重难点23 复数八大综合问题 讲义-2025-2026学年高一下学期数学沪教版必修第二册

2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点23 复数的八大综合问题 题型一、复数的概念与分类 1.已知复数的虚部为，在复平面上对应的点在第三象限，且满足． （1）求； （2）已知，为纯虚数，求的值． 【解析】（1）复数的虚部为，在复平面上对应的点在第三象限， 则可设， ， ，解得（正值舍去）， ； （2）由（1）可知，， 为纯虚数， 则，解得． 2.已知复数，，其中． （1）若，求的值； （2）若是纯虚数，求的值． 【解析】（1），， ， ，从而，解得； （2）复数，，其中， ， 因为是纯虚数， 所以，解得或． 3.已知复数． (1)当时，求的值； (2)若复数为纯虚数，求的值． 【解析】（1）当时， 所以 . （2） 由为纯虚数知， 得，解得. 所以． . 4.已知复数． (1)若，求； (2)若，且是纯虚数，求． 【答案】(1) (2)或. 【来源】江苏省南京市金陵中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题 【分析】(1)利用复数的除法，即可求解. (2)设，根据模长和是纯虚数，即可求解. 【详解】（1） （2）设，所以， 又，且是纯虚数， 所以，解得或， 所以或. 5.已知复数是关于的方程的一个复数根. (1)求，的值； (2)若为纯虚数，求的值. 【解析】（1）因为， 所以有. 所以有，解得. （2）由（1）得， 则， 所以，. 因为为纯虚数， 所以有， 解得． 6. 已知复数(为虚数单位). (1)求; (2)若，其中，求的值; (3)若，且是纯虚数，求. 【答案】(1) (2) (3)或. 【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的模、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 【分析】（1）代入，结合复数模的定义计算即得. （2）利用复数的除法运算，化成给定形式即可得解. （3）设出复数的代数形式，利用复数模、复数乘法运算，结合纯虚数的意义求解即得. 【详解】（1）依题意，，所以. （2）， 所以 （3）设，则，即， ， 由是纯虚数，则有， 由，解得或， 所以或. 7.已知复数. (1)若，求； (2)若，且是纯虚数，求. 【答案】(1) (2)或. 【知识点】已知复数的类型求参数、求复数的模、复数代数形式的乘法运算、复数的除法运算 【分析】（1）由复数的运算化简即可； （2）设，由复数的模长和是纯虚数列方程组，解出即可. 【详解】（1）∵复数， ∴. （2）设， ∵，∴①. 又∵， ∴②， 由①②联立，解得或， ∴或. 题型二、共轭复数 8.已知复数，． （1）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围． （2）若复数，求的共轭复数． 【解析】（1）因为，， 所以， 因为复数在复平面上对应的点在第四象限，所以，所以， 即实数的取值范围为． （2）， 所以． 9.已知复数是虚数单位）． （1）求复数的共轭复数； （2）若，求，的值． 【解析】（1）， 则． （2）因为， 将代入上式，即，化简整理可得，， 所以，解得． 10.已知复数满足，． （1）求； （2）若复数满足，求． 【解析】（1）由题意得， ， 所以或（舍去）， 故； （2）设， 则， 所以，解得或， 所以或． 11.已知复数，. (1)若复平面内表示复数的点位于第一象限，求的取值范围； (2)若，求的最小值. 【解析】（1）对应的点为， 故且，故， （2）， 故，故，故， ，故当时，的最小值为 题型三、复数的模 12.已知复数是纯虚数，是实数． （1）求； （2）若，求． 【解析】（1）设且． 则为实数， 所以，所以， 所以； （2）由（1），， 所以． 13.已知是虚数单位，． （1）求； （2）若复数的虚部为，且是纯虚数，求． 【解析】（1）， 所以． （2）复数的虚部为，可设， 由（1）可知，， 则， 因为是纯虚数，所以且，解得， 所以． 14.已知复数. (1)若是实数，求的值； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围； (3)若，求的值. 【答案】(1). (2). (3)或. 【解题思路】（1）先算出表达式，实数虚部是，让虚部对应式子为求. （2）已知形式，按条件列不等式组，分别解不等式，取交集得范围. （3）由模的值列等式，两边平方去掉根号，展开合并得方程，因式分解求解. 【解答过程】（1）， 因为是实数，所以，解得. （2）因为，所以 解得，即的取值范围为. （3）因为，所以， 化简得， 解得或. 15.已知复数，其中为虚数单位. (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若是关于的实系数方程的一个复数根，求实数的值. (3)若，另有复数，满足，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据纯虚数的概念列不等式求解即可； （2）利用实系数方程的根性质可得也是关于的实系数方程的一个复数根，结合韦达定理即可求得的值，从而得所求； （3）设复数，结合复数模长公式可得的值，由二次函数的性质从而求得的最小值. 【解答过程】（1）若是纯虚数，则，解得； （2） 是关于的实系数方程的一个复数根， 则也是关于的实系数方程的一个复数根， 所以，即， 故； （3）若，则， 设复数，则 因为，所以，则，解得， 所以，当时等号成立， 所以的最小值为. 16.已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）. (1)求实数的值； (2)设复数，求； (3)复数满足，求的最小值. 【解析】（1）因为，则， 所以， 又为纯虚数，所以，解得； （2）， 所以 （3）因为，即，所以对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆 表示对应的点到点的距离 又因为圆心到的距离为， 所以最小值为 17.已知复数. (1)若z为纯虚数，求a的值； (2)若z在复平面内对应的点位于第二象限，求a的取值范围及的最小值． 【解析】（1）复数为纯虚数，则且， 所以. （2）复数在复平面内对应的点位于第二象限， 则且，解得， ，当且仅当时取等号， 所以a的取值范围是，的最小值为. 18.解答下列各题： (1)已知， ，求； (2)已知为纯虚数，，求. 【答案】(1)；(2) 【分析】(1)设代入已知求出复数的模，解方程组即可求出； (2)设代入及化简，联立方程即可求出. 【详解】(1) 设，则， 所以， 所以， 解得，，所以. (2) 设，则 为纯虚数， 所以且，① 由得，所以，② 由①②解得，， 所以. 题型四、复数的几何意义 19.设复数，为实数． （1）当为何值时，是纯虚数； （2）若，求的值； （3）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数的取值范围． 【解析】（1）若是纯虚数，则，解得， 所以当时，是纯虚数． （2）若，则， 所以． （3）因为复数，对应的点为，， 若复数在复平面内对应的点在第三象限， 则，解得， 故实数的取值范围为． 20.已知复数，． （1）若复数在复平面上对应的点在虚轴上，求的值． （2）若复数在复平面上对应的点在第一象限，求的范围． 【解析】（1）复数在复平面上对应的点在虚轴上， ，解得或1． （2）复数在复平面上对应的点在第一象限， ，解得或， 故的范围为． 21.已知复数，其中为虚数单位，． （1）若是纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 【解析】（1）由是纯虚数，则，故． （2）由在复平面内对应的点在第四象限，，解得， 故的取值范围为． 22.已知复数，（，为虚数单位）． (1)若为实数，求； (2)设、在复平面上所对应的点为、，为原点，若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据为实数得到虚部为，即可求出参数的值，从而得解； （2）首先表示出、，由向量垂直得到，根据数量积的坐标表示得到方程解得，即可得解. 【解析】（1）因为，所以， 所以， 因为为实数，所以，解得，所以. （2）因为，在复平面上所对应的点为、， 所以、，则、， 因为，所以，解得， 所以. 23.已知复数已在复平面内对应的点在第一象限，是虚数单位. (1)求实数的取值范围 (2)当时，求复数的三角表示 (3)若复平面内，向量对应（2）中的复数，把绕点顺时针方向旋转得到，求向量对应的复数（结果用代数形式表示） 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）根据题意得，再求解集即可； （2）根据题意得，再分别求出，，即可求解； （3）设，根据题意得，再分析求解即可. 【解答过程】（1）因为复数已在复平面内对应的点在第一象限， 所以，解得，所以实数的取值范围为： （2）当时，，所以，， 所以，所以 （3）根据题意得，设其旋转后对应向量， 所以，解得或， 又因为绕点顺时针方向旋转得到，所以对应的点在第四象限， 所以，所以. 24.已知复数满足为坐标原点，复数在复平面内对应的向量为. (1)求； (2)若向量绕逆时针旋转得到对应的复数为，求. 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）求出对应复数，再利用模的公式求模即可. （2）利用复数的几何意义结合旋转的性质求出对应复数，再求乘积即可. 【解析】（1）由得：， . （2）又，由复数的几何意义， 得向量绕原点逆时针旋转得到的， 则对应的复数为，则. 25.已知复数，（，为虚数单位）． (1)若为实数，求； (2)设、在复平面上所对应的点为、，为原点，若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据为实数得到虚部为，即可求出参数的值，从而得解； （2）首先表示出、，由向量垂直得到，根据数量积的坐标表示得到方程解得，即可得解. 【解析】（1）因为，所以， 所以， 因为为实数，所以，解得，所以. （2）因为，在复平面上所对应的点为、， 所以、，则、， 因为，所以，解得， 所以. 26．已知是虚数单位，，，设复数，，，且． （1）若为纯虚数，求； （2）若复数，在复平面上对应的点分别为，，且为复平面的坐标原点． ①是否存在实数，，使向量逆时针旋转后与向量重合，如果存在，求实数，的值；如果不存在，请说明理由； ②若，，三点不共线，记的面积为，求及其最大值． 【分析】（1）计算，然后使其实部为零，虚部不为零，再结合可求出，的值，从而可求出求； （2）①方法一：由题意可得，然后解关于，的方程组可得结果，方法二：设，则，再由题意得，从而可求得结果， ②设向量的夹角为，，设复数所对应的向量为，则，化简后再利用可求得其最大值． 【解答】解：（1）因为复数， 所以， 而为纯虚数，因此，即． 又因为，且，所以， 由，解得或， 所以或． （2）①存在，理由如下： 法一：由题意知：，得， 解得或， 因为逆时针旋转后与重合，所以； 法二：设，是以轴正半轴为始边，为终边的角，则， 所以即， 所以，所以， 且时，满足． 所以． ②因为复数，对应的向量分别是为坐标原点），且，，三点不共线， 所以设向量的夹角为，，设复数所对应的向量为， 则且， 因此的面积， ， 设，则， 当且仅当且，即或时等号成立， 所以，其最大值为2． 【点评】本题主要考查复数的四则运算，考查转化能力，属于中档题． 题型五、实系数一元二次方程 27.实系数一元二次方程有虚根，另一根为. (1)求实数的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入方程中得，即，根据复数相等可得解得答案； （2）由（1）利用一元二次方程韦达定理求解．利用复数代数形式的乘除运算化简得到答案； 【解析】（1）根据题意得，化简， 根据复数相等可得，解得. （2）由（1）可知， 28.已知关于的实系数一元二次方程. (1)若方程有一个根（是虚数单位），求的值； (2)若方程有两虚根，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知条件得是方程的另一复数根，再结合韦达定理即可得解. （2）先设，再结合韦达定理和复数模长公式即可求解. 【解析】（1）由题意可知是方程的另一复数根， 所以， 所以. （2）设， 则由题意且， 所以， 所以， 解得. 29.已知，关于的实系数一元二次方程． （1）若方程的一个根大于，另一个根小于，求实数的取值范围； （2）方程的两根模均小于，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程实根分布列式求解. （2）求出方程的两个虚根，再结合已知列出不等式求解. 【小问1详解】 依题意，方程有两个不等实根，则，解得， 由方程的一个根大于，另一个根小于，得，解得． 所以实数的取值范围为． 【小问2详解】 依题意，， 当时，方程有两个实根，，对称轴为， 则，解得，因此； 当时，方程有两个共轭虚根，，， 由，得，因此， 所以实数的取值范围为. 30.已知关于的实系数一元二次方程， （1）若，是该方程的两个根，求的值； （2）若该方程有两个虚根且．求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，方程为，利用韦达定理即可求解； （2）设，由得，又由即可求解. 【小问1详解】 当时，，由韦达定理有， 所以， 【小问2详解】 由题意可设，所以， 即，由是方程的两根虚根，所以， 所以解得，所以. 31.已知关于的方程有两个复数根． （1）若，求的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2）或4 【解析】 【分析】（1）已知方程，结合讨论判别式的情况，得出关于的不等式组求解. （2）分和两种情况讨论，当，通过韦达定理得到，，结合得到关于的方程求解；当时，两虚数根与是共轭虚数，根据求解. 小问1详解】 已知，则. 若，根为实数，虚部为0，不满足. 若，根为虚数，由求根公式得：. 由可知，， 所以 【小问2详解】 i）当，即时，由韦达定理知：，. 若，两根异号，. 由或（，故舍去）. 若，两根同号为负，， 由，矛盾，舍去. ii）当，即时，与是共轭虚数，则，结合，得， 综上，或4. 题型六、复数与三角函数、平面向量的综合 32.复数，且在复平面上对应的点在第一象限． (1)若，求复数的模； (2)若复数的模为，复数的实部为，求锐角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【来源】江苏省苏州市西安交通大学苏州附属中学2023-2024学年高一下学期数学期末模拟试题 【分析】（1）直接由模的计算公式以及二倍角公式即可求解； （2）由题意求得，，，进一步由两角差的余弦公式即可求解. 【详解】（1）； （2）由题意，， 且由在复平面上对应的点在第一象限可知，， 不妨设是锐角，解得， 因为也是锐角，所以， 所以， 所以. 33.已知为虚数单位，是实系数一元二次方程的两个虚根. (1)设满足方程，求； (2)设，复数所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设出的代数形式根据复数相等可得答案； （2）求出与的坐标，根据向量夹角为钝角列出的不等式可得答案. 【解析】（1）不妨设，则， 因为满足方程， 所以， 可得， 所以，解得， 所以，或； （2）设，则， 因为复数所对的向量分别是与， 所以，， 可得， ， 若向量与的夹角为钝角， 则，且， 即，且， 解得，， 实数的取值范围是. 34.已知复数，，． （Ⅰ）若为实数，求的值； （Ⅱ）设复数，在复平面内对应的向量分别是，若，求的值． 【解析】（1） ， ， 即， ，， ，； （2）由题得：，， ，， ， ， 即， 即， 即， ， ，， ． 35.在复平面内，设复数对应向量，它的共轭复数对应向量． （1）若复数是关于的方程的一个虚根，求出实数的取值范围，并用表示； （2）若，且点满足，求的重心所对应的复数； （3）若，，，可知在变化时会对应到不同的复数，若取不同的，，，2，3，4，使得其所对应的复数满足，求证：，，，所对应的点，，，可以构成矩形． 【分析】（1）复数是关于的方程的一个虚根，可得方程判别式小于0，即可求得答案； （2）设，则由求得，由三角形重心坐标公式求得的重心坐标，由此可得复数； （3）求得，说明，，，所对应的点，，，在单位圆上，再取值，说明，为单位圆的两直径，即可证明结论． 【解答】解：（1）复数是关于的方程的一个虚根，， 则△，，即实数的取值范围； 解方程得， 不妨令复数，另一根为， 故． （2）由可知，故， 设，则由得，，，即， 解得，故，故的重心为， 故． （3）证明：由于，，，则， 则，，，所对应的点，，，都在单位圆上， 又，则且， 不妨取，，，，，2，则，为单位圆的两直径， 则四边形的对角线互相平分且对角线相等， 则四边形为矩形，即，，，所对应的点，，，可以构成矩形． 【点评】本题主要考查复数的几何意义，属于难题． 36.已知是虚数单位，，，设复数，，，且． （1）若为纯虚数，求； （2）若复数，在复平面上对应的点分别为，，且为复平面的坐标原点． ①是否存在实数，，使向量逆时针旋转后与向量重合，如果存在，求实数，的值；如果不存在，请说明理由； ②若，，三点不共线，记的面积为，求及其最大值． 【解析】（1）因为复数， 所以， 而为纯虚数，因此，即． 又因为，且，所以， 由，解得或， 所以或． （2）①存在，理由如下： 法一：由题意知：，得， 解得或， 因为逆时针旋转后与重合，所以； 法二：设，是以轴正半轴为始边，为终边的角，则， 所以即， 所以，所以， 且时，满足． 所以． ②因为复数，对应的向量分别是为坐标原点），且，，三点不共线， 所以设向量的夹角为，，设复数所对应的向量为， 则且， 因此的面积， ， 设，则， 当且仅当且，即或时等号成立， 所以，其最大值为2． 题型七、新定义问题 37.利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对（其中）视为一个向量，记作．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量，的数量积定义为一个复数，记作，满足，复向量的模定义为． (1)设，，为虚数单位，求复向量、的模； (2)设、是两个复向量， ①已知对于任意两个平面向量，，（其中），成立，证明：对于复向量、，也成立； ②当时，称复向量与平行．若复向量与平行（其中为虚数单位，），求复数． 【答案】(1)， (2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据题目中复向量的模长公式计算即可； （2）①利用模长公式和复数的三角不等式，以及的坐标表示，即可证明结论成立； ②根据①中等号成立的条件，结合题意即可求出和的值． 【解析】（1）因为，所以， 可得的模为； 因为，所以， 所以的模为； （2）因为，所以， 由复数的三角不等式， 由，得，所以， 所以， 综上所知， ②考虑①中等号成立的条件知，对于复数的三角不等式，复向量各分量均不为零时，其等号成立的条件是存在非负实数，使得， 若复向量与平行，则， 根据中等号成立的条件，应有， 则， 结合，得，解得； 所以，所以． 38.设复平面中向量对应的复数为，给定某个非零实数，称向量为的向量. (1)已知，求； (2)设的向量分别为，已知，求的坐标(结果用表示)； (3)若对于满足的所有能取到的最小值为8，求实数的值. 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）根据题意结合复数的相关概念分析运算； （2）根据（1）中的结论求的坐标，结合题意分析运算； （3）由（1）可得，根据面积公式和向量的相关运算整理得，结合基本不等式和正弦函数的有界性分析运算. 【详解】（1）∵，则， ∴， 故. （2）由（1）可得：，即， 故， ∵，则， ∴. （3）设， 由（1）可得：，同理可得：， 则， 设与的夹角为，则， 由题意可得：，则， 故， 当时，则，不合题意； 当时，则，当且仅当，即时等号成立， 即， 又∵，则，当且仅当时等号成立， 即，当且仅当，且时等号成立， 由题意可得：，即. 综上所述：实数的值为2. 【点睛】关键点点睛：在使用基本不等式要注意基本不等式成立的条件，本题分和两种情况分析运算. 39.已知集合（其中是虚数单位），定义：，. (1)计算的值； (2)记，若，且满足，求的最大值，并写出一组符合题意的、； (3)若，且满足，，记，求证：当时，函数必存在唯一的零点，且当时，． 【答案】(1) (2)的最大值为4，符合题意的一组解： (3)证明见解析 【分析】（1）结合所给定义计算即可得； （2）设出的实部与虚部，结合绝对值三角不等式放缩即可得解； （3）设，结合函数单调性与零点的存在性定理，分、与进行讨论即可证明函数必存在唯一的零点，并可得的范围，从而可结合模长定义计算得到结果. 【详解】（1）； （2）设， 由，得， 所以 ， 当，时等号成立，所以的最大值为4， 符合题意的一组解：； （3）由条件可知， 所以，设， 当时，和是单调递增函数， 则在上单调递增， 又，， 所以在上有唯一的零点，即在上有唯一的零点， 当时，是单调递增函数， 得，先增后减，且， 因此，即在上没有零点， 当时，是单调递增函数， 则，而， 因此，即在上没有零点， 综上，当时, 必存在唯一的零点， 当时，， 且得， 所以, 其中， 此时是单调递增函数，所以， 从而， 所以当时，. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于设出函数，从而可借助函数单调性与零点的存在性定理进行分类讨论. 40. 现定义“维形态复数”： ，其中为虚数单位，，． （1）当时，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系； （2）若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求的值； （3）若正整数，满足，，证明；存在有理数，使得． 【解析】证明：（1）当时，， ， ； 解：（2）因为，， 则， 因为， 所以，， 故； 证明：（3）因为，， 所以，， 所以，即，， 同理，，， 所以，， 所以，，， 因为， 所以，，即，，， 故存在有理数，使得． 41.对于，记为关于的“差比模”.若取遍，记关于的“差比模”的最大值为，最小值为，若，则称关于的“差比模”是协调的. (1)若，求关于的“差比模”； (2)若，是否存在，使得关于的“差比模”是协调的？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (3)若且，若关于的“差比模”是协调的，求的值. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）由“差比模”定义代入复数，由复数的代数运算及求模可得； （2）由，利用共轭复数的性质与模的性质可得，利用基本不等式可得可知不存在，使得关于的“差比模”是协调的； （3）设，由平方整理再结合辅助角公式可得，利用三角函数有界性可得关于的不等式，由此可解得，结合韦达定理与题意关于的“差比模”是协调的，化简可求. 【详解】（1）由题意得， 故关于的“差比模”为. （2）先证明共轭复数有如下性质：若任意，则. 证明：设， 则， 而， 故. ； ； 故. 综上，共轭复数的性质得证. 记当“差比模”取最大值时的复数为，即. 由已知发现， 由已证明共轭复数的性质与复数模的性质可得 因为， 所以若当时取得，则时取到， 故可知， 由取遍，不恒为常数，则， 故由基本不等式可得， 故不存在，使得关于的“差比模”是协调的. （3）且，设， 则， 平方整理可得： 所以， 即， 平方整理得：， 令，设方程， 则， 故方程有两个不等的实数根，设为，不妨设. 由题意知， ， 则，且， 故方程有两不等的正实数根， 由关于的不等式， 解得， 则，， 由已知关于的“差比模”是协调的，则， 所以， 利用韦达定理，， 则有， 化简可得， 故． 【点睛】结论点睛：有关共轭复数及模的常用性质有： （1）任意，则； （2）任意，则. 题型八、阅读理解 42.在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点.它们还有如下性质： （1） （2）（当时，为纯虚数） （3） （4） （5）. （6）两个复数和､差､积､商（分母非零）的共轭复数，分别等于两个复数的共轭复数的和､差､积､商. 请根据所学复数知识，结合以上性质，完成下面问题： (1)设.求证：是实数； (2)已知，求的值； (3)设，其中是实数，当时，求的最大值和最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)， 【分析】（1）根据复数和共轭复数的性质即可证明； （2）设，则，由已知，，列等式即可求解； （3）设复数设的三角形式，利用三角函数值域即可求解. 【详解】（1）设， ，，且， 是实数； （2）设，则， ，， ，① 又， ②， 联立①②，解得， ； （3），设， 则， ，， . 43.复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔､棣莫弗､欧拉､高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受.复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作.，叫做复数的三角形式. (1)设复数，，求､的三角形式； (2)设复数，，其中，求； (3)在中，已知､､为三个内角的对应边.借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容，证明： ①； ②，，. 注意：使用复数以外的方法证明不给分. 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）直接利用复数的乘除法计算即可； （2）设，的模为，的模为，，通过题意可得，发现，从而无意义，再根据角的范围求解即可； （3）建立平面直角坐标系，根据，利用复数的向量表示，以及复数的定义列式计算即可. 【详解】（1） , ； （2）设，的模为，的模为，， 对于有，， 对于有，， 所以， 所以， ， 因为，所以无意义， 故,即的角的终边在轴上， 又，所以，即 （3）如图建立平面直角坐标系，在复平面内，过原点作的平行线， 过作的平行线，交于点，则， 所以， 即， 即 根据复数的定义，实部等于实部，虚部等于虚部，可得， 所以，， 同理，， ，， 所以，，，. 【点睛】 方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 44.复数（）与复平面上的点一一对应： (1)复数（，），（，），若（），复平面上动点的轨迹为；若（），复平面上动点的轨迹为；判断并证明、的曲线类型. (2)复数、、、（，）满足（）且，复平面上动点的轨迹为曲线. （ⅰ）求的标准方程，并判断曲线类型； （ⅱ）平面上过的动直线交曲线于、两点，是线段上一点且满足，证明：点恒在某条定直线上. 【答案】(1)是圆，证明见解析；是直线，证明见解析 (2)（i），曲线为椭圆；（ii）证明见解析 【分析】（1）判断时将模长转化为对应坐标运算，化简后可得结果，判断时，根据横纵坐标的对应关系来进行判断即可； （2）（ⅰ）先根据（1）将复数之间的等量关系转化为几何关系，然后根据椭圆的定义作出判断并写出标准方程；（ii）设出直线的方程以及的坐标，联立直线方程与椭圆方程可得坐标的韦达定理形式，然后利用弦长公式转化条件，通过代入韦达定理形式的坐标关系求得横纵坐标的关系，则可完成证明. 【详解】（1）是圆心为，半径为的圆； 证明：因为，所以， 所以，所以， 表示圆心为，半径为的圆； 是经过和的一条直线； 证明：因为，所以，所以， 当时，，即，表示经过且斜率为的一条直线， 当时，，表示轴， 所以是经过和的一条直线. （2）（i）设在复平面内对应的点为， 由（1）可知，表示直线，表示的垂直平分线， 所以为的垂直平分线与直线的交点， 因为，所以，因为，所以， 因为，所以在以为圆心，半径为的圆上， 如下图所示，    由上可知，， 所以的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 所以，所以， 所以的标准方程为，曲线为椭圆； （ⅱ）设，不妨假设， 由题意可知，直线的斜率存在，设， 联立，可得， 所以，且， 因为， ， 所以， 化简可得， 所以， 所以，且， 所以，化简可得， 所以在定直线上.    【点睛】结论点睛：常见的复数与轨迹的结论： （1）：表示以为圆心，半径为的圆； （2）且：表示以为端点的线段； （3）且：表示以为焦点的椭圆； （4）且：表示以为焦点的双曲线. 45.阅读下面问题的解法： 求复数的模的取值范围． 解：． 如图所示，设点A的坐标为，点B的坐标为，则即为点A、B之间的距离． ∵点B的轨迹为以O为圆心，半径为1的圆，∴，因此复数的模的取值范围是． 试运用类似上面的解法解下列问题：求函数的值域． 【答案】． 【分析】利用复数的几何意义求复数模的取值范围的解题思路，寻求利用斜率求三角函数值域． 【详解】如图所示，设A的坐标为， B的坐标为，则的斜率为， ∴函数的值域为直线的斜率的取值范围． 点B的轨迹为以O为圆心，半径为1的圆，方程为①， 过点A作圆的切线和，设切线方程为②， 将②代入①，得，整理得． ∵直线和圆相切， ∴，即③，又A在切线上， ∴④，由③、④得：，． ∴直线的斜率的取值范围是，则函数的值域是． 46. 形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作．复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍． (1)试将写成三角形式（辐角取主值）； (2)复平面内，将对应的向量绕原点顺时针方向旋转，模长变为原来的2倍后，所得向量对应的复数为，求； (3)类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数．若存在实部不为0，且虚部大于0的复数和实数，使得成立，复数在复平面上对应的点为为坐标原点，点，以为边作正方形，其中在上方，求线段的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量三角函数形式的定义代入计算辐角即可； （2）先计算得，再代入化简即可； （3）设，代入化简，则，从而得到，最后计算得，从而得到其最值. 【详解】（1）由于，故，所以， 所以，因为，所以， 所以. （2） . . （3）设， 则 . 因为存在实数，使得成立，所以为实数， 所以， 因为，所以， 当时，，符合题意，点A的轨迹为单位圆的一部分． 设所表示的复数为， 则 记所表示的复数为，则， 故， 当时，. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点23 复数的八大综合问题 题型一、复数的概念与分类 1.已知复数的虚部为，在复平面上对应的点在第三象限，且满足． （1）求； （2）已知，为纯虚数，求的值． 2.已知复数，，其中． （1）若，求的值； （2）若是纯虚数，求的值． 3.已知复数． (1)当时，求的值； (2)若复数为纯虚数，求的值． 4.已知复数． (1)若，求； (2)若，且是纯虚数，求． 5.已知复数是关于的方程的一个复数根. (1)求，的值； (2)若为纯虚数，求的值. 6. 已知复数(为虚数单位). (1)求; (2)若，其中，求的值; (3)若，且是纯虚数，求. 7.已知复数. (1)若，求； (2)若，且是纯虚数，求. 题型二、共轭复数 8.已知复数，． （1）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围． （2）若复数，求的共轭复数． 9.已知复数是虚数单位）． （1）求复数的共轭复数； （2）若，求，的值． 10.已知复数满足，． （1）求； （2）若复数满足，求． 11.已知复数，. (1)若复平面内表示复数的点位于第一象限，求的取值范围； (2)若，求的最小值. 题型三、复数的模 12.已知复数是纯虚数，是实数． （1）求； （2）若，求． 13.已知是虚数单位，． （1）求； （2）若复数的虚部为，且是纯虚数，求． 14.已知复数. (1)若是实数，求的值； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围； (3)若，求的值. 15.已知复数，其中为虚数单位. (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若是关于的实系数方程的一个复数根，求实数的值. (3)若，另有复数，满足，求的最小值. 16.已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）. (1)求实数的值； (2)设复数，求； (3)复数满足，求的最小值. 17.已知复数. (1)若z为纯虚数，求a的值； (2)若z在复平面内对应的点位于第二象限，求a的取值范围及的最小值． 18.解答下列各题： (1)已知， ，求； (2)已知为纯虚数，，求. 题型四、复数的几何意义 19.设复数，为实数． （1）当为何值时，是纯虚数； （2）若，求的值； （3）若复数在复平面内对应的点在第三象限，求实数的取值范围． 20.已知复数，． （1）若复数在复平面上对应的点在虚轴上，求的值． （2）若复数在复平面上对应的点在第一象限，求的范围． 21.已知复数，其中为虚数单位，． （1）若是纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 22.已知复数，（，为虚数单位）． (1)若为实数，求； (2)设、在复平面上所对应的点为、，为原点，若，求． 23.已知复数已在复平面内对应的点在第一象限，是虚数单位. (1)求实数的取值范围 (2)当时，求复数的三角表示 (3)若复平面内，向量对应（2）中的复数，把绕点顺时针方向旋转得到，求向量对应的复数（结果用代数形式表示） 24.已知复数满足为坐标原点，复数在复平面内对应的向量为. (1)求； (2)若向量绕逆时针旋转得到对应的复数为，求. 25.已知复数，（，为虚数单位）． (1)若为实数，求； (2)设、在复平面上所对应的点为、，为原点，若，求． 26．已知是虚数单位，，，设复数，，，且． （1）若为纯虚数，求； （2）若复数，在复平面上对应的点分别为，，且为复平面的坐标原点． ①是否存在实数，，使向量逆时针旋转后与向量重合，如果存在，求实数，的值；如果不存在，请说明理由； ②若，，三点不共线，记的面积为，求及其最大值． 题型五、实系数一元二次方程 27.实系数一元二次方程有虚根，另一根为. (1)求实数的值； (2)求的值. 28.已知关于的实系数一元二次方程. (1)若方程有一个根（是虚数单位），求的值； (2)若方程有两虚根，且，求的值. 29.已知，关于的实系数一元二次方程． （1）若方程的一个根大于，另一个根小于，求实数的取值范围； （2）方程的两根模均小于，求实数的取值范围． 30.已知关于的实系数一元二次方程， （1）若，是该方程的两个根，求的值； （2）若该方程有两个虚根且．求的值． 31.已知关于的方程有两个复数根． （1）若，求的取值范围； （2）若，求的值． 题型六、复数与三角函数、平面向量的综合 32.复数，且在复平面上对应的点在第一象限． (1)若，求复数的模； (2)若复数的模为，复数的实部为，求锐角的余弦值． 33.已知为虚数单位，是实系数一元二次方程的两个虚根. (1)设满足方程，求； (2)设，复数所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 34.已知复数，，． （Ⅰ）若为实数，求的值； （Ⅱ）设复数，在复平面内对应的向量分别是，若，求的值． 35.在复平面内，设复数对应向量，它的共轭复数对应向量． （1）若复数是关于的方程的一个虚根，求出实数的取值范围，并用表示； （2）若，且点满足，求的重心所对应的复数； （3）若，，，可知在变化时会对应到不同的复数，若取不同的，，，2，3，4，使得其所对应的复数满足，求证：，，，所对应的点，，，可以构成矩形． 36.已知是虚数单位，，，设复数，，，且． （1）若为纯虚数，求； （2）若复数，在复平面上对应的点分别为，，且为复平面的坐标原点． ①是否存在实数，，使向量逆时针旋转后与向量重合，如果存在，求实数，的值；如果不存在，请说明理由； ②若，，三点不共线，记的面积为，求及其最大值． 题型七、新定义问题 37.利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对（其中）视为一个向量，记作．类比平面向量可以定义其运算，两个复向量，的数量积定义为一个复数，记作，满足，复向量的模定义为． (1)设，，为虚数单位，求复向量、的模； (2)设、是两个复向量， ①已知对于任意两个平面向量，，（其中），成立，证明：对于复向量、，也成立； ②当时，称复向量与平行．若复向量与平行（其中为虚数单位，），求复数． 38.设复平面中向量对应的复数为，给定某个非零实数，称向量为的向量. (1)已知，求； (2)设的向量分别为，已知，求的坐标(结果用表示)； (3)若对于满足的所有能取到的最小值为8，求实数的值. 39.已知集合（其中是虚数单位），定义：，. (1)计算的值； (2)记，若，且满足，求的最大值，并写出一组符合题意的、； (3)若，且满足，，记，求证：当时，函数必存在唯一的零点，且当时，． 40. 现定义“维形态复数”： ，其中为虚数单位，，． （1）当时，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系； （2）若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求的值； （3）若正整数，满足，，证明；存在有理数，使得． 41.对于，记为关于的“差比模”.若取遍，记关于的“差比模”的最大值为，最小值为，若，则称关于的“差比模”是协调的. (1)若，求关于的“差比模”； (2)若，是否存在，使得关于的“差比模”是协调的？若存在，求出的值；若不存在，说明理由； (3)若且，若关于的“差比模”是协调的，求的值. 题型八、阅读理解 42.在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点.它们还有如下性质： （1） （2）（当时，为纯虚数） （3） （4） （5）. （6）两个复数和､差､积､商（分母非零）的共轭复数，分别等于两个复数的共轭复数的和､差､积､商. 请根据所学复数知识，结合以上性质，完成下面问题： (1)设.求证：是实数； (2)已知，求的值； (3)设，其中是实数，当时，求的最大值和最小值. 43.复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔､棣莫弗､欧拉､高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受.复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作.，叫做复数的三角形式. (1)设复数，，求､的三角形式； (2)设复数，，其中，求； (3)在中，已知､､为三个内角的对应边.借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容，证明： ①； ②，，. 注意：使用复数以外的方法证明不给分. 44.复数（）与复平面上的点一一对应： (1)复数（，），（，），若（），复平面上动点的轨迹为；若（），复平面上动点的轨迹为；判断并证明、的曲线类型. (2)复数、、、（，）满足（）且，复平面上动点的轨迹为曲线. （ⅰ）求的标准方程，并判断曲线类型； （ⅱ）平面上过的动直线交曲线于、两点，是线段上一点且满足，证明：点恒在某条定直线上. 45.阅读下面问题的解法： 求复数的模的取值范围． 解：． 如图所示，设点A的坐标为，点B的坐标为，则即为点A、B之间的距离． ∵点B的轨迹为以O为圆心，半径为1的圆，∴，因此复数的模的取值范围是． 试运用类似上面的解法解下列问题：求函数的值域． 46. 形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作．复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍． (1)试将写成三角形式（辐角取主值）； (2)复平面内，将对应的向量绕原点顺时针方向旋转，模长变为原来的2倍后，所得向量对应的复数为，求； (3)类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数．若存在实部不为0，且虚部大于0的复数和实数，使得成立，复数在复平面上对应的点为为坐标原点，点，以为边作正方形，其中在上方，求线段的最大值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $