的点作轴的垂线交直线于点，延长至点，使，直线交椭圆于点． （i）求证：直线的斜率之和为定值； （ii）求面积的最大值． 47．（2026·广东肇庆·二模）已知椭圆：的焦距为，点在上． (1)求的方程． (2)直线与交于两点． （i）若线段的中点为，求直线的方程； （ii）在（i）的条件下，是椭圆上任意一点，求面积的最大值． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $