专题9.3 实系数一元二次方程（高效培优讲义）数学沪教版高一必修第二册

专题9.3 实系数一元二次方程 教学目标 1、 理解实系数一元二次方程在复数集中的解的情况； 2、 使学生掌握在复数集中求解实系数一元二次方程的方法； 3、 掌握当△<0时，实系数一元二次方程的根与系数的关系； 4、 培养学生的计算能力和类比推理的思想，提高学生逻辑推理的核心素养。 教学重难点 1.重点 （1）在复数集内求解实系数一元二次方程； 2.难点 （1）共轭虚根的应用； 知识点01 复数的平方根 如果满足：，则称是的一个平方根。 【注】（1）一个非零复数的平方根都有相应的两个复数； （2）复数的平方根一般不要记为。 知识点02 复数的立方根 若复数满足，则称是的立方根。 【注】1的立方根有三个：1，，（其中），满足 知识点03 实系数一元二次方程 实系数的一元二次方程（、、，且） (1)当时，方程有两个不相等的实数根； (2)当时，方程有两个相等的实数根； (3)当时，方程在复数集范围内有一组共轭虚根 ，∴，. 这时两根仍然满足韦达定理：， 【注】（1）实系数一元二次方程有虚根必定成对出现，并且共轭。 （2）实系数一元二次方程在复数范围内总有两个解、 ，总可以进行因式分解：。 题型01 复数的平方根、立方根 【典例1】．若，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高二下·湖南·期中）若复数为方程（m，）的一个根，则该方程的另一个根是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（2025·上海嘉定·三模）已知复数x满足方程，那么______. 【变式3】．复数的平方根是_____________. 题型02 实系数一元二次方程 【典例2】．（2025·上海虹口·一模）已知复数是实系数一元二次方程的一个虚数根，则 ___________． 【变式1】．（25-26高二上·上海·开学考试）已知虚数是关于的实系数一元二次方程的一个根，且，则实数的值为___________ 【变式2】．若z满足方程，则的值是______． 【变式3】．（24-25高一下·福建福州·期末）已知复数是方程的一个根，且在复平面内对应的点位于第四象限．复数，若为纯虚数，则为（    ）. A． B． C． D． 【变式4】．（25-26高一下·重庆·期中）已知是关于的方程的一个根，则（    ） A． B． C．1 D．9 题型03 综合应用 【典例3】．（25-26高一上·天津·期末）已知函数的图象过点． (1)当时，求的解集； (2)当时，若的定义域为，值域为，求的值． 【变式1】．（2025高一上·湖北·专题练习）已知复数是关于的方程的两个根，且. (1)求和的值； (2)记复数在复平面内对应的点分别为，已知为坐标原点，且，求复数. 【变式2】．（24-25高一下·甘肃·期中）已知复数是一元二次方程的根. (1)求的值； (2)若复数（其中）为纯虚数，求复数的模. 【变式3】．（24-25高一下·湖北·期中）已知复数，.（其中为虚数单位，） (1)若为纯虚数，求的值： (2)若是关于的方程的一个根，求实数，的值. 一、单选题 1．（24-25高三上·湖北·开学考试）已知b，，虚数是方程的根，则（    ） A． B． C．4 D．2 2．若，则方程（    ） A．可能有两个实根 B．可能有一个实根一个虚根 C．可能有一对共轭虚根 D．不可能有两个虚根 3．（25-26高一下·湖南·月考）方程的复数根为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·广东广州·期末）已知复数满足，则（    ） A．2 B． C．3 D． 二、填空题 5．已知是关于x的方程的一个根，其中p，，则p＋q＝______． 6．已知复数满足（为虚数单位），．则一个以为根的实系数一元二次方程为__________________． 7．-16的平方根是______． 8．（25-26高一下·重庆·期中）复数范围内方程的根为________． 9．（24-25高一下·上海金山·期末）已知复数的实部为1，且，若是关于的方程的根，则___________. 三、解答题 10．（25-26高一下·江苏无锡·期中）已知是关于的方程的一个根，其中，． (1)求的值； (2)设复数满足是纯虚数，求实数的值． 11．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知为虚数单位，，是的两个根. (1)设，满足方程，求的值； (2)设，复数，所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 12．（24-25高一下·陕西·期中）已知复数是关于的方程的一个复数根. (1)求，的值； (2)若为纯虚数，求的值. 13．（24-25高一下·广东湛江·阶段检测）已知是一元二次方程的一个复数根． (1)求的值； (2)若为纯虚数，求． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.3 实系数一元二次方程 教学目标 1、 理解实系数一元二次方程在复数集中的解的情况； 2、 使学生掌握在复数集中求解实系数一元二次方程的方法； 3、 掌握当△<0时，实系数一元二次方程的根与系数的关系； 4、 培养学生的计算能力和类比推理的思想，提高学生逻辑推理的核心素养。 教学重难点 1.重点 （1）在复数集内求解实系数一元二次方程； 2.难点 （1）共轭虚根的应用； 知识点01 复数的平方根 如果满足：，则称是的一个平方根。 【注】（1）一个非零复数的平方根都有相应的两个复数； （2）复数的平方根一般不要记为。 知识点02 复数的立方根 若复数满足，则称是的立方根。 【注】1的立方根有三个：1，，（其中），满足 知识点03 实系数一元二次方程 实系数的一元二次方程（、、，且） (1)当时，方程有两个不相等的实数根； (2)当时，方程有两个相等的实数根； (3)当时，方程在复数集范围内有一组共轭虚根 ，∴，. 这时两根仍然满足韦达定理：， 【注】（1）实系数一元二次方程有虚根必定成对出现，并且共轭。 （2）实系数一元二次方程在复数范围内总有两个解、 ，总可以进行因式分解：。 题型01 复数的平方根、立方根 【典例1】．若，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算 【分析】化简可得，根据题意，即可得m值. 【详解】， 因为，所以， 解得. 故选：C 【变式1】．（24-25高二下·湖南·期中）若复数为方程（m，）的一个根，则该方程的另一个根是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】实数的平方根 【分析】根据实系数方程的虚根成共轭复数求解即可. 【详解】根据实系数方程的虚根成共轭复数可知，另一个复数根为. 故选：B． 【变式2】．（2025·上海嘉定·三模）已知复数x满足方程，那么______. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】实数的平方根 【分析】根据一元二次方程的复数根的形式运算求解. 【详解】因为，则. 故答案为：. 【变式3】．复数的平方根是_____________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据相等条件求参数、复数的乘方、复数的平方根与立方根 【分析】设复数的平方根是结合复数的乘方运算以及复数相等的条件得，解方程即可求出结果. 【详解】设复数的平方根是，所以，即，由复数相等得，解得或，所以或， 故答案为：. 题型02 实系数一元二次方程 【典例2】．（2025·上海虹口·一模）已知复数是实系数一元二次方程的一个虚数根，则 ___________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数范围内方程的根 【分析】利用实系数方程复数根的性质及根与系数关系得，再由共轭复数的运算性质求结果. 【详解】由实系数一元二次方程复数根的性质知， 故. 故答案为： 【变式1】．（25-26高二上·上海·开学考试）已知虚数是关于的实系数一元二次方程的一个根，且，则实数的值为___________ 【答案】4 【难度】0.85 【知识点】复数范围内方程的根 【分析】依题意，虚数和都是此实系数一元二次方程的根，结合韦达定理求出的值. 【详解】虚数是关于的实系数一元二次方程的一个根， 则有，得， 方程的另一个虚数根为，所以. 故答案为：4 【变式2】．若z满足方程，则的值是______． 【答案】-1 【难度】0.85 【知识点】复数范围内方程的根、复数的乘方 【分析】根据方程，可得，分别求解当时和时，的值，即可得答案. 【详解】由题意得： ， 当时，， 则， 所以； 当时，， 则， 所以， 综上， 故答案为：-1 【变式3】．（24-25高一下·福建福州·期末）已知复数是方程的一个根，且在复平面内对应的点位于第四象限．复数，若为纯虚数，则为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】复数的除法运算、复数范围内方程的根、求复数的模、已知复数的类型求参数 【分析】由求根公式求出，由为纯虚数求出，确定. 【详解】由已知，因为在复平面内对应的点位于第四象限， 所以. 所以， 因为为纯虚数，所以，解得， 所以，所以. 故选：C. 【变式4】．（25-26高一下·重庆·期中）已知是关于的方程的一个根，则（    ） A． B． C．1 D．9 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】复数范围内方程的根 【详解】根据题意是方程的另一根， 由，可得， 又， 所以. 题型03 综合应用 【典例3】．（25-26高一上·天津·期末）已知函数的图象过点． (1)当时，求的解集； (2)当时，若的定义域为，值域为，求的值． 【答案】(1)或 (2) 【难度】0.65 【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）由可求得的值，当时，利用二次不等式的解法可得出不等式的解集； （2）对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，结合，可求得实数的值. 【详解】（1）因为的图象过点， 所以，解得， 当时，， 令可得，或， 所以的解集为或. （2）当时，函数的对称轴， ①当时，函数在上单调递增， 当时，函数有最小值， 当时，函数有最大值，解得，符合题意； ②当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数有最小值，即， 解得或，均不符合题意. 综上可得，. 【变式1】．（2025高一上·湖北·专题练习）已知复数是关于的方程的两个根，且. (1)求和的值； (2)记复数在复平面内对应的点分别为，已知为坐标原点，且，求复数. 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】复数范围内方程的根、复数的向量表示、复数的坐标表示 【分析】（1）由题意可知也是方程的一个根，利用韦达定理计算即得答案； （2）由，得到，即得，代入计算即得. 【详解】（1）由复数是实系数方程的一个根， 可知也是方程的一个根， 由韦达定理，可得， ， 所以，. （2）因为，所以，则， 则得，由（1）可得，， 所以. 【变式2】．（24-25高一下·甘肃·期中）已知复数是一元二次方程的根. (1)求的值； (2)若复数（其中）为纯虚数，求复数的模. 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】已知复数的类型求参数、复数范围内方程的根、求复数的模 【分析】（1）根据实系数方程的两根为共轭复数，结合韦达定理可求得结果； （2）根据纯虚数定义可求得，由模长定义可求得结果. 【详解】（1）是实系数一元二次方程的根， 是该方程的另一个根， ，即. （2）由（1）知：， 为纯虚数，，解得：， ，的模为. 【变式3】．（24-25高一下·湖北·期中）已知复数，.（其中为虚数单位，） (1)若为纯虚数，求的值： (2)若是关于的方程的一个根，求实数，的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】共轭复数的概念及计算、已知复数的类型求参数、复数的相等、复数范围内方程的根 【分析】（1）利用纯虚数的定义，列方程组求解； （2）方法一：利用实系数方程的虚根成共轭对的结论，得到方程的两个根，然后利用韦达定理得结果；方法二：直接将方程的根代入方程，利用复数相等的条件得到方程组求解即可. 【详解】（1）由为纯虚数，所以有，解得. （2）方法一  是关于的方程的一个根 是的另一个根， ，，. 方法二  是关于的方程的一个根，. . 即，，. 一、单选题 1．（24-25高三上·湖北·开学考试）已知b，，虚数是方程的根，则（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】复数范围内方程的根 【分析】结合题意利用根与系数的关系即可求解. 【详解】是方程的根，则方程另一根为， 故， . 故选：. 2．若，则方程（    ） A．可能有两个实根 B．可能有一个实根一个虚根 C．可能有一对共轭虚根 D．不可能有两个虚根 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求共轭复数的复数特征、复数的相等 【分析】设出方程的根，写出韦达定理，根据韦达定理判断两根是实数还是虚数. 【详解】设是方程的两根， 根据韦达定理，得，， 因为两个实数的乘积仍然是实数，所以不可能是两个实根，选项A错误； 因为两个互为共轭复数的乘积是一个实数，所以也不可能是一对共轭虚根，选项C错误； 这个方程可能有一个实根和一个虚根，也可能是两个虚根，所以选项B正确，选项D错误. 故选：B. 3．（25-26高一下·湖南·月考）方程的复数根为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】复数范围内方程的根 【详解】方程的复数根为. 4．（24-25高二下·广东广州·期末）已知复数满足，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】复数的平方根与立方根、求复数的模 【分析】根据一元二次方程的配方法求根得，进而求解复数模长得结论． 【详解】复数满足， 即，可得， 则． 故选：B． 二、填空题 5．已知是关于x的方程的一个根，其中p，，则p＋q＝______． 【答案】19 【难度】0.85 【知识点】复数代数形式的乘法运算、实数的平方根、共轭复数的概念及计算 【分析】由题意可得方程的另一个根为，然后利用根与系数的关系可求出的值，从而可求出 【详解】因为是关于x的方程的一个根， 所以是方程的另一个根， 所以，解得， 所以， 故答案为：19 6．已知复数满足（为虚数单位），．则一个以为根的实系数一元二次方程为__________________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复数的除法运算、复数范围内方程的根 【分析】根据条件可得，然后得到．由实系数一元二次方程的两根，，即可得结果． 【详解】解：∵复数满足 ∴， 即∴， 故． 若实系数一元二次方程有虚根，则必有共轭虚根， ∵，， ∴所求的一个一元二次方程可以是． 故答案为： 7．-16的平方根是______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的相等 【分析】设复数，由题意得，根据复数相等的条件，即可求得a，b，即可得答案. 【详解】设复数，由题意得 所以，则， 解得，所以，即-16的平方根是. 故答案为： 8．（25-26高一下·重庆·期中）复数范围内方程的根为________． 【答案】 【难度】0.92 【知识点】复数范围内方程的根 【详解】由，得，所以. 9．（24-25高一下·上海金山·期末）已知复数的实部为1，且，若是关于的方程的根，则___________. 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】复数范围内方程的根、由复数模求参数 【分析】根据复数模求出复数，再由根与系数的关系求解即可. 【详解】设， 则，解得， 所以或， 由题意可知，. 故答案为：1 三、解答题 10．（25-26高一下·江苏无锡·期中）已知是关于的方程的一个根，其中，． (1)求的值； (2)设复数满足是纯虚数，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.87 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数范围内方程的根、已知复数的类型求参数、共轭复数的概念及计算 【分析】（1）由题可知是方程的另外一个根，再利用韦达定理求解； （2）根据复数的乘法计算，再根据纯虚数的概念列式求解即可. 【详解】（1）解：是关于的方程的一个根， 是方程的另外一个根， ，解得， ； （2）解：， 又是纯虚数， ， 解得． 11．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知为虚数单位，，是的两个根. (1)设，满足方程，求的值； (2)设，复数，所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【难度】0.65 【知识点】利用数量积求参数、共轭复数的概念及计算、复数的相等、已知复数的类型求参数 【分析】（1）利用共轭复数性质和韦达定理求解方程参数； （2）将复数转化为向量，利用向量夹角为钝角的条件（数量积为负且不共线）求解参数范围． 【详解】（1）因为， 所以方程的两个根，为共轭复数， 设，， 由韦达定理得，， 将，代入， 得，即， 所以，解得，所以，， 所以，． （2）因为，所以，所以，， 所以，， 因为与的夹角为钝角，所以，且与不共线， 所以，解得且， 所以实数的取值范围为. 12．（24-25高一下·陕西·期中）已知复数是关于的方程的一个复数根. (1)求，的值； (2)若为纯虚数，求的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】复数范围内方程的根、复数的除法运算、复数的相等、已知复数的类型求参数 【分析】（1）将代入方程化简，然后根据复数相等的条件列出方程组，求解即可得出答案； （2）根据复数的除法化简得出.进而根据纯虚数的概念列出方程组，求解即可得出答案. 【详解】（1）因为， 所以有. 所以有，解得. （2）由（1）得， 则， 所以，. 因为为纯虚数， 所以有， 解得． 13．（24-25高一下·广东湛江·阶段检测）已知是一元二次方程的一个复数根． (1)求的值； (2)若为纯虚数，求． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】复数范围内方程的根、已知复数的类型求参数 【分析】（1）代入，转化为复数为0的形式，即可列式求解； （2）根据复数的特征，即可列式求解. 【详解】（1）由条件可知，， 则，得， 则，得，， 所以； （2）由题意可知，，得， 所以，则. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $