19.1 二次根式及其性质（第2课时）教案 2025-2026学年人教版数学八年级下册
19.1 二次根式及其性质（第2课时）
1．经历二次根式性质的探究过程，在观察、思考、讨论中，体验从特殊到一般的归纳方法．
2．了解二次根式的性质，会运用其进行有关计算，提升运算能力．
二次根式性质的运用．
知识回顾 
师生共同回顾上节课所学知识：一般地，我们把形如
(a≥0)的式子叫作二次根式．二次根式是 代数式 ．
【引导语】引入二次根式之后，我们知道二次根式和整式、分式一样，都是代数式．在上节课，我们已经学习了二次根式的概念，接下来应该研究二次根式的什么内容呢？
【师生活动】教师引导学生回顾整式、分式的研究方法，根据前面的学习经验，明确研究二次根式的路径：概念—性质—运算．从而确定本节课的研究内容：二次根式的性质．
【设计意图】通过类比，帮助学生感受研究代数式的基本方法，确定本节课的研究内容．
新知探究
【问题1】结合定义，我们知道，在二次根式
中，被开方数a≥0．那么对于这个二次根式整体来说，它的取值范围又是什么呢？
【师生活动】师生共同分析，达成共识：表示a的算术平方根，因此，当a＞0时，＞0；当a＝0时，＝0．这就是说，当a≥0时，≥0．学生在学习任务单上进行
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记录．
【新知】二次根式的性质1（双重非负性）：≥0（a≥0）．
一是被开方数a≥0（二次根式有意义的前提）；
二是二次根式本身≥0．
【提醒】（1）几个常见的非负数：，|a|，a2；
（2）若＋|b|＋c2＝0，则a＝0，b＝0，c＝0．即若几个非负数的和等于0，则这几个非负数均为0．
【设计意图】结合算术平方根的意义，引导学生从“有意义的前提”和“结果特征”两个维度理解“双重非负性”，为后续二次根式其他性质的推导奠定基础．
例题精讲
【例1】已知实数m，n满足|m＋3|＋
＝0，则m＝_____，n＝_____．
【师生活动】师生共同完成，教师适当提醒若几个非负数的和等于0，则这几个非负数均为0．
【答案】解：由题意可得
解得
∴ m＝－3，n＝1．
【例2】已知
，求－xy的平方根．
【师生活动】学生在学习任务单上独立完成，教师请学生代表分享做法．
【答案】解：由题意可得
解得
所以
．
所以－xy的平方根是±2．
【设计意图】通过例题讲解，巩固学生对二次根式“双重非负性”的理解及应用．
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【问题2】（1）根据算术平方根的意义填空：
＝_________；
＝_________；
＝_________；
＝_________．
（2）根据上述结果，请你概括出共同特征，猜想：
＝_________(a≥0)．
【师生活动】学生在学习任务单上作答，完成后全班交流，得出结果与被开方数相等这一结论．教师进一步引导学生结合算术平方根的意义对结果进行解释：
是3的算术平方根，根据算术平方根的意义，是一个平方等于3的非负数，因此＝3．同理，
，
，
，分别是0.5，
，0，a的算术平方根．因此，有＝0.5，＝；＝0；＝a．
【答案】（1）3；0.5；；0；（2）a．
【新知】二次根式的性质2：一般地，＝a(a≥0)．
【注意】（1）正用公式：如
＝2，
＝a2＋2；
（2）逆用公式：若a≥0，则a＝，如5＝
．
【设计意图】通过“计算特殊值—发现共同特征—归纳猜想性质—解释验证性质”的方式，让学生经历从特殊到一般、从具体到抽象的推导过程，发展学生的抽象能力和推理能力．
例题精讲
【例3】计算：
（1）； （2）
； （3）
．
【师生活动】教师请学生一起口答，得出答案．
【答案】解：（1）＝5；
（2）＝1.5；
（3）＝
．
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