北京市石景山区2026届高三5月统一练习数学试题

石景山区2026年高三统一练习 数学 2026.5 本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数是偶函数，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 4. 已知实数a，b，c，d满足：，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 设α，β是两个不同的平面，则的充要条件是（ ） A. 存在无数条直线与α，β都平行 B. 存在无数个平面与α，β都垂直 C. 对任意的直线，都存在直线，使得 D. 对任意的直线，都存在直线，使得 6. 已知函数．若存在2个零点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级．一般地，如果强度为I的声音对应的等级为LdB，则有．已知某品牌笔记本电脑工作时产生的噪音强度的等级约为52dB，如果通过改善相关结构，将其噪音的强度减少为原来的一半，则改善后的噪音强度的等级约为（ ） （参考数据：） A. 49dB B. 46dB C. 26dB D. 13dB 8. 若，则n的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. 在中，，，D为BC边上的中点，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 在正方体中，E是棱的中点，S是正方形ABCD及其内部的点构成的集合，设集合，则T表示的轨迹是（ ） A. 线段 B. 圆的一部分 C. 椭圆的一部分 D. 抛物线的一部分 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域是______． 12. 设向量与不共线，向量与共线，则______． 13. 设双曲线C：，若直线与双曲线C无公共点，则b的一个取值为______． 14. 等比数列满足，，则______；若，则的最大值为______． 15. 已知α，，且.给出下列四个结论： ①有最小值； ②无最大值； ③有最小值； ④无最大值． 其中所有正确结论的序号是______． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知函数． 从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在． （1）求的值； （2）求在区间上的最大值和最小值． 条件①：函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为； 条件②：； 条件③：函数在区间上具有单调性，且. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17. 如图，在正三棱柱中，，M，N分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）设平面与平面的交线为l，求直线l与直线MN所成的角. 18. 2026年春节期间，模式口历史文化街区推出“骐骥献瑞”主题集章打卡活动.游客可以收集“龙马献瑞”，“马到成功”，“马效炎德”，“马奔财乡”，“奇骏延年”，“马行无疆”6个蕴含马年吉祥寓意的专属印章.为了解不同年龄段游客的打卡习惯，从参与活动的人群中随机抽取100名游客，统计他们集章情况如下表（同一题材重复集章只计1个）： 组别 集章1个 集章2个 集章3个 集章4个 集章5个 集章6个 各组总人数 青年 1人 1人 2人 12人 12人 2人 30人 中年 3人 2人 8人 30人 15人 2人 60人 老年 1人 2人 1人 3人 2人 1人 10人 每个游客的打卡行为相互独立. （1）从上表的青年组中随机抽取1名游客，求该游客集章个数不少于4的概率； （2）从参与打卡活动的青年和中年游客中各随机抽取2人，用上表统计的频率估计概率，试估计这4人中“恰有2人集章4个、2人集章5个”的概率； （3）将青年、中年、老年组的组别分别编码为，0，1，用上表统计的频率估计概率，从集章个数为k（，2，3，4，5，6）的游客中随机抽取1人，记该游客的组别编码为，写出满足的k值的个数.（结论不要求证明） 19. 已知椭圆C：的离心率为，其左顶点为A，上顶点为B，，直线l平行于AB且与椭圆C交于不同的两点M，N． （1）求椭圆C的方程； （2）是否存在直线l使得A，B，N，M为顶点的四边形为等腰梯形？若存在，求此时l的方程；若不存在，请说明理由. 20. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）令． （ⅰ）当时，讨论函数在上的单调性； （ⅱ）若在内存在唯一的极大值点，求实数a的取值范围． 21. 设递增数列中的每一项都是正整数，其前n项和为．对于正整数k，若存在正整数j，使得，则称覆盖了，记的“覆盖阶数”为．定义的“覆盖滞后度”为．规定． （1）若，，，，求和的值； （2）若数列是首项为1，公差为2的等差数列，判断是否存在正整数k，使得？若存在，求出所有满足条件的k的值；若不存在，请说明理由； （3）设前k项的“覆盖滞后度”，，…，的最大值为M，求证：对任意的，存在，使得． 石景山区2026年高三统一练习 数学 2026.5 本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟.请务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】D 【10题答案】 【答案】B 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】##0.5 【13题答案】 【答案】1（只要满足即可，答案不唯一） 【14题答案】 【答案】 ①. ②. 64 【15题答案】 【答案】②③④ 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 【16题答案】 【答案】（1）选择条件①或③，的值为 （2）在区间上的最大值为，最小值 【17题答案】 【答案】（1）证明：如图，取的中点G，连接NG，AG． 由N，G分别为，的中点，得，且． 又因为，且， 所以，且． 故四边形AMNG为平行四边形．所以． 又因为平面，平面， 所以平面． （2） （3）. 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3）2 【19题答案】 【答案】（1） （2）不存在，理由如下： 据题意，假设存在平行于AB的直线l， 设直线l的方程为，设，， 联立，得， ，即， ，， 因为以A，B，N，M为顶点的四边形为等腰梯形， 所以，即成立， ，， ， ， 整理得． 代入， 得，即或， 当时，，则， 又因为，解得． 当时，直线l方程为与直线AB重合，不符合题意，舍去； 当时，直线l方程为所得四边形为平行四边形，不符合题意，舍去； 所以不存在平行于AB的直线l交椭圆于M，N两点，使得以A，B，N，M为顶点的四边形为等腰梯形． 【20题答案】 【答案】（1） （2）（ⅰ）单调递增；（ⅱ） 【21题答案】 【答案】（1）0；1 （2）存在唯一的 （3）当时，，，． 当时，设，则， 所以，， 因为，所以， 所以． 任取，设是，，…中首次达到或超过m的项， 即且． 因为，所以，即， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $