北京市顺义区2025-2026学年高三下学期第二次模拟考试数学试题

数学 2026.5 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共40分） 一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知等差数列满足，则（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 在的展开式中，常数项为（ ） A. 60 B. C. 15 D. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知无穷等比数列的公比为 ，则“且”是“数列为递增数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 把函数的图象向右平移2个单位长度，再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的倍，得到图象，若此时图象恰与重合，则的值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 8. 在平面直角坐标系中，角 与角均以为始边，点在角 的终边上，点在角的终边上，使命题“若，则”为真命题的条件是（ ） A. 与关于 轴对称 B. 与关于 轴对称 C. 与关于直线 对称 D. 与关于直线对称 9. 已知直线 过点，其倾斜角为，设原点 到直线 的距离为.当时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知是定义在上的函数，记，给出下列两个结论： ①若函数，则的最大值为； ②若函数和都是减函数，则也是减函数. 则下列判断正确的是（ ） A. ①②都正确 B. ①正确，②错误 C. ①②都错误 D. ①错误，②正确 第二部分（非选择题共110分） 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 抛物线 的焦点到准线的距离为________. 12. 已知正方形 的边长为2，点为 中点，则__________. 13. 在 中，. ①若，则__________. ②若 为锐角三角形，则的取值范围是__________. 14. 现有两个完全相同的四棱柱材料（如图一所示）.某课外手工小组的同学将其中一个切掉一个三棱柱后拼接成如图二所示的“型”几何体（正方形与正方形在同一平面内，四点在一条直线上），，则图一所示的四棱柱的侧面的面积为__________，图二所示的几何体的体积为__________. 15. 已知函数.给出下列四个结论： ①当时，对任意负实数，方程恰有一个实数解； ②存在，有负实数，使得方程无实数解； ③存在，有正实数，使得方程恰有2个实数解； ④存在，有实数，使得方程恰有3个实数解. 其中所有正确结论的序号是__________. 三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 如图，在四棱锥中，平面平面 ， 是棱上一点，满足 （1）求证：平面 ； （2）求平面 与平面夹角的余弦值. 17. 已知函数，其中. （1）若，求值； （2）已知在区间上单调递减，，再从条件①､条件②､条件③ 这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定，求的值. 条件①：在区间上单调递增； 条件②：； 条件③. 注；如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 18. 在某城市青年电影节公益短片展播环节中，预计展播 部反诈宣传短片与部文明出行宣传短片，每部短片仅展播一次且播放次序随机.所有短片的时长均固定为分钟，相邻短片播放无时间间隔. （1）求第部播放的短片是文明出行宣传短片的概率； （2）记随机变量为从展播开始，到最后一部反诈宣传短片播放完成所用的总时间（单位：分钟），求的分布列与数学期望； （3）设随机变量为从展播开始，到文明出行宣传短片播放完成所用的总时间.记的方差为，（2）中的方差为.比较方差与大小（结论不要求证明）. 19. 已知椭圆的离心率为分别是椭圆的上､下顶点，. （1）求椭圆的方程； （2）设是椭圆的左顶点，过点作斜率为的直线与椭圆交于点（不同于点），且与 轴交于点，点在直线 上，且.求证：的面积为定值. 20. 已知函数，，. （1）若曲线与曲线在点处有相同的切线，求的值； （2）设，且. ①求的极值； ②证明：函数有3个不同的零点. （参考数据：，，） 21. 已知集合，集合是集合的一个含个元素的子集.若集合满足如下两个性质，则称集合为集合的完美子集： ①集合的任意两个不同子集的元素之和不相等； ②对任意且，令，且集合存在两个不同子集，它们的元素之和相等； （1）若，判断是否为集合的完美子集； （2）若集合为集合的完美子集，证明：集合的元素之和的最小值为16； （3）若集合为集合的完美子集，证明：. 数学 2026.5 本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共40分） 一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】A 第二部分（非选择题共110分） 二､填空题共5小题，每小题5分，共25分. 【11题答案】 【答案】2 【12题答案】 【答案】3 【13题答案】 【答案】 ①. ②. 【14题答案】 【答案】 ①. ; ②. ； 【15题答案】 【答案】①③④ 三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 【16题答案】 【答案】（1） ∵ 平面平面 ，且平面平面， 平面，， 由面面垂直的性质定理， ∴ 平面 . （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2）选择条件①或者条件②时，，；选择条件③时，函数不存在. 【18题答案】 【答案】（1） （2）的分布列为： ； （3） 【19题答案】 【答案】（1） （2）依题意，，， 过斜率为的直线（），与椭圆方程联立： 解得 （对应）或， 则.得， 直线 与 轴交于点， 令得，故. 点，直线 的斜率， 所以直线 方程为， 点在 上，可设 ， 由 ，即， ， 所以垂直条件等价于 ， 即 ，解得， 于是， 因此点的纵坐标为定值， 而 ， 所以的面积 所以的面积为定值. 【20题答案】 【答案】（1） （2）①极小值为；极大值为； ②证明过程如下 【21题答案】 【答案】（1）不是的完美子集，是的完美子集 （2）证明：反证法：设A的元素和为S,若,考察包含A的元子集. 由于A的任意两个子集元素之和不等，且B的任意一个包含16的子集元素和比B的任意个不包含16的子集元素和大， 从而B的任意两个子集元素之和不相等，与条件矛盾，从而. 又满足条件，此时，从而的最小值为16. （3）证明：， 假设若，则的非空子集有个， 而其中每个子集元素和不超过，但，必有两个子集的和相等，矛盾． 假设若，考虑的一、二、三、四元子集，共有个不同的子集，其元素和都在区间内 (因为任意一个这样的和小于，且由知：，，，不同时属于) 若，则由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 所以此时最大的和不大于 而，则必有两个子集的和相等，矛盾． 若则由知．，不同时属于， 由知，，不同时属于， 由知，，不同时属于， 所以此时最大的和不大于 而，则必有两个子集的和相等，矛盾， 若和 都不属于，则最小的和不小于于是，其和都属于区间，最多有个不同的和． 而，则必有两个子集的和相等，矛盾． 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $