吉林延边朝鲜族自治州延吉市延边第二中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷

延边第二中学2025一2026学年度第二学期期中考试 高二年级数学试卷 1852 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1.已知f()为函数f()的导函数，若/()=。-f(2)x+1,则f(2)=（) e2 A. B.e2+1 C.2 D.e+2 4 2.设f(x)是可导函数，且lim f0+3△)-f四=2，则f'0=(） x-)0 △x A.-2 B. 2 C.2 D.6 3 3.1080的正因数的个数为( A.7 B.9 C.10 D.32 4.-x+2的展开式中的系数为) A.10 B.20 C.30 D.40 5.如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交 湖北 界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜 湖南 江西 色可供选用，则不同的涂色方案数为() A.720 B.660 C.600 D.540 6.盒中有10个玩具，其中有3个是坏的，现从盒中随机地抽取2个，在至少一个玩具是坏的条件 下，另一个是好的的概率是() B. c.7 8 9 D. 9 7.已知a=C36+2C26+22C36+…+22026C0%,则a被10除的余数为() A.9 B.7 C.3 D.1 高二数学期中试卷第1页共5页 8.已知函数f()=x-1+a血r有两个极值点，，且x>,则下列说法正确的是() A.a>2B.f(x2)<0C.f(x)>f(x)D.f(x)+f(x)=0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.定义在[-5,2]上的函数f(x)的导函数y='(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是() A.函数f(x)在(-4，-2)上单调递减 B.函数f(x)在(0,2)上单调递增 C.函数f(x)在x=0处取得极小值 D.f(-1)<f(0) 10.现安排甲、乙、丙、丁4名同学参加A,B,C三项工作，且每个同学只能参加一项工作，则 下列说法正确的是() A.不同的安排方法共有34种 B.若甲，乙两人都不能去参加A项工作，且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有14种 C.若恰有一项工作无人参加，则不同的安排方法共有C(2-1)种 D.若每个同学只能参加一项工作且每项工作都有人去，则不同的安排方法共有36种 11.已知函数f(x)是定义域(-0,0)U(0,+o)上的偶函数，当x>0时，xf'(x)-f(x)>0且f(1)=0, 下列选项正确的是() A.函数f(x)有两个零点 B.函数∫(x)的极值点x=±1 C.函数y=f(x)>0的解集为(-1,0)U(1,+o)D.函数y=f(x)<0的解集为(-0，-1)U(0,1) 高二数学期中试卷第2页共5页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 0 12.离散型随机变量X的分布列为：则t= 11-5 13.某市为迎接即将到来的省辩论大赛，准备在全市高中生范围内选择成 员，经过第一轮比赛，9人脱颖而出，其中5名女生，4名男生，并且男生和女生中各有一名参加 过去年的比赛.现从这9人中选2名男生与2名女生参赛，若至少有1名参加过去年比赛的被选中 条件下，两名去年参赛的都被选中的概率是 14.若函数f(x)=e-ax2有3个零点，则实数a的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 己知在 +左广(a≥∈N)展开式中第二、三、四碳的顶式系统成等茶致列，且 (1+x)+(1+x)2+(1+x°+…+(1+x)”=a+ax+a2x2+…+anx”. (1)求n的值； (2)求a+a1+a2+…+an的值； (③)求(x+二)”m∈N展开式中的所有的有理项。 16.(15分) 己知函数f0)=x-r2+3x+1 3 (I)若∫(x)在R上单调递增，求a的取值范围； (2)若f(x)在x=1处取得极大值， ①求f(x)在区间[-1,4]上的最值： ②若方程∫(x)=k有三个不同的实数根，求实数k的取值范围. 高二数学期中试卷第3页共5页 17.(15分) 2025年高考数学全国2卷多选题（每道题有A,B,C,D四个选项，考查位置：第9~11题）， 得分规则如下： 多选题（每题6分） 得分情况 选对1个（选A或C) 3分 2个（如AC) 选对2个（选AC) 6分 正确选项 选对1个（选A或B或D) 2分 个数 3个（如ABD) 选对2个（选AB或BD或AD) 4分 选对3个（选ABD) 6分 为让学生适应高考试卷结构，某学校组织了一场考试.已知每道多选题随机地从四个选项中做选择， 每个选项是否正确相互独立.每道题正确选项为2个或3个的概率均为)： (1)已知第10题有三个选项符合题目要求，小张同学毫无头绪，于是他通过随机选择选项的方 式来完成作答，且只运一个选项作答的概率为分，选两个选项作答的概率为，选三个选项作答的 概率为行，试求小张该题得0分的概率： (2)第11题小王同学没有思路，但他想到了两种策略，一是“随机选择一个选项作答”，二是“随 机选择两个选项作答”，试写出小王用两种策略得分的分布列： (3)若本次考试第9~11题正确选项都为2个，乙同学每道题都得满分，甲同学知道后说：“这3 道题有些知识点你是会的.”若乙同学三道题都随机选择两个选项，求乙每道题都得分的概率p, 并根据p值大小判定甲同学的话是否正确.(p值保留两位有效数字)， 高二数学期中试卷第4页共5页 18.(17分) 已知商数了()-号-hx-(e-x-号 (1)当a=-1时，求曲线y=f(x)在点x=1处的切线方程； (2)讨论f(x)的单调性： (3)若f(x)有极小值，且f(x)≥0，求a的取值范围. 19.(17分) 为庆祝祖国75周年华诞，某商场决定在国庆期间举行抽奖活动.盒中装有5个除颜色外均相同 的小球，其中2个是红球，3个是黄球.每位顾客均有一次抽奖机会，抽奖时从盒中随机取出1球， 若取出的是红球，则可领取“特等奖”，该小球不再放回；若取出的是黄球，则可领取“参与奖”，并 将该球放回盒中 (1)在第2位顾客中“参与奖的条件下，第1位顾客中“特等奖”的概率； (2)记P,为第n个顾客参与后，后来参与的顾客不再有机会中“特等奖”的概率，求数列{P}的 通项公式； (3)设事件X为第k个顾客参与时获得最后一个“特等奖”，要使X发生概率最大，求k的值. 高二数学期中试卷第5页共5页 高二数学期中考试参考答案 1.【答案1C【详解】由)e-f2)x+1,得了)--f2),所以2)-e-f2),解得2)-4 2.【答案】B【详解】由导数的定义，f()=lim f0+3)-f0,已知 3△x 四0+3Ae-f0=3四0+30f0-30=2,故r0-号 △x 3△x 3.【答案】D【详解】1080=23×33×5，故1080的正因数可以表示为2×3m×5”,其中 k∈{0,1,2,3}，m∈{0,1,2,3}，n∈{0,1}，因此正因数的个数为4×4×2=32 4.【答案】B【详解】由(x+2y)的展开式通项为T,1=C4x4(2y)=2C4x4y,r=0,1…,4,所以r=1时， =2C4xy=8x3y,r=2时，T=2Cx2y2=24x2y2,可得展开式中x3y2的系数为1×24+ ×8=20 2 5.【答案】A【详解】第一步涂陕西有5种选择，第二步涂湖北有4种选择，第三步涂安徽有4种选择，第四 步涂江西有3种选择，第五步涂湖南有3种选择，即共有5×4×4×3×3=720种涂色方案.故选：A 6.【答案】B【详解】记事件A:从盒中随机地抽取2个，至少有一个玩具是坏的， 率件8：从盒中随机地抽取2个，浴好为广个是好的，个是环的，则P=号1各/ > P(A8)=CC=S,由条件概率公式可得P(B=-5=7 P(A)88 15 7.【答案】A【详解】a=C38n6+2C06+22Cn6+…+220sC308=(1+2)26=3225=91013, 由91o3=(10-1)03=(-1)°Co310013++(-1)02C81310'+(-1)o3C81310° =(-1)°Cog10o3++(-1)2C80110-1,由于最后一项为-1，所以a被10除的余数为9. 答案】D(详解】1G)=x+n,定义度为0，+of☒u++a-+4 x2 因为函数f(x)=x-】+ar有两个极值点，所以x2+ax+1=0有两个不相等的正根，并且这两正根分别为x,x,则 △=a2-4>0 有{xx2=1>0解得a<-2,所以选项A错误；当0<x<x2或x>x时，'(x)>0,∫(x)单调递增： x+x2=-a>0 当x,<x<x时，∫'(x)<0,f(x)单调递减所以函数(x)的单调递增区间为：(0，x2),(x,+o)；单调递减区间为： (x2,x).因为x>x2,且xx2=1,所以0<x2<1<,所以f(x2)>f(I)>f(x),且f)=0,即f(x)>0>f(x), &C错误汉因为户所议西七恤+a 高二数学期中考试参考答案第1页共6页 所以∫(x)+f(x2)=0,所以选项D正确. 9.【答案】BC【详解】因为f(x)>0在(-4，-3)上恒成立，所以f(x)在(-4，-3)上单调递增，故A错误：因为 f(x)>0在(0,2)上恒成立，所以f(x)在(0,2)上单调递增，故B正确：因为f(x)<0在(-2,0)上恒成立， f(x)>0在(0,2)上恒成立，所以f(x)在(-2,0)上单调递减，在(0,2)上单调递增，则函数f(x)在x=0处取得 极小值，故C正确：因为f(x)在(-2,0)上单调递减，所以f(-1)>f(O),故D错误.故选：AC 10.【答案】ABD【详解】对于A,每个同学都可以从A,B,C三项工作中任选一项，即每个同学都有3种选择方 法，共有3×3×3×3=34种，故A正确：对于B,甲，乙两人都不能去参加A项工作，可分两种类型：丙或丁其中1 人参加A项工作，剩下3个人分配到2项工作中，且每项工作至少1人参加，有CCA?=12种：丙、丁两人参加A 项工作，则剩下的2人分配到剩下的2项工作中，每人1项工作，有A?=2种：则甲，乙两人都不能去参加A项工 作，且每项工作都有人去，不同的安排方法共有12+2=14种；故B正确；对于C,恰有一项工作无人参加，分两步 进行：从A,B,C三项工作中选一项无人参加，有C,种；将4个同学分配到剩余的2项工作中，共有24种，同时 需排除4个同学都参加剩下2项工作中的某一项，有2种情况，即有(24-2)种；所以恰有一项工作无人参加，则 不同的安排方法共有C(24-2)种，故B错误；对于D,4人分配到3项工作且每项工作都有人去，只能是2,1,1 的分组方式，先从4人中选2人作为一组，有C?=6种选法，剩下2人各为一组：再将这3组分配到3项工作中， 有A;=6种分配方法；所以，总的安排方法有C?·A=36种；故D正确. 1.【答案1ACI详解】构造函数g()=f四(x≠0)，则g(y)寸"四-f四，当>0时，g(y)=寸四-f(四0， x2 x2 “g)=f四(x≠0)在(0，+切)单调递增.因为函数f()是定义域(0,0U(0,+四)上的偶函数，所以g(y=四为 奇函数，又f0=0,则f(-)=0,所以g()=8(-)-=0,由奇函数性质可知g(y=f四在 (-o,0)单调递增，如图所示，f(x)=0台g(x)=0台g(x)=0,x≠0，所以x=1,所以函 数f(x)有两个零点，A正确，当x>0时，xf'(x)-f(x)>0且f(1)=0,所以 1x∫0-/0=f'0>0,则x=1不是函数f(四的极值点，B错误：y=对()>0等价于g(y)=国>0，结合 x>0 x<0 图象可知解集为(-1,0U(1,+o),C正确；y=f(x)<0等价于 g间-f国co或g=f@,0所以0<x<1 或 或-1<x<0,即解集为(-1,0)U(0,1),D错误 高二数学期中考试参考答案第2页共6页 t2+t-6=0 2.【答案】B【详解由分布列的性质可得0s?名五 ,即0≤-≤1，解得1=2. 41 0≤ 1 t-5≤1 11 0≤41-5s1 13.【答案】号【详解】设事件A=“至少有1名参加过去年比赛的被选中”，事件B=“两名去年参赛的都被选中”，则 P(AB)= CC-12()CCi+CiC+CCL= C601 C2C 60,则P(8A)=PLB-122 P()=42=,,即所求概率为三. 14【答案】，+o【详解】/)=c-a有=个零点台。-r=0有三个辑 x7=a y=g(x) 有三个解，今=e,g8)=8+=，令8)>0，得x>2或x<0,一 y-a g(x)的单调递增区间有(2，+0)，(-0,0)，令g'(x)<0,得0<x<2,g(x)在(0,2)上单 调递减。要想促得-a有三个解，必有0>g②)-，所以a的取值范围是(，w) 四、解答题 答案】（少72）2543)x,2,35x,3【详解】()三项式展开式中第k+1项的二项式系数为C,由题意 二、三、四项的二项式系数成等差数列，即2C=C+C,展开得2.m,-》=n+nm--2),n≥3，整理得 2 6 n2-9n+14=0,解得n=7. (2)由(1)知n=7,故已知(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)7=a+ax+…+ax, 令=1,4+4++，=2+2+2++2-22-2-2-254 2-1 3)二项展开式的通项为T=C5一=Cr宁，r=0127,因为7-eZ,所以r的取值可能为0,2.46， ZC9x=x当=2时，C=C21当r=4时，Z=Cx35x,当=6时，工=C 1 所有有理项为x,21r,35x 16.【答案】0-5,5]②最大值为子·最小值为号e)=） 【详解】(2)a=2 f'(x)=x2-4x+3,因式分解得f'(x)=（x-1)(x-3), 令'(x)=0,得x=1或x=3 x （-0∞，1) (1,3) 3 (3,+0) 高二数学期中考试参考答案第3页共6页 f'(x) × 0 0 f(x) 单调递增 极大 单调递减 极小 单调递增 在区间[-1,4]上的极值点为x=1和x=3,区间端点为x=-1和r=4. 计第数号2-41-号0-231-30=9-9 f④)-212+1写比较得：最大值为了，通小值为号 (3》由(2》知，)在=1处取得授大值子，在x=3处取得极小值1， 方程(x)=k有三个不同的实数根台直线y=k与曲线y=∫(x)有三个不同交点， 所以k的取值范围为k 3 17.【答案】（号(2）分布列见解折6)P0046,甲同学的话是正确的， 【详解】D记4=“随机选择1个选项作答”，i=1,23,B-小张得0分P(4)方P(4)}P(4)石 P0-总P@答宁P4)-答子则 P-2P4eA0-好 (2)设记小王用策略一得分为随机变量X,X的取值为0,2,3： 记小王用策略二得分为随机变量Y,Y的取值为0,4,6 1C- 8+8-x小-8-8-4 P(X=0)=二× 小王用策略一得分X的分布列为 X 0 2 P 3-8 4 Pv-0-8}8- Pr-y-*-4r--8 =1xC_1 小王用策略二得分Y的分布列为 高二数学期中考试参考答案第4页共6页 0 6 2-3 4 1 2 (3)设事件M:“乙同学在某道题上选两个选项且得分”，则P(M)=】=。 -6 1111 设事件N:“乙同学每道题都得分”，所以p=二×二×二 ≈0.0046， 666216 故事件N为小概率事件，所以乙同学不可能每道题都乱答且得满分，甲同学的话是正确的. 18.【答案】(1)4x-y-1=0(2)当a≤0时，f(x)在(0，+∞)上单调递增；当a>0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在 (a,+o)上单调递增(3)(0,1 【详解】D当a=-1时，f)=x-名(a-=x++2,所以了0)-4f0=3 所以切线方程为y-3=4(x-1),即4x-y-1=0, 2》r=x-a-)=-a=9r-a_-a+.xe0t网 x x 若a≤0，可得x∈(0，+o)时，f'(x)>0,所以f(x)在(0，+o)上单调递增： 若a>0时，当xe(0,a)时，f'(x)<0,所以f(x)在(0，a)上单调递减： 当x∈(a,+∞)时，f'(x)>0,所以f(x)在(a,+oo)上单调递增； 综上所述：当a≤0时，f(x)在(0，+o)上单调递增： 当a>0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a,+o)上单调递增。 3)由(2)可知当0>0时，f有极小值，极小值为@)-号ah0-口-0号号aha+号 此时授小值包是最小值，由/20，可得-号alna+受20,0-a2n20, 又a>0,所以1-a-2na≥0。令g(a)=1-a-2na,求导得g(a)=-1-2<0, a 所以g(a)在(0，+o)上单调递减，又g(1)=1-1-2nl=0, 当a∈(0,1)时，g(a)>g(1)=0,当a∈(1，+oo)时，g(a)<g(1)=0, 所以a∈(0,1]时，g(a)≥0，此时满足f(x)≥0，所以a的取值范围(0,1] 0 5 19.【答案】2= 3n-1 949xn≥264 【详解】(1)设第1位顾客中“特等奖”为事件A,第2位顾客中“参与奖为事件B, 高二数学期中考试参考答案第5页共6页 3 风-高Pe=学含8做4%-是-品 P(AB=10=5 50 所以在第2位顾客中“参与奖”的条件下，第1位顾客中“特等奖”的概率为 11 (2)当n=1,P=0 当n≥2，n个顾客参与后后来的顾客不再有机会中特等奖”表示最后一位顾客中“特等奖”，前n-1位顾客中有 一位中“特等奖”， 5 - 0 n=1 9 (3)设第k个顾客参与时拿下最后一个“特等奖”的概率最大， 则率P8)”门引(g 要使P最大， 即-大所以 -- g -() [k24 即 化简得 是1-) 且cN,图o*a,e 综上所述，k=4. 高二数学期中考试参考答案第6页共6页