专题9.1 复数及其四则运算（高效培优讲义）数学沪教版高一必修第二册

专题9.1 复数及其四则运算 教学目标 1.理解复数的基本概念：实部、虚部与共轭复数。 2.掌握复数的四则运算法则：复数的乘除法与复数的加减法。 3.通过观察、操作、推理、计算等活动，培养学生的空间观念和逻辑思维能力。 教学重难点 1.重点 （1）复数的引入与复数的基本概念； （2）复数的四则运算：加减乘除； 2.难点 （1）复数相等与数系的分类； （2）复数的混合运算。 知识点01 复数的基本概念 1、叫虚数单位，满足，当时，． 2、形如的数叫复数，记作． 3、两个复数相等（两复数对应同一点） 【即学即练】 1．（2026·河南濮阳·二模）已知复数，则的虚部是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.88 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算 【详解】因为， 所以的虚部是. 知识点02 复数的四则运算 1、复数运算 （1） （2） 其中，叫z的模；是的共轭复数． （3）． 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数． 2、复数加、减法的几何意义 以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是． 【即学即练】 1．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）已知，，是虚数单位，若，则______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的相等 【详解】若，则， 即， 所以，解得. 所以. 知识点03 复数的实部、虚部与共轭复数 1、复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）． 2、两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数． 【即学即练】 1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】复数的乘方、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数乘方和除法的运算，求得，再利用共轭复数的定义求得，最后复数的数乘和加法运算计算即可. 【详解】，， 故选：D 2．已知复数，，且为纯虚数，则实数___________ 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】已知复数的类型求参数、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】利用共轭复数的定义先得到，化简，然后利用纯虚数的定义即可求解 【详解】由可得， ∵， ∴， ∵为纯虚数， ∴，即. 故答案为： 题型01 复数的基本概念（实部与虚部） 【典例1】．（2026·河北保定·三模）复数的实部与虚部的和为（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【难度】0.88 【知识点】求复数的实部与虚部 【分析】将复数进行化简写成的形式，实部为，虚部为，进行计算即可． 【详解】由可知：实部为2，虚部为1，故和为3． 【变式1】．（25-26高一下·天津武清·阶段检测）已知复数满足（其中i为虚数单位），则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.95 【知识点】求复数的实部与虚部 【详解】由题意可得复数的虚部为. 【变式2】．（广西桂林市2026届高三第二次适应性模拟考试数学试题）设的实部与虚部相等，其中为实数，则______. 【答案】3 【难度】0.95 【知识点】复数的相等、求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算 【详解】因为，且实部与虚部相等， 故，解得. 【变式3】．（25-26高一下·湖南长沙·期中）写出虚部为的纯虚数为__________. 【答案】 【难度】0.95 【知识点】复数的分类及辨析、求复数的实部与虚部 【详解】复数的一般形式为，虚部为的纯虚数中，，因此答案为. 题型02 复数的加减法 【典例2】．若，则____________，____________． 【答案】 3 【难度】0.85 【知识点】根据相等条件求参数 【分析】由复数的定义可知，实部和虚部都为0，则复数为0，联立方程求解即可 【详解】，，解得. 故答案为：. 【变式1】．（25-26高三下·上海·月考）设，则复数z的虚部为________． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】复数的除法运算、求复数的实部与虚部 【详解】, 故复数z的虚部为. 【变式2】．（2026·河北邢台·二模）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】复数的相等、复数加减法的代数运算、共轭复数的概念及计算 【详解】设，由题意得， 所以， 所以解得，所以. 【变式3】．（2026·山东德州·二模）设复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】复数的相等、共轭复数的概念及计算 【详解】， 设，则， 所以， 即， 所以. 题型03 复数的乘除法 【典例3】．（25-26高三下·河南·月考）复数的虚部为（    ）． A． B． C．1 D．2 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】复数的除法运算、求复数的实部与虚部 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，化简得到，结合复数的定义，即可求解. 【详解】由复数的运算法则，可得， 所以复数的虚部为． 【变式1】．（2026·安徽马鞍山·一模）已知复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数的乘法运算化简后得解. 【详解】因为， 所以的虚部为， 故选：A 【变式2】．（25-26高二上·江苏扬州·期末）若复数满足，则__________. 【答案】i 【难度】0.65 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数的除法及乘法运算化简，再应用共轭复数定义计算求解. 【详解】复数满足，则， 所以. 故答案为： 【变式3】．若为虚数单位，且则实数___________________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复数的除法运算、复数代数形式的乘法运算、复数的相等 【分析】化简复数，再由复数相等可得解方程即可得出答案. 【详解】因为 所以解得：. 故答案为：. 题型04 共轭复数 【典例4】．（25-26高三上·天津南开·月考）设是虚数单位，则复数的共轭复数__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算 【分析】利用复数的除法求出，利用共轭复数的定义求出. 【详解】， . 故答案为：. 【变式1】．（25-26高三上·山西大同·月考）已知复数，为虚数单位，则_____． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算 【分析】先利用对复数化简，再根据共轭复数的定义求出，进而求解． 【详解】，， ， ， ， 故答案为：2． 【变式2】．（25-26高二上·上海·期末）设，则“”是“是实数”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】共轭复数的概念及计算、充要条件的证明 【分析】根据复数与共轭复数及充分必要条件的定义判断即可. 【详解】设复数，则它的共轭复数. 若，则，化简得，所以，此时，是实数. 所以“”能推出“是实数”，充分性成立. 若是实数，则，此时，，所以. 所以 “是实数”能推出“”，必要性成立. 故“”是“是实数”的充分必要条件. 故选：C. 【变式3】．（2025高三上·江苏南通·专题练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据复数的除法运算化简，求得，再根据复数乘法运算计算即可求解. 【详解】，则， 故，所以. 故选：B 题型05 复数的综合运算 【典例5】．（25-26高一下·江苏无锡·期中）已知复数，其中是正实数，是虚数单位. (1)如果，求实数的值； (2)如果，是关于的方程（）的一个复根，求，的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.72 【知识点】复数的相等、复数代数形式的乘法运算、复数范围内方程的根、共轭复数的概念及计算 【分析】（1）利用复数共轭相乘的运算规则，算出化简后为，结合已知等式列方程求解，再根据为正实数确定的取值. （2）先把代入求出，再通过分母实数化化简得到复根，将其直接代入一元二次方程，展开分离实部与虚部，利用复数相等条件列方程组，进而解出和的值. 【详解】（1）复数的共轭复数， 所以 由题设，故，解得. 因为是正实数，所以. （2）当时，，化简. 因为是方程的根. 所以将直接代入方程：. 展开计算得 整理得. 所以解得 【变式1】．（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）设为虚数单位，，则“”是“复数 是纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】复数的除法运算、已知复数的类型求参数、判断命题的充分不必要条件 【分析】化简复数，根据复数 是纯虚数求出，再根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】 . 因为复数 是纯虚数，所以，解得. 所以“”是“复数 是纯虚数”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式2】．（25-26高一下·河南洛阳·期中）设复数，且是纯虚数. (1)求实数的值； (2)若是关于的方程的一个根，求实数m，n的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.71 【知识点】复数范围内方程的根、已知复数的类型求参数 【分析】（1）根据复数除法法则计算出，由纯虚数的概念列出关于的方程组解出即可； （2）将代入到方程中得出关于的方程组解出即可. 【详解】（1） 因为是纯虚数，所以， 解得. （2）由（1）知，， 因为是关于的方程的一个根， 则， 即， 所以， . 【变式3】．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知，q：复数为纯虚数，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知复数的类型求参数、充要条件的证明 【分析】由纯虚数的定义，结合充要条件的定义即可判断。 【详解】当时，复数为纯虚数； 当复数为纯虚数时，有，解得； 综上，p为q的充要条件. 故选：C 一、单选题 1．（安徽六安市毛坦厂中学等校2026届高三下学期5月学业质量检测数学试题）设复数z满足，则复数z的虚部是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算 【详解】依题意，， 所以复数z的虚部是. 2．（25-26高三下·辽宁铁岭·阶段检测）已知复数，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.95 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数加减法的代数运算 【详解】由，得，所以．所以D正确． 3．（25-26高三下·河南周口·阶段检测）设复数，，则（   ） A．i B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】复数加减法的代数运算、共轭复数的概念及计算 【详解】. 4．（25-26高一下·云南曲靖·月考）已知复数（为虚数单位），则的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算 【详解】， 所以 的共轭复数为 . 5．（25-26高三上·江苏·月考）已知，则（    ） A．2 B． C．4 D．5 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、复数代数形式的乘法运算 【分析】由，得，所以，由此可得. 【详解】由，得. 所以. 所以. 故选：D. 6．（25-26高三上·山东聊城·期末）若复数满足，则的虚部为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求复数的实部与虚部、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】利用复数的运算求得复数，可求复数的虚部. 【详解】由，得，所以， 所以，所以，所以的虚部为. 故选：A. 7．（25-26高一下·河南商丘·期中）已知复数满足（i为虚数单位），则（    ） A．1 B． C．i D． 【答案】D 【难度】0.74 【知识点】复数的除法运算、复数的乘方、虚数单位i及其性质 【分析】根据的计算公式化简求，再化简求. 【详解】因为，所以，所以， 所以. 8．已知，若（i为虚数单位），则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】已知复数的类型求参数 【详解】因为，， 所以，所以，所以， 解得或，所以实数a的取值范围是. 二、填空题 9．（2026·重庆渝中·模拟预测）若复数满足，则的虚部为______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算 【详解】由可得， 则， 故的虚部为. 10．（25-26高一下·安徽合肥·期中）若复数是纯虚数，则实数__________. 【答案】0 【难度】0.85 【知识点】已知复数的类型求参数 【详解】因为为实数，且复数是纯虚数， 所以，且，解得（舍去）. 11．（25-26高一下·山东临沂·期中）已知复数满足，则___________． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】复数的相等、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【详解】设，则， ， 代入原式得， ，即，解得， ． 12．（24-25高一下·江苏盐城·月考）已知复数，若，则_____． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的乘方、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据复数的乘方运算可得，再由除法运算计算可得结果. 【详解】易知， 所以由可得， 所以. 故答案为：. 13．（2025·江西南昌·模拟预测）已知复数z满足，则z的虚部为________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】复数代数形式的乘法运算、求复数的实部与虚部、复数的相等 【分析】设，利用复数相等可得，求解即可. 【详解】设，则， 所以，解得或，所以或， 所以的虚部为. 故答案为：. 14．（2025·上海长宁·二模）复数，，则_________． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数代数形式的乘法运算 【分析】由已知可得，根据复数的乘法运算即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故答案为：. 三、解答题 15．（25-26高一下·山东枣庄·期中）已知复数是纯虚数，其中i为虚数单位，. (1)求m的值； (2)求的值. 【答案】(1)3 (2) 【难度】0.71 【知识点】复数的乘方、已知复数的类型求参数 【分析】（1） 应用纯虚数定义列式计算求解； （2）应用复数的乘方总结特征计算求解. 【详解】（1）因为复数是纯虚数， 则， 即， 所以或且，， 解得，所以m的值为3. （2）由（1）知，又，，，， 则（）， 所以 16．（25-26高一下·山东烟台·月考）（1）若复数（）为纯虚数，求m的值； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【难度】0.72 【知识点】复数代数形式的乘法运算、已知复数的类型求参数 【详解】（1）由题意得， 由z为纯虚数，则，解得或（舍去）， （2）由题意得，， 则原式. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题9.1 复数及其四则运算 教学目标 1.理解复数的基本概念：实部、虚部与共轭复数。 2.掌握复数的四则运算法则：复数的乘除法与复数的加减法。 3.通过观察、操作、推理、计算等活动，培养学生的空间观念和逻辑思维能力。 教学重难点 1.重点 （1）复数的引入与复数的基本概念； （2）复数的四则运算：加减乘除； 2.难点 （1）复数相等与数系的分类； （2）复数的混合运算。 知识点01 复数的基本概念 1、叫虚数单位，满足，当时，． 2、形如的数叫复数，记作． 3、两个复数相等（两复数对应同一点） 【即学即练】 1．（2026·河南濮阳·二模）已知复数，则的虚部是（   ） A． B． C． D． 知识点02 复数的四则运算 1、复数运算 （1） （2） 其中，叫z的模；是的共轭复数． （3）． 实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数． 2、复数加、减法的几何意义 以复数分别对应的向量为邻边作平行四边形，对角线表示的向量就是复数所对应的向量．对应的向量是． 【即学即练】 1．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）已知，，是虚数单位，若，则______. 知识点03 复数的实部、虚部与共轭复数 1、复数与复平面上的点一一对应，叫z的实部，b叫z的虚部；Z点组成实轴；叫虚数；且，z叫纯虚数，纯虚数对应点组成虚轴（不包括原点）． 2、两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数． 【即学即练】 1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若复数，则（   ） A． B． C． D． 2．已知复数，，且为纯虚数，则实数___________ 题型01 复数的基本概念（实部与虚部） 【典例1】．（2026·河北保定·三模）复数的实部与虚部的和为（    ） A． B． C． D．3 【变式1】．（25-26高一下·天津武清·阶段检测）已知复数满足（其中i为虚数单位），则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（广西桂林市2026届高三第二次适应性模拟考试数学试题）设的实部与虚部相等，其中为实数，则______. 【变式3】．（25-26高一下·湖南长沙·期中）写出虚部为的纯虚数为__________. 题型02 复数的加减法 【典例2】．若，则____________，____________． 【变式1】．（25-26高三下·上海·月考）设，则复数z的虚部为________． 【变式2】．（2026·河北邢台·二模）设，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】．（2026·山东德州·二模）设复数满足，则（    ） A． B． C． D． 题型03 复数的乘除法 【典例3】．（25-26高三下·河南·月考）复数的虚部为（    ）． A． B． C．1 D．2 【变式1】．（2026·安徽马鞍山·一模）已知复数，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高二上·江苏扬州·期末）若复数满足，则__________. 【变式3】．若为虚数单位，且则实数___________________. 题型04 共轭复数 【典例4】．（25-26高三上·天津南开·月考）设是虚数单位，则复数的共轭复数__________. 【变式1】．（25-26高三上·山西大同·月考）已知复数，为虚数单位，则_____． 【变式2】．（25-26高二上·上海·期末）设，则“”是“是实数”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 【变式3】．（2025高三上·江苏南通·专题练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 题型05 复数的综合运算 【典例5】．（25-26高一下·江苏无锡·期中）已知复数，其中是正实数，是虚数单位. (1)如果，求实数的值； (2)如果，是关于的方程（）的一个复根，求，的值. 【变式1】．（25-26高三上·河北秦皇岛·期末）设为虚数单位，，则“”是“复数 是纯虚数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】．（25-26高一下·河南洛阳·期中）设复数，且是纯虚数. (1)求实数的值； (2)若是关于的方程的一个根，求实数m，n的值. 【变式3】．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知，q：复数为纯虚数，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 一、单选题 1．（安徽六安市毛坦厂中学等校2026届高三下学期5月学业质量检测数学试题）设复数z满足，则复数z的虚部是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·辽宁铁岭·阶段检测）已知复数，则（    ） A．4 B． C． D． 3．（25-26高三下·河南周口·阶段检测）设复数，，则（   ） A．i B． C． D． 4．（25-26高一下·云南曲靖·月考）已知复数（为虚数单位），则的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·江苏·月考）已知，则（    ） A．2 B． C．4 D．5 6．（25-26高三上·山东聊城·期末）若复数满足，则的虚部为（   ） A． B．1 C． D． 7．（25-26高一下·河南商丘·期中）已知复数满足（i为虚数单位），则（    ） A．1 B． C．i D． 8．已知，若（i为虚数单位），则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2026·重庆渝中·模拟预测）若复数满足，则的虚部为______. 10．（25-26高一下·安徽合肥·期中）若复数是纯虚数，则实数__________. 11．（25-26高一下·山东临沂·期中）已知复数满足，则___________． 12．（24-25高一下·江苏盐城·月考）已知复数，若，则_____． 13．（2025·江西南昌·模拟预测）已知复数z满足，则z的虚部为________. 14．（2025·上海长宁·二模）复数，，则_________． 三、解答题 15．（25-26高一下·山东枣庄·期中）已知复数是纯虚数，其中i为虚数单位，. (1)求m的值； (2)求的值. 16．（25-26高一下·山东烟台·月考）（1）若复数（）为纯虚数，求m的值； （2）计算：． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $