19.1 二次根式及其性质（第1课时）教案 2025-2026学年人教版数学八年级下册

19.1　二次根式及其性质（第1课时）

1．经历二次根式概念的形成过程，了解二次根式的概念，掌握二次根式在实数范围内有意义的条件，感受归纳法这一学习代数学的基本方法，提升抽象能力．

2．能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系．

二次根式的概念；二次根式在实数范围内有意义的条件．

二次根式在实数范围内有意义的条件．

        知识回顾       

【引导语】同学们，小学咱们扎根在“数”的世界，到了初中，一个用“字母表示数”的魔法，就将“数”拓展到了“式”（代数式），你们还记得什么是代数式吗？以及我们已经学过哪些类型的代数式了呢？

【师生活动】教师组织学生回顾和代数式相关的知识，如，代数式是用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接起来的式子，已经学过的代数式有整式（5ab，2x2＋3x－1等）和分式（，等），并利用树状图和学生一起补充完善，从运算的角度自然引出本节课要研究的问题——二次根式．

【练习】填空：

（1）9的平方根是________，算术平方根是_________；

（2）0的平方根是________，算术平方根是_________；

（3）－5有没有平方根？有没有算术平方根？

【师生活动】学生在学习任务单上独立完成，教师给出正确答案，并引导学生共同回顾平方根和算术平方根的相关知识（一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根．如果𝑥2＝a（x≥0），那么x称为a的算术平方根）．

【答案】（1）±3，3；

（2）0，0；

（3）－5没有平方根，也没有算术平方根．

【设计意图】回顾已学的数与式的运算，感受数式通性，帮助学生建立知识关联，为后续理解 “二次根式也是代数式”作好铺垫，让学生从代数式体系的角度认识二次根式．

       新知探究       

【引导语】同学们前面已经学习了整式和分式的概念、性质和运算，通过一些实际问题，也感受到了它们可以表示其中的数量和数量关系．在学习了算术平方根的概念后，我们还可以用含有根号的式子表示数量和数量关系．下面我们一起来看这样一个有趣的问题．

【问题1】中国有许多著名的广播电视塔，它们不仅是广播电视信号发射中心，也成为了城市地标和旅游景点．比如说，北京的中央广播电视塔（高约405米），上海的东方明珠广播电视塔（高约468米），广州塔（高约600米）等等．广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听、收看到广播电视节目的区域就越广．

广播电视塔高h（单位：km）与广播电视节目信号的传播半径r（单位：km）之间存在近似关系r＝，其中R是地球半径，R≈6 400 km．那么，广播电视节目信号的传播半径之比，与广播电视塔的高度之比有怎样的关系呢？如果广播电视塔高h增加到一定的倍数，广播电视节目信号的传播半径r是否也会增加到相应的倍数呢？

【师生活动】教师引导学生假设两个广播电视塔的高分别是h1 km，h2 km，表示出它们的传播半径之比是，自然引出要回答上述问题，就需要对这个式子进行化简．让学生了解到，与已学过的整式运算、分式运算一样，式子也表示一种运算．要研究这

种运算，需要先认识的意义，在此基础上再进一步研究这类式子的性质和运算．

【设计意图】由实际问题引出本章的学习内容，从数和式运算的完整性角度提出要研究的问题，让学生感受到学习本章知识是解决实际问题的需要，明确本章学习的逻辑起点与核心内容，为系统性学习作好认知铺垫．

【引导语】像这样含有根号的式子，就是本章将要研究的主要内容．在实际问题中，我们经常会遇到这样的式子，请看以下例子．

【问题2】用含有根号的式子填空，看一看写出的结果有什么共同特征．

（1）一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2，则它的宽为______m．

（2）一个大正方形的面积是一个边长为a的正方形与另一个边长为1的正方形的面积之和，则大正方形的边长为_______．

（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）的关系近似为h＝5t2．如果用含有h的式子表示t，那么t为_______．

【师生活动】学生思考并在学习任务单上表示结果，教师进行适当引导和评价，通过追问，帮助学生实现从具体数的算术平方根到用含有字母的式子表示算术平方根的抽象．

【答案】（1）；（2）；（3）．

【追问1】这些式子分别表示什么？有哪些共同特征？

【师生活动】师生交流，发现，，分别表示65，a2＋1，的算术平方根，教师引导学生概括这些式子的共同特征（根指数都是2，被开方数都是非负数等），得出二次根式的定义．

【新知】一般地，我们把形如 (a≥0)的式子叫作二次根式．二次根式是代数式．

（1）被开方数a可以是非负的数或单项式、多项式、分式等；

（2）“”中一般把根指数2省略，写成“”．

（3）代数式是用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子，这里的运算包括加、减、乘、除、乘方、开方，二次根式和整式、分式一样，也是代数式．

【追问2】在二次根式中，为什么a不能是负数？

【师生活动】教师引导学生讨论，分析开方运算的意义：一个正数有两个平方根；0的平方根为0；在实数范围内，负数没有平方根．因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0．使学生认识到“被开方数是非负数”的合理性．