2026年中考数学专题复习-特殊四边形问题（二次函数综合）解答题专题突破训练

2026年中考数学专题复习-特殊四边形问题（二次函数综合） 解答题专题突破训练 1.如图，抛物线”=ar+hr-3与轴交于1-l0小B(3,0 两点，与'轴交于点C (1)求抛物线的对称轴： (2)若点D是抛物线上的一点，当△ABD的面积为10时，求点D的坐标： (3)点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点Q,使得以B、C、P、Q为顶 点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 2.如图抛物线”=r+c+心与'轴交于点C,与”轴交于4，分两点，点巴的坐标为L,0), OC=30B B (1)求抛物线的解析式和A点、C点坐标： (2)若点D在x轴上，点P在抛物线上.是否存在以A,C,D,P为顶点且以AC为一边 的平行四边形？若存在，写出点P的坐标：若不存在，请说明理由 3.如图，若二次酯数”a-2x+a0的图象与'精交于点4和点(60)，与'轴交 (0,-3) 于点 试卷第1页，共3页 图1 图2 图3 (1)求抛物线的解析式： (2)如图2，连接BC,，点P为直线BC下方抛物线上的动点，求△PBC面积的最大值及此时 点P的坐标： (3)如图3，将抛物线'=ar-2x+ca≠0 先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长 度得到新的抛物线y,在y的对称轴上有一点D,坐标平面内有一点E,使得以点B,C, D,E为顶点的四边形是矩形，求点E的坐标. 4.如图，在平面直角坐标系中，经过点 A(1,-2),B(-3,-2) 的抛物线y=ar+br+1(a b为常数)与'轴交于点C,顶点为点D.点P为点B右侧抛物线上一点，其横坐标为 m(m>-3) ○ B ! 备用图 (1)求抛物线的解析式. (2)在抛物线的对称轴上找一点E,使得AE+CE取得最小值，求E点坐标： 3)若点M坐标为2m-3-2) 连接AM,取线段AM的中点P,将点P绕点4顺时针方 向旋转90°得到点N,连接AN,以AM,AN为邻边构造矩形AMFN. 试卷第2页，共3页 ①设AQ的长为L,求I关于m的函数解析式： ②请直接写出当点P在矩形AMFN外部时，m的取值范围。 5.如图，直线y= 2x+1与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=-x+hx+c经过 A、B两点. 备用图 (1)求抛物线的表达式： 4 (2)P是抛物线在第一象限内的点，连接PA,PB,PO,若APOA的面积是△POB面积的3， 求点P的坐标： (3)M为直线AB上的动点，N为抛物线上的动点，当以O、B、M、N为顶点的四边形是平 行四边形时，求点M的坐标. 6.如图1，已知抛物线y=-r+x+C与*轴交于 (-1,0,B(6,0两点，与'轴交于C点， 点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为' VA 图1 图2 (I)求抛物线的表达式： (2)设抛物线的对称轴为，I与x轴的交点为D.在直线1上是否存在点M,使得四边形 CDPM是菱形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，连接BC,PB,PC,设△PBC的面积为S ①求S关于t的函数表达式： 试卷第3页，共3页 ②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标， 1 7.如图，已知二次函数y=)+hx的图像经过点4(4,0)，顶点为B,一次函数 2 y= 2x+2的图像交y轴于点M,P是抛物线上一点，点M关于直线4P的对称点N恰好落 在抛物线的对称轴直线BH上（对称轴直线BH与x轴交于点H). VA VA B 备用图 (1)求二次函数的表达式； (2)求点P的坐标： (3)若点G是第二象限内抛物线上一点，G关于抛物线的对称轴的对称点是E,连接OG, 点F是线段OG上一点，点D是坐标平面内一点，若四边形BDEF是正方形，求点G的坐 标。 8.如图1，在平面直角坐标系xO中，一次函数y=-x+3的图象与x轴交于点B,与y轴 交于点C,经过8、C两点的二次函数》=-+r+ 的图象交轴于另一点A。 V B G 图1 备用图 (1)求二次函数的表达式： (2)点D、E在直线y=-x+3上，点F是第二象限位于抛物线上一点，点G在x轴上若四 边形DEFG是正方形，求点F的坐标： (3)连接AC、BC,抛物线上是否存在点P,使得∠CBP+∠AC0=45°，若存在，求出点 试卷第4页，共3页 P的坐标；若不存在，请说明理由， 9.如图1，抛物线y=-r+br+ 经过4(-10)，D2,3 两点，与y轴交于点C,与x轴交 于点B,直线AD与y轴相交于点E,点F是直线AD上方的抛物线上的动点 图1 图2 ()求该抛物线对应的二次函数关系式： CFIAD (2)当 时，求点F的坐标及此 S,EDF的值： (3)当△ECF是以点F为顶点的等腰三角形时，直接写出点F的坐标； (4)如图2，点M是抛物线的顶点，点P是y轴上的点，点Q是坐标平面内一点，以A,M, P,Q为顶点的四边形是AM为边的矩形，求点Q的坐标. 10.如图O,在平面直角坐标系中，抛物线'=ar+x+c(a≠0 的图象与x轴交于 4(10、B(6,0)两点，与轴交于点C,且抛物线的顶点D的坐标为4)，连接8C, 抛物线的对称轴与BC交于点H。 图① 图② (1)求抛物线的解析式： (2)在抛物线上B、D两点之间的部分（不包含B、D两点），是否存在点G,使得四边形 ABGC的面积最大，若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由； 试卷第5页，共3页 (3)如图②，将抛物线在BC上方的图象沿BC折叠后与y轴交于点E,M为直线x=1上 个动点，在平面内是否存在一个点N,使得以B、E、M、N为顶点的四边形是以BE为 对角线的矩形，若存在，请直接写出V点坐标，若不存在，请说明理由 y=ax+bx+c 11.如图所示，设抛物线 与x轴相交于O,M两点，点Q在抛物线第一象限 图象上，若OM=4△OM 面积的最大值为8V3 D D B 图1 图2 (I)求抛物线的解析式： (2)如图1，设D是抛物线的顶点，点A在x轴上，点B在抛物线上；若四边形OABC是平 行四边形，且点C恰为线段OD中点，求点A坐标： (3)如图2，已知P是直线：y=-x+4上方的抛物线上的动点，PE⊥1于点E,PF⊥x轴 于点F,设PF与直线I交于点N,当△PEN周长最大时，求点N的坐标. 12.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=一 x+bx+C与轴交于4B40两点，与 '轴交于点C0,4) y◆ CD C E B B A B 图1 图2 图3 (1)求抛物线的函数解析式. 试卷第6页，共3页 (2)如图2，D为抛物线上的一点，且位于直线BC上方，连接DB,DC.当△BCD的面积 最大时，求点D的坐标及最大面积. 3)如图3， E(a,3)为直线8C上的一点，Mm0 是线段AB上的一动点，过点M作x轴的 垂线，交抛物线于点F,交直线BC于点H.在平面内是否存在点N，使四边形EFHN为 正方形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由 13.如图，在平面直角坐标系中，y=r+r+3与轴交于点 -1,0).84,0)两点，与' 轴交于C点，连接直线BC. 图1 图2 备用图 ()求抛物线的函数关系式： (2)点P是位于直线BC上方抛物线上的一个动点， ①如图1所示，过点C作CD平行于x轴与抛物线另一个交点为D,当P点位于CD上方时， 过点P作与y轴平行的直线交BC于点H,连接线段CP、PD、DH.当四边形CPDH的 27 面积等于8时，求p点坐标： PE 4 ②如图2所示，连接AP与直线BC交于点E,当AE=5时，求tan∠PAB的值： (3)M是抛物线上一个动点，在平面内是否存在N,使得M、N、C、B为顶点的四边形 是矩形.若存在，直接写出M点坐标，若不存在，请说明理由。 试卷第7页，共3页 参考答案 1.(1)x=1 24,5)或-2,5) 3)存在，0点的坐标为2-)或4,5)或-2,5) 【分析】(1)根据抛物线与x轴的两个交点求解即可； y=x2-2x-3 (2)利用待定系数法求出抛物线的解析式为： ,设点D的坐标为 (化-2x-3),则Sm×4×2-2x-=10,解方程即可得到点D的坐标： ③)设P,）,(,）,则，=1，分两种情况讨论：①当BC为边时，此时四边形 BCO,R和BCR 是平行四边形：②当BC为四边形的对角线时，此时四边 B0,CR是平 行四边形，根据平行四边形对边平行且相等求解即可. 【详解】)解：“抛物线=+r-3与转交于1(-10叭B(6,0)两点. :抛物线的对称轴为直线x= (2)解：将11,0)B3,0 代入y=ar+伽-3得， a-b-3=0 a=1 9a+3b-3=0,解得 b=-2, y=x2-2x-3 ∴抛物线的解析式为： x,x2-2x-3 设点D的坐标为 A(-1,0）B(3,0) .AB=4, 1 ：5,4o=2×4×r-2x-=10,即k-2x-3=5, 答案第1页，共2页 .x2-2x-3=5或x2-2x-3=-5(无解舍去)， 解得。方=45=-2 (4,5).（-2,5) ∴.点D的坐标为 或 (3)解：由(1)可知，抛物线-2x- 的对称轴为：x=1。 设P(）,(ga) =1 分两种情况讨论： ①当BC为边时，此时四边形 BCO P BCPO2 和 是平行四边形， ∴.P2∥BCP2=BCP22∥BCPO=BC a-x=k。-,ke-=k。- 解得：名-2=4 此时点Q的坐标为任，5)或-2,5). ②当BC为四边形的对角线时，此时四边形 BO CP 是平行四边形， ∴.PB∥CQPB=CQ :k。-e,-,即2=e, 2,-3) 此时点Q的坐标为 综上所述，存在满足条件的Q点的坐标为4,5)或25)或2-3) 答案第2页，共2页 2.0y=x2+2x-3.C(0,-3)A(-3,0) (2点P的坐标为(2，-3)或7-1,3)或N7-13), 四边形ADPC是平行四边形. 【分析】本题考查二次函数与几何的综合，一元二次方程，解题的关键是掌握二次函数的 图象和性质，平行四边形的性质，解一元二次方程，学习数形结合的解题思路。 (1)根据点B的坐标，OC=3OB,求出点C,利用待定系数法求出抛物线解析式，根据 抛物线与x的交点，则x2+2x-3=0,解出x,即可： (2)根据平行四边形的性质，分类讨论当4D,AC为边时，即四边形 AD PC 是平行四边 形，当AD,PC为对角线，即四边形 PDC(APDC) 是平行四边形，利用平行四边形的 性质，进行解答，即可 【详解】(1)解：，点B的坐标为 1,0) .0B=1, 0C=30B, .0C=3, C(0,-3)c=-3 点 ,点B的坐标为 1,0) .0=1+b-3 解得：b=2, 答案第3页，共2页 y=x2+2x-3 ∴抛物线的解析式为： ,抛物线与x轴交于A,B两点， x2+2x-3=0, :(-10x+3)=0 解得：1名=-3 点430) (2)解：存在，理由如下： 设点P(a,a+2a-3) 当D,1C为边时，即四边形 AD PC 是平行四边形， .AD I RC‖x 轴， :⅓北=-3 .a2+2a-3=-3, a1=0a42=-2 解得： 当a=0时，点P与点C重合，不能构成平行四边形，舍去， “点(2-) 当AD,PC为对角线，即四边形 APDC(APD.C) 是平行四边形， 点A,D在x轴上， :出%=0 “点C的坐标为0，-3) 答案第4页，共2页 :%3 :=22=0 2 2 yp-3=0, .2 :%3 .a2+2a-3=3, 整理得： (a+1)2=7 解得：4=7-1,4，=万-1 点(7-l3)或(7-3) 综上所述，点P的坐标为(-2-3)或7-1)威7-)，四边形DC是平行四边形. P DOB D,衣 P 3.()2-2-3 面的大数为是，传》. 【分折】（山把830和C0,-3》代入=m-2x+a≠0）求解即可： 答案第5页，共2页 (2)先解得直线8C的解析式为'=x-3,设Pa,a-2a-),M(a,a-3 ),得到的PM的 3 值，当a=2时，PM最大，进而根据三角形的面积公式，即可求解： (3)分情况讨论，当BC为矩形一边时，且点D在x轴的下方：当BC为矩形一边时，且 点D在x轴的上方；当BC为矩形对角线时，分别求解即可. 【详解】(）解：三次函数'=a-2x+ca≠0)的图象与轴交于点4和 B3,0),与 y轴交于 C0,-3列.将点B,点C的坐标分别代入得： 9a-6+c=0 c=-3 a=1 解得c=-3, y-x2-2x-3 ∴抛物线的解析式为 (②)解：设直线BC的解折式为=c+b,将点B(30),点C0-3)分别代入得： 3k+b=0 b=-3, [k=1 解得：b=-3, .直线BC的解析式为y=x-3, 点P为直线BC下方抛物线上的点，如图2， 答案第6页，共2页 B 图2 设Pa,d2-2a-3) :M(a,a-3) :PM=a-3-0+2a+3=-d2+3a=-看 当a-时，Pwm-, 成wPw3-程-。 1 27 ∴△PBC面积的最大值为8， (3)解：由题意可得：广=(-1-2r-)-3-1=2-4x-1=x-2}-5 x=2 的对称轴为 B(3,0).C0,-3) ∴.OC=OB=3,∠BC0=∠CB0=45, 当BC为矩形一边时，且点D在x轴的下方，如图3，过D作DF上y轴于点F, 答案第7页，共2页 B 图3 D在y的对称轴上， FD=2, ∠BCD=90°，∠BC0=45°， .∠DCF=45°， CF=FD=2,0F=3+2=5,即点D(2,-5) .点C向右平移2个单位、向下平移2个单位可得到点D,则点B向右平移2个单位、向下 平移2个单位可得到点 E(5,-2) 当BC为矩形一边时，且点D在x轴的上方，y,的对称轴为x=2与x轴交于点F,如图 4, 图4 D在y的对称轴上， .F0=2, .BF=3-2=1. :∠CB0=45°，即∠DB0=45°， 答案第8页，共2页 D(2,1) FD=1,即点 .点B向左平移1个单位、向上平移1个单位可得到点D,则点C向左平移1个单位、向上 平移个单位可得到点 E(-1,-2) 当BC为矩形对角线时，如图5，设D2,E(m,m,BC的中点F的华标为》 图5 2+m_3 22 依题意得： d+n=-3 2 2 「m=1 解得：d+n=-3, 又DE=BC, :2-+d-y=3+3 解得： d-n=±√17 d-n=±17 联立得： d+n=-3, n=-3t7 解得： 2, 答案第9页，共2页 ∴点E的坐标为 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图 象与性质，一次函数的图象与性质，矩形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的 关键. 4.(①)y=-r2-2x+1 2E-L0) [-m+2(-3<m<2) I= (3)①m-2(m>2) ;②点P在矩形AMFN外部时，m>2或1<m<2或 -1-V5 m<-l+V5 2 【分析】山把4-2），点B(3-2)分别代入抛物线=㎡++1，后利用特定系数 法确定解析式即可， (2)确定点A、B是关于对称轴的对称点，连接点B与点C,与对称轴的交点就是线段和 最小的位置，解得即可. 3)①根据点M坐标为2m-3,-2）,点4，-2），线段M的中点g,得到2(m-l-2), 当m-1>1即m>2时，点2(0--2刃在点4的右制，此时=。，=m-11=m-2:当 0-11即-36加<2时，点20-2》在点4的左侧，此时==1-(a-少-2-m 解答即可；②根据题意，分类讨论，数形结合分析即可求解. 【详架】《)解：把1-2），点8(3-2》分别代入物线=m+, 答案第10页，共2页 a+b+1=-2 得9a-3b+1=-2, a=-1 .b=-2, 故抛物线的解析式为'=-r-2x+1 (2)解：y=--2x+1=-(x+1+2 抛物线的对称轴是直线x=-1, ”-2引，点B(-3-2列满足x=3)+ 2 =1, 两点是关于直线x=-1的对称点， 连接BC,交直线x=-I于点E,则点E就是满足AE+CE取得最小值的点， P y=-x2-2x+1 令x=0,则y=1 .C(0,1) 设直线BC的解析式为y=ka+1, 将B(3,-2)代入直线8C的解折式得： -3k+1=-2, 解得k=1, ∴直线BC的解析式为y=x+1, 当x=-1时，y=-1+1=0, 答案第11页，共2页 :EL0) (3)解：①：点M坐标为2m-3-2),点4-2)， 点 2m-3+1=m-1, ∴线段M的中点Q的横坐标为2 :e(m-1-2) 如图所示，点M在点A右边， ·m-1>1,即m>2时，点(m-h-2 在点A的右侧， =xg-x4=m-1-1=m-2 此时 如图所示，点M在点A左边， D P F-- B M m-1<1,即m<2时，点m--2 在点A的左侧， 此时 =x4-xg=1-(m-1)=2-m 「-m+2(-3<m<2) 1= 综上所述，l关于m的函数解析式为m-2(m>2) 答案第12页，共2页 ②点P为点B右侧抛物线上一点，其横坐标为 m(m>-3) 点M坐标为 2m-3,-2 ,点P是线段4M的中点，且m--2) 第一种情况，当点Q在点A右边，此时矩形AMFN在直线AB下方，点P在直线AB上方， 此时点P在矩形AMFV外部， ∴.在点Q中，m-1>1,则m>2,在点P中，m<1, ∴.此种情况不存在： 第二种情况，如图所示，当点Q在点A右边，此时矩形AMFN在直线AB下方，点P在直 线AB下方，过点P作PK L AO于点K,当PK>AN时点P在矩形AMFN外部， P(m,-m2-2m+1) D 产 4 ∴.m-1>1,即m>2, :.AW=A0=m-1-1=m-2.PK=-2-(-m2-2m+1）=m2+2m-3 .m2+2m-3>m-2, 解得， m<15 2 m>-1+V5 2, .m>2: 第三种情况，如图所示，点Q在点A左边，则m-1<1,即m<2,点P在点A右边，则 m>1,此时点P在矩形AMFN外部， 答案第13页，共2页 B .1<m<2: 第四种情况，如图所示，点Q在点A左边，则m-1<1,即m<2,点P在点A左边，点B 右边，则-3<m<,当PK>N时点P在矩形AMFN外部，P(m,m-2m+), D --L- B M :4w=1-(m-0=2-m,PK=-m2-2m+1-(←2）=-m2-2m+3 .-m2-2m+3>2-m, -1-5, 解得，2 <m<l+5 2， -1-5 .2 <m<-1+/5 2； 5<m<145 综上所述，点P在矩形AMFN外部时，m>2或1<m<2或2 2 5.(1)y=-x2+ *1 3 答案第14页，共2页 e (3)点M的坐标为 安a8）132）成 【分析】（山先求出点120），B(0, ,再将两个点的坐标代入'=-r+x+C可得答案 a.-d+3a+l 4 (2)由点的坐标得OA=2,OB=1,再设（ 2 然后根据 出方程，求出解即可： 1 Mm,- m+1 (3)先设 2 再分两种情况：当OB为平行四边形的边时，过M作x轴的垂 Nm-mt3m+l 线，交抛物线于点N,可得( 2 进而得出MN=m-2m,再根据MW=1 时四边形是平行四边形，即当m2-2m=1,m2-2m=-1时，求出答案：当OB为平行四 N-m,-m2_3m 边形的对角线时，先确定点 m+1 由ys-yw=yM-yo得出方程，再求出 解可得坐标. 【详解】(1)解：当x=0时，y=1:当y=0时，x=2, 点1(2,0)B(@,) 将4(20).B(01代入=-r+x+c中得： 答案第15页，共2页 -4+2b+c=0 c=1 解得：b=3 2’c=1: 、抛物线的解析式为少=-x+x+1 (2)解，由420)，B(0,1)得：4=2,0B=1, a+ w0M2++小+知+ =0Bxp=20, 1 .SAPOB 2 am得：-2+ 20+1 41 SAPOA= 3 32, 3 2 解得：4=2，a,=3(舍)， ①当OB为平行四边形的边时，过M作x轴的垂线，交抛物线于点N,如图， (N) (M) (M (N) 答案第16页，共2页 则（ .OB=1, .当MN=1时，以O、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形， :m-2m-1,当2-2m=l时，即m2-2m-1=0, 解得：m=1+5m=1-2 -月 当m2-2m=-1时，即m2-2m+1=0, 则%%=1 ②当OB为平行四边形的对角线时，如图， M B (M) NA (N) x=m y+=0 2.N-m-wm) 答案第17页，共2页 则%w=%一%，即m+m 2m+1, 解得：%=-1-2m,=-1+V5 wa)皮-6)威兮读1a）康 6.(1)y=-x2+2x+3 (2)存在，M(1,6) 9 9W2 ③0S支，®P点到直线C的距离的最大值为8， 【分析】(1)把1(1,0)，B(3,0 代入y=-+x+C,解关于b、c的二元一次方程组求 出b、c的值即可： (2)连接CP,交对称轴I于E,根据菱形的性质得出CP⊥DM,DE=ME,根据(I) 中解析式得出C(0,3),对称轴为直线x=1,可得E,3),进而求出DM=6,即可得答案： (3)①过点P作PH⊥x轴于H,交BC于F,先利用待定系数法求出直线BC解析式为 y=-x+3 P6,-12+21+3)F(L-t+3)PF=-2+3 ,得出 ,利用三角形面积公式即可得 9 出S:士：②利用勾股定理求出C=32,利用APRC的面积求出 答案第18页，共2页 PpG=-2-3+92 2 3 92 2 8,得出=2时，PG的最大值为8，把=2代入 PL,-2+2t+3) 即可求出点P坐标 【详解】()解：抛物线)=-+r+C与产轴交于1(-1,0)，B(3,0) 两点， ∫-(-1)}-b+c=0 .-32+3b+c=0, [b=2 解得c=3, .抛物线的表达式为y=-x+2x+3 (2)解：如图，连接CP,交对称轴I于E, M E :y=-+2x+3=--+4 .抛物线的对称轴为直线x=1,点M的横坐标为1， ,四边形CDPM是菱形， .CP⊥DM,DE=ME,CP∥x轴， ,抛物线解析式为y=-x2+2x+3, 当x=0时，y=3, .C(0,3), .El,3),DE=ME=3, 答案第19页，共2页 .DM=6, .M(1,6). (3)解：①如图，过点P作PH⊥x轴于H,交BC于F, 设直线BC的解析式为 =kx+b B(3,0),C(0,3), 「3k+b=0 .b=3, k=-1 解得：b=3, ∴直线BC的解析式为y=-x+3, 点P的横坐标为， Pu,-12+2t+3)F(t,-t+3) ,PF=-t2+2t+3-(-t+3)=-t2+3t ②如图，过点P作PG⊥BC于G, B(3,0),C0,3). :.BC=V32+3=32 答案第20页，共2页 ,s=BC-PG=35pG=-2+9=-3 2 t=- (t- +27 2 222 2 8, 2,9N2 -(t 2 2 8, <0 2 9v2 当时。PG取得最大值，即P点到直线C的距离的最大值为g己 当12时，-+21+3=15 3 4 【点睛】本题是二次函数综合，涉及待定系数法求函数解析式、菱形的性质及二次函数的 性质，合理作出辅助线是解题关键. 70y+2x 8)G(-66) 【分析】(1)由待定系数法求解函数解析式即可； (2)先由勾股定理以及对称可得 4W=M=25,由H=OH=2,得到H=4.由对 称可得PM=PN,则PM=PN2,过点P作PO⊥BH于Q,交y轴于R.设点 当点N在AM上方时，N(-2,4),由PM2=PN2建立方程求解即可；当 点N在AM下方时，同理可求即可； 答案第21页，共2页 (3)过F作FC L BH于C,FT⊥GE于T,FT交x轴于点S,证明 ETF≌△BCF(AAS) 则FT=FC,ET=BC,设PS=CH=m,FC=FT=1,则E(m-6,m+0）,那么 m+1=m-+2(0m-).化筒整理，符m+2m-2nm:-+,面。G7r%0sP,则 t-m+2-2t m=t+2，化简整理，得m2+2m-2m1=2+21,得到方程-2+61=2+21，即可求解. 【详解】)解，把x=4:=0代入+： 得2×16-4b=0. 1 解这个方程，得b=2, ∴二次函数的表达式是y=)+2, 2 (2)解：对于y=2+2,当x=0时，y=2 ·一次函数少=2x+2的图像交y轴于点M(0,2), .OM=2, .0A=4, AM=VOM+0-25 AN=AM=25 由对称可得 x+2-2, .AH=OH=2. NH=AN:-AH-4 由对称可得PM=PN, 则PM2=PN2, 答案第22页，共2页 B 图1 P 过点P作PQ⊥BH于2，交y轴于R.设点（ ①如图1，当点N在AM上方时，则NH=4 :(-2,4) 由r-m有.+层2-4j-r2x-j 解得 x2=2 (舍去)， :R2,6) y H R B 图2 ②如图2，当点N在4M下方时，同理N(-2,-, 由pw-w4.2传-2x八-+2x- 同理可得5=4《会大》，与子 答案第23页，共2页 综：点r的单标为26宝号】 (3)解：如图3，过F作FC⊥BH于C,FT⊥GE于T,FT交x轴于点S. 则∠ETF=∠BCF=90° ,四边形BFED是正方形， :EF=BR,∠EFB=90 ∴.∠EFT=∠BFC=90°-∠EFC 、△ETF≌ABCF(AAS) .FT=FC,ET=BC. 设FS=CH=m,FC=FT=t, :TS=FT+FC=m+t,BC=ET=m+2. :e=B7-0S=m+2-(2+）=m-1 E(m-t,m+t) 则 D衣 图3 ·m+1=2m-+2(m-). 化简整理，得m2+2m-2mt=-t2+6t, .E(m-4m+ ，对称轴为直线x=-2。 答案第24页，共2页 .G(-4-m+t,m+t） T(-2-1m+） .GT=-2-t-（-4-m+t)=m+2-2t :GE∥x轴 ∴.aGTF∽aOSF, TF GT FSOS’ ,t_m+2-2t 即mt+2’ 化简整理，得m2+2m-2mt=t2+21. .-t2+6t=t2+2t, 解得10 〔舍去)，6=2 ÷m-2-8=0,解得m=之 舍去)，%=4 :G(-6,6) 8.①)少=-r2+2r+3 (3)存在， 【分析】(1)先求出B,C的坐标，然后用待定系数法求解即可： (2)连接EG,DF,设F(m-m+2m+3),根据DF=2求解即可： (3)作CF‖AB,BF WOC,根据P在BC上方或下方两种情况讨求解即可. 答案第25页，共2页 【详解】(1)解：当x=0时，y=3, :C0,3) 当y=0时，0=-x+3,x=3, .B(3,0) :二次函数少=-+x+ B.C 的图象过两点， c=3 [b=2 .0=-32+3b+c,解得：=3， 即：ys-r+2x+3 (2)解：：B(3,0),C0,3) .OB=OC, .∠OBC=∠0CB=45°， ,四边形DEFG是正方形， .∠GDE=90°，GD=DE, .∠DGB=∠GDE-∠OBC=45°， :∠DGB=∠OBC, .GD=DB=DE, 连接EG,DF, B .GD⊥BE, .GE =GB, 答案第26页，共2页 .∠GEB=∠OBC=45°， .∠EGB=90°即：EG⊥OB, ,四边形DEFG是正方形， .DF⊥EG,即：DF IIOB, DF.EG DF=2yF 互相垂直平分， :点F是第二象限位于抛物线上一点， :设F(m-m2+2m+3) -m2+2m+3=-xp+3 解得：=m2-2m DF =xp -xr =m2-2m-m=m2-3m :m-3m=2(-m2+2m+3) 2 解得：m=-3m=3（舍)， (211 (3)答：存在， P号9或2)，理由如下 过点C作CF‖AB,过点B作BF OC ∴.四边形COBF是平行四边形， ∠C0B=90°，0C=0B 四边形COBF是正方形， 当y=0时，0=-x2+2x+3, .x=-1,x2=3 :4(10)即：oA=1, 答案第27页，共2页 如图：当P在CB下方时，过点B作射线BA使∠OBA'=∠ACO交OC于点A'交抛物线于点 P,此时∠CBP+∠ACO=45°， :∠AOC=∠AOB,OC=OB. :△1C02aAB0(A5A) .0A'=OA=1, A(0,1) 即： 设直线AB的解析式为：y=c+n, (n=1 3n=1 1 .3k+n=0解得： k= 即：y= 31 1 y=-3x+1 y=-x2+2x+3 x- 3 .x=3(舍)或11， y=0 y-9 当P在CB上方时， 作点A'关于BC的对称点D, ,四边形COBF是正方形， 点D在CF上，DF=OA'=1,OB=CF, :D(2,3) 2时，y=-2+2×2+3=3 :x- .D在抛物线上， 答案第28页，共2页 ,△DFB≌△A'OB(HL) ∴.∠DBF=∠A'BO=∠ACO. 当P与D重合时，∠CBP+∠AC0=45°，此时， P(2,3) 综上：存在， B 9.(①)少=-x2+2x+3 2F,).2 8-2,2) 2.(到 【分析】(1)利用待定系数法求解即可： (2)先利用待定系数法求出直线D解析式为=x+1,由FCAD,CQ3)可得直线 FC解析式为'=x+3,与抛物线解析式组成方程组，解方程组可 F,4),进而即可得解： (3)过F点作FH⊥CE,求出 (0,2）,由FH∥轴得2=-r+2x+3,解方程即可得解， (4)分AP为对角线和AQ为对角线两种情况讨论即可得解. 【详解】()解：抛物线y=-r+r+c:经过点 (-1,0以D(2,3) -1-b+c=0 [b=2 -4+2b+c=3,解得c=3 答案第29页，共2页 ∴.该抛物线的函数表达式为：y=-x2+2x+3: (2)解：设直线AD解析式为y=+b ·4(-1,0小D(2,3) [-k+b=0 「k=1 .2k+b=3,解得b=1, 直线AD解析式为y=x+1, :E(0, .FC∥ADC(O,3) ∴.直线FC解析式为y=x+3, x+3=-x2+2x+3 解得： X=0 (舍去) 七3=1 :F04 FC∥AD, S.DF=S.ECo=(Ye-yE)xp=2, (3)解：如图1，当△ECF是以点F为顶点的等腰三角形时， H B 图1 过F点作FH⊥CE, ∴点H为CE中点， 答案第30页，共2页 :H0,2) 又：FH/x轴， %= 2=-x2+2x+3: 解得。x=1±V2 :+5,2(合去)-5,2. 综上可知点F坐标为-5,2) (4)解：y=-+2x+3=-(x-+4 M(L,4) 顶点 当AP为对角线时，如图2， 的M R B 图2 设抛物线对称轴交x轴于点R,作PS⊥MR, :∠PMS+∠AMR=90°，∠MAR+∠AMR=90°， .∠PMS=∠MAR, .∠PSM=∠ARM=90°， .△PMS∽△MAR, PS MR .MSAR’ 14 .MS2, 答案第31页，共2页 2, OP=RS=4+1=9 22 xp+xa=xo+xM 又.yp+yA=yo+yM, 当AQ为对角线时，如图3， y R A p 图3 过A作SR⊥x轴，作PS⊥SR于S,作MR⊥SR于R, :∠RAM+∠SAP=90°，∠SAP+∠SPA=90°， .∠RAM=∠SPA .'∠PSA=∠ARM=90°， ∴△PSA△ARM, PS AS AR MR' 1AS .42 答案第32页，共2页 ..OP=1 2, :0 xp+xy=xo+xa 又：yp+yM=ya+yo, 综上可知，Q的生标为2，（引 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线与几何图形的综合，求一次函数 解析式，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，矩形的性质等知识点，熟练掌握 以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键. 10.(1)y=-x2+2x+3 315 (224 (3)点N的坐标为2-)或2,2) 【分析】(1)利用待定系数法计算即可得出结果： (2)求出C(03),从而可得直线8C的解析式为”=x+3,连接4C、CG、BG,作 GM∥y轴交直线BC于点M,设Gm-m+2m+31<m<3),则M(m-m+3),表示出 GM=-m+3m,再根据不mc一Sc+S,并结合二次函数的性质计算即可得出结 果： (3)由等腰直角三角形的性质可得∠OBC=∠OCB=45°，设点E关于BC的对称点为点 F,则CE=CF,∠BCF=∠OCB=45°，求出∠FCE=90°，得到点F和点C关于直线x=1 答案第33页，共2页 对称，即F2,3),求出E(Q),由题查可得∠BME=90,设 M,川），再由矩形的性质和 勾股定理计算即可得出结果。 【详解】(D解，港物线”=+6r+ca=0的图象与转交于4(-10.80)防 点，抛物线的顶点D的坐标为 1,4) a-b+c=0 9a+3b+c=0 a+b+c=4, a=-1 b=2 解得： c=3 ∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3: C(0,3) (2)解：在=-+2+3中，当x=0时，y=3,即C 设直线BC的解析式为'=+6（化≠0） [3k+b=0 将B(3,0),C(0,3)代入解析式可得b=3, k=-1 解得：b=3, .直线BC的解析式为y=-x+3, 如图：连接AC、CG、BG,作GM∥y轴交直线BC于点M, 答案第34页，共2页 设G(m,-m+2m+31<m<3),则M(m,-m+3), ,GM=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m 1(-1,0).B3,0)C0,3) AB=3-(-1)=40C=3 ,S边形ABGc=SABC+S,GBC 号48.0c+wk-) =x4x3+(m+3m)xB-0) 1 6、3 9 2+ m 2 =-3(m2-3m）+6 2 3 <0, 3 15 :当m=2时，Suc最大，为及，此时m+2m+3=-司 +2x3+3=15 2 4， (315 ∴点G的坐标为24： (3)解：如图： B 答案第35页，共2页 B(3,0)）C(0,3) .0B=OC=3, .∠OBC=∠OCB=45°， 设点E关于BC的对称点为点F,则CE=CF,∠BCF=∠OCB=45°， .∠FCE=∠FCB+∠OCB=90°， .点F和点C关于直线x=1对称， :F2,3) ..CE=CF=2, 0E=0C-CE=l,即E(0,1) 以B、E、M、N为顶点的四边形是以BE为对角线的矩形， .∠BME=90°， 设Mn) :EM2=+(n-y=-2n+2,BM2=(6-+n2=m2+4,BE=P+3=10 ∴.n2-2n+2+n2+4=10, 解得：n=2或n=-1, 当n=2时，M(0,2) 由矩形的性质可得此时N(2-) 当n=-1时， M(1,-1) N(2,2) 由矩形的性质可得此时 综上所述，点N的坐标为 -)或22） 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式，二次函数综合一面积问题，二次函数综合一特 殊四边形问题，求一次函数的解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键. I1.①y=-5x2+45x 24+5,o）或41-2，o 答案第36页，共2页 2+52-5 (3)26 6 【分析】()由题意可得C=0,抛物线的对称轴为直线*=2，M(4,0) 然后根据当点 Q为抛物线的项点时，△OM0面积取得最大值，结合三角形面积公式，即可求得抛物线的 顶点坐标，进而利用待定系数法即可解答： (2)当A在点O右侧时，由（山）可知，D2,4), 根据中点可得点C的坐标和OC的 长度，再根据平行四边形的性质可得点B的纵坐标和AB的长度，进而求得点B的横坐标， 然后过点B作BN⊥x轴于点N,则有BN和ON的长度，利用勾股定理求得AN,从而得到 OA的长度：当A在点O左侧时，同理计算即可； (3)设直线I交y轴于点G,根据题意易证aGOM∽aNEP,推出△PEN三边的比例为定 值，即当PN取得最大值时，△PEN的周长取得最大位，然后设P飞-+4W5,则 N(i,-t+4) 表示出PN,再根据二次函数的性质即可解答。 y=ax2+bx+ 【详解】(1)解：抛物线 与x轴相交于O,M两点， OM=4 “C=0,抛物线的对称轴为直线=2，M(4,0) ,抛物线的开口向下， ∴.当x=2时，取得最大值， △OM 点Q在抛物线第一象限图象上， 面积的最大值为8,3 Sow0=)0M·yg=2ye, 2 ∴.当点Q为抛物线的顶点时，△OM面积取得最大值， 此时。=45，即抛物线的顶点坐标为24)， 将点M(4,0),(2,45)代入解析式， 答案第37页，共2页 16a+4b=0 a=-5 得4a+2b=45,解得b=4√5， ·抛物线的解折式为y=-V5x2+45x (2)解：当A在点O右侧时， 由(1)可知， D(2,4W5) ,点C恰为线段OD中点 :c,23) 0C=VP+(25=3 :点A在x轴上，点B在抛物线上，四边形OABC是平行四边形， :4B=oC=,BC∥01，即8C∥轴， ，代入抛物线"=V5r2+45x W3 ∴.点B的纵坐标为 得5r2+45x=25 解得术2±V2 B(2+V2,2V5) 如图，过点B作BN⊥x轴于点N, D 则BN=25.0N=2+V5 答案第38页，共2页 :N=VAB2-BN=-(23=1, OA=ON-AN=2+√2-1=1+√2 :A+2.0) 当A在点O左侧时， 同理可得AB=0C=V13,B(2-V2,23) 如图，过点B作BR⊥x轴于点R, 则BR=25.0R=2-2 4R=AB-BR-3)-(23)=1, :0A=AR-0R=1-(2-V2)=-1+V2 :-2.0). M (3)解：如图，设直线1交y轴于点G, P G E M 由题意可知，∠PEN=∠NFM=90°， 答案第39页，共2页 .∠PNE=∠MNF, .∠EPN=∠FMN,即∠EPN=∠OMG, :∠GOM=∠NEP=90°， ∴.△GOMANEP, .△PEN三边的比例为定值， ∴.当PN取的最大值时，△PEN的周长取得最大值， 设P飞-5+45，则N6-1+4), :PN=V5+4W5-(1+4）=V52+45+1-4 :5<0 43+1 当2x- =2+3 6时，PV取得最大值，即△PEN的周长最大， 6 【点睛】本题考查了二次函数的综合一一特殊四边形和线段周长问题，平行四边形的性质， 相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积计算等，熟练掌握二次函数的图象与性 质是解题的关键， 12.0=++4 8 (2)点D的坐标为 9 最大值为3， 7+V13 ,7-V13 (3)存在，点N的坐标为 2或 2 【分析】(1)利用待定系数法求解即可； (2)过点D作DP∥y轴，交BC于点P,求得直线BC的函数解析式，设点 答案第40页，共2页 1 Dn-3n+3n+4 则点P(n,-n+4),用n的代数式表示出S△cp,利用二次函数的性质 即可求解： 1 .1 m,-。m2+。m+4 (3)求得点H的坐标为(m,-m+4),点F的坐标为 3 3 根据题意得到 1 1 m+m+4=3 解得% 。 2:再分情况讨论即可求解。 1 【详解】(1)解：：抛物线y=-3r+br+c与x轴交于点B(4,0),与y轴交于点C(0,4), 3 0=- 1 ×42+4b+c b 1 3 3 4=c ,解得c=4 :拍物线的函数解新式为=+兮+4 (2)解：如图1，过点D作DP∥y轴，交BC于点P, 图1 设直线BC的函数解析式为y=x+4, 将点B(4,0)代入得0=4k+4, 解得k=-1, ∴直线BC的函数解析式为y=-x+4, 答案第41页，共2页 .1 设点（ ,则点P(n,-n+4). 1 4 Dp=n2+n+4=n+4)=-n+3n, 3 3 3 .S.xco-DP--xl 4 =-2m-2y+8 3 3· 20 :当n=2时，△BCD的面积最大，最大值为3，此时点D的坐标为(23 (3)解：“E(a,3)为直线BC上的一点， ∴.3=-a+4,解得a=1, .点E的坐标为(1,3) :点M(m,0),且MH⊥x轴， ·占H的坐标为m,一m+4④)，点F的坐标为，3m+3m+4 若四边形EFHN是正方形，EF⊥HF,则EF1y轴，由此可得： 有+写m4线 3 1-31+3 解之得：% 2,%2 2; 1-13 m= ①当2时，如图2， 答案第42页，共2页 M 图2 计算可得：HF=EF, 7+13 ∴.点N的坐标为 2 1+v3 m= ②当 2时，如图3 B M 图3 计算可得： HF EF, 7-13 点N的坐标为 2 7+13 综上所述，点N的坐标为 2 或 【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和 性质，一次函数的应用，一元二次方程的应用等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是 解题关键. 9 13.(1)y=- ++3 3 4 答案第43页，共2页 M 1- 2W55,17 326或 【分析】(1)由点A，,B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式： (2)①利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B、C的坐标，进而求得点D的坐标， 根据四边形CPDH的面积等于名，得出PH-}, 27 4,由点B’C的坐标，利用待定系数法可 t+3 求出直线BC的解析式，设 4 则 将H的坐标，代 入直线BC的解析式，求得t的值，即可求解： ②证明△PEF∽aAEG,列比例式可得PF的长，设 表 示PF的长，求得 2 进而根据正切的定义，即可求解： ③分三种情况讨论，当BC为矩形的对角线时，当CM为对角线时，当BM为对角线时，分 别画出图形，根据矩形的性质，利用勾股定理以及解直角三角形的方法求解即可. 【详解】)解：将1,0)，B4,0)代入=ar+bx+3, 3 a=- 4 得〔a-b+3=0,解得 9, b= 16a+4b+3=0 4 3 9 ∴解析式为y=-。x2+二x+3. 4 20解折式为r+ 4+3 答案第44页，共2页 9 6 4 ·对称轴为直线x= 2a 2× CD∥x, 3 “C,D关于直线x=2对称 x+9 当x=0时，y=-4 +3=3 ∴.C(0,3) D8,3) ∴.CD=3 27 :四边形CPDH的面积等于8， CDxPH 8 :m-是 设直线BC的解析式为y=a+b, [4k+b=0 将B(4,0),C(0,3)分别代入得c=3, k、3 解得： b=3 :直线BC的解析式为：y= 4+3 ++ 6,-3+9+3-9 ,则（ 4 4)即 3 x+3 4 上 答案第45页，共2页 .4 解得：t=1或1=3（与点D重合舍去） ②过点P作y轴的平行线，交直线BC于点F,交x轴于点H, 过点A作y轴的平行线，交直线BC于点G, A 长交：4←1,0) :当x=-1时，y=一 4x(-1)+3=15 4 AGy I PF 轴 .△PEF△AEG, PEPF .AE AG, :4 PF=3, -r-子 F(+小++3 解得.44=2 答案第46页，共2页 29 PH=9 2，AH=1+2=3, 9 在Rt4PH中，am∠PiB=H=是=多 AH 32 (3)解：B(4,0)C(0,3) OB=4,0C=3 :.BC=VOB2+0C2=5 少、3 +*+3=+0-0 4 4 + Mm,- 设 4m+3 当BC为矩形的对角线时，BC2=CM+BM2 2 3 8w=(a-4+(r+m+j=(m-4+2（a+tm-4 25=m+++a-+2a+6a- 9m227m2+6lm2+11m=0 整理得，8-482 即9m4-54m3+61m2+44m=0 :.m(m-4)(9m2-18m-1l）=0 .m≠0，m≠4 答案第47页，共2页 :9m2-18m-11=0 解得.m1425 3 m=125 3 517 2W5517 M1+ 3,2+6 当m=1-2 3时 we--5-25 2 6,则 M1- 5517 3，-2+6 当CM为对角线时，如图，设BM交y轴于点Q, M M MA .∠CBM=90° ∠OQB=90°-∠OBQ=∠CBO 答案第48页，共2页 :tan∠CB0=C0_3 B04 OB 3 tan∠OQB= 094 :00=40B= 3 4s16 4 3 idn-) 设直线80的解析式为y=-16 代入B(4,0) 0=4k-16 416 直线B0的解析式为y=3x-3 416 y= 3-3 联立 9 x+3 4 x=-25 9 解得：「x=4或 244 y=0 y= 27 当BM为对角线时，CM⊥BC ,CM∥BQ ∴直线CM的解析式为' 3t+3 4 4 y=3+3 联立 32 9 =4+ +3 4 答案第49页，共2页 11 x= 9 解得：「x=4或1 125 0y=0 27 g劉 综上所述， M1+ 传》】 答案第50页，共2页