甘肃天水市武山县第一高级中学2025-2026学年第二学期高一期中考试数学试卷

0 答题卡标识 请勿移除 ▣▣ 蘭 武山一中2025-2026学年第二学期高一级期中考试 数学答题卡 姓名： 班级： 考场/座位号： 贴码区 注意事项 1. 答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚。 (正面朝上，切勿贴出方框) 2.客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时用橡皮擦干净。 条码尺寸：50×20毫米 3.主观题答题，必须使用黑色签字笔书写。 条码编码：code128 4.必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效。 正确填涂 ■错误填涂 ☑☒▣0国 缺考标记 ▣ 选择题（1-8为单选题；9-11为多选题) ◆ ◆ 1AOB□CD 4AB□D□ 7A□BCD 10AB□C□D□ 2A□B□C□D□ 5▣B□a 8▣OD 11A□B□C□D□ 3A□B□CD□ 6A□B□gD□ 9A□B□CDI 12. 13. 14. 15.(13分) 第1页共4页 16.(15分) 17.(15分) ■ 第2页共4页 ■ 武山一中2025-2026学年第二学期高一级期中考试数学答题卡【背面】 18.(17分) ■▣ 第3页共4页 ■ 19.(17分) 0 第4页共4页武山一中2025-2026学年高一下学期数学期中考试卷 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题(8小题，每小题5分，共40分) 1.设复数z=1-2i的共轭复数为z,则zz=() A.-3 B.3 C.5 D.5 2.计算：sin20°cos10°-cos160°sinl0°=() A. B.月 C.3 D.- 2 2 3.已知a,B∈(0，π)，且tana、tanB是方程x2-3x-2=0的两根，则a+B 的值为() A.牙 B. C. D. 4.设ā，为非零向量，则=”是“a=b”的（) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.如图所示，在△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近D的三 等分点，则BE=() A.}+cB.+c C.B+4acD.4a+}ac 6.已知是e,e2平面内两个不共线向量，AC=e-ke,,CB=2e-e2, CD=3e-2e,,若A,B,D三点共线，则k的值为() A.2 B.-3 C.-2 D.3 试卷第1页，共4页 7.已知单位向量a,6满足：a-b=0,且e-a+c-2=5,则+2d的取值范 围是() C.[22,3 8.某同学为了测量天文台CD的高度，选择附近学校宿舍楼三楼一阳台，高 AB为(15-5√3)m,在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶 A,天文台顶C的仰角分别是15°和60°，在阳台A处测得天文台顶C的仰角为 30°，假设AB,CD和点M在同一平面内，则该同学可测得学校天文台CD的高 度为() A.20m B.20/3m 30 C.30m D.30/3m 150 B 二、多选题(3小题，每小题6分，共18分。) 9.已知向量ā=(-1,3)，6=(x,2),且(a-2b)1a,则() A.b=(2,1) B.2a-=25 C.向量a与向量b的夹角是45°D.向量ā在向量b上的投影向量坐标是(1,2) 10.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,则下列结论正确的是 () A.若acosA=bcosB,则△ABC为等腰三角形 B.若sinA>sinB,则a>b C.若△ABC为锐角三角形，则sinA>sinB D.若a2+b2<c2,则△ABC一定是钝角三角形 1 sin0,.0∈(0，π) 11.定义一种向量运算“⑧”：a⑧b= ,其中a,b是任意的两个 a-b,0E(0,元) 非零向量，0是a与的夹角.对于同一平面内的非零向量c,给出下列结论， 其中不正确的是() 试卷第2页，共4页 A.若a⑧6=0，则a= B.若元eR,1≠0，则(a⑧)=(a)8b C.(a+b)8c=a⑧c+b8c D.若=2，则a⑧c≤d+2 第II卷（非选择题） 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分。） 12.已知向量a=(1,0),b=(m,1),若a+2b与a垂直，则m= 13.已知tana=2,则sin'a+sin2a sin'a+2cos2a 14.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2 acos A+ccos(A+C)=bcosC.若 c=6,则对V∈R,AB-AC的最小值为 四、解答题（共5小题，共77分。） 15.(13分)已知复数z的共轭复数为z,z在复平面上对应的点在第一象限，且 满足z-z=6i,z·z=25, (1)求复数z; (2求复数：+二的模长。 16.(15分)已知向量ā=(0,2)，6=0，m),且a与6的夹角为 (1)求a+2b: (2)若ā-b与ā+b的夹角为锐角，求实数2的取值范围. 试卷第3页，共4页 17.（15分）已知锐角a,B满足coa=,sna-)= 10 (1)求sin(2au-)的值； (2)求B的值. 18.(17分)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中b=3,且 esin 4+C=3sinC. 2 (I)求B的大小： (2)求△ABC面积的最大值. 19.(17分)已知函数f()=25n{年+小5cos2x, (1)求函数y=f(x)的单调减区间： (2)若f()-m<2在x [引上恒成立，求实数m的取值范国： (3)若函数y=f(@x)-1(o>0)在0， 上恰有3个零点，求ω的取值范围. 试卷第4页，共4页 《武山一中2025-2026学年高一下学期数学期中考试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 6 8 9 10 答案 C A 8 CD BD 题号 11 答案BCD 1.C 【详解】因为复数z=1-2i,所以z=1+2i, 所以zz=(1-2i)(1+2i)=1+4=5. 2.A 【分析】根据给定条件，利用诱导公式及和角正弦公式的逆用求解即得. 【详解】sin20°cos10°-cosl60°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sinl0° =sin(20°+10)=sin30°=1 故选：A 3.C 【分析】利用韦达定理及两角和的正切公式求解即可. 【详解】依题意tan a tan B=-2,tana+tanB=3, tana+tan B 3 所以am(a+例t 11-2l, 因为a,B∈(0，π)，.a+B∈(0,2π)，又tan a tan B=-2<0, 所以a+B=5 4 故选：C 4.B 【分析】根据两者之间的推出关系可得两者之间的条件关系 【详解】若=，则a,方模长相等，但它们的方向可以不同，故a=方不一定成立， 故d=得不到a=6, 若a=6,则a=, 故“d=是“ā=b”的必要不充分条件， 故选：B. 答案第1页，共9页 5.B 【详解】由题意可得：BE=B+A正=BA+D=BA+(BD-B列 =m+}ac-B)}m+c 6.A 【分析】根据题意，分别求得AB=3e-(k+1)e,BD=e-e,根据A,B,D三点共线，则 存在实数∈R,满足AB=2BD,列出方程组，即可求解. 【详解】由向量AC=e-ke,CB=2e-6,CD=3g-2E, 可得AB=AC+CB=3E-(k+1)e,BD=CD-CB=e-e2, 因为A,B,D三点共线，则存在实数1∈R,满足AB=1BD, [2=3 即3-(k+1)e,=(e-e2),可得 2=k+1'解得k=2. 故选：A. 7.A 【分析】由题意将所用的向量放到坐标系中用坐标表示，借助于两点之间的距离公式以及 几何意义解答。 【详解】设单位向量ā=(1,0)，b=(0,1),c=（x,y), ∴c-a=(x-1y)c-2b=(xy-2),Vx-12+y2+Vx2+0-2=5, 即(x,)到A(1,0)和B(0,2)的距离和为5，而AB到=√5， 故动点P(x,y)表示线段AB上的动点. 又e+2=Vx+2)'+y2，该式表示(-2,0)与线段AB上点的距离， 其最小值为点(-2,0)到线段AB:2x+y-2=0(0≤x≤1)的距离， 而1=4-266N5 66N5 5 5=g，故1c+2alm= 55 最大值为(-2,0)到A(1,0)的距离是3， 6v5 所以e+2d的取值范围是 5 答案第2页，共9页 8.C 【分析】由己知求出AM,在三角形ACM中，运用正弦定理可得CM,再解直角三角形 CDM,计算即可得到天文台的高度 【详解】在Rt△ABM中，有AM=AB sin15o' 在△ACM中，有∠CAM=30°+15°=45°，∠AMC=180°-15°-60°=105°， ∠ACM=180°-105°-45°=30°， 由正弦定理得 AM MC sin∠4CM sin∠CAM 故MC=sin /CAM AM=-sin45o.4AB sin∠ACM sin30sin15。-2.4B sin15, 在RtACDM中，有CD=CM·sin60°=√2.4B sin15'sin60, 又sinl5-sin(45°-30)sin45cos30-cos45sin30°=V5×5-2x1-V6-2 2 222 则cD=CM-sn60°-2x1555x5-30 √6-√2”2 4 故选：C. 9.CD 【分析】利用垂直关系的坐标表示求出x,再结合模的坐标表示、向量夹角计算及投影向 量的意义逐项判断即得 【详解】由a=(-1,3),b=(x,2),得a-2b=(-1-2x,-1),由a-2b)La,得 2x+1-3=0,解得x=1, 对于A,b=1,2),A错误： 对于B,2a-b=(-3,4,因此2ā-=V-3)2+4=5,B错误： 对于C,|a=10,b=√5，a.b=-1×1+3×2=5, 则cos(a,b= ab 52 610x5=2,而0≤a,≤180，所以a,)=45,c正确： 对于D,向量ā在向量6上的投影向量为：b6 1bP6- 56=0,2),D正确. (5)2 故选：CD 10.BD 答案第3页，共9页 【分析】根据正弦定理、余弦定理和三角形内角的范围逐项计算判断即可. 【详解】对于A,根据正弦定理得sin Acos A=sin Bcos B, 化简得sin2A=sin2B,得到2A=2B或2A+2B=π， 所以A=B或4+B-分所以△BC为等腰三角形碳直角三角形，A错误 耐于正弦定理可知，分=s”8,因为n4>sinB,所以a>b,B正确 对于C,仅知道△ABC是锐角三角形，并不能确定sinA,sinB的大小，C错误： 根据余弦定理可得，cosC=Q+-C,因为2+<2，所以cosC<0. 2ab 因为0<C<π，所以元<C<元，所以△ABC一定是钝角三角形，D正确 2 故选：BD, 11.BCD 【分析】利用a⑧b的定义证明A选项正确，然后由(2)⑧a≠2(a⑧d)可否定B和C选 项，最后给出D选项的反例即可. flalBlsino=0 fa-6=0 【详解】对于A,若a⑧b=0,由a⑧b的定义有 或 0e(0,π) 0(0,π) a-=0 由于a,b是非零向量，故前者不可能成立，从而 ，这得到a-=0,即 0e(0,元) a-b=0. 所以a=,故=，A正确： 对于B,设有非零向量a,则a⑧a=0,(2a)⑧a=2a-d=d≠0，故 (2a)⑧a≠0=2(a⑧a),B错误： 对于C,由于(2a)⑧a≠2(a⑧a),故(a+d)⑧d≠a⑧a+d⑧a,C错误： 对于D,若a1c,d=2,a=3,则a⑧c=d=6>3+2=d+2,D错误. 故选：BCD. 【点睛】关键点点晴：本题的关键点在于构造反例否定一个命题，需要恰当选取反例方可 得到结论， 12.方或-05 答案第4页，共9页 【详解】由向量a=(1,0),b=（m,1),得a+2b=(（1+2m,2). 若a+2b与a垂直，则1×(1+2m)+0×2=0, 解得m=一2 1 【分析】根据二倍角的正弦公式化简，再利用商数关系弦化切，代入求解即可， 【详解】sin'm+sin2a_sin2a+2 sinaco_tan2a+2tana_22+2x2_4 sin a+2cos a sin a+2cos a tan2a+2-22+23 4 故答案为：3 14.35 【分析】应用三角恒等变换及三角形内角的性质求得4-骨令D=C,结合向量数乘 的几何意义及减法法则化简向量并求其模长。 【详解】由2 acos A+ccos(A+C)=bcosC,得2 sin Acos A-sin Ccos B=sin BcosC, 2sin Acos A=sin Bcos C+sin Ccos B=sin(B+C)=sin A, 因为A@.则snA>0,所以cs44=骨 31 设AD=AC,则点D在直线AC上，所以AB-AC=AB-AD=DB, B D 当BD⊥AC时， D8最小，其最小值为Bsin 4=6x5=35. 故答案为：3√5 15.(1)z=4+3i 20 2 【分析】(1)设z=a+bi,a,b∈R,则z=a-bi,结合题意列式求解即可： 答案第5页，共9页 (2)由(1)可得z+ 三_9+3，进而可得模长 1-i22 【详解】(1)设z=a+bi,a,b∈R,则z=a-bi, (a+bi)-(a-bi)=2bi=6i b=3 由题意可得 (a+bi)(a-bi)=a2+b=25'解得 a=±4' b=3 又因为z在复平面上对应的点在第一象限，即 a=4'所以z=4+3i. 2)由D可知z=4+i,则：+后-4+3刘+t0-}. 1-i22 所以+ 13 5v0 V2 2 16.(1)2W5; 2--U(-l2. 【分析】(1)根据给定条件，利用向量的坐标运算，结合夹角公式求出m,进而求出 a+2b及模 (2)由(1)的信息，利用向量线性运算的坐标表示，结合夹角公式及共线向量列式求解. 【详解】(1)由向量a=(0,2),b=(1,m),得a=2,b=√m2+1,且ab=2m, 由a与6的夹角为子得cosa,=a-6:、2m-2 a62m+12,解得m=1,则方=1)， 于是a+2b=(0,2)+21,1)=(2,4),所以ā+2b=V22+42=25. (2)由(1)知向量b=(L,1), 则ā-b=(0,2)-21,1)=(-2,2-),a+b=(0,2)+(1,1)=(1,3), 由a-b与a+b的夹角为锐角，得(a-b)(a+b)>0且a-1b与a+b不共线， 由2》3解得2<且*-1， [3(2-)->0 所以实数2的取值范围为(0，-)U(-1,). 17.)312 50 (2B=T 4 答案第6页，共9页 【分析】(1)先利用同角三角函数关系求sina和cos(a-),再利用两角和与差的三角函 数公式，结合2a-B=a+(a-B)可求sin(2a-)的值， (2)利用B=a-(-),结合两角和与差的三角函数公式，求出sinB,又B为锐角，可 得B的值， 【详解】D因为0<a<受0<B<受所以-a-B<受 所以sina=V-cos'a=4, ' cosa-)=V-sna-月=7V2 10 因为2a-B=au+(au-B), 所以sin(2a-β)=sin[a+(a-B)]=sina cos(a-B)+cosasin(a-F) -4x723x2_312 -51051050 (2)因为B=a-(a-), sin B=sin[a-(a-B)]=sin a cos(a-B)-cos a sin(a-B) 08-9 又因为0<B<登所以B-年 4 18.B=月 )93 4 【分析】(1)利用正弦定理、诱导公式及倍角公式计算即可； (2)利用余弦定理、三角形的面积公式及基本不等式计算即可. 【详解】(1)在△ABC中，b=3,且csim4+C=3sinC, 2 csin 4C=bsinC, 2 由正弦定理得sin Csin1+C .=sin Bsin C. :C∈(0，，sinC≠0，sin+C =sin B. 2 ,A+C=π-B元B 2222 2 2cos -2sin 5 2 2 cos 2 答案第7页，共9页 8e@.号引 B (02cos3≠0， B1Bπ sin2 26 3 3,且b=3, (2)由(1)知B=元 A由余弦定理得csB=。+二-》-)，整理得a2+c2-c=9. 2ac 2 又"a2+c2≥2ac,当且仅当a=c时，等号成立， 9=a2+c2-ac≥ac,即ac≤9，当且仅当a=c时，等号成立. 2 24 ÷△4BC面积的最大值为9V3 4 「[径+a晋+《e2 19.四121 11π (2)m∈(1，+o) a39 【分析】(1)由三角恒等变换化简，利用正弦型函数的单调性求解： (2)分离参数转化为m+2>f(四x子恒成立，求出()的最大值即可得解： π (3)先写出函数y=f(ox)-1(o>0)的解析式，然后根据正弦函数的性质结合整体思想即 可得解 【详解】(1) -cos x-3c0s2*=2. f(x)=2sin2π+ 3cos2x 2 in2-5co2+ 由经+2ka≤2x 3π 32 +2km→ 5 1 +kmSx≤z+ha(keZ), 12 5+k,12 所以函数y=f(x)的单调递减区间为 ,+kak∈Z): (2)因为不等式f()-m<2在r42] 上恒成立， 所以m+2>fex[匠 因为[匠引所以2x号 答案第8页，共9页 所以f(x)=1+2sin=3, 所以m+2>3→m>1,即m∈(1，+0)： (3)y=ar)-1=2sn2ar-}, 由xe0引得2are（子m)】 因为函数y=(@)-1(o>0)在0引 上恰有3个零点， 所以2元<0m- 3； 所以⊙的取值范围为 别 【点睛】方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin(ox+p)形 式，再求y=Asin(ox+p)的单调区间，只需把ox+p看作一个整体代入y=sinx的相应单 调区间内即可，注意要先把ω化为正数， 答案第9页，共9页