专题9.4 复数的三角形式（高效培优讲义）数学沪教版高一必修第二册

专题9.4 复数的三角形式 教学目标 1.理解复数的有关概念及复数的三角形式。 2.掌握复数的三角形式，熟练记忆并理解复数三角形式下的乘除运算、乘方与开方等运算性质。 教学重难点 1.重点 （1）复数的有关概念； （2）复数的三角形式； （3）三角形式下的乘除运算、乘方与开方运算。 2.难点 （1）复数的三角形式； （2）三角形式下的乘除运算、乘方与开方运算。 知识点01 复数的三角形式 （1）复数的三角表示式 一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式． （2）辐角的主值 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作，即．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式． （3）三角形式下的两个复数相等 两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． （4）复数三角形式的乘法运算 ①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即 ． ②复数乘法运算的三角表示的几何意义 复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积． （5）复数三角形式的除法运算 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即． 题型01 复数的三角形式 【典例1】．复数化成三角形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一下·湖北武汉·期中）欧拉公式（是自然对数的底数，是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系.根据此公式，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．将复数化为代数形式为_________． 【变式3】．将复数化为三角形式：___________． 题型02 三角形式下的复数的乘除运算 【典例2】．_________． 【变式1】．（25-26高一下·全国·课后作业）的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高三上·浙江温州·期末）已知复数，，其中为虚数单位，则__________． 【变式3】．（2026·山东烟台·一模）已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型03 三角形式下复数的乘法与开方 【典例3】．已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】．计算：____________． 【变式2】．（23-24高一下·福建莆田·期中）法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：．据此公式，复数的虚部为______． 【变式3】．（2026·重庆·一模）任何一个复数 都可以表示成 的形式，通常称为复数的三角形式． 法国数学家棣莫弗发现： ，我们称这个结论为棣莫弗定理． 则 的值为（    ） A． B． C． D． 题型04 综合应用 【典例4】．（25-26高一下·江苏南京·期中）设复数 （其中为虚数单位，），. (1)若是实数，求的值； (2)若是纯虚数，求的值. 【变式1】．（25-26高一下·湖南·期中）已知复数的三角形式是，其中是复数的模，是复数的辐角.当时，称为辐角的主值，记为.复数的三角形式在复数的乘法运算中有非常直观的几何意义：若，则.即模相乘，辐角相加. (1)写出复数的三角形式，并计算（三角形式），由此归纳出的三角形式； (2)设复平面上单位圆内接正十六边形的16个顶点对应的复数依次为（逆时针顺序），其中.求复数在复平面所对应不同点的个数； (3)设复数不全为实数，，证明：. 一、单选题 1．（2026·湖南怀化·模拟预测）已知x为复数，下列选项中是方程的根的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·上海·期末）复数的三角形式是（    ） A．； B．； C．； D．. 3．（2026·河北沧州·二模）（   ） A．i B．-i C．1 D．-1 4．（25-26高三上·河南南阳·期末）任何一个复数（其中，i为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（25-26高一下·全国·课后作业）复数化为三角形式为_____________，_____________． 6．（2025·四川成都·一模）欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献，人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”，其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特殊情况.若复数，则=______． 7．（25-26高二上·湖北孝感·月考）设i为虚数单位，复数，则|z－i|的最大值为______． 8．___________. 9．复数的平方根是____________． 10．若，则______________． 三、解答题 11．已知复数，，求的辐角的主值． 12．计算： (1) (2). 13．（24-25高一下·山东泰安·期中）已知复数，（）. (1)若复数为纯虚数，求的值； (2)设，分别为的一个辐角，若，求的值. 14．根据代数基本定理，给定正整数，方程有个复数根，分别是，，这些根称为次单位根，此时有.当与互质时，称为次本原单位根.次本原单位根的另一个等价定义是，若，且不存在小于的正整数使得，则称复数为次本原单位根. 给定正整数，我们定义级分圆多项式，其中，，…，是全部次本原单位根. (1)写出，，，并化简； (2)若是质数（或称素数），求出并化成最简形式； (3)探究是否存在正整数，和使得对任意复数恒成立. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.4 复数的三角形式 教学目标 1.理解复数的有关概念及复数的三角形式。 2.掌握复数的三角形式，熟练记忆并理解复数三角形式下的乘除运算、乘方与开方等运算性质。 教学重难点 1.重点 （1）复数的有关概念； （2）复数的三角形式； （3）三角形式下的乘除运算、乘方与开方运算。 2.难点 （1）复数的三角形式； （2）三角形式下的乘除运算、乘方与开方运算。 知识点01 复数的三角形式 （1）复数的三角表示式 一般地，任何一个复数都可以表示成形式，其中是复数的模；是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角．叫做复数的三角表示式，简称三角形式． （2）辐角的主值 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差的整数倍．规定在范围内的辐角的值为辐角的主值．通常记作，即．复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式． （3）三角形式下的两个复数相等 两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． （4）复数三角形式的乘法运算 ①两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和，即 ． ②复数乘法运算的三角表示的几何意义 复数对应的向量为，把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍，得到向量，表示的复数就是积． （5）复数三角形式的除法运算 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差，即． 题型01 复数的三角形式 【典例1】．复数化成三角形式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.84 【知识点】诱导公式二、三、四、特殊角的三角函数值、复数的三角表示、复数的三角形式 【分析】求出复数的辐角，即可得其三角形式. 【详解】复数对应的点为，. 设复数的辐角为，则. 因为点在第四象限，所以的一个值为. 所以复数化成三角形式为. 故选：C. 【变式1】．（25-26高一下·湖北武汉·期中）欧拉公式（是自然对数的底数，是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系.根据此公式，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】复数的三角表示 【详解】依题意， 【变式2】．将复数化为代数形式为_________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】特殊角的三角函数值、复数的三角表示 【详解】． 【变式3】．将复数化为三角形式：___________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】复数的三角表示 【分析】根据复数三角式的形式进行求解即可. 【详解】，设该复数的辐角主值为， 因为复数在复平面上的对应点的坐标为，它在第二象限， 且，所以， 所以. 故答案为： 题型02 三角形式下的复数的乘除运算 【典例2】．_________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】复数的三角表示、复数乘、除运算的三角表示 【详解】 ． 【变式1】．（25-26高一下·全国·课后作业）的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、复数的三角形式、复数的除法运算 【分析】利用复数的除法运算并结合两角和差的正余弦公式化简即可. 【详解】 . 故选：C 【变式2】．（25-26高三上·浙江温州·期末）已知复数，，其中为虚数单位，则__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】复数乘、除运算的三角表示 【分析】根据已知条件，运用复数三角形式乘法法则即可求解． 【详解】由复数三角形式乘法法则得到:. 故答案为：. 【变式3】．（2026·山东烟台·一模）已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】判断复数对应的点所在的象限、复数乘、除运算的三角表示 【详解】因为复数， 所以， 所以复数在复平面内对应的点的坐标为， 又，， 所以在复平面内对应的点位于第一象限. 题型03 三角形式下复数的乘法与开方 【典例3】．已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】在各象限内点对应复数的特征、复数的除法运算、复数的乘方 【分析】通过题意找出规律，再化简原式写出复数在复平面内对应的点的坐标判断象限即可. 【详解】因为， 所以对应点在第二象限. 故选：B． 【变式1】．计算：____________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】复数的乘方、复数的除法运算 【分析】根据复数的除法及乘方运算法则计算即可； 【详解】. 故答案为：. 【变式2】．（23-24高一下·福建莆田·期中）法国著名的数学家棣莫弗提出了公式：．据此公式，复数的虚部为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】三角表示下复数的乘方与开方 【分析】结合复数定义，借助所给公式计算即可得. 【详解】， 故其虚部为. 故答案为：. 【变式3】．（2026·重庆·一模）任何一个复数 都可以表示成 的形式，通常称为复数的三角形式． 法国数学家棣莫弗发现： ，我们称这个结论为棣莫弗定理． 则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】复数的三角表示、三角表示下复数的乘方与开方 【分析】根据题意，将化为三角形式，再根据棣莫弗定理化简求值，即得答案. 【详解】 ， 故选：C 题型04 综合应用 【典例4】．（25-26高一下·江苏南京·期中）设复数 （其中为虚数单位，），. (1)若是实数，求的值； (2)若是纯虚数，求的值. 【答案】(1) (2). 【难度】0.85 【知识点】已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算、复数加减法的代数运算、复数的除法运算 【分析】（1）计算 ，根据其为实数求出 的值，再由复数的乘法法则计算即得； （2）根据复数的除法法则化简 ，利用其为纯虚数求出的值即可. 【详解】（1）因为 ， ，所以 ， 因为 是实数，所以，解得 ，则 ， 所以 ； （2） 因为 是纯虚数，所以且 ， 则得，满足 ，故. 【变式1】．（25-26高一下·湖南·期中）已知复数的三角形式是，其中是复数的模，是复数的辐角.当时，称为辐角的主值，记为.复数的三角形式在复数的乘法运算中有非常直观的几何意义：若，则.即模相乘，辐角相加. (1)写出复数的三角形式，并计算（三角形式），由此归纳出的三角形式； (2)设复平面上单位圆内接正十六边形的16个顶点对应的复数依次为（逆时针顺序），其中.求复数在复平面所对应不同点的个数； (3)设复数不全为实数，，证明：. 【答案】(1) (2)8个 (3)证明见解析 【难度】0.42 【知识点】复数的三角形式、单位根及应用、复数的乘方、复数的三角表示 【分析】(1)写出的三角形式，再观察规律； (2) 根据三角函数的周期性求解； (3) 根据导出三角关系再求解. 【详解】（1），故.故. （2）正十六边形每边对应的圆心角为，故任意一个顶点逆时针旋转可得到下一个顶点， 即. 故， 由三角函数的周期性知，，即以8为周期，所以一共对应8个不同的点. （3）设是复数的辐角主值，是复数的辐角主值， ，则. ，即， 即. 又因为，所以. 采用反证法：假设，因为不全为实数，则，所以. 即，进一步得到， 又，所以，所以， 故，这与矛盾，故假设不成立， 从而. 一、单选题 1．（2026·湖南怀化·模拟预测）已知x为复数，下列选项中是方程的根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.7 【知识点】复数范围内方程的根、复数的三角表示 【详解】， ，， ，即， 即 ∴或， 根据各项复数的三角表示，只有D符合. 2．（24-25高一下·上海·期末）复数的三角形式是（    ） A．； B．； C．； D．. 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】复数乘、除运算的三角表示、复数的三角形式、复数的三角表示 【分析】根据两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角，通过计算得到答案. 【详解】， 故选：C. 3．（2026·河北沧州·二模）（   ） A．i B．-i C．1 D．-1 【答案】D 【难度】0.92 【知识点】复数的乘方 【分析】根据乘方运算的周期性求解. 【详解】. 4．（25-26高三上·河南南阳·期末）任何一个复数（其中，i为虚数单位）都可以表示成三角形式（其中，），数学家棣莫弗由此还发现了棣莫弗定理：.已知复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求复数的实部与虚部、三角表示下复数的乘方与开方 【分析】由题意可得，然后由棣莫弗定理得，即可求解其虚部. 【详解】由题意可得， 故， 即的虚部为. 故选：C. 二、填空题 5．（25-26高一下·全国·课后作业）复数化为三角形式为_____________，_____________． 【答案】 【难度】0.67 【知识点】复数的三角表示、复数的三角形式 【分析】根据复数的形式，由实部和虚部的值直接确定复数的三角形式. 【详解】复数对应的点在第一象限，且，. 因为，所以． 故答案为：；. 6．（2025·四川成都·一模）欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献，人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”，其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特殊情况.若复数，则=______． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】求复数的模、复数的三角表示 【分析】根据欧拉公式写出对应复数的三角形式并化简，即可求模． 【详解】由欧拉公式得，又， 所以，． 故答案为：． 7．（25-26高二上·湖北孝感·月考）设i为虚数单位，复数，则|z－i|的最大值为______． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】求复数的模 【分析】利用复数的性质识别复数的实部和虚部，再利用模长公式结合三角函数的性质计算. 【详解】已知，则， ， 因为，所以， 所以，当且仅当时等号成立，即最大值为2. 故答案为：2. 8．___________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】复数乘、除运算的三角表示 【分析】利用三角形式的复数乘法运算求解. 【详解】. 故答案为： 9．复数的平方根是____________． 【答案】， 【难度】0.65 【知识点】复数的乘方、复数的相等 【分析】设复数的平方根是，结合复数的乘方运算以及复数相等的条件得，解方程组即可求出结果. 【详解】设复数的平方根是， 所以， 所以， 解得或， 所以复数的平方根是和. 故答案为：，. 10．若，则______________． 【答案】1 【难度】0.94 【知识点】复数的乘方 【分析】利用复数的三角形式，代入计算可得 【详解】由， 所以， 综上，， 故答案为：1 三、解答题 11．已知复数，，求的辐角的主值． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】复数乘、除运算的三角表示 【分析】利用复数的乘法运算化简，再结合辐角主值的定义求出. 【详解】 ， 因为辐角主值属于，所以的辐角的主值为． 12．计算： (1) (2). 【答案】(1) (2) 【难度】0.75 【知识点】复数乘、除运算的三角表示 【分析】（1）（2）利用复数三角形式的乘法运算求解. 【详解】（1） （2） 13．（24-25高一下·山东泰安·期中）已知复数，（）. (1)若复数为纯虚数，求的值； (2)设，分别为的一个辐角，若，求的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.73 【知识点】已知复数的类型求参数、复数的三角表示、复数的除法运算 【详解】（1） ， 为纯虚数，故，解得； （2），， 则，，， 若，则，即 14．根据代数基本定理，给定正整数，方程有个复数根，分别是，，这些根称为次单位根，此时有.当与互质时，称为次本原单位根.次本原单位根的另一个等价定义是，若，且不存在小于的正整数使得，则称复数为次本原单位根. 给定正整数，我们定义级分圆多项式，其中，，…，是全部次本原单位根. (1)写出，，，并化简； (2)若是质数（或称素数），求出并化成最简形式； (3)探究是否存在正整数，和使得对任意复数恒成立. 【答案】(1)，， (2) (3)不存在 【难度】0.15 【知识点】不可约多项式，最简多项式、单位根、单位根及应用、复数与三角及复数与方程 【分析】（1）直接根据题设定义，即可求解； （2）根据条件得，再结合题设有，，即可求解； （3）利用反证法，先假设存在正整数，和，由题设可得，再分和两种情况讨论，得到矛盾，即可求解. 【详解】（1）当时，与互质且小于等于的正整数只有1， 则， 当时，与互质且小于等于的正整数只有1和， 则 ， 当时，与6互质且小于等于6的正整数只有1和5， 则 . （2）当是质数时，与互质且小于等于的正整数有1，2，…，，只有与自己不互质. 根据分圆多项式的定义，有， 其中，，且， 由题意得， 从而. （3）不存在，采用反证法说明. 假设存在正整数，和使得对任意复数恒成立， 若为次本原单位根，则且，从而有， 若，则， 则存在使得，即成立， 从而为次本原单位根，则， 根据本原单位根的等价定义，此时必有，否则可导出矛盾， 代入，可得， 又不为零多项式，所以，但这是不可能的， 同理若，我们也可以得出矛盾， 从而不存在正整数，和使得对任意复数恒成立. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $