精品解析：山东淄博第五中学2025-2026学年第二学期期中教学质量检测高二数学试题

淄博五中2025—2026学年度第二学期期中教学质量检测 高二数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知随机变量服从正态分布，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性进行求解即可. 【详解】，， . 故选：C. 2. 曲线在点处的切线方程为，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】由题可知， 且曲线在点处的切线方程为，即， 所以，所以 3. 的展开式中的系数是（ ） A. 126 B. 125 C. 96 D. 83 【答案】B 【解析】 【分析】运用二项式定理求解. 【详解】由题意原式中的系数； 故选：B. 4. 由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数的个数为（ ）． A. 60 B. 96 C. 300 D. 360 【答案】C 【解析】 【分析】先排首位，再排其它位数，结合分步计数原理可得结果. 【详解】先排首位，共有5种方法；其它位数共有种排法，结合分步计数原理可得共有种方法. 故选：C. 5. 已知等差数列中，，公差，则与的等比中项是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列求出与，进而求出其等比中项. 【详解】等差数列中，由，公差，得， 所以与的等比中项为. 故选：D 6. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件求出数列的通项公式，再利用裂项相消法即可计算作答. 【详解】因，则， 所以， 所以. 故选：D 7. 羽毛球单打实行“三局两胜”制（无平局）．甲乙两人争夺比赛的冠军．甲在每局比赛中获胜的概率均为，且每局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出甲获胜的概率、甲获得冠军且比赛进行了三局的概率，利用条件概率公式求概率即可. 【详解】由甲获胜的概率为， 而甲获得冠军且比赛进行了三局，对应概率为， 所以在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为. 故选：A 8. 已知函数，，若对，，使成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质得到的值域，利用导数求出的值域，结合恒成立及存在性问题得到值域的关系，再列不等式求解． 【详解】解：函数，开口向下，对称轴为， 时，， ，， 令，解得， 则时，，单调递减， 时，，单调递增， ，又， 则时，， 对，，使成立， ， ，解得． 二、多选题：每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错不得分． 9. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 时，取得最大值 B. 时，取得极大值 C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】通过导函数图象，确定函数的单调区间，再结合选项逐个判断即可. 【详解】由导函数图象可知当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 选项A：因为 在上单调递增，且，因此在 处取不到最大值，A错误， 选项B：左侧 ， 单调递增；右侧 ， 单调递减， 且，因此 时 取得极大值，B正确， 选项C：由 ，且  在 单调递增，可得 ，C正确， 选项D：在单调递增，因此 ，故不成立，D错误. 10. 下列说法正确的是 （ ） A. 将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种 B. 有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是60 C. 从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有194种选法 D. 甲、乙、丙、丁四人排成一排，则甲、乙两人不相邻共有12种排法 【答案】ACD 【解析】 【分析】每封信均有3种投法，计算可判断A；从5人中选3人，计算可判断B；分3种情况，即1男3女，2男2女，3男1女，计算可判断C；利用插空法求得方法数判断D. 【详解】对于A，将5封信投入3个邮筒，每封信均有3种投法，故不同的投法共有种，故A 正确； 对于B，参观券相同，只需从5人中选出3人即可，方法数为种，故B错误； 对于C，从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女， 包含的类别有1男3女，2男2女，3男1女，即有种选法，故C正确； 对于D，先将丙、丁两人全排列有种，排好后有3个空位， 再将甲、乙两人安排到两人（丙、丁）的空位中有种， 由分步计数原理可得总的方法数为种，故D正确. 故选：ACD. 11. 一个不透明的纸箱中放有大小、形状均相同的10个小球，其中白球6个、红球4个，现无放回分两次从纸箱中取球，第一次先从箱中随机取出1球，第二次再从箱中随机取出2球，分别用，表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出红球”；分别用，表示事件“第二次取出的都为红球”，“第二次取出两球为一个红球一个白球”.则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件概率公式和全概率公式依次判断选项即可. 【详解】由题得，， 根据条件概率公式，得， ，故A，B正确. 对选项C，， 所以，故C错误. 对选项D，， ，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 给如图所示的四个区域涂色，有4种不同的颜色可选，相邻区域颜色不能相同，则共有______种不同的涂色方案. 【答案】84 【解析】 【详解】当A和C颜色相同， 第一步涂A：共4种颜色可选，所以有种选择； 第二步涂B：由于B与A不同色，只有剩下的种颜色可选，所以有种选择； 第三步涂C：由于C与A同色，只有种选择； 第四步涂D：此时D仅需与A（C）不同色，有种选择； 所以根据分步计数乘法原理可知此类方案数为：； 当A和C颜色不同， 第一步涂A：共4种颜色可选，所以有种选择； 第二步涂B：由于B与A不同色，只有剩下的种颜色可选，所以有种选择； 第三步涂C：由于C与A不同色，且与B不同，只有剩下的种颜色可选，所以有种选择； 第四步涂D：此时D既与A不同色，又与C不同色，由于A与C也不同色，故只有种选择； 所以根据分步计数乘法原理可知此类方案数为：； 利用分类计数加法原理，把这两类相加可得总方案数为：. 13. 已知函数的导函数为，且对任意，，若，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】构造，求导，再利用函数单调性解不等式即可． 【详解】构造，， ∴在上单调递增，又， 则不等式可转化为，即, 故，故解集为． 14. 假设两个队进行一系列比赛，一直到其中有一队赢了2局才结束．假设各局比赛胜负是相互独立的，并且队获胜概率为．比赛的局数的期望最大时，______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】首先设比赛的局数为，则，得到，再利用二次函数的性质求解即可. 【详解】设比赛的局数为，则， ，， ， 所以当时，取得最大值. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 大小、质量相同的6个球，其中有4个黑球，2个白球. （1）若从袋中任取3 球，设3个球中黑球的个数为X，求X的分布列，期望和方差. （2）若从袋中有放回的抽取2次，每次取1球，求在至少取得一个白球的情况下，取得两个白球的概率. 【答案】（1）的分布列为 1 2 3 ； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知：的可能取值为1，2，3，结合超几何分布求分布列、期望和方差； （2）记“至少取得一个白球”为事件A，“取得两个白球”为事件B，求，，结合条件概率公式运算求解. 【小问1详解】 由题意可知：的可能取值为1，2，3，则有： ， 所以的分布列为 1 2 3 的期望为， 的方差为. 【小问2详解】 有放回的抽取1次，取到黑球的概率为，取到白球的概率为， 记“至少取得一个白球”为事件A，“取得两个白球”为事件B， 则，， 可得， 所以在至少取得一个白球的情况下，取得两个白球的概率为. 16. 已知的二项展开式有7项． （1）求，并求出所有二项式系数之和； （2）求展开式中含项的系数； （3）求展开式中的有理项． 【答案】（1）；64 （2）1215 （3），，， 【解析】 【分析】（1）由二项展开式有7项，可得，所有二项式系数之和为； （2）先求出二项展开式的通项为，再令，解得，代入通项计算即可； （3）分析得出要得到有理项，必须让为整数，从而得到，再代入通项计算即可. 【小问1详解】 因为的二项展开式有7项，所以， 所以所有二项式系数之和为； 【小问2详解】 由（1）知，所以的二项展开式的通项为 ， 令，解得， 所以展开式中含项的系数为； 【小问3详解】 因为的二项展开式的通项为， 因为，且，所以能使为整数的， 所以展开式中的有理项分别为 ，， ，. 17. 记为数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用退位法可求的通项公式． （2）利用错位相减法可求. 【小问1详解】 当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以. 【小问2详解】 , 所以 故 所以 ， . 18. 已知函数，． （1）当时，求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若对任意恒成立，求整数的最小值． 【答案】（1）极大值为，无极小值 （2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减 （3）1 【解析】 【小问1详解】 当时，，定义域为 则，令解得 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减 所以有极大值，无极小值 【小问2详解】 若时，在上恒成立，此时在上单调递增； 若时，令，即，解得或（舍去）. 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减 【小问3详解】 因为对任意，恒成立，所以在上恒成立， 即在上恒成立 设，则 设，，则在上单调递减， 因为，， 所以，使得，即，则. 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上的最大值 因为，所以. 故整数的最小值为1 19. 某零部件代加工基地为某科技公司生产了一批精密零件，其质量指标（单位：）服从正态分布，已知当时，.规定质量指标在内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立. （1）现从该批零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率； （2）从该批零件中随机抽取6个进行检测，记这6个零件中有个优质品的概率最大，当这6个零件中恰好有个优质品时把这6个零件视为一个样本，从这6个零件中不放回地任取3个进行二次精测，记取出的3个零件中优质品的个数为，求的分布列与期望； （3）现从该批零件中每次随机抽取1个零件进行检测，若连续3次都检测到零件的质量指标大于50，就停止检测，记为停止检测时已检测的零件数，求. 【答案】（1） （2） 1 2 3 （3） 【解析】 【分析】（1）先确定，由条件可得从该批零件中随机抽取1个为优质品的概率，再结合独立重复试验概率公式求结论； （2）先求，由，判断的单调性，确定，再确定的可能取值，并求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望； （3）先分析事件的特征，再结合独立事件概率乘法公式，对立事件概率公式，互斥事件概率加法公式求结论. 【小问1详解】 因为，所以，， 所以从该批零件中随机抽取1个为优质品的概率， 所以从该批零件中随机抽取个， 恰好有个为优质品的概率为. 【小问2详解】 设随机抽取的个零件中，优质品的个数为. 由题意得，， 所以， 因为， 当时，， 当时，， 所以. 由题意可得的所有可能取值为1，2，3， ，，， 所以的分布列为 1 2 3 ； 【小问3详解】 记第次检测到的零件质量指标大于为事件（），则. 要使，需满足下面三个条件： ①第6，7，8个零件的质量指标均大于50； ②第5个零件的质量指标不大于50； ③前4个零件不出现连续3个零件的质量指标大于50. 所以 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淄博五中2025—2026学年度第二学期期中教学质量检测 高二数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知随机变量服从正态分布，且，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 曲线在点处的切线方程为，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 的展开式中的系数是（ ） A. 126 B. 125 C. 96 D. 83 4. 由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数的个数为（ ）． A. 60 B. 96 C. 300 D. 360 5. 已知等差数列中，，公差，则与的等比中项是（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 羽毛球单打实行“三局两胜”制（无平局）．甲乙两人争夺比赛的冠军．甲在每局比赛中获胜的概率均为，且每局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若对，，使成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：每小题6分，共18分.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错不得分． 9. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 时，取得最大值 B. 时，取得极大值 C. D. 10. 下列说法正确的是 （ ） A. 将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种 B. 有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是60 C. 从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有194种选法 D. 甲、乙、丙、丁四人排成一排，则甲、乙两人不相邻共有12种排法 11. 一个不透明的纸箱中放有大小、形状均相同的10个小球，其中白球6个、红球4个，现无放回分两次从纸箱中取球，第一次先从箱中随机取出1球，第二次再从箱中随机取出2球，分别用，表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出红球”；分别用，表示事件“第二次取出的都为红球”，“第二次取出两球为一个红球一个白球”.则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 给如图所示的四个区域涂色，有4种不同的颜色可选，相邻区域颜色不能相同，则共有______种不同的涂色方案. 13. 已知函数的导函数为，且对任意，，若，则不等式的解集为______． 14. 假设两个队进行一系列比赛，一直到其中有一队赢了2局才结束．假设各局比赛胜负是相互独立的，并且队获胜概率为．比赛的局数的期望最大时，______． 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 大小、质量相同的6个球，其中有4个黑球，2个白球. （1）若从袋中任取3 球，设3个球中黑球的个数为X，求X的分布列，期望和方差. （2）若从袋中有放回的抽取2次，每次取1球，求在至少取得一个白球的情况下，取得两个白球的概率. 16. 已知的二项展开式有7项． （1）求，并求出所有二项式系数之和； （2）求展开式中含项的系数； （3）求展开式中的有理项． 17. 记为数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 18. 已知函数，． （1）当时，求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若对任意恒成立，求整数的最小值． 19. 某零部件代加工基地为某科技公司生产了一批精密零件，其质量指标（单位：）服从正态分布，已知当时，.规定质量指标在内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立. （1）现从该批零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率； （2）从该批零件中随机抽取6个进行检测，记这6个零件中有个优质品的概率最大，当这6个零件中恰好有个优质品时把这6个零件视为一个样本，从这6个零件中不放回地任取3个进行二次精测，记取出的3个零件中优质品的个数为，求的分布列与期望； （3）现从该批零件中每次随机抽取1个零件进行检测，若连续3次都检测到零件的质量指标大于50，就停止检测，记为停止检测时已检测的零件数，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $