19.1 二次根式及其性质（第1课时）课件 2025-2026学年人教版八年级 数学下册

这是一份初中数学人教版八年级下册“二次根式及其性质（第1课时）”的同步教学课件，包含21页内容。以知识回顾（实数、式、运算）为起点，通过广播电视塔信号传播等实际问题引入，结合填空探究二次根式共同特征，明确概念及有意义条件，辅以例题精讲和课堂练习巩固。 资料特色鲜明，融合核心素养培养。用广播电视塔信号传播等现实情境引导学生用数学眼光观察数量关系，通过问题探究抽象二次根式概念发展数学思维，例题涵盖二次根式、分式、零指数幂等综合条件，以数学语言精准表达，帮助学生夯实基础提升应用能力，为教师提供条理清晰的教学支持。八年级学生处于逻辑思维发展期，需从具体到抽象过渡，本课时助力其建立二次根式概念，为后续学习奠定基础。

二次根式及其性质（第1课时） 数学人教版八年级下册 1 数 式 用字母表示数 实数 有理数 无理数 整数 分数 整式 分式 单项式 多项式 二次根式 运算：加、减、乘、除、乘方、开方 填空： （1）9 的平方根是______，算术平方根是______； （2）0 的平方根是______，算术平方根是______； （3） －5 ______（有、没有）平方根，______（有、没有）算术平方根. ±3 3 0 0 一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫作 a 的平方根. 如果 x²＝a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根. 没有 没有 中央广播电视塔 （高约405米） 东方明珠广播电视塔 （高约468米） 广州塔 （高约600米） 中国有许多著名的广播电视塔，它们不仅是广播电视信号发射中心，也成为了城市地标和旅游景点．广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听、收看到广播电视节目的区域就越广． 问题1 广播电视塔高 h（单位：km）与广播电视节目信号的传播半径 r（单位：km）之间存在近似关系 r＝ ，其中 R 是地球半径，R≈6 400 km．那么，广播电视节目信号的传播半径之比与广播电视塔的高度之比有怎样的关系呢？如果广播电视塔高 h 增加到一定的倍数，广播电视节目信号的传播半径 r 是否也会增加到相应的倍数呢？ 分析：可以假设两个广播电视塔的高分别是 h1 km，h2 km，那么它们的传 播半径之比是 ． 怎么化简？ 研究 （2）一个大正方形的面积是一个边长为 a 的正方形与另一个边长为1的正方形的面积之和，则大正方形的边长为_______． 问题2 用含有根号的式子填空，看一看写出的结果有什么共同特征． 　　（1）一个长方形的围栏，长是宽的 2 倍，面积为 130 m2，则它的宽为______m． （3）一物体从高处自由落下，落到地面用的时间 t（单位：s）与开始落下时离地面的高度 h（单位：m）的关系近似为 h＝5t2．如果用含有 h 的式子表示 t，那么 t 为_______． 问题2 用含有根号的式子填空，看一看写出的结果有什么共同特征． 问题2 用含有根号的式子填空，看一看写出的结果有什么共同特征． 　　思考：这些式子分别表示什么？有哪些共同特征？ 表示 65 的算术平方根 表示 的算术平方根 表示（a2＋1）的算术平方根 ①根指数都为 2 ②被开方数都是非负数 新知 一般地，我们把形如 的式子叫作二次根式． 二次根式是代数式． (a≥0) （1）被开方数 a 可以是非负的数或单项式、多项式、分式等； （2）“ ”中一般把根指数 2 省略，写成“ ”； （3）二次根式和整式、分式一样，也是代数式． 在二次根式 中，为什么 a 不能是负数？ 思考 一个正数有两个平方根；0 的平方根为 0；在实数范围内，负数没有平方根． 因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或 0． 对于二次根式的学习，看到根号就要注意被开方数的符号． 例 当 x 满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？ 　　（3） ； （4） ． 　　（1） ； （2） ； 例 当 x 满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？ 　　（1） ； （2） ； 　　解：（1）由 x－2≥0，得 x≥2． 　　当 x≥2 时， 在实数范围内有意义． 　　（2）由 得 x≥0 且 x≠ ． 　　 当 x≥0 且 x≠ 时， 在实数范围内有意义． 　　（3） ； （4） ． . 例 当 x 满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？ 　　解：（3）由 得 x≥4 且 x≠6． 　　当 x≥4 且 x≠6 时， 在实数范围内有意义． 　　（3） ； （4） ． . 例 当 x 满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？ 　　解：（4）由 得 x≥1且 x≤1，即 x＝1． 　　当 x＝1时， 在实数范围内有意义． 归纳 代数式有意义的条件 　　（2）分式型： （B≠0），即分母≠0． 　　（3）零指数幂型：a0＝1（a≠0），即底数≠0． 　　（1）二次根式型： （a≥0），即被开方数≥0． 当 x 满足什么条件时， 在实数范围内有意义？ 呢？ 思考 　　分析：满足 是二次根式的条件是 a≥0． 要使得 在实数范围内有意义，x2≥0，此时 x 为任意实数； 要使得 在实数范围内有意义，x3≥0，此时 x≥0． 　　1．要画一个面积为18 cm2 的长方形，使它的长与宽之比为 3∶2，它的长、宽各应取多少？ 　　解：设这个长方形的长为 3x cm，宽为 2x cm，则 3x·2x＝18． 解得 x1＝ ， x2＝ （舍）． 所以这个长方形的长为 cm，宽为 cm． 2．当 a 满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？ 　　（1） ； （2） ； （3） ． 　　解：（1）由 a－1≥0，得 a≥1． 　　当 a≥1 时， 在实数范围内有意义． 　 （2）由 5－a≥0，得 a≤5． 　　当 a≤5 时， 在实数范围内有意义． 2．当 a 满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？ 　　（1） ； （2） ； （3） ． 　　解：（3）当 a 为任意实数时，2a2＋1＞0． 　　当 a 为任意实数时， 在实数范围内有意义． 3．当 a＝5 时， 的值是_______． 　　解：将 a＝5 代入 ，得 ＝ ． 二次根式 概念 有意义的条件 被开方数为非负数 形如 的式子叫作二次根式 被开方数可以是数、单项式、多项式等 二次根式是代数式 (a≥0) 看到根号，就要注意被开方数的符号 $