专题8.1 向量的概念与线性运算（高效培优讲义）数学沪教版高一必修第二册

专题8.1 向量的概念与线性运算 教学目标 1.理解平面向量的意义，几何表示及向量相等的含义。 2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义。 3.了解向量线性运算的性质及其几何意义。 教学重难点 1.重点 （1）平面向量的概念与线性运算； （2）平行向量与共线向量； 2.难点 （1）平面向量的线性运算； （2）共线定理的应用。 知识点01 平面向量的有关概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． （2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）特殊向量： ①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． 【即学即练】 1．对于物理量：①路程，②时间，③速度，④体积，⑤长度，⑥重力，以下说法正确的是（    ） A．①②④是数量，③⑤⑥是向量 B．①④⑤是数量，②③⑥是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】由向量的概念逐个判断即可； 【详解】路程，时间，体积，长度只有大小，没有方向，是数量； 速度，重力既有大小又有方向，是向量， 故选：D. 2．下列说法中，正确的序号是 ． ①零向量都相等； ②任一向量与它的平行向量不相等； ③若四边形是平行四边形，则； ④共线的向量，若始点不同，则终点一定不同． 【答案】①③ 【难度】0.85 【知识点】平面向量的概念与表示、零向量与单位向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据向量、零向量及共线向量的定义逐一分析即可判断. 【详解】对于①：因为零向量的长度都为0，且其方向任意，所以零向量都相等，故①正确； 对于②：平行向量的方向可以相同，且大小也可以相等， 所以任一向量与它的平行向量可能相等，故②错误； 对于③：根据向量的定义知与的方向相同，且长度相等， 所以，故③正确； 对于④：根据共线向量的定义可知：共线的向量，始点不同，终点可能相同， 所以④错误. 故答案为：①③. 知识点02 平面向量的线性运算与数乘 （1）向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 【即学即练】 1．化简： （1） ； （2） . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】相反向量、向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】（1）利用向量减法定义将转化为，再由相反向量和为零向量化简得； （2）分组化简，先由得，再利用消去后两项，结果为. 【详解】（1） （2） 故答案为：； 2．下列四个式子中可以化简为的是（    ） ①；②；③；④ A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】利用向量的加法、减法法则逐个判断即可. 【详解】依题意，，①正确； 假定，则，即，因此， 无法确保，假设是错的，②错误； 是为一组邻边的平行四边形的以点为起点的对角线所对应的向量，不等于，③错误； ，④正确. 故选：A 知识点03 平行向量与共线向量 1、共线向量基本定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． 2、线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握． D A C B 3、三点共线定理 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握． A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 4、中线向量定理 如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． D A C B 【注意】 （1）向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量． 即． （2），当且仅当至少有一个为时，向量不等式的等号成立． （3）特别地：或当且仅当至少有一个为时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立． （4）减法公式：，常用于向量式的化简． （5）、、三点共线，这是直线的向量式方程． 【即学即练】 1．已知平面向量，则“”是“，共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、平行向量（共线向量） 【分析】根据向量共线及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若则，共线，故充分性成立； 若，共线，不一定得到， 如，，显然满足，共线， 但是不存在实数使得，故必要性不成立； 所以“”是“，共线”的充分不必要条件. 故选：A 2．已知为两个不共线的非零向量，若与共线，则k的值为 ． 【答案】/ 【难度】0.94 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】根据共线向量满足的性质求解即可. 【详解】由题意若与共线，则， 则，因为为两个不共线的非零向量，故， 解得. 故答案为： 题型01 平面向量的基本概念 【典例1】．下列说法不正确的是（    ） A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同 B．零向量的方向是任意的 C．若，则四边形ABCD不一定是平行四边形 D．若，，则 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】向量的模、零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】利用相等向量的意义判断A；零向量的意义判断B；利用共线向量的定义性质逐项判断CD. 【详解】对于A，两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同，A正确； 对于B，零向量的方向是任意的，B正确； 对于C，由，得，不一定平行，则四边形ABCD不一定是平行四边形，C正确； 对于D，若，，当时，可以不共线，即不一定成立，D错误. 故选：D 【变式1】．（2025高一·天津·专题练习）下列说法错误的是（  ） A． B．，是单位向量，则 C．若，则 D．两个相同的向量的模相等 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】向量的模、零向量与单位向量、相等向量 【分析】由向量的模、单位向量、相等向量等概念对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，是单位向量，则，故B正确； 对于C，若，有方向不能比较大小，故C错误； 对于D，两个相同的向量长度相等，方向相同，故D正确. 故选：C. 【变式2】．（24-25高一下·广东阳江·月考）下列说法正确的是 .（填序号） ①若，则； ②若，则； ③若，则与共线； ④若，则一定不与共线. 【答案】③ 【难度】0.94 【知识点】向量的模、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据共线向量、相等向量、模长等的定义，逐一判断即可得出结论. 【详解】对于①，若，则可知共线，不一定有，也可能，因此①错误； 对于②，若，但的方向不一定相同，因此②错误； 对于③，若，则与共线，显然③正确； 对于④，若，则可能，此时与共线，所以④错误. 故答案为：③ 【变式3】．（24-25高一下·河南许昌·开学考试）下列结论中正确的是 （填序号）． ①若与共线，则点、、、共线； ②物理学中作用力与反作用力是一对共线向量； ③方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量； ④直角坐标平面上的轴的非负半轴是向量． 【答案】②③ 【难度】0.94 【知识点】平面向量的概念与表示、平行向量（共线向量） 【分析】根据共线向量以及向量的定义来对①②③④中的命题的正误进行判断，即可得出结果. 【详解】在梯形  中，，但点不共线，故①错误； 物理学中的作用力与反作用力大小相等，方向相反，是一对共线向量，故②正确； 如图，方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量在一条直线上，是共线向量，故③正确； 直角坐标平面上的轴的非负半轴只有方向，没有大小，不是向量，故④错误. 综上，正确结论的序号是②③. 故答案为：②③ 【变式4】．（24-25高一下·上海·期中）已知、均为非零向量，有下列三个命题： ①若m为任意实数，则是的充分非必要条件； ②已知、为两个不平行向量，则是的必要非充分条件； ③“”是“”的既非充分也非必要条件. 其中命题正确的个数（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、平行向量（共线向量） 【分析】根据题意，由共线向量与相等向量的定义，结合充分性以及必要性的定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于①，若，则，故充分性满足，若，则， 即或，故必要性不满足，即是的充分非必要条件，故①正确； 对于②，若、为两个不平行向量，则由可得，故充分性满足， 若，则成立，故必要性满足， 所以是的充要条件，故②错误； 对于③，若，则同向或反向，所以不一定成立，故充分性不满足， 若可得同向，即，故必要性满足， 所以“”是“”的必要不充分条件，故③错误； 故选：B 题型02 平面向量的加法与减法 【典例2】．（24-25高一下·江西上饶·月考）如图，在正六边形中，（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】向量加法法则的几何应用 【分析】连接、、交于点，分析可知，再利用平面向量加法的三角形法则可得答案. 【详解】连接、、交于点，如下图所示： 由正六边形的几何性质可知、、、、、均为等边三角形， 因为，故四边形为菱形， 同理可知，四边形也为菱形，所以，故， 故， 故选：A. 【变式1】．（24-25高一下·广东佛山·月考）在平行四边形中，对角线，给出以下结论： ①；    ②； ③；        ④ 其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】向量减法的法则、向量加法法则的几何应用、向量加法的法则 【分析】利用平面向量的加减法法则，可逐一判断结论. 【详解】由题意，，故①正确；，故②正确； ,故③正确；，故④错误. 所以正确结论的个数是3. 故选：C. 【变式2】．（2025高三下·全国·专题练习）化简： （1） ； （2） ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】由向量的线性运算即可求解. 【详解】（1）； （2）. 故答案为：①；②. 【变式3】．（24-25高一下·上海长宁·期中）在中，化简 【答案】 【难度】0.94 【知识点】向量减法的法则、向量减法法则的几何应用 【分析】利用向量的加、减法运算即可. 【详解】. 故答案为： 【变式4】．（24-25高二下·甘肃白银·期末）如图，在正六边形中，若，则 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】向量加法的法则、向量加法法则的几何应用 【分析】根据直角三角形中的三角函数值以及勾股定理求出，再由向量的加法原则求解即可. 【详解】如图所示，过点作的垂线，垂足为， 根据直角三角形的性质： ，， 根据勾股定理，在中，， 因此. 故答案为：. 题型03 平面向量的线性运算 【典例3】．在△ABC中，已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】向量减法的法则、向量加法的法则、平行向量（共线向量） 【分析】根据条件判断出D为线段BC的三等分点，从而根据向量加法的三角形法则和向量的减法得出. 【详解】如图所示，由已知得D点在线段上，且D为线段BC的三等分点，    由向量加法的三角形法则可得， . 故选：A． 【变式1】．（24-25高一上·青海西宁·期末）如图，在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】向量减法的法则、向量加法的法则 【分析】利用向量定义，，最后化简为来表示向量即可. 【详解】 故选：B 【变式2】．（24-25高一下·湖南株洲·期中）如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则 .    【答案】/1.25 【难度】0.85 【知识点】向量加法法则的几何应用 【分析】首先连接，根据平面向量的加法几何意义得到，即可得到答案. 【详解】连接，如图所示：    . 所以. 故答案为： 【变式3】．（24-25高三上·山东德州·月考）已知在梯形中，，，点P在线段BC上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】向量加法的法则、向量加法法则的几何应用 【分析】结合图形，由向量的加法法则计算即可； 【详解】因为， ， 所以， 故选：A. 题型04 相等向量 【典例4】．（24-25高三上·辽宁·月考）设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据非零向量的方向是否相同分别判断各个选项即可. 【详解】因为，故同向. 对于A:，方向相反,A选项错误； 对于B:，得出,不能得出方向，B选项错误； 对于C:,方向向相同,则成立，C选项正确； 对于D:,不能确定的方向，D选项错误. 故选：C． 【变式1】．（25-26高一上·湖北武汉·期末）“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.69 【知识点】判断命题的充分不必要条件、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】由相等向量与相反向量的概念，以及向量共线的概念，结合充分必要条件的判定即可求解. 【详解】若“”则“且”成立，即充分性成立； 反之若与反向共线时，满足“且”，但不满足“”，故必要性不成立， 故“”是“且”的充分不必要条件， 故选：A. 【变式2】．如图，等腰梯形中，对角线与交于点，点、分别在两腰、上，过点，且，则下列等式中成立的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】相等向量 【分析】由梯形的几何性质可判断AB选项；推导出为的中点，可判断CD选项. 【详解】在等腰梯形中，、不平行，、不平行，AB均错； 因为，则，则，则， 即，即， ，则，，即为的中点， 所以，，C错，D对. 故选：D. 【变式3】．（24-25高一下·广西河池·期末）下列向量的概念错误的是（   ） A．长度为0的向量是零向量，零向量的方向是任意的 B．零向量和任何向量都是共线向量 C．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等 D．，，则 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据零向量，相等向量，共线向量的定义即可求解. 【详解】对于A, 零向量的长度为0，且方向是任意的，故A正确， 对于B，规定零向量与任意向量共线，故B正确， 对于C，相等向量的模长和方向都相同，故相等向量一定是共线向量，但共线向量是方向相同或者相反的两个向量，模长不一定相等，故共线向量不一定相等，C正确， 对于D，当为零向量时，此时不一定能得到，故D错误， 故选：D 题型05 平行向量与共线向量 【典例5】．（24-25高二上·湖南·期中）设，是两个不共线的向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】向量加法的运算律、已知向量共线（平行）求参数 【分析】由，可得，结合，不共线，列方程组求解即可. 【详解】由，，三点共线，可得， 又，， 则，又，不共线， 则，解得． 故答案为：． 【变式1】．已知向量，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则实数 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、平行向量（共线向量） 【分析】由向量共线定理直接计算. 【详解】因为向量与共线，所以， 即， 又向量，不共线，所以， 解得，所以， 故答案为：. 【变式2】．（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知，不共线，，，当与共线时实数的值为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量共线列方程，化简求得的值. 【详解】和共线，，不共线， ，即，即，解得. 故答案为：. 【变式3】．（24-25高一下·江苏·月考）设是平面内的一个基底，若三点共线，且，则实数的值为 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】根据三点共线，得到，由此列方程组，解方程组求得的值. 【详解】由于三点共线，所以，即， 所以，解得. 故答案为： 题型06 综合应用 【典例6】．（2025高三·全国·专题练习）如图，正方形中，，是线段上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】对勾函数求最值、平面向量共线定理的推论 【分析】根据三点共线的性质，结合平面向量基本定理，通过利用换元法、双钩函数的单调性进行求解即可. 【详解】在正方形中，， 则， 而，则， 又点共线，所以，即， 因为是线段上的动点，所以， 令，则， 则， 令，易知在上单调递减， 所以，所以， 故，即的最小值为． 故答案为： 【变式1】．（2025·河北·模拟预测）在边长为2的等边中，点为内切圆上一点，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】向量的模 【分析】设内切圆圆心，将、、分解为从出发的向量；利用等边三角形“重心与内心重合”的性质，简化向量和为；通过三角形面积与内切圆半径的关系求得，进而计算向量和的模长. 【详解】设点为内切圆圆心，则， 则， 因为是等边三角形，故点也是的重心， 故，故， 由等面积得，则， 故. 故选：B 【变式2】．已知为△ABC内任意一点，若满足则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】向量的线性运算的几何应用 【分析】依据向量的几何意义去求解的值 【详解】分别取AC、BC的中点E、F，连接PF，PE，FE. 则， 则，即点P为线段EF靠近F的一个三等分点 故选：D 【变式3】．已知是半径为5的圆上的两条动弦，，则最大值是（    ）    A．7 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】向量减法法则的几何应用、圆的弦长与中点弦 【分析】合理利用平面向量的线性运算对目标式进行转化，再利用圆的性质求出，，求解即可. 【详解】    如图，连接，作，， 易知是的中点，是的中点，由勾股定理得，， 故， 故，当反向时等号成立，故C正确. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查圆，解题关键是找到对目标式进行合理转化，然后求出，，最后得到所要求的最值即可． 一、单选题 1．（24-25高一下·上海长宁·月考）下列有关向量的说法正确的是（   ） A．向量又称有向线段 B．平行向量一定相等 C．平行向量一定共线 D．平面直角坐标系xOy中的x轴，y轴均为向量 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】平行向量（共线向量） 【分析】根据向量、有向线段、平行向量、相等向量等相关概念，对每个选项进行逐一分析判断. 【详解】向量可以用有向线段来表示，但向量与有向线段是不同的概念.有向线段有起点、方向和长度，而向量只有大小和方向，没有固定的起点.所以不能说向量又称有向线段，选项错误. 平行向量是指方向相同或相反的非零向量，规定零向量与任意向量平行.而相等向量不仅要求方向相同，还要求大小相等.所以平行向量不一定相等，选项错误. 平行向量也叫共线向量，这是向量的基本概念.所以平行向量一定共线，选项正确. 向量是既有大小又有方向的量，而平面直角坐标系xOy中的轴、轴是具有方向的直线，它们没有大小，不满足向量的定义，所以轴、轴不是向量，选项错误. 故选：C. 2．（2026高一·全国·专题练习）如图，设，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.95 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】由平面向量加法和减法的几何意义进行求解即可. 【详解】. 故选：A 3．（25-26高三上·河北·期末）如图，在中，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】向量减法的法则 【分析】根据向量的减法运算法则即可求解. 【详解】因为，所以，所以. 故选：C. 4．（25-26高三上·湖南长沙·月考）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若 则 的最小值为（    ）    A．2 B．9 C．10 D．18 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】平面向量基本定理的应用、基本不等式求和的最小值、平面向量共线定理的推论 【分析】根据向量共线的知识和基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】因为是的中点，所以. 因为，所以. 由于三点共线，所以可以表示为的线性组合， 即. 所以，即. 因为，所以. 当且仅当时，即时等号成立. 由于，所以解得，此时最小值为9. 故选：B. 5．给出下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若且，则 D．若，，则 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】平行向量（共线向量）、相等向量、向量的模 【分析】根据向量平行及相等定义分别判断各个选项即可. 【详解】对于A，当与方向不同时，不成立，∴A错误， 对于B，若，，则，∴B正确， 对于C，当与方向相反时，不成立，∴C错误， 对于D，当时，满足，，但不一定成立．所以D错误. 故选：B． 6．（24-25高一下·上海嘉定·期末）以下关于平面向量的说法正确的是（    ） A．若，则 B．若则 C．若是共线的单位向量.则 D．若，则不是共线向量 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】向量的模、零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】对 A，由相等向量的定义判断；对B，举反例时，可判断；对C，由共线向量的定义判断；对D，由相等向量和共线向量的定义判断. 【详解】对于A，若，则，故正确； 对于B，若，则不一定成立，故B错误； 对于C，若是共线的单位向量，则或，故C错误； 对于D，若，则是共线向量，故D错误. 故选：A. 二、填空题 7．下列说法中正确的是 ①若向量与向量不平行，则与的方向一定不相同； ②任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点； ③向量与不共线，则与都是非零向量． 【答案】①③ 【难度】0.94 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量） 【详解】由向量平行的定义知①正确；两个相等的非零向量可以在同一直线上，故②不正确；向量与不共线，则与都是非零向量，正确，不妨设为零向量，则与共线，与与不共线矛盾，故③正确． 8．在平行四边形中， ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】向量加法的法则 【分析】根据向量的线性运算法则，即可得答案. 【详解】在平行四边形中，， 所以. 故答案为：. 9．（25-26高三上·江西吉安·月考）已知向量不共线，且向量与方向相同，则实数的值为 . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】根据两个向量方向相同可直接构造方程组求得结果. 【详解】与方向相同， 存在正实数，使得， 又向量不共线，，解得：（舍去）或，的值为. 故答案为：. 10．（24-25高一下·河北沧州·月考）已知是两个不共线的向量，，若与共线，则 ． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】已知向量共线（平行）求参数 【分析】根据给出的条件，利用共线向量定理求出，即可求解. 【详解】由已知，是两个不共线的向量，则， 又因为与共线，则，即， 即， 即，解得. 故答案为：. 11．已知，是两个不共线的向量，，，若与共线，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、利用平面向量基本定理求参数 【分析】利用共线向量定理，结合平面向量基本定理列式计算得解. 【详解】向量，不共线，则不是零向量， 由与共线，得，即 因此，解得， 所以. 故答案为： 12．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知满足，若，的最小值为，则的面积为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、向量的线性运算的几何应用 【分析】设，作点关于的对称点，设，如图根据向量的线性运算化简题中的式子为，利用点关于直线对称的性质可得，结合余弦定理可求得，利用倍角公式求出，最后根据面积公式计算即可. 【详解】设，则，且点在线段上运动， 所以， 设，则， 所以， 所以， 即， 作点关于的对称点，设， 则， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以，解得，即， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了向量的线性运算，余弦定理解三角形以及三角函数的倍角公式，解题的关键是根据向量的线性运算化简题中的式子为，利用点关于直线对称的性质可得，结合余弦定理可求得，最后根据面积公式计算. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.1 向量的概念与线性运算 教学目标 1.理解平面向量的意义，几何表示及向量相等的含义。 2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义。 3.了解向量线性运算的性质及其几何意义。 教学重难点 1.重点 （1）平面向量的概念与线性运算； （2）平行向量与共线向量； 2.难点 （1）平面向量的线性运算； （2）共线定理的应用。 知识点01 平面向量的有关概念 （1）定义：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度（或模）． （2）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度，记作．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 （3）特殊向量： ①零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． ②单位向量：长度等于1个单位的向量． ③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：与任一向量平行． ④相等向量：长度相等且方向相同的向量． ⑤相反向量：长度相等且方向相反的向量． 【即学即练】 1．对于物理量：①路程，②时间，③速度，④体积，⑤长度，⑥重力，以下说法正确的是（    ） A．①②④是数量，③⑤⑥是向量 B．①④⑤是数量，②③⑥是向量 C．①④是数量，②③⑤⑥是向量 D．①②④⑤是数量，③⑥是向量 2．下列说法中，正确的序号是 ． ①零向量都相等； ②任一向量与它的平行向量不相等； ③若四边形是平行四边形，则； ④共线的向量，若始点不同，则终点一定不同． 知识点02 平面向量的线性运算与数乘 （1）向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 【即学即练】 1．化简： （1） ； （2） . 2．下列四个式子中可以化简为的是（    ） ①；②；③；④ A．①④ B．①② C．②③ D．③④ 知识点03 平行向量与共线向量 1、共线向量基本定理 如果，则；反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）． 2、线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握． D A C B 3、三点共线定理 平面内三点A，B，C共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握． A、B、C三点共线 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 4、中线向量定理 如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． D A C B 【注意】 （1）向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量． 即． （2），当且仅当至少有一个为时，向量不等式的等号成立． （3）特别地：或当且仅当至少有一个为时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立． （4）减法公式：，常用于向量式的化简． （5）、、三点共线，这是直线的向量式方程． 【即学即练】 1．已知平面向量，则“”是“，共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知为两个不共线的非零向量，若与共线，则k的值为 ． 题型01 平面向量的基本概念 【典例1】．下列说法不正确的是（    ） A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同 B．零向量的方向是任意的 C．若，则四边形ABCD不一定是平行四边形 D．若，，则 【变式1】．（2025高一·天津·专题练习）下列说法错误的是（  ） A． B．，是单位向量，则 C．若，则 D．两个相同的向量的模相等 【变式2】．（24-25高一下·广东阳江·月考）下列说法正确的是 .（填序号） ①若，则； ②若，则； ③若，则与共线； ④若，则一定不与共线. 【变式3】．（24-25高一下·河南许昌·开学考试）下列结论中正确的是 （填序号）． ①若与共线，则点、、、共线； ②物理学中作用力与反作用力是一对共线向量； ③方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量； ④直角坐标平面上的轴的非负半轴是向量． 【变式4】．（24-25高一下·上海·期中）已知、均为非零向量，有下列三个命题： ①若m为任意实数，则是的充分非必要条件； ②已知、为两个不平行向量，则是的必要非充分条件； ③“”是“”的既非充分也非必要条件. 其中命题正确的个数（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型02 平面向量的加法与减法 【典例2】．（24-25高一下·江西上饶·月考）如图，在正六边形中，（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高一下·广东佛山·月考）在平行四边形中，对角线，给出以下结论： ①；    ②； ③；        ④ 其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】．（2025高三下·全国·专题练习）化简： （1） ； （2） ． 【变式3】．（24-25高一下·上海长宁·期中）在中，化简 【变式4】．（24-25高二下·甘肃白银·期末）如图，在正六边形中，若，则 . 题型03 平面向量的线性运算 【典例3】．在△ABC中，已知，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（24-25高一上·青海西宁·期末）如图，在中，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（24-25高一下·湖南株洲·期中）如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则 .    【变式3】．（24-25高三上·山东德州·月考）已知在梯形中，，，点P在线段BC上，且，则（   ） A． B． C． D． 题型04 相等向量 【典例4】．（24-25高三上·辽宁·月考）设，都是非零向量，下列四个条件中，能使一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·湖北武汉·期末）“”是“且”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】．如图，等腰梯形中，对角线与交于点，点、分别在两腰、上，过点，且，则下列等式中成立的是（　　）    A． B． C． D． 【变式3】．（24-25高一下·广西河池·期末）下列向量的概念错误的是（   ） A．长度为0的向量是零向量，零向量的方向是任意的 B．零向量和任何向量都是共线向量 C．相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等 D．，，则 题型05 平行向量与共线向量 【典例5】．（24-25高二上·湖南·期中）设，是两个不共线的向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为 ． 【变式1】．已知向量，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则实数 . 【变式2】．（25-26高二上·贵州遵义·期末）已知，不共线，，，当与共线时实数的值为 . 【变式3】．（24-25高一下·江苏·月考）设是平面内的一个基底，若三点共线，且，则实数的值为 ． 题型06 综合应用 【典例6】．（2025高三·全国·专题练习）如图，正方形中，，是线段上的动点，且，则的最小值为 ． 【变式1】．（2025·河北·模拟预测）在边长为2的等边中，点为内切圆上一点，则（    ） A．1 B． C．2 D．3 【变式2】．已知为△ABC内任意一点，若满足则（    ） A． B． C． D． 【变式3】．已知是半径为5的圆上的两条动弦，，则最大值是（    ）    A．7 B．12 C．14 D．16 一、单选题 1．（24-25高一下·上海长宁·月考）下列有关向量的说法正确的是（   ） A．向量又称有向线段 B．平行向量一定相等 C．平行向量一定共线 D．平面直角坐标系xOy中的x轴，y轴均为向量 2．（2026高一·全国·专题练习）如图，设，，，则等于（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·河北·期末）如图，在中，，则（   ）    A． B． C． D． 4．（25-26高三上·湖南长沙·月考）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若 则 的最小值为（    ）    A．2 B．9 C．10 D．18 5．给出下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若且，则 D．若，，则 6．（24-25高一下·上海嘉定·期末）以下关于平面向量的说法正确的是（    ） A．若，则 B．若则 C．若是共线的单位向量.则 D．若，则不是共线向量 二、填空题 7．下列说法中正确的是 ①若向量与向量不平行，则与的方向一定不相同； ②任意两个相等的非零向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点； ③向量与不共线，则与都是非零向量． 8．在平行四边形中， ． 9．（25-26高三上·江西吉安·月考）已知向量不共线，且向量与方向相同，则实数的值为 . 10．（24-25高一下·河北沧州·月考）已知是两个不共线的向量，，若与共线，则 ． 11．已知，是两个不共线的向量，，，若与共线，则 ． 12．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知满足，若，的最小值为，则的面积为 . 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $