第二单元 长方体（一） 易错题单元提升自测-2025-2026学年五年级下册数学北师大版

第二单元 长方体（一） 易错题单元提升自测 考试时间：90分钟，试卷满分：100分 姓名：__________班级：__________考号：__________成绩：__________ 题号 一 二 三 四 五 总分 评分 一、选择题（共10分） 1．（本题2分）如图（    ）可以围成一个正方体。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】正方体展开图包含“1－4－1”型、“2－3－1”型、“2－2－2”型和“3－3”型；据此解答 【详解】 A．不属于正方体展开图，不能围成正方体。 B．正方体有六个面，这个图中有七个面，不能围成正方体。 C．属于正方体展开图的“1－4－1”型，能围成正方体。 D．不属于正方体展开图，不能围成正方体。 2．（本题2分）一个长方体的长、宽、高分别是3厘米、2厘米、1厘米，它的棱长总和是（    ）厘米。 A．6 B．12 C．24 D．36 【答案】C 【分析】长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，据此列式计算。 【详解】（3＋2＋1）×4 ＝6×4 ＝24（厘米） 长方体的棱长总和是24厘米。 3．（本题2分）李师傅在用玻璃做一个长方体鱼缸，他已经割了6dm×5dm的两块玻璃和7dm×6dm的两块玻璃，那么他还要割一块（    ）的玻璃才能做出一个无盖的鱼缸。 A．35 B．42 C．72 D．107 【答案】A 【分析】长方体有6个面，相对的两个面完全相同，要做无盖鱼缸，只要5个面。根据题意，已经割了的玻璃是长方体的前面、后面、左面和右面，这四个面有共同的边长6dm，这个边长6dm是长方体的高，剩下的两个边长7dm和5dm就是长方体的长和宽。 【详解】根据分析，底面积＝7×5＝35（）。 4．（本题2分）如图，一个礼品盒像这样用丝带捆扎起来，至少需要（    ）厘米长的丝带。（打结处要用丝带20厘米） A．96 B．82 C．102 D．116 【答案】C 【分析】丝带长度＝长×2＋宽×2＋高×4＋打结处长度。 【详解】15×2＋10×2＋8×4＋20 ＝30＋20＋32＋20 ＝102（厘米） 至少需要102厘米长的丝带。 5．（本题2分）如果一个长方体所有棱长之和是84cm，那么相交于一个顶点的三条棱长之和是（    ）cm。 A．21 B．28 C．84 D．168 【答案】A 【分析】先明确长方体棱长的组成，再用总棱长之和除以4得到相交于一个顶点的三条棱的长度之和；长方体有12条棱，可分为4组，每组包含1条长、1条宽、1条高，且每组棱的长度之和相等。所有棱长之和等于4倍的（长＋宽＋高）。已知所有棱长之和为84cm，所以相交于一个顶点的三条棱的长度之和为总棱长之和除以4。 【详解】A.21cm，计算（cm），符合题意，正确； B.28cm，错误地用（cm），未考虑长方体棱长分为4组，不符合实际，错误； C.84cm，这是棱长之和，错误； D.168cm，错误地用（cm），不符合实际，错误。 故答案为：A 二、填空题（共30分） 6．（本题3分）如图是由同样大小的小正方体靠墙角堆积起来的，每个小正方体的棱长是2分米，这堆小正方体露在外面的面积是( )平方分米。 【答案】52 【分析】如图所示，从前往后看可以看到5个面，从右向左看可以看到5个面，从上往下看可以看到3个面，一共可以看到5＋5＋3＝13（个）面，根据正方形面积＝边长×边长计算一个面的面积，再乘个数即可。 【详解】（5＋5＋3）×2×2 ＝13×2×2 ＝52（平方分米） 7．（本题3分）一个长8厘米，宽6厘米，高4厘米的长方体木料，截成两个相同的长方体，表面积最多增加( )平方厘米。 【答案】96 【分析】截一次会增加两个截面的面积，要让表面积增加得最多，就要选择面积最大的那个面来切割。长方形面积＝长×宽，算出一个截面的面积，再乘2即可。 【详解】该长方体“长×宽”面的面积最大。 8×6×2 ＝48×2 ＝96（平方厘米） 8．（本题3分）把四个长10厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体饼干盒包在一起，有很多种包装方案，最节约包装纸的那种方案需要( )平方厘米包装纸。 【答案】440 【分析】要找到最省包装纸的方案，先列出4个长方体的所有拼接方式，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出每种拼成的大长方体的表面积，再通过比较大小，选出表面积最小的那个方案，就是最节约包装纸的方案，据此解答。 【详解】方案1：沿高（3厘米方向）4个叠放（一字竖排） 大长方体长10厘米，宽5厘米，高3×4＝12（厘米） （10×5＋10×12＋5×12）×2 ＝（50＋120＋60）×2 ＝230×2 ＝460（平方厘米） 方案2：沿宽（5厘米方向）4个并排（一字横排） 大长方体长10厘米，宽5×4＝20（厘米），高3厘米 （10×20＋10×3＋20×3）×2 ＝（200＋30＋60）×2 ＝290×2 ＝580（平方厘米） 方案3：沿长（10厘米方向）4个并排（一字横排） 大长方体长10×4＝40（厘米），宽5厘米，高3厘米 （40×5＋40×3＋5×3）×2 ＝（200＋120＋15）×2 ＝335×2 ＝670（平方厘米） 方案4：2×2堆叠（2个沿宽、2个沿高叠放） 大长方体长10厘米，宽5×2＝10厘米，高3×2＝6（厘米） （10×10＋10×6＋10×6）×2 ＝（100＋60＋60）×2 ＝220×2 ＝440（平方厘米） 440＜460＜580＜670 所以最节约包装纸的方案需要440平方厘米包装纸。 9．（本题3分）一个长方体的长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米，它的棱长总和是( )厘米。 【答案】48 【分析】根据公式：长方体的总棱长＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算即可。 【详解】（5＋4＋3）×4 ＝12×4 ＝48（厘米） 10．（本题3分）制作一个棱长为30cm的正方体无盖玻璃鱼缸，至少需要( )cm2的玻璃。 【答案】4500 【分析】根据正方体的特征可知，正方体的六个面是完全一样的正方形。求制作正方体无盖玻璃鱼缸至少需要玻璃的面积，就是求正方体五个面的面积之和（少上面），根据“棱长×棱长×5”，代入数据计算求解。 【详解】30×30×5 ＝900×5 ＝4500（cm2） 11．（本题3分）将3个棱长为的小正方体按图1和图2的方式放在桌子上，图1露在外面的面积是( )，图2露在外面的面积是( )。 【答案】 44 28 【分析】图一：露在外面的面分别是，前后是3×2＝6个，左右是1×2＝2个，上是3个，一共是6＋2＋3＝11个，再乘一个面的面积即可得到露在外面的面积； 图二：露在外面的面分别是，前3个，右1个，上是3个，一共是3＋1＋3＝7个，再乘一个面的面积即可得到露在外面的面积。 【详解】2×2＝4（） 图一：6＋2＋3＝11（个）；11×4＝44（） 图二：3＋1＋3＝7（个）；7×4＝28（） 12．（本题3分）用4个棱长是6cm的小正方体拼成1个大长方体，大长方体的表面积可能是( )cm2，也可能是( )cm2。 【答案】 648 576 【分析】用4个棱长6cm的小正方体可以拼成一个长方体，长方体的长宽高可能是24cm、6cm、6cm，也可能是12cm、6cm、12cm，再根据长方体的表面积公式求解即可。 【详解】 （） （） 所以用4个棱长是6cm的小正方体拼成1个大长方体，大长方体的表面积可能是648，也可能是576。 13．（本题3分）用一根长_____cm的铁丝正好可以做一个长9cm，宽7cm，高5cm的长方体框架，如果在框架外糊一层纸，至少需要_____cm2的纸。 【答案】 84 286 【分析】用多长的铁丝做一个长方体的框架，就是求该长方体的棱长总和。在框架外糊一层纸需要多少纸，就是求该长方体的表面积。已知长方体框架长9cm，宽7cm，高5cm，长方体的棱长总和公式为：棱长总和＝（a＋b＋h）×4（a为长，b为宽，h为高），长方体的表面积公式为：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把数据分别代入公式计算即可解答。 【详解】（7＋5＋9）×4 ＝21×4 ＝84（cm） （7×5＋7×9＋5×9）×2 ＝（35＋63＋45）×2 ＝143×2 ＝286（cm2） 用一根长84cm的铁丝正好可以做一个长9cm、宽7cm、高5cm的长方体框架，至少需要286cm2的纸。 14．（本题3分）三个用橡皮泥捏成的完全一样的长方体，三个同学用不同的方法分别将其中的一个切成两个完全一样的长方体。原来长方体的表面积是( )平方厘米。 【答案】94 【分析】当长方体按照第一种方法平行于长乘宽分割时，表面积增加了40平方厘米，增加的面积是两个长乘宽的面积，即长×宽×2＝40（平方厘米）；当长方体按照第二种方法平行于长乘高分割时，表面积增加了30平方厘米，增加的面积是两个长乘高的面积，即长×高×2＝30（平方厘米）；当长方体按照第三种方法平行于宽乘高分割时，表面积增加了24平方厘米，增加的面积是两个宽乘高的面积，即宽×高×2＝24（平方厘米）。根据长方体的表面积＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2＝长×宽×2＋宽×高×2＋长×高×2求解。 【详解】40＋30＋24＝94（平方厘米） 三个用橡皮泥捏成的完全一样的长方体，三个同学用不同的方法分别将其中的一个切成两个完全一样的长方体。原来长方体的表面积是（ 94 ）平方厘米。 15．（本题3分）淘气用正方体木块摆一摆，如果按照图中的规律摆下去，第④个图形有( )个面露在外面，第n个图形有( )个面露在外面。 【答案】 17 4n＋1 【分析】通过观察可知，第①个图形有（1＋4）个面露在外面，第②个图形有（1＋4＋4）个面露在外面，第③个图形有（1＋4＋4＋4）个面露在外面，通过观察可知，每个图形露出的面的个数比前一个图形露出的多4个面；所以，第④个图形有（1＋4＋4＋4＋4）个面露在外面；第n个图形有（1＋4n）个面露在外面。 【详解】第①个：1＋4＝5（个） 第②个：1＋4＋4＝9（个） 第③个：1＋4＋4＋4＝13（个） 第④个：1＋4＋4＋4＋4＝17（个） 第n个：（4n＋1）个 第④个图形有17个面露在外面，第n个图形有（4n＋1）个面露在外面。 三、判断题（共10分） 16．（本题2分）长方体的六个面一定都是长方形，不能有正方形的面。( ) 【答案】× 【分析】根据长方体的特征，长方体的6个面都是长方形（特殊情况下有两个相对的面是正方形），当长方体有两个相对的面是正方形时，其余四个面的面积相等，形状完全相同。 【详解】长方体的六个面中，最多有2个面是特殊的长方形，即正方形，此时剩下的4个面是相同的长方形，所以原题说法错误。 故答案为：× 17．（本题2分）若一个正方体的表面积是，则这个正方体的底面积是。( ) 【答案】 × 【分析】正方体有6个完全相同的面，表面积是6个面的面积之和。底面积即其中一个面的面积，应用表面积除以6计算。 【详解】 因为，原说法错误。 故答案为：× 18．（本题2分）一个长方体的长和宽相等，这个长方体一定是一个正方体。( ) 【答案】× 【分析】根据正方体的特征可知，正方体是长、宽、高都相等的长方体。 【详解】正方体是特殊的长方体，是长、宽、高都相等的长方体。题目中已知该长方体的长和宽相等，但没有说明高是否等于长或宽。如果高不等于长和宽，那么这个长方体就不是正方体。所以，这个长方体不一定是正方体，原题说法错误。 故答案为：× 19．（本题2分）把一个长20cm，宽10cm，高15cm的长方体木块锯成两个体积相等的小长方体，表面积最多增加300。( ) 【答案】× 【分析】把一个长方体锯成两个体积相等的小长方体，会增加两个切面的面积，切面的形状与长方体的面一致，所以表面积增加的总量＝单个切面面积×2。长方体有三组不同的面，分别计算每组面的面积，对比选出最大面。以最大面为切面时，求出增加的面积，据此判断。 【详解】长×宽：20×10＝200（cm2） 长×高：20×15＝300（cm2） 宽×高：10×15＝150（cm2） 300＞200＞150 因此长×高的面是最大面。 面积为300×2＝600（cm2） 表面积最多增加600cm2，原说法错误。 故答案为：× 20．（本题2分）把3个棱长是1dm的正方体木块拼成一个长方体，这个长方体的表面积比原来减少了3。( ) 【答案】× 【分析】把3个棱长是1dm的正方体木块拼成一个长方体，如下图所示： 所以减少了拼接处的4个正方形的面。先根据“正方形的面积＝边长×边长”用1乘1计算出一个面的面积；再用一个面的面积乘4即可。 【详解】根据分析： 1×1×4 ＝1×4 ＝4（dm2） 把3个棱长是1dm的正方体木块拼成一个长方体，这个长方体的表面积比原来减少了4dm2。原说法错误。 故答案为：× 四、计算题（共12分） 21．（本题6分）计算下面立体图形的表面积。 【答案】（1）150 （2）3.92 【分析】正方体的表面积＝棱长×棱长，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）。结合图形将数据代入公式计算即可。 【详解】 正方体的表面积是。 长方体的表面积是。 22．（本题6分）求下列图形的表面积。（单位：cm）     （1） （2） 【答案】（1）426dm2（2）486dm2 【分析】（1）已知长方体的长、宽、高，求长方体的表面积，用公式：长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此列式解答。 （2）已知正方体的棱长，求正方体的表面积，用公式：正方体的表面积＝棱长×棱长×6，据此列式解答。 【详解】（12×9＋12×5＋9×5）×2 ＝（108＋60＋45）×2 ＝213×2 ＝426（dm2）； 9×9×6 ＝81×6 ＝486（dm2） 五、解答题（共38分） 23．（本题6分）一个游泳池的长是25米，宽是10米，深是2.5米。要给游泳池四周和底面贴上瓷砖，至少需要多少平方米的瓷砖？ 【答案】425平方米 【分析】在游泳池的底面和四周贴上瓷砖，即相当于求长方体5个面的面积，利用长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，可知瓷砖的面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据计算即可。 【详解】25×10＋（25×2.5＋10×2.5）×2 ＝250＋（62.5＋25）×2 ＝250＋87.5×2 ＝250＋175 ＝425（平方米） 答：至少需要425平方米的瓷砖。 24．（本题6分）有一间长10米、宽8米、高5米的长方体仓库，现在要给这个仓库的墙壁和屋顶粉刷涂料，除去门窗面积10平方米，如果每平方米需要0.45千克涂料，那么至少需要购买多少千克涂料？ 【答案】112.5千克 【分析】根据题意，需要粉刷的部分包括仓库的屋顶和四周墙壁，共5个面。还要再减去门窗面积。粉刷的面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2－门窗的面积。再用需要粉刷的面积乘每平方米需要涂料的质量，即可求出至少需要购买涂料的质量。 【详解】10×8＋（10×5＋8×5）×2－10 ＝10×8＋（50＋40）×2－10 ＝10×8＋90×2－10 ＝80＋180－10 ＝260－10 ＝250（平方米） 0.45×250＝112.5（千克） 答：那么至少需要购买112.5千克涂料。 25．（本题6分）一种长方体铁皮烟囱，长和宽都是4分米，高为5米，制作这样一节烟囱至少需要多少平方分米的铁皮？ 【答案】800平方分米 【分析】烟囱是通风管道，没有上下两个底面，因此只需计算长方体4个侧面的面积。先把5米转换成50分米。再根据长方体侧面积＝（长×高＋宽×高）×2，代入计算即可。 【详解】5 米＝50 分米 （4×50＋4×50）×2 ＝（200＋200）×2 ＝400×2 ＝800（平方分米） 答：制作这样一节烟囱至少需要800平方分米的铁皮。 26．（本题6分）一间教室长8米，宽6米、高4米，门窗和黑板的面积一共是20平方米，要粉刷这间教室的四周和房顶，粉刷的面积是多少平方米？ 【答案】140平方米 【分析】根据题意，需要粉刷的部分包括教室的房顶和四周墙壁，共5个面，地面不需要粉刷。因此，先求出长方体这5个面的表面积之和，即长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，再减去门窗和黑板不需要粉刷的面积，即可求实际粉刷的面积。 【详解】8×6＋（8×4＋6×4）×2－20 ＝48＋（32＋24）×2－20 ＝48＋56×2－20 ＝48＋112－20 ＝140（平方米） 答：粉刷的面积是140平方米。 27．（本题7分）小敏的好朋友要过生日了，小敏准备用彩色丝带把礼品盒包装一下（如下图），要捆扎这个礼品盒，如果接头处共长5分米，需要多少米的丝带？ 【答案】1.9米 【分析】已知长方体礼品盒长3分米、宽2分米、高1分米，由图可知，丝带的长度包括2条长、2条宽、4条高，再加上接头处的长度5分米，据此求出丝带的长度；最后将单位分米换算为米（1米＝10分米）即可。 【详解】3×2＋2×2＋1×4＋5 ＝6＋4＋4＋5 ＝10＋4＋5 ＝14＋5 ＝19（分米） 19分米＝1.9米 答：需要1.9米的丝带。 28．（本题7分）下图是一个左右对称、前后一致的立体零件。该零件上下底面是正方形，高为8厘米，正面凹陷处为腰长5厘米的等腰三角形，底边对应的高为3厘米，请你尝试计算这个立体图形的表面积。 【答案】512平方厘米 【分析】根据题意可知，这个立体图形的表面积＝上下2个边长为10厘米的正方形面积＋左右4个长为10厘米，宽为5厘米的长方形面积＋前后两个（长为10厘米，宽为8厘米的正方形面积－2个底为8厘米，高为3厘米的三角形面积）的图形的面积；根据正方形面积＝边长×边长；长方形面积＝长×宽；三角形面积＝底×高÷2，代入数据，即可解答。 【详解】10×10×2＋10×5×4＋（10×8－8×3÷2×2）×2 ＝100×2＋50×4＋（80－24÷2×2）×2 ＝200＋200＋（80－12×2）×2 ＝200＋200＋（80－24）×2 ＝200＋200＋56×2 ＝200＋200＋112 ＝400＋112 ＝512（平方厘米） 答：这个立体图形的表面积是512平方厘米。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 长方体（一） 易错题单元提升自测 考试时间：90分钟，试卷满分：100分 姓名：__________班级：__________考号：__________成绩：__________ 题号 一 二 三 四 五 总分 评分 一、选择题（共10分） 1．（本题2分）如图（    ）可以围成一个正方体。 A． B． C． D． 2．（本题2分）一个长方体的长、宽、高分别是3厘米、2厘米、1厘米，它的棱长总和是（    ）厘米。 A．6 B．12 C．24 D．36 3．（本题2分）李师傅在用玻璃做一个长方体鱼缸，他已经割了6dm×5dm的两块玻璃和7dm×6dm的两块玻璃，那么他还要割一块（    ）的玻璃才能做出一个无盖的鱼缸。 A．35 B．42 C．72 D．107 4．（本题2分）如图，一个礼品盒像这样用丝带捆扎起来，至少需要（    ）厘米长的丝带。（打结处要用丝带20厘米） A．96 B．82 C．102 D．116 5．（本题2分）如果一个长方体所有棱长之和是84cm，那么相交于一个顶点的三条棱长之和是（    ）cm。 A．21 B．28 C．84 D．168 二、填空题（共30分） 6．（本题3分）如图是由同样大小的小正方体靠墙角堆积起来的，每个小正方体的棱长是2分米，这堆小正方体露在外面的面积是( )平方分米。 7．（本题3分）一个长8厘米，宽6厘米，高4厘米的长方体木料，截成两个相同的长方体，表面积最多增加( )平方厘米。 8．（本题3分）把四个长10厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体饼干盒包在一起，有很多种包装方案，最节约包装纸的那种方案需要( )平方厘米包装纸。 9．（本题3分）一个长方体的长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米，它的棱长总和是( )厘米。 10．（本题3分）制作一个棱长为30cm的正方体无盖玻璃鱼缸，至少需要( )cm2的玻璃。 11．（本题3分）将3个棱长为的小正方体按图1和图2的方式放在桌子上，图1露在外面的面积是( )，图2露在外面的面积是( )。 12．（本题3分）用4个棱长是6cm的小正方体拼成1个大长方体，大长方体的表面积可能是( )cm2，也可能是( )cm2。 13．（本题3分）用一根长_____cm的铁丝正好可以做一个长9cm，宽7cm，高5cm的长方体框架，如果在框架外糊一层纸，至少需要_____cm2的纸。 14．（本题3分）三个用橡皮泥捏成的完全一样的长方体，三个同学用不同的方法分别将其中的一个切成两个完全一样的长方体。原来长方体的表面积是( )平方厘米。 15．（本题3分）淘气用正方体木块摆一摆，如果按照图中的规律摆下去，第④个图形有( )个面露在外面，第n个图形有( )个面露在外面。 三、判断题（共10分） 16．（本题2分）长方体的六个面一定都是长方形，不能有正方形的面。( ) 17．（本题2分）若一个正方体的表面积是，则这个正方体的底面积是。( ) 18．（本题2分）一个长方体的长和宽相等，这个长方体一定是一个正方体。( ) 19．（本题2分）把一个长20cm，宽10cm，高15cm的长方体木块锯成两个体积相等的小长方体，表面积最多增加300。( ) 20．（本题2分）把3个棱长是1dm的正方体木块拼成一个长方体，这个长方体的表面积比原来减少了3。( ) 四、计算题（共12分） 21．（本题6分）计算下面立体图形的表面积。 22．（本题6分）求下列图形的表面积。（单位：cm）     （1） （2） 五、解答题（共38分） 23．（本题6分）一个游泳池的长是25米，宽是10米，深是2.5米。要给游泳池四周和底面贴上瓷砖，至少需要多少平方米的瓷砖？ 24．（本题6分）有一间长10米、宽8米、高5米的长方体仓库，现在要给这个仓库的墙壁和屋顶粉刷涂料，除去门窗面积10平方米，如果每平方米需要0.45千克涂料，那么至少需要购买多少千克涂料？ 25．（本题6分）一种长方体铁皮烟囱，长和宽都是4分米，高为5米，制作这样一节烟囱至少需要多少平方分米的铁皮？ 26．（本题6分）一间教室长8米，宽6米、高4米，门窗和黑板的面积一共是20平方米，要粉刷这间教室的四周和房顶，粉刷的面积是多少平方米？ 27．（本题7分）小敏的好朋友要过生日了，小敏准备用彩色丝带把礼品盒包装一下（如下图），要捆扎这个礼品盒，如果接头处共长5分米，需要多少米的丝带？ 28．（本题7分）下图是一个左右对称、前后一致的立体零件。该零件上下底面是正方形，高为8厘米，正面凹陷处为腰长5厘米的等腰三角形，底边对应的高为3厘米，请你尝试计算这个立体图形的表面积。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $