专题04 数列（3大考点）（广东专用）2026年高考数学二模分类汇编

专题04 数列 3大考点概览 考点01等差数列的运算与求和 考点02等比数列的运算与求和 考点03数列的综合应用 ( 等差数列的运算与求和 考点1 ) 1．（2026·广东佛山·二模）等差数列1，46，91，…，2026共有（   ） A．44项 B．45项 C．46项 D．47项 【答案】C 【分析】根据题意，得到等差数列通项，令即可求解． 【详解】解：设等差数列，公差为， ，， 又，解得， 故等差数列1，46，91，…，2026共有46项． 2．（2026·广东东莞·二模）等差数列的前项和为，已知，则（   ） A．64 B．56 C．38 D．8 【答案】B 【分析】由等差中项的性质先求出，再代入等差数列的前项和公式计算即可得解. 【详解】由等差中项的性质可知， 所以，解得， 所以. 3．（2026·广东佛山·二模）等差数列的前项和为，公差为，且，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】等差数列中，由，得， 则，即，所以公差. 4．（2026·广东汕头·模拟预测）在等差数列中，且．若该数列前n项和为5070，则n为（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及前n项和公式列式求解. 【详解】在等差数列中，， 则，因此， 由该数列的前n项和为5070，得，则， 所以. 故选：C 5．（2026·广东揭阳·二模）（多选）已知等差数列的公差，为数列的前n项和，对给定的n且，，，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当，时， D．当，时， 【答案】ABD 【分析】利用等差数列通项公式写出不等式，利用不等式的性质解题. 【详解】对于A，当时， ， 因为 ，，所以 ， 又因为， ， 所以 ，故A正确； 对于B，当时， ， 若，则 ， 若，则 ，故B正确； 对于C，当时，， 若，则，因为，与题目条件矛盾， 若，则，，，故C错误； 对于D，当时， ， 又因为 ，代入可得： ，， 所以 ，解得，故D正确. 6．（2026·广东茂名·二模）（多选）已知等差数列的前n项和为，且，，则（    ） A． B．当时，最大 C．当时， D．数列的最小项为 【答案】BCD 【分析】根据题意可判断，，，据此结合等差数列的性质判断各项即可． 【详解】因为，即． 因为，所以的公差小于零， 则，，则，故，A错误； 因为当时，，且当时，，则当时，最大，B正确； 因为，，， 所以，，C正确； 因为当时，，且当时，， 所以当时，，此时． 又因当时，最小，且时，单调递减， 所以数列的最大值为，故数列的最小项为，所以D正确． 7．（2026·广东清远·二模）已知数列中，，则___________． 【答案】 【分析】先判断出数列是等差数列，求出其首项和公差，再利用公式求和即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以数列是等差数列，首项为6，公差为3， 所以 8．（2026·广东深圳·二模）已知等差数列的前项和为，首项为的最大值，则的值可以为___________．（写出符合条件的一个值即可） 【答案】260（均可） 【分析】根据为的最大值得出公差的取值范围，然后将代入等差数列的前项和公式计算. 【详解】因为等差数列首项，且是前项和的最大值， 所以公差，且满足， 根据等差数列通项公式可得：， 解得：， 再根据前项和公式可得： ， 化简得：，因此任取该区间内一个值即可，例如. 9．（2026·广东肇庆·二模）设数列满足且. (1)证明数列是等差数列，并求其通项公式； (2)若，求正整数的值. 【答案】(1)证明见解析， (2). 【详解】（1）因为，所以， 所以， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列. 所以. （2）由 解得，因为，所以， 所以， 所以， 所以，即，解得. 10．（2026·广东梅州·模拟预测）已知数列的前项积为，且． (1)证明：是等差数列； (2)设，记数列的前项和为，求证． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据前n项的积与通项公式的关系，结合题意证明即可. （2）根据（1）得到，再根据裂项相消法求，最后利用函数的单调性证明. 【详解】（1）由数列的前项积为，得， 故有，从而， 且，则，所以. 从而是首项为3，公差为2的等差数列. （2）由（1）知，， . 所以 ． 观察可知函数在上单调递增， 所以为递增数列，所以． ( 等比数列的运算与求和 考点 2 ) 11．（2026·广东揭阳·二模）已知数列满足，且，则数列的前项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，， 则数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以， 则， 所以数列的前项和为 . 12．（2026·广东湛江·二模）已知等比数列的各项均为正数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由等比数列的性质得. 由于的各项均为正数，所以. 13．（2026·广东广州·二模）已知等比数列满足，，记为其前项和，则（    ） A．4 B．6.5 C．8 D．12 【答案】C 【分析】根据等比中项可知，结合可得，即可得结果. 【详解】因为数列为等比数列，且，则， 又因为，即， 可得，可得， 所以. 14．（2026·广东江门·模拟预测）（多选）已知等比数列的首项为4，公比为，前项和为.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据等比数列片段和的性质及已知得，进而得到、，再依次判断各项的正误. 【详解】由题设，，而，则， 所以，又，则，A错， 且，所以，B对， ，，C对，D错. 故选：BC 15．（2026·广东汕头·二模）数列的前三项均为，是公比为3的等比数列，且. (1)求的前项和； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意结合等比数列通项公式可得，，结合等差数列求和公式运算求解； （2）整理可得，利用累加法结合等比数列求和公式运算求解. 【详解】（1）因为是公比为3的等比数列，且， 又因为，则， 可得，则， 可得， 所以. （2）因为，即，则， 可得， 则 ， 所以. 16．（2026·广东茂名·二模）已知等比数列满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为，，将数列与的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求的前10项和． 【答案】(1)； (2)243 【分析】（1）根据等比数列的性质可得首项和公比，从而得到通项公式； （2）由（1）知，从而得到的通项公式，从而得到中，且从第2项起，等差数列，得到的通项公式，得到的前10项和. 【详解】（1）设等比数列的公比为q，依题意可得，，，故， 又，解得（负值舍去），故， 所以数列的通项公式为； （2）由（1）知，所以， ， 当时，， 当时，． 所以， 由与公共项按从小到大的顺序组成，可设，m为正整数． 若，则，公共项为0； 若，则由，可得，n必须为偶数，令，， 则公共项为． 故且从第2项起，是以3为首项、6为公差的等差数列， 即， 所以数列的前10项和为． 17．（2026·广东肇庆·二模）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式． (2)设，数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用与的关系结合等比数列的通项公式求解即可； （2）结合（1）可得，利用裂项相消即可求出. 【详解】（1）因为 所以令，可得， 解得. 当时，， 则，即， 所以是首项为2，公比为2的等比数列， 所以数列的通项公式为. （2）因为， 所以， 即， 所以 . 因为，所以，即， 所以. ( 数列的综合应用 考点 3 ) 18．（2026·广东江门·二模）若数列满足，则称为“-拟等差数列”；若数列满足，则称为“-拟等比数列”． (1)若数列既是“2-拟等差数列”，又是“4-拟等比数列”，且，求的通项公式． (2)已知，，，数列是“-拟等比数列”，的前项和为． （i）证明：存在，使得是“-拟等差数列”． （ii）证明：． 【答案】(1)或； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【分析】（1）设公差为，根据数列新定义得到方程，解出值，最后验证即可； （2）（i）根据数列新定义得到方程，再构造常数列即可证明； （ii）首先分析得，再对分奇偶数讨论，再利用的单调性，最后取值放缩即可. 【详解】（1）因为是“2-拟等差数列”，所以，则是等差数列，设的公差为. 又是“4-拟等比数列”，所以， 即，即. 当时，由，得； 当时，由，得. （2）（i）由“-拟等比数列”的定义，取，得， 即，得，所以. 由可得， 即，即. 所以是常数列，，即，即是“-拟等差数列”. （ii）由，得， 可知是等比数列，首项为，公比为，故. 当为奇数时，； 当为偶数时，. 所以当为奇数时，； 当为偶数时，. 设，则. 当时，，则在区间上单调递减； 当时，，则在区间上单调递增. 所以，即，当且仅当时，等号成立. 取，其中，则有，即，即， 则. 当为奇数时，. 当为偶数时，. 综上，. 19．（2026·广东东莞·二模）进位制是人们为了计数和计算方便而约定的计数方式，通常“满十进一，就是十进制；满三进一，就是三进制；满二进一，就是二进制；…；满几进一，就是几进制”.记十进制下的自然数在三进制下的表示为，则，其中，例如十进制数，所以19在三进制下可写为. (1)设正整数在三进制下的各位数字之和； （i）将满足的正整数从小到大排成一列，写出该列数的前四个数； （ii）证明：； (2)已知正整数，设正项数列的前项和为，且，，证明：（其中[x]表示不大于的最大整数）. 【答案】(1)（i）5、7、11、13；（ii）证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）（i）应用新定义求解；（ii）应用数列新定义计算求和即可证明； （2）应用已知结合计算结合等比数列定义及通项公式得出，方法一：分类讨论结合求和公式计算证明即可；方法二：构造函数分段计算结合新定义计算证明. 【详解】（1）（i）5、7、11、13 （ii）设，其中 则， 因为， 所以， 同理，， 所以，所以. （2）因为，所以，即， 由数列为正项数列，则，所以. 又因为，则， 所以，所以 则，两式作差得， 又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列，可得. 方法一： 因为，设， 当时，； 当时，， 当时，， 所以，即 当时，； 当时，， 当时，， 所以， 即 同理可得 ， 当时，，所以 所以 ．证毕 方法二：上接， 对任意实数，记，其中 当时， 当时， 当时， 故对任意实数，恒有， 则. 代入，得， 取正整数满足，则，记， 则， 当，故，得证． 20．（2026·广东广州·二模）从中任取3个不同的数，且这3个数从小到大构成一个等差数列，这样的等差数列共有个，这个等差数列的所有项之和为． (1)写出的值； (2)求； (3)求． 【答案】(1)， (2) (3)   【分析】(1)通过列举法求解即可，（2）设取出的3个数从小到大依次为 ，由于它们构成等差数列，则有核心性质：,因为 是正整数，所以 必然为偶数.这就要求 与 的和为偶数，即 与 必须同奇或同偶.反之，只要从 中任取两个同奇或同偶的不同整数作为 和 （不妨设 ），则它们的中点 必然是一个整数，且一定满足 .因此，构成等差数列的个数 ，等价于从 中选取2个同奇或同偶的数的组合数.（3）求出与的关系，再利用（2）中的结论求和即可. 【详解】（1）当时，等差数列为所以 当时，所以 所以. （2）对 的奇偶性进行分类讨论： 当 为偶数时，设 ：集合中共有 个奇数和 个偶数.从中任取2个同奇或2个同偶的数，方法数为： 将 代入，得： 当 为奇数时，设 ：集合中共有 个奇数和 个偶数.从中任取2个同奇或2个同偶的数，方法数为： 将 代入（此时 ），得： 综上所述： （3）设所有满足条件的等差数列构成的集合为 ，由第（2）问可知集合 中共有 个元素. 对于任意一个等差数列 ，由于 ， 且 （设公差为 ）. 构造数列 ，显然有： 且 即新数列也是公差为 的等差数列，故 . 原数列各项和为 ，对称数列各项和为 . 将集合 中的等差数列按此对称性求和（对集合 遍历两次），可得： 所以 . 结合第（2）问的结论：当 为偶数时， ，则 ；当 为奇数时， ，则 . 综上所述： . 【点睛】列举法是数列新定义的求解重要方法，数列中和与项的关系是求和的主要思路. 21．（2026·广东广州·模拟预测）设函数的定义域为，且的导函数在上的图象是一条连续不断的曲线，已知，且对于任意，都有． (1)判断函数的单调性，并证明：对于任意，都有 (2)若在上单调递增，且数列满足． （i）证明：数列单调递减； （ii）记为数列的前项和，证明：对于任意，都有． 【答案】(1)函数在上单调递增，证明见解析； (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）先对求导，然后根据已知条件判断函数在上单调递增，然后证明，进而证明出结论. （2）（i）根据函数在上单调递增证明，进而证明结论； （ii）根据已知条件先证明，进而证明出结论. 【详解】（1）由题有． 因为对于任意，都有， 即，且，所以，故函数在上单调递增， 下面证明：． 因为，所以，由的单调递增性质可知， 即．因为且，整理得：． 同理，因为，所以，由的单调递增性质可知， 即，整理得． 将两式相加得， 因为，两边同时除以， 得，得证． （2）（i）由题意，则． 要证明数列单调递减，即证明单调递增， 因为在上单调递增，且，所以． 由（1）知，在上单调递增，且，所以． 因为，且定义域为，且单调递增， 故当时，从而， 所以，即．故数列单调递减． （ii）记． 由（1）可知有， 同理， 依此类推，可得：， 将代入右侧可得，即． 由题意，令，则满足，所以． 因为在上单调递增，所以， 即，得证． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 数列 3大考点概览 考点01等差数列的运算与求和 考点02等比数列的运算与求和 考点03数列的综合应用 ( 等差数列的运算与求和 考点1 ) 1．（2026·广东佛山·二模）等差数列1，46，91，…，2026共有（   ） A．44项 B．45项 C．46项 D．47项 2．（2026·广东东莞·二模）等差数列的前项和为，已知，则（   ） A．64 B．56 C．38 D．8 3．（2026·广东佛山·二模）等差数列的前项和为，公差为，且，则（   ） A． B． C．2 D．4 4．（2026·广东汕头·模拟预测）在等差数列中，且．若该数列前n项和为5070，则n为（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 5．（2026·广东揭阳·二模）（多选）已知等差数列的公差，为数列的前n项和，对给定的n且，，，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当，时， D．当，时， 6．（2026·广东茂名·二模）（多选）已知等差数列的前n项和为，且，，则（    ） A． B．当时，最大 C．当时， D．数列的最小项为 7．（2026·广东清远·二模）已知数列中，，则___________． 8．（2026·广东深圳·二模）已知等差数列的前项和为，首项为的最大值，则的值可以为___________．（写出符合条件的一个值即可） 9．（2026·广东肇庆·二模）设数列满足且. (1)证明数列是等差数列，并求其通项公式； (2)若，求正整数的值. 10．（2026·广东梅州·模拟预测）已知数列的前项积为，且． (1)证明：是等差数列； (2)设，记数列的前项和为，求证． ( 等比数列的运算与求和 考点 2 ) 11．（2026·广东揭阳·二模）已知数列满足，且，则数列的前项和为（   ） A． B． C． D． 12．（2026·广东湛江·二模）已知等比数列的各项均为正数，且，则（   ） A． B． C． D． 13．（2026·广东广州·二模）已知等比数列满足，，记为其前项和，则（    ） A．4 B．6.5 C．8 D．12 14．（2026·广东江门·模拟预测）（多选）已知等比数列的首项为4，公比为，前项和为.若，则（    ） A． B． C． D． 15．（2026·广东汕头·二模）数列的前三项均为，是公比为3的等比数列，且. (1)求的前项和； (2)求. 16．（2026·广东茂名·二模）已知等比数列满足，，． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前n项和为，，将数列与的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求的前10项和． 17．（2026·广东肇庆·二模）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式． (2)设，数列的前项和为，证明：． ( 数列的综合应用 考点 3 ) 18．（2026·广东江门·二模）若数列满足，则称为“-拟等差数列”；若数列满足，则称为“-拟等比数列”． (1)若数列既是“2-拟等差数列”，又是“4-拟等比数列”，且，求的通项公式． (2)已知，，，数列是“-拟等比数列”，的前项和为． （i）证明：存在，使得是“-拟等差数列”． （ii）证明：． 19．（2026·广东东莞·二模）进位制是人们为了计数和计算方便而约定的计数方式，通常“满十进一，就是十进制；满三进一，就是三进制；满二进一，就是二进制；…；满几进一，就是几进制”.记十进制下的自然数在三进制下的表示为，则，其中，例如十进制数，所以19在三进制下可写为. (1)设正整数在三进制下的各位数字之和； （i）将满足的正整数从小到大排成一列，写出该列数的前四个数； （ii）证明：； (2)已知正整数，设正项数列的前项和为，且，，证明：（其中[x]表示不大于的最大整数）. 20．（2026·广东广州·二模）从中任取3个不同的数，且这3个数从小到大构成一个等差数列，这样的等差数列共有个，这个等差数列的所有项之和为． (1)写出的值； (2)求； (3)求． 21．（2026·广东广州·模拟预测）设函数的定义域为，且的导函数在上的图象是一条连续不断的曲线，已知，且对于任意，都有． (1)判断函数的单调性，并证明：对于任意，都有 (2)若在上单调递增，且数列满足． （i）证明：数列单调递减； （ii）记为数列的前项和，证明：对于任意，都有． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $