北京市顺义区2025-2026学年高三下学期第二次模拟考试数学试题

数学 2026.5 本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分) 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项。 (1)已知集合A={xl-1<x≤2，则CRA= (A){xlx<-1} (B){xlx<-1或x≥2} (C){xlx>2} (D){xlx≤-1或x>2} (2)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(-2,3)，则复数二对应的点在 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 (3)已知等差数列{an}满足a2+a6=a+4,a3+a,=7,则a,= (A)4 (B)5 (C)6 (D)7 (4)在(2x-)“的展开式中，常数项为 (A)-60 (B)-15 (C)15 (D)60 (5)已知a=ln2,b=log23,c=log45,则 (A)a<b<c (B)a<c<b (C)b<a<c (D)b<c<a （6)已知无穷等比数列{an}的公比为g,则“a1>0且g>1”是“数列{an}为递增数列”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 高三数学试卷第1页（共6页） (?)把函数f(x)=a°(>0，a≠1)的图象C,向右平移2个单位长度，再把所得图象上所有点 的纵坐标变为原来的4倍，得到图象C·若此时图象C,恰与C,重合，则α的值为 (A)4 (B)2 (8)在平面直角坐标系中，角α与角B均以Ox为始边，点P,在角α的终边上，点P,在角B 的终边上，使命题“若sina>0,则sinB>0”为真命题的条件是 (A)P,与P,关于x轴对称 (B)P,与P2关于y轴对称 (C)P,与P,关于直线y=x对称 (D)P,与P2关于直线y=-x对称 (9)已知直线乙过点(0,1)，其倾斜角为9，设原点0到直线1的距离为d,当0<d≤23时，8的 取值范围是 (a0, (B) TT 62 c[( |fx),fx)≤g(x), (10)已知f(x),g(x)是定义在R上的函数，记L(x)= 给出下列两个 (g(x),f(x)>g(x). 结论： ①若函数x)=sinx,g()=oex,则L(x)的最大值为2 ②若函数y=f(x)和y=g(x)都是减函数，则L(x)也是减函数. 则下列判断正确的是 (A)①2都正确 (B)①正确，②错误 (C)①②都错误 (D)①错误，②正确 高三数学试卷第2页（共6页） 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 (11)抛物线x2=4y的焦点到其准线的距离等于 (12)已知正方形ABCD的边长为2，点E为CD中点，则EA·EB= (13)在△ABC中，a=2,b=1. ①若A=号，则sinB=一一； ②若△ABC为锐角三角形，则c的取值范围是 (14)现有两个完全相同的四棱柱材料（如图一所示）.某课外手工小组的同学将其中一个切掉 一个三棱柱后拼接成如图二所示的“V型”几何体（正方形A,B,C,D,与正方形EFGH在同 一平面内，A1,B1,E,F四点在一条直线上)，AB=2,AA1=10,∠A1AB=120°，∠AAD=90°， 则图一所示的四棱柱A,B,C,D,-ABCD的侧面A,ABB1的面积为 ,图二所示的 几何体的体积为 D C D A (图一) (图二) (15)已知函数f(x)=e*-a-x+1.给出下列四个结论： ①当a=1时，对任意负实数k,方程f(x)=0恰有一个实数解； ②存在a>1,有负实数k,使得方程f(x)=0无实数解； ③存在aeR,有正实数k,使得方程f(x)=0恰有2个实数解； ④存在a∈R,有实数k,使得方程f(x)=2恰有3个实数解. 其中所有正确结论的序号是 高三数学试卷第3页（共6页） 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 (16)(本小题13分) 如图，在四棱雛P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD, PA⊥AB,AB⊥AD,AB∥CD,AB=AD=AP=2CD=2,M是棱IPB 上一点，满足3PM (I)求证：PAL平面ABCD; (Ⅱ)求平面ABCD与平面ACM夹角的余弦值. (17)(本小题14分) 同知函数fz卢sin2 wxc03+-c0s2 wxsinp,其中w>0,lol<号 (I)若0)= ,求0值； (I)已知人到在区同[专号1上单周递减，骨=-1，再从条件0.条件②、条件3 这三个条件中选择一个作为已知，使函数f(x)存在且唯一确定，求ω，p的值 条件①：代)在区间[召石]上单调递增； 条件②：-7)=-1； 条件@召)=0， 注；如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一 个解答计分， 高三数学试卷第4页（共6页） (18)(本小题13分) 在某城市青年电影节公益短片展播环节中，预计展播2部反诈宣传短片与1部文 明出行宣传短片，每部短片仅展播一次且播放次序随机.所有短片的时长均固定为10 分钟，相邻短片播放无时间间隔 (I)求第1部播放的短片是文明出行宣传短片的概率； (Ⅱ)记随机变量X为从展播开始，到最后一部反诈宣传短片播放完成所用的总时间 (单位：分钟)，求X的分布列与数学期望EX; (Ⅲ)设随机变量Y为从展播开始，到文明出行宣传短片播放完成所用的总时间记Y的 方差为DY,(Ⅱ)中X的方差为DX.比较方差DY与DX大小（结论不要求证明）. (19)(本小题15分) 、已知椭圆E+3=1(a>b>0)的离心为3】 气A,B分别是椭圆E的上、下顶点， IABI=2. (I)求椭圆E的方程； (Ⅱ)设C是椭圆E的左顶点，过点A作斜率为飞的直线L,1与椭圆E交于点T(不同于 点A),且与x轴交于点D,点Q在直线BD上，且OQ⊥TB.求证：△CQ0的面积为 定值. (20)(本小题15分) 已知函数f(x)=lnx,g(x)=ax2-(a-2)x-2,a∈R. (I)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在点(1,0)处有相同的切线，求a的值； (Ⅱ)设h(x)=f(x)-g(x),且a∈(-1,0) ①求h(x)的极值； ②证明：函数y=h(x)有3个不同的零点. (参考数据：0.69<n2<0.70,1.09<n3<1.10,1.60<n5<1.61) (21)(本小题15分) 已知集合X={1,2,3,…,16},集合A是集合X的一个含k(k<16)个元素的子集 若集合A满足如下两个性质，则称集合A为集合X的完美子集： ①集合A的任意两个不同子集的元素之和不相等； ②对任意m∈X且mA,令B=AU{m},且集合B存在两个不同子集，它们的元素之 和相等； (I)若A1={1,3,5},A2={1,2,4,9},判断A1,A2是否为集合X的完美子集； (Ⅱ)若集合A为集合X的完美子集，证明：集合A的元素之和的最小值为16； (Ⅲ)若集合A为集合X的完美子集，证明：k≤5， (考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效) 高三数学试卷第6页（共6页） 顺义区2026年高三统一测试试卷 数学参考答案 2026.5 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分) (1)D (2)A (3)D (4)D (5)B (6)A (7)C (8)B (9)C (10)A 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分) (11)2(12)3 (13)①5 ②（√5，√5）（前空3分后空2分） (14)10√5,385（前空3分后空2分） (15)①③④（有错不得分，仅对1个3分，对2个4分） 三、解答题（共6小题，共85分) (16)(本小题13分) (I)因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PABn平面ABCD=AB, PAC平面PAB,且PA⊥AB 所以PA⊥平面ABCD (5分) (IⅡ)因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD, 又AB⊥AD,如图建立空间直角坐标系A-z. 可得B(0,2,0),C(2,1,0),D(2,0,0),P(0,0,2) 所以w阳22=3 3 所以M=P+PW=Qa2+0,=@ 22 又AC=(2,L,0),设平面ACM的法向量为n=(x,y,z), n⊥AC n.AC=0 2x+y=0 所以 n⊥AM 可得 0传+-0 n.AM=0 令x=1则y=-2,z=-1,于是n=(1-2,1). 又平面ABCD的法向量为m=(O,0,1). 设平面ABCD与平面ACM夹角为O, 则cos0= 1 所以平面4BCD与平面ACM夹角的余弦值为 (13分) 6 (17)(本小题14分) (1)解：因为f)=sin2+cos2 wxsinp,且f0,=y5 2 所以可得sinp= 3 因为水行所以口=号 (4分) (Ⅱ)选择条件①： 因为f)=sin2 mxcop+cos2 wxsinp=-sm2omr+p,且/径)=-l. 所以f(x)在x 取得最小值-1· 3 因为四-骨爱上单调城，在爱上单调递减， 所以f)在x=严取得最大值， 6 所以及小止周期满足7-号-名-号即7= 叉T 2π 2a元，且o>0,所以o=1,f)=sin2x+p) 代入学=-1得m5+p)=-1,可得行+p=2:+eZ 、3 叉水子所以-若所以0=1,0=名 (14分) 6 选择条件②： 因为f)=sin2 mo+cos2 oxsinp=-sm2ox+p,且/）=-1. 所以f(x)在x 2刀取得最小值-1· 因为)在后孕上单调递液 所以最小正周期满足T 2 π_刀即T≥π 3、 62 因为孕)-/八孕=-1，所以最小正周期满足7≤号-（受= 3 31 所以T=π又T= 2π 2o =π，且0>0 2 所以o=1,f(x)=sin(2x+p) 代入学=-1得snm督+p)=-1,可特皆+p=2a+号keZ 3 又p水经所以@-石所以四=1，p-名 (14分) 6 (18)(本小题13分) (I)设“第1个播放的短片为文明出行宣传短片”为事件A,A中包含的基本事件只 有2个，基本事件的总数为6，所以P(④=63 21 -(3分) (IⅡ)随机变量X可能的取值为20,30，且P(X=20)= 4_1 ,P(X=30)= C4-2 3 43 所以，随机变量X的分布列为 20 30 P 1 2 3 所以2x=20×}30 280 (10分) 331 (III)DY DX. 一一一一一一一一一一一一 (13分) (19)(本小题15分) 1)解因为8=2，所以=1，因为后-，。-+，所以。4 所以椭圆E的方程为 4*y2=1. (4分) (Ⅱ)法一：因为A(0,),所以可设直线1方程为y=x+1, 联立 2+4y2-4=0消去y得42+12+8=0， y=kx+1 2,代入可得万=二2+ 所以7=8 4k2+1 又B0,-),所以k=7+1-1 x4k 因为O0⊥BT,所以ko0kBr=-1,所以ko0=4k, 所以直线OQ方程为y=4, 由对称性可知，直线BD的斜率为-k,所以直线BD的方程为y=-x-1. 3 联立 'e路8-xoc=2 所以5aewx2x手为定值 1 (15分) 55 法二：可设直线1的方程为y=x+1,由题知k≠0， [y=+1 联立 1x2+4y2-4=0 得(1+4k2)x2+8=0 -8k 所以+4，代入可得 因为B0,-.0-0,则8D的直线方程为y=--1, 因为点Q在直线20上，可设Q5x》 因为OQ⊥TB,所以 00.TB=( 4环114he 6)小G8 1+4k2) =-80%+1）2 1+4k1+4状=0 所以8+D+2-0,行到号又0C=2 1 44 所以5.cw-2x2x行5 (15分) (20)(本小题15分) (1)解：f)=1，f)=1,g()=2ax-a+2,g①)=a+2 因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在点(1,0)处有相同的切线 所以a+2=1,即a=-1. (4分) (Ⅱ)解：①h(x)=lnx-ax2+(a-2)x+2 所以h)=2ax+a-2-2x-l--D 令国=0得426= 1 a 因为a∈(-1,0)，所以-1>1>1 2 当xe(0或xe(o)时，h>0 4 当xe分时，h<0 所以()在@宁(+)单增，在兮日单减 所以)得极大值=n+g+1 2 4 )得极小值=K-=n马+上+1： (10分) aa ®证明：法：由@可知k在0树)单地，在兮白单减。 因为0=0，所以0分>0，M-}<0, 因为h=3血2±得子032+79<0，所以存在唯一5∈，使得)0. 64 8’2 又2、-1>1，AM3)=n3>0,所以存在唯一3∈(-，-2)，使得)=0 a aa 又2=1，x3∈ 1,-1)使得(x)=0 2- a 所以综上可知，(x)有3个不同的零点 (15分) 法二：由①可知从)在0合)单消，在兮单减， 又K2=ng+g+1=1-h2+ 24 4 因为n2<0.7,a>-1,所以1-ln2+2>0.3-0.25>0即h()>0 4 又-加2+行子032+行<0，所以卷在睡 644 g3,使释)=0。 又(=+2+1，令g)=nx-x+1,x∈a,+o),g'=-1<0 所以g(9单调递减，g()<g)=0即(-马<0， 所以存在唯一5∈(，-马，使得(，)=0 2'a 又-2>-L>1,(名=1（召）>0，所以存在唯一5c(-,乙)，使得()=0 a a aa 所以综上可知，h(x)有3个不同的零点， -(15分) (21)(本小题15分) (I)解：A不是；A2是. -(4分) (II)证明：集合A中的元素个数为k,设集合A的元素之和为S, 假设S<16,考察包含A的集合B=AU{16}, 5 由①可得集合A的任意两个子集元素之和不等，所以集合B的任意一个包含16 的子集元素和比B的任意一个不包含16的子集元素和大，从而B的任意两个子 集元素之和不相等. 由②知集合B中一定存在元素之和相等的子集，矛盾.假设不成立 从而S≥16.又A={1,2,4,9}满足要求， 此时S=16,从而S的最小值为16. (10分) (III)证明：若k≥7，则因A的非空子集有2-1个，而最大的元素和不超过16k, 但2-1>16k,必有两个子集的和相等，矛盾. 若k=6,考虑A的元素个数不超过4的子集，因为这样的子集共有 C6+C6+C+Cg=56个，因为任意一个这样的和≤16+15+14+13=58 所以A中任意一个元素个数不超过4元子集的元素之和都在区间1,57]内， 若1∈A,由1+15=16知，15,16不同时属于A. 由1+13=14知，13,14不同时属于A. 由1+11=12知，11,12不同时属于A. 所以此时最大的和不大于16+14+12+10=52，而56>52， 必有两个子集的和相等，矛盾.所以1EA 若2∈A,则由2+14=16，知14,16不同时属于A. 由2+13=15知，13,15不同时属于A. 由2+10=12知，10,12不同时属于A. 所以此时最大的和不大于16+15+12+9=52，而56>52， 所以必有两个子集的和相等，矛盾.所以2廷A 因为1和2都不属于A,则最小的和不小于3，于是，其和都属于区间 [3,57],最多有55个不同的和，而56>55，必有两个子集的和相等，矛盾. 综上所述，k≤5. (15分) 6