11.1.2不等式的性质（第2课时 不等式性质的应用）（教学课件）数学新教材人教版七年级下册

11.1.2 不等式的性质 第2课时 用不等式的性质解不等式 第十一章 不等式 人教版（新教材）·七年级下册 学 习 目 标 1 2 3 熟练掌握不等式的三条基本性质，能准确区分性质2与性质3；熟练运用不等式性质，将各类复杂不等式化为最简形式；能根据实际问题中的不等关系列不等式，并利用性质求解. 经历不等式变形、求解的过程，掌握一元一次不等式化简的步骤与方法；通过实际问题建模，提升分析不等关系、解决实际问题的能力；在解题中培养逻辑推理和规范表达能力. 在运用性质解决问题的过程中，感受数学知识的实用性；养成严谨、规范的解题习惯，提升克服困难的信心；体会数学与生活的联系，激发数学应用意识. 知识回顾 不等式具有哪些性质？ 不等式的性质2 不等式的性质3 不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号方向不变. 不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号方向改变. 如果 a > b，c > 0，那么 ac > bc.（或 ＞ ） 如果 a > b，c < 0，那么 ac < bc.（或 ＜ ） 不等式的性质1 不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号方向不变. 如果 a ＞ b，那么 a ± c ＞ b ± c. 设a＞b，用“＜”“＞”填空并回答是根据不等式的哪一条基本性质. （1） a - 7____b - 7； （2） a÷6____b÷6； （3） 0.1a____0.1b； （4） -4a____-4b； （5） 2a+3____2b+3； （6）(m2+1)a____ (m2+1)b(m为常数). ＞ ＞ ＞ ＞ ＞ ＜ 不等式的性质1 不等式的性质2 不等式的性质2 不等式的性质3 不等式的性质1，2 不等式的性质2 知识回顾 练一练 新知探究 探究点1 探究用不等式性质解不等式 练一练 利用等式的性质将方程转化为： . 与解方程类似，可以将不等式利用不等式的性质逐步化为： 或(m为常数) 利用等式的性质解方程：3x-8=5x-2 解:方程两边同加上（-5x+8）得： 3x-8 +（-5x+8） =5x-2+ （-5x+8） 整理得：-2x=6 方程两边同除以-2得： x= -3 新知探究 探究点1 探究用不等式性质解不等式 试一试 利用不等式的性质解下列不等式， （1）x-7＞26；（2）3x＜2x+1； （3） x＞50；（4）-4x＞3. 解未知数为x的不等式 化为x＞m或 x＜m的形式 目标 思路： 方法：可利用不等式的性质1~3 （3）根据不等式的性质2， 不等式两边乘，不等号的方向不变 （4）根据不等式的性质3， 不等式两边除以-4，不等号的方向不变 新知探究 探究点1 探究用不等式性质解不等式 试一试 解：（1）根据不等式的性质1， 不等式两边加7，不等号的方向不变 x-7+7＞26+7， x＞33. （2）根据不等式的性质1，不等式两边减去2x，不等号的方向不变 3x2x＜2x+12x， x＜1. x＞75. 利用不等式的性质解下列不等式， （1）x-7＞26； （2）3x＜2x+1； （3） x＞50； （4）-4x＞3. × x＞ ×50， 新知探究 探究点2 在数轴上表示不等式的解集 议一议 0 33 解：（1）强调所画线在端点的右侧，端点用空心圆点表示. 0 1 （1）x＞33. 怎样在数轴表示上面各不等式的解集 （2）x＜1. （3）x＞75. （4） （2）画线在端点的左侧，端点用空心圆点表示 新知探究 探究点2 在数轴上表示不等式的解集 议一议 解：（3）所画线在端点的左侧，端点用空心圆点表示. （1）x＞33. 怎样在数轴表示上面各不等式的解集 （2）x＜1. （3）x＞75. （4） （4）所画线在端点的左侧，端点用空心圆点表示 0 75 0 新知探究 探究点3 认识“≥”和“≤”号 议一议 （1）说一说x≥3的含义 x≥3 表示x>3 或x=3，即x可以取3和大于3的所有值 （2）符号“≥”、 “≤”的含义 符号“≥”读作“大于或等于”，也可以说是“不小于”; 符号“≤”读作“小于或等于”，也可以说是“不大于” （3）符号“≥”与“>”的含义有什么区别? “≤"与“<”呢? 符号“≥”和“≤”分别比和“<”，“>”，各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号的合写形式 当然适用 思考： 符号 “≥” • 读作：“大于或等于”，也可称为“不小于”。 • 举例：x ≥ 3 表示 x 是大于3的数 或等于3的数。 符号 “≤” • 读作：“小于或等于”，也可称为“不大于”。 • 举例：x ≤ 3 表示 x 是小于3的数 或等于3的数。 🤔 之前学的“不等式的基本性质”对 “≥” 和 “≤” 同样适用吗？ 解题逻辑完全一致，只需将 “>” 和 “<” 替换成对应的 “≥” 和 “≤” 即可 a≥b或a ≤ b这样的式子，也经常用来表示两个数量的大小关系，它们也是不等式 新知探究 探究点3 认识“≥”和“≤”号 归一归 新知探究 探究点3 认识“≥”和“≤”号 议一议 如图所示的高速公路的限速标志，表示在此道路上行驶的汽车的最低车速应为80 km/h，最高车速应为100 km/h.如果用 v（单位：km/h）表示汽车的速度，则v应满足的不等式是什么？ 汽车的速度小于或等于100km， 也可说是“不大于100km”， 即v ≤ 100 （2）汽车的最高车速应为100 km/h是什么意思？ （1）汽车的最低车速应为80 km/h是什么意思？ 汽车的速度大于或等于80km， 也可说是“不小于80km”， 即v ≥ 80 v应满足的不等式为：v≥80且v≤100，或 80≤v≤100. 新知探究 探究点3 认识“≥”和“≤”号 议一议 回到本节开头的问题，一辆匀速行驶的汽车在6:00距离A地210km，要在8:00之前驶过A地，如果汽车所行驶道路的最高限速是120km/h，那么车速x应满足什么条件? ∴车速x应满足的条件是:105 <x ≤120. 解:设车速是 x km/h. ∵最高限速是120km/h ∴x ≤120 新知探究 探究点3 认识“≥”和“≤”号 议一议 常见的不等式基本语言与符号表示： 基本语言 符号表示 基本语言 符号表示 a是正数 a＞0 a是负数 a＜0 a是非负数 a ≥ 0 a是非正数 a ≤ 0 a大于b a＞b a小于b a＜b a不小于b a ≥ b a不大于b a ≤ b a, b同号 ab>0或＞0 a, b异号 ab<0或0 超过 ＞ 不足 ＜ 新知探究 探究点3 认识“≥”和“≤”号 议一议 用数轴表示不等式的解集时，实心圆点和空心圆圈有什么区别? 不等式的解集中含“≥”“≤”时在数轴上如何表示? 实心圆点表示取值范围内包含这个数， 而空心圆圈则表示不包含这个数. 不等式的解集 用数轴表示 注意 x ≥ a 端点用实心圆，方向向右 x ≤ a 端点用实心圆，方向向左 a a 不等式的解集在数轴上的表示方法： 用数轴表示不等式解集的三步法 大于向右画， 小于向左画. 界点包含于解集之中，则用实心点表示界点不包含在解集中，则用空心点表示 画 定 牵 画数轴（包括原点、正方向、单位长度） 确定解集的界点 根据界点和不等号牵引出方向 新知探究 探究点2 在数轴上表示不等式的解集 议一议 典例分析 例1.根据不等式的性质解不等式，并在数轴表示不等式的解集. 解：两边同减得： 系数化为1得：， 在数轴上表示： 典例分析 例2　如图，一个长方体形状的鱼缸长 10 dm，宽 3.5 dm，高 7 dm. 若鱼缸内已有水的高度为 1 dm，现准备向鱼缸内继续注水. 用 V（单位：dm3）表示新注入水的体积，写出 V 的取值范围并在数轴上表示. 分析：问题中的不等关系是： 已有水的体积与新注入水的体积之和不能超过鱼缸的容积. V新注入水 + V已有水 ≤ V容器 体积不能为负数 1 dm 隐含的不等关系 V新注入水 + 10×3.5×1 ≤ 10×3.5×7 可列不等关系式： →V新注入水 ≥ 0. 典例分析 例2　如图，一个长方体形状的鱼缸长 10 dm，宽 3.5 dm，高 7 dm. 若鱼缸内已有水的高度为 1 dm，现准备向鱼缸内继续注水. 用 V（单位：dm3）表示新注入水的体积，写出 V 的取值范围并在数轴上表示. 1 dm 解：由题意可得： V新注入水 + 10×3.5×1 ≤ 10×3.5×7 V新注入水 + 35 ≤ 245 V新注入水 ≤ 210 ∵V新注入水 ≥ 0. ∴0 ≤ V新注入水 ≤ 210 用数轴上表示： 0 210 注意:这是一个包含两端点的区间(闭区间). 新知巩固 1. 关于 x 的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，写出相应的解集. 【教材P128 练习 】 -2 0 3 0 （1） （2） （3） 解：（1）x ≥ -2 （2）x ＜ 3 （3）-1 ＜ x ≤ 4 0 4 -1 新知巩固 2. 利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集： 【教材P128 练习 】 （1） （2） （3） （4） x＞-6 -6 0 用数轴表示为 解：（1）由不等式的性质1得： x+5-5＞-1-5 x ＜ 5 5 0 用数轴表示为 （2）由不等式的性质1得： 4x-3x ＜ 3x+5-3x 新知巩固 2. 利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示解集： 【教材P128 练习 】 （1） （2） （3） （4） x ≤ 6 0 6 用数轴表示为 （3）由不等式的性质2得： 用数轴表示为 （4）由不等式的性质3 -8x÷(-8) ＜ 10÷(-8) 0 新知巩固 3. 某日北京的最低气温是 19 ℃，最高气温是 28 ℃，用不等式表达这天的气温 t（单位：℃ ）的变化范围. ∴这天的气温 t（单位：℃ ）的变化范围：19℃ ≤ t ≤ 28℃ 【教材P128 练习 】 0 28 ℃ 19 ℃ 解：最低气温是 19 ℃指气温不低于19℃ 最高气温是 28 ℃指气温不高于28℃ t ≥19℃ t ≤ 28℃ 拓展提升 1.现有代数式，其中m为负整数，嘉嘉和淇淇给出了不同的条件： (1)根据嘉嘉给出的条件，求代数式的值； (2)根据淇淇给出的条件，求m的值． 解:（1）当， ． （2）当时， ， 利用不等式的性质解得： 因为m为负整数，所以． 真题感知 1．（2025.银川校考）在公路上，我们经常能看到不同的交通标志，它们有着不同的含义，若设汽车的载重为x，速度为y，宽度为a，高度为h，请你用不等式表示下面图中各标志的意义． 解：由题意可知，限重，限宽，限高中的“限”字的意义就是不超过，也就是“”的意义，即： 限重：， 限速：， 限宽：， 限高：． 真题感知 2．（2025•广西）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，a＞b．都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（　　） A．a+c＞b+c B．a+c＝b+c C．a+c＜b+c D．a﹣c＜b﹣c 解：∵a＞b，根据不等式性质1， 不等式两边同时加上c，不等号方向不变 ∴a+c＞b+c． A 3．（2025•吉林）不等式x﹣3＞2的解集为（　　） A．x＞5 B．x＜5 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1 解：∵x﹣3＞2， ∴x＞2+3， 即： x＞5， 真题感知 A 4.（2025•河北）解不等式2x≤6，并在如图所给的数轴上表示其解集； 解： 2x≤6， 不等式两边同除以2得： x≤3， 数轴表示如下： 本节课核心是不等式性质的应用， 1、掌握利用不等式性质解一元一次不等式的步骤： 去括号、移项、合并同类项、系数化为1； 2、明确了每一步变形对应的不等式性质； 3、学会结合数轴表示不等式解集，能解决简单的不等式实际问题. 课堂小结 知识 总 结 1、解不等式时，每一步变形都要依据不等式性质，杜绝随意变形； 2、系数化为1时，先判断系数正负，再确定不等号方向； 3、解决实际问题时，先抓关键词提炼不等关系，再列不等式、用性质求解. 课堂小结 方 法 总 结 （1）系数化为1时，除以或乘负数，一定要改变不等号方向，这是最常见错误. （2）去括号时，注意符号变化，避免漏乘括号内的项. （3）实际问题中，准确区分“至少”“至多”“超额”“不超过”等关键词，正确选择不等号. 课堂小结 易错提醒 课后练习 教材p129页. 8. 用不等式表示下列不等关系，写出解集并在数轴上表示解集： （1）x 的 3 倍大于1； （2）x 与 3 的和不小于7； 解：（1）3x > 1 （2）x + 3 ≥ 7 解得：x > 0 解得：x ≥ 4 0 4 （3） y ≤ -2 解得：y ≤ -8 0 -8 （4）2y ＜ y-1 解得：y ＜ -1 0 -1 习题11.1 （3）y 的 小于或等于 -2； （4）y 的 2 倍小于 y 与 1 的差. 课后练习 9. 如图是某机器零件的设计图纸（图中长度单位：mm），用不等式表示零件长度 L 的合格尺寸（L 的取值范围）. 解：由题意得： 40－0.02 ≤ L ≤ 40+0.02， 即：39.98 ≤ L ≤ 40.02. 教材p129页. 习题11.1 课后练习 11. 有一个两位数，如果把它的个位上的数 a 和十位上的数 b 对调，那么什么情况下得到的两位数比原来的两位数大？什么情况下得到的两位数比原来的两位数小？什么情况下得到的两位数等于原来的两位数？ 解：设原来的两位数个位上的数为a，十位上的数为b， 则原来的两位数是 10b+a， 对调位置后得到的两位数是 10a +b. 当得到的两位数比原来的两位数大时， 10b+a<10a+b， 9b<9a， b<a. 教材p130页. 习题11.1 当得到的两位数比原来的两位数小时， 10a+b<10b+a， 9a<9b， a<b. 当得到的两位数等于原来的两位数时， 10a+b=10b+a， 9a=9b， a=b. 课后练习 12. 已知三个正整数 a，b，c 满足 a < b < c， ，求a，b，c. 解：∵ a<b<c， ∴ . ∴ =1 ∴ 1 ∴a<3， ∵ a为正整数 ∴a=2. ∴ . 同理可得： 2<b<4， ∴ b=3. ∴ ∴ c=6. 教材p130页. 习题11.1 谢谢聆听 $