第九章 复数（11大题型精讲）（复习讲义）高一数学沪教版必修第二册

第九章 复数（复习讲义） 1、了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程，理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念，掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件. 2、理解用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系，掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念，掌握用向量的模来表示复数的模的方法. 3、掌握复数代数形式的加法和减法运算，理解复数加法和减法所满足的交换律和结合律. 4、掌握复数代数形式的乘法和除法运算，理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律，了解复数乘法的几何意义. 5、 理解复数的三角形式的概念，会把复数的代数形式化为三角形式，会运用复数三角形式的乘法和除法法则进行复数的运算. 一、复数及其四则运算 知识点1　复数的加法与减法 (1)复数加法的运算法则 两个复数的和仍是一个复数，两个复数的和的实部是它们的实部的和，两个复数的和的虚部是它们的虚部的和，也就是任意两个复数a＋bi和c＋di(a，b，c，d∈R)，有(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i． (2)复数减法的运算法则 两个复数的差仍是一个复数，两个复数的差的实部是它们的实部的差，两个复数的差的虚部是它们的虚部的差，也就是任意两个复数a＋bi和c＋di(a，b，c，d∈R)，有(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i． (3)复数的加法运算的运算律： 结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)； 交换律：z1＋z2＝z2＋z1． 知识点2　复数的乘法 (1)复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i． (2)复数乘法的运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1·z2＝z2·z1 结合律 (z1·z2) ·z3＝z1· (z2·z3) 乘法对加法 的分配律 z1· (z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3 (3)复数的指数幂的运算性质 对复数z，z1，z2和正整数m，n，有zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1·z2)n＝． (4)虚数单位i乘方的周期性 对于任意自然数n，有i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i，i4n+4＝1． (5)共轭复数的性质：互为共轭复数的两个复数的乘积是实数，等于这个复数(或其共轭复数)模的平方．即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z·＝|z|2＝||2＝a2＋b2． 知识点3　复数的除法 (1)复数的除法 对任意的复数z1＝a＋bi(a，b∈R)和非零复数z2＝c＋di(c，d∈R)，规定复数的除法：＝z1·．即除以一个复数等于乘这个复数的倒数．因此＝＝(a＋bi)＝i． (2)复数除法的运算 在实际计算时，通常把分子和分母同乘分母c＋di的共轭复数c－di，化简后就得到上面的结果：＝＝i． 由此可见，在进行复数除法运算时，实际上是将分母“实数化”． 知识点4　复数的有关概念 形如a＋bi(其中a，b∈R)的数叫作复数，通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a称为复数z的实部，记作Re z, b称为复数z的虚部，记作Im z． 知识点5　复数的分类 根据复数中a，b的取值不同，复数可以有以下的分类： 复数a＋bi(a，b∈R) 知识点6　共轭复数 (1)定义：若两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数，复数z的共轭复数用表示．当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a－bi． (2)几何意义：在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等．另外，当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，有z＝．也就是说，任意一个实数的共轭复数仍是它本身，反之亦然． 知识点7　复数相等 两个复数a＋bi与c＋di(a，b，c，d∈R)相等定义为：它们的实部相等且虚部相等，即a＋bi＝c＋di当且仅当a＝c且b＝d． [特别提示]　当两个复数为实数时，能够比较大小；否则不能比较大小． 二、复数的几何意义 知识点1　复平面 通过建立平面直角坐标系来表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 知识点2　复数的几何意义 [特别提示]　第一象限的复数特点：实部为正，且虚部为正； 第二象限的复数特点：实部为负，且虚部为正； 第三象限的复数特点：实部为负，且虚部为负； 第四象限的复数特点：实部为正，且虚部为负． 知识点3　复数加法的几何意义 如图，z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)分别与向量＝(a，b)，＝(c，d)对应，根据平面向量的坐标运算，得＝(a＋c，b＋d)，这说明两个向量的和就是与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应的向量．因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，这是复数加法的几何意义． 知识点4 复数乘法的几何意义 设复数z1＝a＋bi(a，b∈R)所对应的向量为． ①z2＝(a＋bi)·c(c>0)所对应的向量为，则是与c的数乘，即是将沿原方向伸长或压缩为原来的c倍得到的． ②z3＝(a＋bi)·i所对应的向量为，则是将逆时针旋转得到的． 知识点5　复数的模 向量的模称为复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|． 由向量模的定义可知，|z|＝|a＋bi|＝．如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模等于|z|＝＝＝|a|(a的绝对值)． 三、复数的三角表示 知识点1　复数的三角形式 (1)复数的模和辐角：与复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量的模r称为这个复数的模，且r＝．以原点O为顶点，x轴的非负半轴为始边、向量所在的射线为终边的角θ，称为复数z＝a＋bi的辐角． (2)复数的三角形式：任何复数z＝a＋bi(a，b∈R)都可以表示为z＝r(cos θ＋isin θ)，其中r＝，cos θ＝，sin θ＝．这个式子称为复数z＝a＋bi(a，b∈R)的三角表示式，简称三角形式． (3)辐角的主值：将满足条件0≤θ<2π的辐角值，称为辐角的主值，记作arg z，即0≤arg_z<2π． (4)非零复数的相等：两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． [特别提示]　0的模是唯一确定的，辐角的主值是任意的，非零复数的模和辐角的主值都是唯一确定的． [特别提示]设纯虚数为bi(b≠0)，当b>0时，arg(bi)＝；当b<0时，arg(bi)＝． 知识点2　复数三角形式的乘法 (1)定义：设z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则z1·z2＝＋isin θ2)＝r1r2[cos_(θ1＋θ2)＋isin_(θ1＋θ2)]．这就是说，两个复数相乘，积的模等于它们的模的积，积的辐角等于它们的辐角的和． (2)复数乘法的几何意义：两个复数z1，z2相乘时，可以先画出它们分别对应的向量，然后把向量绕原点O按逆时针方向旋转角θ2(若θ2＜0，就要把绕原点O按顺时针方向旋转角|θ|)，再把它的模变为原来的r2倍，所得向量就表示复数z1，z2的乘积． 知识点3　复数三角形式的除法 设z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z2≠0，则＝＝－θ2)]． 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差． 题型一 复数的四则运算 1．已知，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】借助复数运算法则计算即可得. 【详解】. 2．若，则_______. 【答案】0 【分析】根据复数的运算法则计算，再利用的整数次幂的周期性求解. 【详解】已知， 所以 . 3．计算． 【答案】 【分析】利用复数的运算法则可得答案. 【详解】原式． 4．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据运算的周期性和复数的除法运算直接化简求解即可. 【详解】，. 故选：A. 5．已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的乘法计算即可求解. 【详解】由，得， 即，得. 故选：A 6．已知复数满足，则是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的除法运算求解. 【详解】因为复数满足， 所以， 故选：C 题型二 复数的实部与虚部 1．已知复数，复数的虚部为（   ） A． B．3i C．3 D． 【答案】D 【分析】根据复数的除法对复数进行化简，确定其虚部即可. 【详解】. 所以复数的虚部为. 故选：D. 2．若复数的实部与虚部相等，则的值为（   ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据复数的除法运算，结合实部与虚部相等，可得，再解方程即可． 【详解】， 因为实部与虚部相等， 所以，解得． 故选：D． 3．已知复数满足，则复数的实部为_____. 【答案】0 【分析】根据复数的除法运算即可得到答案. 【详解】. 则其实部为0. 故答案为：0. 4．若复数满足，则的实部为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据复数的除法运算化简，再根据复数的概念求解. 【详解】因为， 所以, 所以的实部为2. 故选：C 5．若，则的虚部为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由复数除法和虚部的概念即可求解. 【详解】因为，所以的虚部为-1. 故选：C. 6．复数的实部与虚部分别为（   ） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】B 【分析】利用复数的除法化简复数，结合复数的概念可得出合适的选项. 【详解】因为，所以复数的实部为，虚部为. 故选：B. 题型二 复数的分类 1．若复数与都是纯虚数，则复数______. 【答案】 【分析】首先设出复数的一般形式，再根据纯虚数的定义得到实部和虚部的方程，进而求解. 【详解】复数为纯虚数，设，则， 又都是纯虚数，，解得， . 故答案为：. 2．已知，且为纯虚数，则（    ） A． B．2 C． D．6 【答案】D 【分析】运用复数的定义和四则运算进行求解. 【详解】解法一： 由题可得， 因为为纯虚数，所以，解得. 故选：D. 解法二： 因为为纯虚数，所以可设， 化简得，则，. 故选：D. 3．实数取什么值时，复数是下列数？ (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数. 【答案】(1)或; (2)且； (3). 【分析】根据复数的概念分别列等式求解即可. 【详解】（1）当复数是实数时，，解得或； （2）当复数是虚数时，，解得且； （3）当复数是纯虚数时，则，解得. 4．已知复数，则“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由题知“”，则，而复数为纯虚数，则，且，然后根据逻辑命题条件的判定即可. 【详解】设复数，则， ， 而复数为纯虚数，则，且， 所以“”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件. 故选：B. 题型四 共轭复数 1．若，则复数的共轭复数的虚部是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数除法运算法则结合共轭复数的概念、复数的概念计算即可. 【详解】由题得，， ，其虚部为，D正确. 2．已知复数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数代数形式的除法计算可得. 【详解】由，得，则. 故选：A 3．已知复数，其共轭复数为，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据共轭复数的定义和复数的乘法求解. 【详解】已知，则， 故. 故选：B． 4．若复数满足，则复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数模和四则运算，即可得到答案； 【详解】 ， 复数的虚部是， 故选：C. 5．已知复数（为虚数单位），则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用复数的乘方运算及除法运算计算z，再求解复数的共轭复数. 【详解】由题意有：， 所以. 故选：B. 题型五 复数相等 1．已知复数z满足，则的虚部为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】设出复数，利用共轭复数的意义及复数相等，列式求出即可. 【详解】设，由，得， 则，因此，所以复数的虚部为. 故选：A 2．，若，则复数为（   ） A．2 B． C．2或 D．4 【答案】A 【分析】先利用对复数进行分母有理化，再根据利用共轭复数性质求出，进而求解复数． 【详解】， ， ， ， ， ． 故选：A． 3．已知复数z满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】设复数，即可求出，再根据复数相等的充要条件求出、，即可得解. 【详解】设复数，所以， 又，所以， 即，所以，解得，所以，则的虚部为. 故选：C 4．若复数满足：，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用共轭复数的定义、复数运算以及复数相等可得出的值. 【详解】因为复数，则， 故. 故选：B. 5．已知（a，，为虚数单位），则（    ） A．5 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用复数的运算及复数相等的条件，得，即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 故选：A. 6．若复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】设，化简等式左侧，结合复数相等的概念即可. 【详解】设，则， 则，因此． 故选：A． 题型六 复平面与复数的坐标表示 1．在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据复数的运算化简，根据复数的几何意义即可求解. 【详解】因为， 所以其对应的点为，位于第四象限. 故选：D. 2．若复数与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，则（   ） A．5 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用复数的几何意义求出，再利用复数乘法求解. 【详解】由复数与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，得， 所以. 故选：B 3．复数在复平面内对应的点为，则（   ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】利用复数的几何意义和代数运算求解. 【详解】因为复数在复平面内对应的点为，所以， 计算， 故选：A. 4．已知，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据复数的除法和复数的几何意义即可得到答案. 【详解】， 则其在复平面内所对应的点坐标为，位于第二象限. 故选：B. 5．已知复数是实数，是虚数单位． (1)求复数； (2)在复平面内，若复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用复数的除法运算以及实数的概念求解； （2）利用复数的乘法运算化简，结合复数的几何意义求解. 【详解】（1）因为， 所以. 又因为是实数，所以，所以. 所以. （2）因为， 所以. 又因为复数在复平面内对应的点在第一象限，所以， 解得，即实数的取值范围是. 6．已知复数，（）， (1)若z为纯虚数，求m的值； (2)若复数z对应的点位于第二象限，求m的取值范围； (3)若复数z对应的点位于直线上，求复数z. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）按照复数的相关概念列方程组求解； （2）利用复数的几何意义列不等式组求解； （3）将复数z对应的点的坐标代入直线方程求解. 【详解】（1）若z为纯虚数，则， 解得； （2）若复数z对应的点位于第二象限，则， 解得； （3）若复数z对应的点位于直线上，则， 解得或， 则或. 题型七 复数的向量表示 1．设复数，在复平面内对应的向量分别为、，则向量对应的复数所对应的点的坐标为________. 【答案】 【分析】求出向量、的坐标后求出的坐标可得对应的复数所对应的点的坐标. 【详解】因为复数，在复平面内对应的向量分别为、， 所以，，故， 故向量对应的复数所对应的点的坐标为， 故答案为：. 2．设复数，，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据复数的加法运算求，再结合复数的几何意义分析判断. 【详解】因为，，则， 所以在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限. 故选：B. 3．在复平面内，为原点，两点对应的复数分别为，，若四边形为平行四边形，则点对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点对应的复数为，由复数的几何意义，可得，即可求得的值，从而可得点对应的复数. 【详解】设点对应的复数为，由，可得， 所以，则. 故选：A. 4．如果复平面上的向量所对应的复数是，则向量所对应的复数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的相反向量的性质得出求出结果. 【详解】因为向量所对应的复数为，所以所对应的复数是. 故选：A. 5．在复平面内，复数对应的向量为，复数对应的向量为，那么向量对应的复数是__________． 【答案】1 【分析】求出，再求出点坐标，进而求出及所对复数. 【详解】由复数，得，则点，， 得到，故对应的复数是1. 故答案为：1 题型八 复数的模 1．设复数满足，则的值为_____． 【答案】2 【分析】设，由已知条件计算出的值，利用模长公式求的值. 【详解】复数满足，可得 设， 则有， 得，又，解得， 于是，所以． 故答案为：2 2．i是虚数单位，则______． 【答案】/ 【分析】先利用复数的除法运算化简，再根据复数的模的定义运算. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 3．设复数满足，则的值为_____． 【答案】 【分析】由复数的运算结合条件可得，则，进而可解的值. 【详解】由题意得，，则， 所以. 故答案为：. 4．已知复数满足，若复数的模为，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】利用复数的乘法运算，求出复数z，再利用模长公式即可求得结果. 【详解】，因为复数的模为， 所以，解得：． 故选：A 5．已知复数. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由复数模长的计算可得； （2）由复数相等列出方程，得到的表达式，结合换元法，由二次函数的值域，即可得到结果. 【详解】（1）若，则，即， 解得. （2）由两个复数相等可得， 即， 化简可得，其中， 当时，取得最小值，， 当时，取得最大值，， 所以的取值范围是. 6．已知，R，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】根据复数的乘法运算结合复数模的计算公式求解. 【详解】由，即， ，解得. 故选：B. 题型九 利用复数的模求范围或轨迹 1．若复数满足，则的最小值是__________. 【答案】1 【分析】根据复数的几何意义，结合图形关系即可求解. 【详解】设复数对应的点为， 由可知点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，如图.   表示点到原点的距离， 则圆上与原点距离最小的点到原点的距离为圆心到原点的距离减去半径. 由于圆心到原点的距离为，则的最小值为. 故答案为：1 2．复数满足，那复数在复平面内对应的点的轨迹为（    ） A．一个圆 B．线段 C．两点 D．两个圆 【答案】D 【分析】解方程，得出的值，结合复数的几何意义可得出结论. 【详解】因为复数满足，所以，解得或． 即点的轨迹为以原点为圆心，半径为和半径为的圆． 故选：D． 3．已知复数满足，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据模长关系求出复数在复平面内对应点的轨迹，根据轨迹判断复数模长的最大值，求出结果. 【详解】设，则， 可得，即，复数在复平面内对应点在以为圆心，以1为半径的圆上， 由可知圆上的点到原点最长距离，是当时的距离，此时. 故选：D. 4．设，则复数z对应的点Z的轨迹是（    ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线 【答案】B 【分析】设复数，代入已知条件进行化简，求出x、y的关系即可判断． 【详解】设复数，则， 代入，两边平方得：， ， 两边除以：， 以配方：， 这是圆的标准方程，圆心为，半径为． ∴复数z对应的点的轨迹是圆． 故选：B． 5．设复数满足在复平面内对应的点为，则点的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数模的定义，代入计算即可求出在复平面内对应点的轨迹方程. 【详解】, , 即， 所以的轨迹方程为. 故选：D 6．已知复数且，若满足，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】根据三角不等式可求的取值范围. 【详解】因为，所以. 因为. 故答案为： 题型十 实系数一元二次方程 1．已知复数是关于的方程的两个根，且. (1)求和的值； (2)记复数在复平面内对应的点分别为，已知为坐标原点，且，求复数. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意可知也是方程的一个根，利用韦达定理计算即得答案； （2）由，得到，即得，代入计算即得. 【详解】（1）由复数是实系数方程的一个根， 可知也是方程的一个根， 由韦达定理，可得， ， 所以，. （2）因为，所以，则， 则得，由（1）可得，， 所以. 2．已知复数是实系数一元二次方程的一个虚数根，则 ___________． 【答案】 【分析】利用实系数方程复数根的性质及根与系数关系得，再由共轭复数的运算性质求结果. 【详解】由实系数一元二次方程复数根的性质知， 故. 故答案为： 3．若关于的方程的一个虚根的模为2，则实数的值为______． 【答案】 【分析】求出方程的根，再利用复数模的意义列式求出. 【详解】由方程，得，依题意得，即， 所以方程得两虚根为， 因为模为，所以，所以. 故答案为：2. 4．已知关于的实系数一元二次方程有两个虚数根和． (1)若，求，的值； (2)若，，求和． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）方法一：根据方程的根的概念，结合复数相等列式求值. 方法二：根据实系数一元二次方程虚数根的关系，结合韦达定理求值. （2）利用求根公式求解. 【详解】（1）(方法一)因为是方程的根， 所以，整理得， 因为，所以 (方法二)依题意，，则， 由根与系数的关系，得. （2），， 所以方程化为，. 由求根公式得， 所以，. 5．已知虚数是关于的实系数一元二次方程的一个根，且，则实数的值为___________ 【答案】4 【分析】依题意，虚数和都是此实系数一元二次方程的根，结合韦达定理求出的值. 【详解】虚数是关于的实系数一元二次方程的一个根， 则有，得， 方程的另一个虚数根为，所以. 故答案为：4 题型十一 复数的三角形式 1．欧拉公式（其中为自然对数的底数，为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的，若复数，则的虚部为________． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，求出复数的代数形式即可得解. 【详解】由题意可得， 所以的虚部为. 故答案为： 2．任何一个复数（其中a，，i为虚数单位）都可以表示成（其中，）的形式，通常称之为复数z的三角形式，法国数学家棣莫弗发现，我们称这个结论为棣莫弗定理.若复数为纯虚数，则正整数m的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据复数新定义计算，再结合纯虚数定义列式求解. 【详解】， 由棣莫弗定理可得， 因为复数为纯虚数， 所以且，所以，，得，， 所以正整数m的最小值为4. 故选：A. 3．已知复数（为虚数单位），则等于（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的三角形式的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】因为复数， 根据复数的运算法则，可得. 故选：C. 4．棣莫佛定理：若复数，则，计算（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】变形得出，再由棣莫佛定理可求得的值. 【详解】因为， 所以，. 故选：A. 5．设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式，其中为复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角（也被称为的辐角）．利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现，我们称这个结论为棣莫佛定理，根据以上信息，若复数满足，则可能的取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据棣莫佛定理可得的一般形式，故可得正确的选项. 【详解】设，其中，则， 故，， ∵，∴，故，则 故，则， 故，故BD正确，AC错误； 故选：BD. 基础巩固通关测 1．“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据复数除法的运算法则，结合充分条件和必要条件的定义进行运算判断即可. 【详解】由题意知， 当时，，复数，是纯虚数，充分性成立； 当复数为纯虚数时，有，必要性成立. 则“”是“复数为纯虚数”的充要条件. 故选：C 2．已知复数z满足，则z的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数模的计算方法及复数的四则运算法则计算即可．虚部为虚数单位的系数． 【详解】∵，∴， 即，即，即， ∴z的虚部为， 故选：D． 3．的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数混合运算得，进而可得解． 【详解】依题意，，故所求虚部为． 故选：A． 4．已知复数，其中为虚数单位，则（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】B 【分析】根据复数的乘法运算及模的定义求解. 【详解】因为， 所以， 故选：B 5．若复数满足（为虚数单位），则_____. 【答案】 【分析】利用复数的乘法运算化简求值． 【详解】因为，所以， 所以； 故答案为： 6．设，若复数是纯虚数，则_____. 【答案】 【分析】根据纯虚数的定义求解即可. 【详解】复数, 因为复数是纯虚数，所以, 解得：, 当时，满足条件； 故答案为： 7．已知复数满足，其中i为虚数单位，则复数的共轭复数的虚部为____. 【答案】 【分析】由复数的乘法、除法运算求得，再结合共轭复数的概念即可求解. 【详解】由， 得， 故， 则复数的虚部为， 故答案为： 8．已知为复数，且，则_____． 【答案】1 【分析】依题意有，得，由可得结果. 【详解】为复数，且，则有，得， 所以． 故答案为：1 9．若为虚数单位，复数在复平面中对应的点为，则的值是______. 【答案】 【分析】由题可知，再根据，即可得解. 【详解】由题可知， 则， ， 因此， 故答案为：. 10．（1）已知，，，，为复平面的原点，试写出所表示的复数； （2）已知复数，在复平面内画出这些复数对应的向量； （3）在复平面内的长方形的四个顶点中，点对应的复数分别是， 求点D对应的复数． 【答案】（1）答案见解析；（2）图象见解析；（3） 【分析】（1）由复数的向量表示可得；（2）由复数的坐标表示可得；（3）设，由复数的向量和坐标表示计算可得. 【详解】（1）表示的复数为；表示的复数为；表示的复数为；表示的复数为． （2）设复数1对应的向量为，其中； 复数对应的向量为，其中； 复数对应的向量为，其中； 复数对应的向量为，其中． 如图所示： （3）记为复平面的原点，由题意得． 设，则，． 由题意知，，所以即 故点D对应的复数为． 11．已知复数，． (1)当为纯虚数时，求的值； (2)当时，是关于的方程的一个根，求实数，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由是纯虚数得到实部为，虚部不为，解方程组得到的值； （2）将代入方程，实部和虚部均为，解方程组得到和的值. 【详解】（1）因为 由是纯虚数得，解得. 所以当是纯虚数时，. （2）当时，， 因为是关于的方程的一个根，所以， 即，整理得， 所以，解得. 12．已知复数（），试求实数m分别取什么值时，z分别为： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数. 【答案】(1)； (2)； (3)不存在 【分析】（1）根据z为实数，得到，求出； （2）根据z为虚数，有且有意义，求出答案； （3）根据z为纯虚数，有，得到答案. 【详解】（1）z为实数时，有， 由得或6，由得， 综上，当时，z为实数； （2）z为虚数时，则有且有意义，解得且且， 所以当时，z为虚数； （3）z为纯虚数时，则有， 由得且，由得， 故不存在实数m使z为纯虚数. 13．已知复数． (1)求； (2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据共轭复数的定义求，再根据复数的运算法则求结论； （2）结合复数的几何意义求向量的坐标，再结合向量夹角求的大小. 【详解】（1）因为，所以，又， 所以 （2）依题意向量 于是有 ， 为与的夹角， ， ，. 能力提升进阶练 1．已知复数，（为虚数单位），则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的乘法法则可计算出复数，进而可得出复数的虚部； 【详解】因为 所以的虚部为 故选：D. 2．已知复数满足（是虚数单位）的实部与虚部相等，那么（  ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】由复数的除法运算结合复数概念即可求解. 【详解】由，得， 由题意可得， 故选：A 3．（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，得到，即可求解. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 4．若复数为纯虚数，则（  ） A．2 B．1 C．0 D．1或2 【答案】B 【分析】由纯虚数的概念即可求解. 【详解】由题意可得：， 解得： 故选：B 5．（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】先求出和，再利用完全平方公式求解. 【详解】. 故选：A. 6．复数（为虚数单位），则的模为_____． 【答案】 【分析】由复数的运算以及共轭复数的概念，结合复数的模的计算即可求解. 【详解】，则， 其模长为， 故答案为：. 7．已知复数是实系数一元二次方程的两个根，若，则的最小值为_____. 【答案】 【分析】分一元二次方程的判别式大于等于0与小于0，两种情况讨论，利用实系数一元二次方程的虚根成对的性质，计算可求得的最小值. 【详解】若一元二次方程的判别式大于等于0，则方程有两个实数根，即为实数， 由，则，此时， 若一元二次方程的判别式小于0，则为两虚数根， 设、 又因为，所以，所以， 所以 当时，. 综上所述：的最小值为. 故答案为：. 8．已知复数，满足且，则对于任意的复数， 的最小值为______． 【答案】 【分析】根据题意可得，简化运算，不妨设，利用复数的几何意义转化为，根据加权费马定理求最小值即可. 【详解】设，因为， 所以，， 根据对称性，不妨取， 则，，的几何意义为复平面中到点的距离， ， 如图，将顺时针旋转得到，， 则，所以， 又，所以， 所以. 故答案为：. 9．如图所示，正方形的相对顶点和，求顶点和的坐标． 【答案】 【分析】根据题意，得到复数为，且，设，结合复数的三角形的运算法则，列出方程，即可求解. 【详解】解：由和，可得向量表示的复数为， 因为为正方形，可得， 设，则和表示的复数为， 设 可得， 即，解得，所以； 设 可得， 即，解得，所以. 10．已知复数，. (1)若，求； (2)若，，复数在复平面内对应点位于实轴上，求的最小值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用复数的除法、加法运算求； （2）根据已知得，进而有，再应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】（1）由题意得，， 所以，则； （2）设复数， 因为复数在复平面内对应点位于实轴上， 所以，即，则 所以， 当且仅当，即时，等号成立 所以的最小值是. 11．已知复数. (1)若是关于的方程的一个根，求的值； (2)若复数满足，且是纯虚数，求复数. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）将代入方程中，结合复数乘法运算法则计算即可得； （2）设，结合复数模长公式及复数乘法运算法则计算即可得. 【详解】（1）由是关于的方程的一个根， 所以，即有， 化简得，则； （2）设，所以， 又，且是纯虚数， 所以，解得或， 所以或. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第九章 复数（复习讲义） 1、了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程，理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念，掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件. 2、理解用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系，掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念，掌握用向量的模来表示复数的模的方法. 3、掌握复数代数形式的加法和减法运算，理解复数加法和减法所满足的交换律和结合律. 4、掌握复数代数形式的乘法和除法运算，理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律，了解复数乘法的几何意义. 5、 理解复数的三角形式的概念，会把复数的代数形式化为三角形式，会运用复数三角形式的乘法和除法法则进行复数的运算. 一、复数及其四则运算 知识点1　复数的加法与减法 (1)复数加法的运算法则 两个复数的和仍是一个复数，两个复数的和的实部是它们的实部的和，两个复数的和的虚部是它们的虚部的和，也就是任意两个复数a＋bi和c＋di(a，b，c，d∈R)，有(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i． (2)复数减法的运算法则 两个复数的差仍是一个复数，两个复数的差的实部是它们的实部的差，两个复数的差的虚部是它们的虚部的差，也就是任意两个复数a＋bi和c＋di(a，b，c，d∈R)，有(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i． (3)复数的加法运算的运算律： 结合律：(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)； 交换律：z1＋z2＝z2＋z1． 知识点2　复数的乘法 (1)复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i． (2)复数乘法的运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1·z2＝z2·z1 结合律 (z1·z2) ·z3＝z1· (z2·z3) 乘法对加法 的分配律 z1· (z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3 (3)复数的指数幂的运算性质 对复数z，z1，z2和正整数m，n，有zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1·z2)n＝． (4)虚数单位i乘方的周期性 对于任意自然数n，有i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i，i4n+4＝1． (5)共轭复数的性质：互为共轭复数的两个复数的乘积是实数，等于这个复数(或其共轭复数)模的平方．即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z·＝|z|2＝||2＝a2＋b2． 知识点3　复数的除法 (1)复数的除法 对任意的复数z1＝a＋bi(a，b∈R)和非零复数z2＝c＋di(c，d∈R)，规定复数的除法：＝z1·．即除以一个复数等于乘这个复数的倒数．因此＝＝(a＋bi)＝i． (2)复数除法的运算 在实际计算时，通常把分子和分母同乘分母c＋di的共轭复数c－di，化简后就得到上面的结果：＝＝i． 由此可见，在进行复数除法运算时，实际上是将分母“实数化”． 知识点4　复数的有关概念 形如a＋bi(其中a，b∈R)的数叫作复数，通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a称为复数z的实部，记作Re z, b称为复数z的虚部，记作Im z． 知识点5　复数的分类 根据复数中a，b的取值不同，复数可以有以下的分类： 复数a＋bi(a，b∈R) 知识点6　共轭复数 (1)定义：若两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数，复数z的共轭复数用表示．当z＝a＋bi(a，b∈R)时，＝a－bi． (2)几何意义：在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称，并且它们的模相等．另外，当复数z＝a＋bi的虚部b＝0时，有z＝．也就是说，任意一个实数的共轭复数仍是它本身，反之亦然． 知识点7　复数相等 两个复数a＋bi与c＋di(a，b，c，d∈R)相等定义为：它们的实部相等且虚部相等，即a＋bi＝c＋di当且仅当a＝c且b＝d． [特别提示]　当两个复数为实数时，能够比较大小；否则不能比较大小． 二、复数的几何意义 知识点1　复平面 通过建立平面直角坐标系来表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 知识点2　复数的几何意义 [特别提示]　第一象限的复数特点：实部为正，且虚部为正； 第二象限的复数特点：实部为负，且虚部为正； 第三象限的复数特点：实部为负，且虚部为负； 第四象限的复数特点：实部为正，且虚部为负． 知识点3　复数加法的几何意义 如图，z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)分别与向量＝(a，b)，＝(c，d)对应，根据平面向量的坐标运算，得＝(a＋c，b＋d)，这说明两个向量的和就是与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应的向量．因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行，这是复数加法的几何意义． 知识点4 复数乘法的几何意义 设复数z1＝a＋bi(a，b∈R)所对应的向量为． ①z2＝(a＋bi)·c(c>0)所对应的向量为，则是与c的数乘，即是将沿原方向伸长或压缩为原来的c倍得到的． ②z3＝(a＋bi)·i所对应的向量为，则是将逆时针旋转得到的． 知识点5　复数的模 向量的模称为复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|． 由向量模的定义可知，|z|＝|a＋bi|＝．如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模等于|z|＝＝＝|a|(a的绝对值)． 三、复数的三角表示 知识点1　复数的三角形式 (1)复数的模和辐角：与复数z＝a＋bi(a，b∈R)对应的向量的模r称为这个复数的模，且r＝．以原点O为顶点，x轴的非负半轴为始边、向量所在的射线为终边的角θ，称为复数z＝a＋bi的辐角． (2)复数的三角形式：任何复数z＝a＋bi(a，b∈R)都可以表示为z＝r(cos θ＋isin θ)，其中r＝，cos θ＝，sin θ＝．这个式子称为复数z＝a＋bi(a，b∈R)的三角表示式，简称三角形式． (3)辐角的主值：将满足条件0≤θ<2π的辐角值，称为辐角的主值，记作arg z，即0≤arg_z<2π． (4)非零复数的相等：两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等． [特别提示]　0的模是唯一确定的，辐角的主值是任意的，非零复数的模和辐角的主值都是唯一确定的． [特别提示]设纯虚数为bi(b≠0)，当b>0时，arg(bi)＝；当b<0时，arg(bi)＝． 知识点2　复数三角形式的乘法 (1)定义：设z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则z1·z2＝＋isin θ2)＝r1r2[cos_(θ1＋θ2)＋isin_(θ1＋θ2)]．这就是说，两个复数相乘，积的模等于它们的模的积，积的辐角等于它们的辐角的和． (2)复数乘法的几何意义：两个复数z1，z2相乘时，可以先画出它们分别对应的向量，然后把向量绕原点O按逆时针方向旋转角θ2(若θ2＜0，就要把绕原点O按顺时针方向旋转角|θ|)，再把它的模变为原来的r2倍，所得向量就表示复数z1，z2的乘积． 知识点3　复数三角形式的除法 设z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z2≠0，则＝＝－θ2)]． 这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差． 题型一 复数的四则运算 1．已知，则（   ） A． B． C．1 D． 2．若，则_______. 3．计算． 4．若，则（   ） A． B． C． D． 5．已知复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 6．已知复数满足，则是（    ） A． B． C． D． 题型二 复数的实部与虚部 1．已知复数，复数的虚部为（   ） A． B．3i C．3 D． 2．若复数的实部与虚部相等，则的值为（   ） A．-1 B．0 C．1 D．2 3．已知复数满足，则复数的实部为_____. 4．若复数满足，则的实部为（    ） A．1 B． C．2 D． 5．若，则的虚部为（    ） A． B． C． D．1 6．复数的实部与虚部分别为（   ） A．、 B．、 C．、 D．、 题型二 复数的分类 1．若复数与都是纯虚数，则复数______. 2．已知，且为纯虚数，则（    ） A． B．2 C． D．6 3．实数取什么值时，复数是下列数？ (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数. 4．已知复数，则“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型四 共轭复数 1．若，则复数的共轭复数的虚部是（   ） A． B． C． D． 2．已知复数，则（ ） A． B． C． D． 3．已知复数，其共轭复数为，则（   ） A． B．2 C． D． 4．若复数满足，则复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 5．已知复数（为虚数单位），则（   ） A． B． C． D． 题型五 复数相等 1．已知复数z满足，则的虚部为（   ） A． B． C．2 D． 2．，若，则复数为（   ） A．2 B． C．2或 D．4 3．已知复数z满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D．1 4．若复数满足：，则（   ） A． B． C． D． 5．已知（a，，为虚数单位），则（    ） A．5 B．1 C． D． 6．若复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C．1 D．2 题型六 复平面与复数的坐标表示 1．在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若复数与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，则（   ） A．5 B． C．3 D． 3．复数在复平面内对应的点为，则（   ） A． B． C．4 D． 4．已知，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．已知复数是实数，是虚数单位． (1)求复数； (2)在复平面内，若复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围． 6．已知复数，（）， (1)若z为纯虚数，求m的值； (2)若复数z对应的点位于第二象限，求m的取值范围； (3)若复数z对应的点位于直线上，求复数z. 题型七 复数的向量表示 1．设复数，在复平面内对应的向量分别为、，则向量对应的复数所对应的点的坐标为________. 2．设复数，，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．在复平面内，为原点，两点对应的复数分别为，，若四边形为平行四边形，则点对应的复数为（    ） A． B． C． D． 4．如果复平面上的向量所对应的复数是，则向量所对应的复数是（   ） A． B． C． D． 5．在复平面内，复数对应的向量为，复数对应的向量为，那么向量对应的复数是__________． 题型八 复数的模 1．设复数满足，则的值为_____． 2．i是虚数单位，则______． 3．设复数满足，则的值为_____． 4．已知复数满足，若复数的模为，则实数（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．已知复数. (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围. 6．已知，R，则（    ） A． B． C． D．0 题型九 利用复数的模求范围或轨迹 1．若复数满足，则的最小值是__________. 2．复数满足，那复数在复平面内对应的点的轨迹为（    ） A．一个圆 B．线段 C．两点 D．两个圆 3．已知复数满足，则的最大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．设，则复数z对应的点Z的轨迹是（    ） A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线 5．设复数满足在复平面内对应的点为，则点的轨迹方程为（　　） A． B． C． D． 6．已知复数且，若满足，则的取值范围为__________. 题型十 实系数一元二次方程 1．已知复数是关于的方程的两个根，且. (1)求和的值； (2)记复数在复平面内对应的点分别为，已知为坐标原点，且，求复数. 2．已知复数是实系数一元二次方程的一个虚数根，则 ___________． 3．若关于的方程的一个虚根的模为2，则实数的值为______． 4．已知关于的实系数一元二次方程有两个虚数根和． (1)若，求，的值； (2)若，，求和． 5．已知虚数是关于的实系数一元二次方程的一个根，且，则实数的值为___________ 题型十一 复数的三角形式 1．欧拉公式（其中为自然对数的底数，为虚数单位）是由瑞士数学家欧拉发现的，若复数，则的虚部为________． 2．任何一个复数（其中a，，i为虚数单位）都可以表示成（其中，）的形式，通常称之为复数z的三角形式，法国数学家棣莫弗发现，我们称这个结论为棣莫弗定理.若复数为纯虚数，则正整数m的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．已知复数（为虚数单位），则等于（   ） A．1 B． C． D． 4．棣莫佛定理：若复数，则，计算（    ） A． B． C． D． 5．设复数在复平面内对应的点为，任意复数都可以表示为三角形式，其中为复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角（也被称为的辐角）．利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现，我们称这个结论为棣莫佛定理，根据以上信息，若复数满足，则可能的取值为（   ） A． B． C． D． 基础巩固通关测 1．“”是“复数为纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知复数z满足，则z的虚部为（    ） A． B． C． D． 3．的虚部为（    ） A． B． C． D． 4．已知复数，其中为虚数单位，则（   ） A． B． C．3 D．5 5．若复数满足（为虚数单位），则_____. 6．设，若复数是纯虚数，则_____. 7．已知复数满足，其中i为虚数单位，则复数的共轭复数的虚部为____. 8．已知为复数，且，则_____． 9．若为虚数单位，复数在复平面中对应的点为，则的值是______. 10．（1）已知，，，，为复平面的原点，试写出所表示的复数； （2）已知复数，在复平面内画出这些复数对应的向量； （3）在复平面内的长方形的四个顶点中，点对应的复数分别是， 求点D对应的复数． 11．已知复数，． (1)当为纯虚数时，求的值； (2)当时，是关于的方程的一个根，求实数，的值． 12．已知复数（），试求实数m分别取什么值时，z分别为： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数. 13．已知复数． (1)求； (2)在复平面内，复数对应的向量分别是，其中是原点，求的大小． 能力提升进阶练 1．已知复数，（为虚数单位），则的虚部为（   ） A． B． C． D． 2．已知复数满足（是虚数单位）的实部与虚部相等，那么（  ） A． B．1 C．2 D．4 3．（   ） A． B． C． D． 4．若复数为纯虚数，则（  ） A．2 B．1 C．0 D．1或2 5．（   ） A． B． C．1 D． 6．复数（为虚数单位），则的模为_____． 7．已知复数是实系数一元二次方程的两个根，若，则的最小值为_____. 8．已知复数，满足且，则对于任意的复数， 的最小值为______． 9．如图所示，正方形的相对顶点和，求顶点和的坐标． 10．已知复数，. (1)若，求； (2)若，，复数在复平面内对应点位于实轴上，求的最小值. 11．已知复数. (1)若是关于的方程的一个根，求的值； (2)若复数满足，且是纯虚数，求复数. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $