2026年九年级中考数学二次函数压轴35题-考前必刷

**基本信息** 聚焦二次函数中考压轴题型，通过35道典型题构建从基础求解到动态综合的递进训练体系，强化数学思维与几何直观的综合应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础求解|10题|求解析式、顶点坐标|以待定系数法为核心，衔接二次函数图像性质，构建“坐标-解析式-图像”关联| |动态综合|15题|动点最值、存在性问题|融合函数与几何（三角形、四边形），通过参数表示、方程思想实现动态问题静态化| |变换探究|10题|平移、旋转及新图像综合|基于图形变换性质，建立原图像与变换后图像的坐标关系，深化模型意识与推理能力|

二次函数压轴题-考前必刷35题 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式： (2)点P是射线下方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点M为点P的对应点，点N为抛物线上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)点P的坐标为，的最小值为 (3)点N的坐标为或 【来源】2025年重庆市中考数学试题 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式； （2）先求出直线的解析式，然后设点P的坐标为，过点P作轴交于点F，交x轴于点H，点F的坐标为，求出长，再证明，根据对应边成比例求出的最小值，把点P向上平移个单位长度得到点，点的坐标为，连接，即可得到，连接，则，是最小值，利用勾股定理计算解题； （3）根据平移得到抛物线的解析式，然后过点P作轴于点Q，过点N作轴于点K，连接，即可得到，设点N的坐标为，根据列等式求出a的值即可解题． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴； （2）解：令，则， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为，把和代入得： ，解得， ∴， 设点P的坐标为，过点P作轴交于点F，交x轴于点H， 则点F的坐标为， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值为，这时点P的坐标为， 把点P向上平移个单位长度得到点，点的坐标为，连接， 则四边形是平行四边形， ∴， 即， 由A，B关于对称性可得点A的坐标为， 连接，则的最小值为长， 即， 即的最小值为； （3）解：∵， ∴， ∴将抛物线沿射线方向平移个单位长度即为向左平移两个单位长度，向下平移两个单位长度得到抛物线，即， 过点P作轴于点Q，过点N作轴于点K，连接， 设点N的坐标为， 由平移得， ∴， 如图所示，∵， 即，解得（舍去）或， 这时点N的坐标为；      如图所示，则∵， 即，解得或（舍去）， 这时点N的坐标为； 综上所述，点N的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合，主要考查待定系数法，二次函数的线段问题，轴对称的最短路径问题，二次函数的平移，解直角三角形，利用数形结合和分类讨论思想求解是解答的关键． 2．已知抛物线（a为常数）经过点． (1)求a的值． (2)过点与x轴平行的直线交抛物线于两点，且点B为线段的中点，求t的值． (3)设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间．若直线之间的距离为16，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)8 【来源】2025年浙江省中考数学试卷 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象性质，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出对称轴，由题意，可知，关于对称轴对称，的纵坐标均为，中点得到，对称性得到，求出，再代入函数解析式求出的值即可； （3）根据题意，易得要使最大，则，为一条直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称，根据直线之间的距离为16，为定值，得到当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为，令，求出的值，进而确定的值，进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， 解得：； （2）由（1）知：， ∴对称轴为直线， ∵点在轴上，过点与x轴平行的直线交抛物线于两点， ∴关于对称轴对称，的纵坐标均为， 又∵点B为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴代入，得：， ∴； （3）∵， ∴抛物线的顶点坐标， 当抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间时， 为直线与抛物线的交点， ∴要使最大，则，为一条直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称， 又∵直线之间的距离为16，为定值， ∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为，如图： ∴当时，解得：， 即：， ∴的最大值为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于两点（在的左侧），连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)； (2)的最小值为； (3)符合条件的点的坐标为或． 【来源】2024年重庆市中考真题（A卷）数学试题 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）利用正切函数求得，得到，再利用待定系数法即可求解； （2）求得，利用待定系数法求得直线的解析式，设，求得最大，点，再证明四边形是平行四边形，得到，推出当共线时，取最小值，即取最小值，据此求解即可； （3）求得，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式，再分两种情况讨论，计算即可求解． 【详解】（1）解：令，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将和代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：令，则， 解得或， ∴， 设直线的解析式为， 代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设（），则， ∴， ∵， ∴当时，最大，此时， ∴，，， ∴，， 连接， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当共线时，取最小值，即取最小值， ∵点为线段的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：由（2）得点的横坐标为，代入，得， ∴， ∴新抛物线由向左平移2个单位，向下平移2个单位得到， ∴， 过点作交抛物线于点， ∴， 同理求得直线的解析式为， ∵， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得，， 当时，， ∴， 作关于直线的对称线得交抛物线于点， ∴， 设交轴于点， 由旋转的性质得到， 过点作轴，作轴于点，作于点， 当时，， 解得， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理直线的解析式为， 联立， 解得或， 当时，， ∴， 综上，符合条件的点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合问题，考查二次函数的图象及性质，待定系数法确定函数关系式，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，数形结合是解题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线过点，且对称轴为直线，直线与抛物线交于A，B两点，与x轴交于点C． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，直线与y轴交于点D，与直线交于点E．若抛物线与线段有公共点，求h的取值范围； (3)过点C与垂直的直线交抛物线于P，Q两点，M，N分别是，的中点．试探究：当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T，使得总是平分？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)抛物线的对称轴上存在，使得总是平分． 【来源】2025年四川省成都市中考真题数学试题 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、其他问题(二次函数综合)、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求解析式即可； （2）求出点的坐标，易得抛物线的顶点坐标在直线上移动，根据抛物线与线段有公共点，得到抛物线与直线有一个交点开始，将抛物线向右移动直至抛物线与线段只有一个交点为时，均满足题意，求出两个临界值即可得出结果； （3）先求出点坐标，进而求出直线的解析式，联立抛物线与直线，根据根与系数的关系结合中点坐标公式求出点坐标，同理求出点坐标，作根据平分，得到，设，根据正切的定义，列出比例式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，且对称轴为直线， ∴，解得：， ∴； （2）当时，则：， ∴当，，当时，， ∴， ∵， ∴顶点坐标在直线上移动， ∵与线段有公共点， ∴联立，整理，得：， ∴当，即：时， 此时抛物线为，与直线的交点是，在线段上，满足题意， 将从开始向右移动，直至抛物线与线段只有一个交点为时，与线段均有公共点， ∴当过点时，， 解得：或， ∴当时，抛物线与线段有公共点； （3）结论：存在； 解：∵， ∴当时，， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点在抛物线的对称轴上， ∵过点，且与直线垂直， ∴，设直线的解析式为：， 在直线上取点，在上取点，使，作轴，轴，如图，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线的解析式为：，即：， 联立，整理，得：， ∴，， ∵为的中点， ∴， 联立， 同理可得：， 假设存在点，使得总是平分，如图，作， ∵平分， ∴ ∴， ∴， 设，则：， 解得： ∴抛物线的对称轴上存在，使得总是平分． 5．已知抛物线的顶点为，且，对称轴与轴相交于点，点在抛物线上，为坐标原点． (1)当时，求该抛物线顶点的坐标； (2)当时，求的值； (3)若是抛物线上的点，且点在第四象限，，点在线段上，点在线段上，，当取得最小值为时，求的值． 【答案】(1)该抛物线顶点的坐标为 (2)10 (3)1 【来源】2024年天津市中考 数学试题 【知识点】其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）先求得的值，再配成顶点式，即可求解； （2）过点作轴，在中，利用勾股定理求得，在中，勾股定理求得，得该抛物线顶点的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （3）过点作轴，过点作轴，证明，求得点的坐标为，在中，利用勾股定理结合题意求得，在的外部，作，且，证明，得到，当满足条件的点落在线段上时，取得最小值，求得点的坐标为，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：，得．又， 该抛物线的解析式为． ， 该抛物线顶点的坐标为； （2）解：过点作轴，垂足为， 则． 在中，由， ． 解得（舍）． 点的坐标为． ，即． 抛物线的对称轴为． 对称轴与轴相交于点，则． 在中，由， ． 解得（正值舍去）． 由，得该抛物线顶点的坐标为． 该抛物线的解析式为． 点在该抛物线上，有． ； （3）解：过点作轴，垂足为， 则． ． 在中，． 过点作轴，垂足为，则． ，又， ． ∴，， ∴点的坐标为． 在中，， ，即． 根据题意，，得． 在的外部，作，且，连接， 得． ． ∴． ． 当满足条件的点落在线段上时，取得最小值，即． 在中，， ．得． ．解得（舍）． 点的坐标为，点的坐标为． 点都在抛物线上， 得． ． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点式，勾股定理，垂线段最短，全等三角形的判定和性质，正确引出辅助线是解题的关键． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点为点平移后的对应点，连接交轴于点，点为平移后的抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为；； (3)或 【来源】2024年重庆市中考数学试题B卷 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式即可； （2）如图，延长交轴于，过作轴于，求解，可得，证明，设，，，再建立二次函数求解即可； （3）由抛物线沿射线方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，可得新的抛物线为：，，如图，当在轴的左侧时，过作轴于，证明，可得，证明，如图，当在轴的右侧时，过作轴的垂线，过作过的垂线于，同理可得：，再进一步结合三角函数建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得， ∴； （2）解：如图，延长交轴于，过作轴于， ∵当时， 解得：，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵，， 设为， ∴，解得：， ∴直线为：， 设， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴ ， 当时，取得最大值，最大值为； 此时； （3）解：∵抛物线沿射线方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位， ∴新的抛物线为：，， 如图，当在轴的左侧时，过作轴于， ∵， 同理可得：直线为， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：或（舍去） ∴； 如图，当在轴的右侧时，过作轴的垂线，过作过的垂线于， 同理可得：， 设，则， 同理可得：， ∴或（舍去）， ∴． 【点睛】本题属于二次函数的综合题，难度很大，考查了待定系数法，二次函数的性质，锐角三角函数的应用，关键是做出合适的辅助线进行转化，清晰的分类讨论是解本题的关键． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线：与轴交于A，B两点（点在点的左侧），其顶点为，是抛物线第四象限上一点． (1)求线段的长； (2)当时，若的面积与的面积相等，求的值； (3)延长交轴于点，当时，将沿方向平移得到．将抛物线平移得到抛物线，使得点，都落在抛物线上．试判断抛物线与是否交于某个定点．若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)抛物线与交于定点 【来源】2024年四川省成都市中考数学试题 【知识点】求角的正切值、y=ax²+bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合)、二次函数图象的平移 【分析】（1）根据题意可得，整理得，即可知则有； （2）由题意得抛物线：，则设 ，可求得，结合题意可得直线解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点E，则，即可求得，进一步解得点，过D作于点H，则，即可求得； （3）设可求得直线解析式为，过点D作，可得，结合题意得 设抛物线解析式为，由于过点，可求得抛物线解析式为，根据解得，即可判断抛物线与交于定点． 【详解】（1）解：∵抛物线：与轴交于A，B两点， ∴，整理得，解得 ∴ 则； （2）当时，抛物线：， 则 设 ，则， 设直线解析式为， ∵点D在直线上， ∴，解得， 则直线解析式为， 设直线与抛物线对称轴交于点E，则， ∴， ∵的面积与的面积相等， ∴，解得， ∴点， 过点D作于点H，则， 则； （3）设直线解析式为， 则，解得， 那么直线解析式为， 过点D作，如图， 则， ∵， ∴， ∵将沿方向平移得到， ∴ 由题意知抛物线平移得到抛物线，设抛物线解析式为， ∵点，都落在抛物线上   ∴ 解得， 则抛物线解析式为 ∵ 整理得，解得， ∴抛物线与交于定点． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质、两点之间的距离、一次函数的性质、求正切值、二次函数的平移、等腰三角形的性质和抛物线过定点，解题的关键是熟悉二次函数的性质和平移过程中数形结合思想的应用． 8．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，，D是直线上方抛物线上一动点，作交于点E，垂足为点F，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D的横坐标为， ①用含有的代数式表示线段的长度； ②是否存在点D，使是等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连接，将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，请直接写出线段长度的最小值． 【答案】(1) (2)①；②存在，或或 (3) 【来源】2025年山东省烟台市中考真题数学试题 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、根据旋转的性质求解 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）①求出直线：，则，，即可用的代数式表示；②用两点间距离公式分别表示三边，分类讨论，建立方程求解即可； （3）在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，证明，则，确定点在线段上运动（不包括端点），故当时，最小，可证明，求得，而当时，，即可由面积法求最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，，， ∴， ∴ 解得：， ∴抛物线表达式为； （2）解：①对于抛物线表达式， 当， ∴， 设直线表达式为：， 则， 解得：， ∴直线：， ∵， ∴，， ∴， ∴； ②存在， ，而 当时，， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）， ， ∴； 当时， 整理得：， 解得：或（舍）或（舍）， ， ∴， 综上：是等腰三角形时，或或； （3）解：在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接， 由旋转得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段上运动（不包括端点）， ∴当时，最小， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及得到系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的存在性问题，两点间距离公式，全等三角形的判定与性质，垂线段最短等知识点，难度较大，综合性强． 9．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过原点和点．经过点的直线与该二次函数图象交于点，与轴交于点． (1)求二次函数的解析式及点的坐标； (2)点是二次函数图象上的一个动点，当点在直线上方时，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为． ①为何值时线段的长度最大，并求出最大值； ②是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①当时，有最大值为；②当P的坐标为或时，与相似 【来源】2024年内蒙古兴安盟、呼伦贝尔中考数学试题 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的最值、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）把，，代入求解即可，利用待定系数法求出直线解析式，然后令，求出y，即可求出C的坐标； （2）①根据P、D的坐标求出，然后根据二次函数的性质求解即可； ②先利用等边对等角，平行线的判定与性质等求出，然后分，两种情况讨论过，利用相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等求解即可． 【详解】（1）解：把，，代入， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴； （2）解：①设，则， ∴ ， ∴当时，有最大值为； ②∵，， ∴， 又， ∴， 又轴， ∴轴， ∴， 当时，如图， ∴， ∴轴， ∴P的纵坐标为3， 把代入，得， 解得，， ∴， ∴， ∴P的坐标为； 当时，如图，过B作于F， 则，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴P的坐标为 综上，当P的坐标为或时，与相似． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数、一次函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，合理分类讨论是解题的关键． 10．在平面直角坐标系中，点在二次函数的图像上，记该二次函数图像的对称轴为直线． (1)求的值； (2)若点在的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图像．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和； (3)设的图像与轴交点为，．若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)新的二次函数的最大值与最小值的和为； (3) 【来源】2024年山东省枣庄市中考 数学试题（枣庄聊城临沂菏泽） 【知识点】二次函数图象的平移、其他问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）把点代入可得，再利用抛物线的对称轴公式可得答案； （2）把点代入，可得：，可得抛物线为，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：，再利用二次函数的性质可得答案； （3）由根与系数的关系可得，，结合，，再建立不等式组求解即可. 【详解】（1）解：∵点在二次函数的图像上， ∴， 解得：， ∴抛物线为：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴； （2）解：∵点在的图像上， ∴， 解得：， ∴抛物线为， 将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为： ， ∵， ∴当时，函数有最小值为， 当时，函数有最大值为 ∴新的二次函数的最大值与最小值的和为； （3）∵的图像与轴交点为，． ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴即， 解得：. 【点睛】本题属于二次函数的综合题，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，熟练的利用各知识点建立方程或不等式组解题是关键. 11．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称． (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，y的取值范围是，求t的值； (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2 【来源】2024年四川省泸州市中考数学试题 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查二次函数的综合应用，菱形的性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）分和，两种情况，结合二次函数的增减性进行求解即可． （3）分为菱形的边和菱形的对角线两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，与y轴交于点B，且关于直线对称， ∴，解得：， ∴； （2）∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上点到对称轴上的距离越远，函数值越小， ∵时，， ①当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：或，均不符合题意，舍去； ②当时，则：当时，函数有最大值，即：， 解得：； 故； （3）存在； 当时，解得：，当时，， ∴，， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， 设，则：， ∴，，， 当B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况： ①当为边时，则：，即， 解得：（舍去）或， 此时菱形的边长为； ②当为对角线时，则：，即：， 解得：或（舍去） 此时菱形的边长为：； 综上：存在以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为或2． 12．如图1，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线的顶点．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，，直线交抛物线的对称轴于点，若点是直线上方抛物线上一点，且，求点的坐标； (3)若点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，是否存在以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或； (3)或或或 【来源】2024年四川省达州市中考数学真题 【知识点】面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合)、求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得的坐标，根据勾股定理的逆定理得出是等腰三角形，进而根据得出，连接，设交轴于点，则得出是等腰直角三角形，进而得出，则点与点重合时符合题意，，过点作交抛物线于点，得出直线的解析式为，联立抛物线解析式，即可求解； （3）勾股定理求得，根据等腰三角形的性质，分类讨论解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点， ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为； （2）由，当时，，则 ∵，则，对称轴为直线 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 当时，，则 ∴ ∴ ∴是等腰三角形， ∴ 连接，设交轴于点，则 ∴是等腰直角三角形， ∴，， 又 ∴ ∴ ∴点与点重合时符合题意， 如图所示，过点作交抛物线于点， 设直线的解析式为，将代入得， 解得： ∴直线的解析式为 联立 解得：， ∴ 综上所述，或； （3）解：∵，， ∴ ∵点是抛物线对称轴上位于点上方的一动点，设其中 ∴， ①当时，，解得：或 ②当时，，解得： ③当时，，解得：或（舍去） 综上所述，或或或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，面积问题，特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 13．抛物线交轴于，两点（在的右边），交轴于点． (1)直接写出点，，的坐标； (2)如图（1），连接，，过第三象限的抛物线上的点作直线，交y轴于点．若平分线段，求点的坐标； (3)如图（2），点与原点关于点对称，过原点的直线交抛物线于，两点（点在轴下方），线段交抛物线于另一点，连接．若，求直线的解析式． 【答案】(1)，， (2) (3) 【来源】2024年湖北省武汉市中考数学试题 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、其他问题(二次函数综合)、一元二次方程的根与系数的关系、求一次函数解析式 【分析】（1）分别令，解方程，即可求解； （2）分别求得直线，根据得出的解析式，设，进而求得点的坐标，进而根据平分线段，则的中点在直线上，将点的坐标代入直线解析式，即可求解． （3）过点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为，证明，得出，先求得点的坐标，设直线的解析式为，直线的解析式为，联立抛物线解析式，设，， 根据一元二次方程根与系数的关系，得出，，，进而求得，代入，化简后得出，即，进而即可求解． 【详解】（1）解：由， 当时，，则 当， 解得： ∵在的右边 ∴，， （2）解：设直线的解析式为 将，代入得， 解得： ∴直线的解析式为 ∵ 设直线的解析式为 ∵在第三象限的抛物线上 设， ∴ ∴ ∴ 设的中点为，则 由，，设直线的解析式为， 将代入得， ， 解得： ∴直线的解析式为， ∵平分线段， ∴在直线上， ∴ 解得：（舍去） 当时， ∴； （3）解：如图所示，过点作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴ ∴ ∴ ∴ 即 ∵点与原点关于点对称， ∴, 设直线的解析式为，直线的解析式为 联立直线与抛物线解析式可得，， 即 联立直线与抛物线解析式可得， 即 设，， ∴，，， ∴ ， ∵ ∴， 将代入得： ∴， ∴， ∴直线解析式为． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，一次函数与二次函数综合，中点坐标公式，相似三角形的性质与判定，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 14．如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点P，横坐标为,， 【来源】2025年宁夏中考数学试题 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断、面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、直线与抛物线的位置关系、三角形面积的计算以及面积相等的点的存在性问题． （1）利用顶点横坐标为和公式求出参数进而得到抛物线表达式； （2）先求点A和B的坐标，确定直线方程；将直线向上平移m个单位后与抛物线联立，利用判别式求m的范围； （3）先求对称轴与直线的交点D及顶点计算；设点P坐标，利用面积公式列方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）∵抛物线顶点横坐标为， ∴由顶点公式，其中即 ∴ ∴抛物线表达式为 ． （2）当时，即 解得或（舍去）， 故． 当时，故． 设直线的方程为 将点与点代入得 ∴直线的方程为． 向上平移m个单位后，直线方程为． 与抛物线联立： 整理得： 抛物线与直线有交点时，， 解得，又 ， ∴m 的取值范围为． （3）抛物线对称轴为． 直线当时，故． 顶点当故． 点． 设在抛物线上，． 如图， 情况1：过点C作的平行线，与抛物线交于点P，此时， 因，且，故可设直线的解析式为，将点代入求得，即的解析式为， 联立抛物线方程， 解得：或， ∴点P坐标为. 情况2：过点E作的平行线，交抛物线于点与，因， ∴直线向下平移到直线的距离等于直线向下平移到直线的距离， 当过点时，代入 ∴解析式为， 联立， 整理得：， 解得：， 即点的横坐标是，点的横坐标是. 综上所述，存在点横坐标为. 15．综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线与x轴的另一个交点为点，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线于点E，点F． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是x轴上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标； (3)当时，求点P的坐标； (4)在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，则的最小值为______． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【来源】2024年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试题 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊三角形问题(二次函数综合)、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）先根据题意确定点A、C的坐标，然后运用待定系数法求解即可； （2）分三种情况分别画出图形，然后根据等腰三角形的定义以及坐标与图形即可解答； （3）先证明可得，设，则,可得，即，求得可得m的值，进而求得点P的坐标； （4）如图：将线段向右平移单位得到,即四边形是平行四边形，可得,即，作关于对称轴的点,则，由两点间的距离公式可得，再根据三角形的三边关系可得即可解答． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点C， ∴当时，，即；当时，，即； ∵， ∴设抛物线的解析式为， 把代入可得：，解得：， ∴， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：∵，， ∴, ∴， 如图：当， ∴,即； 如图：当， ∴,即； 如图：当， ∴,即； 综上，点D的坐标为． （3）解：如图：∵轴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴, ∴, ∵设，则, ∴， ∴，解得：， 当时，， ∴． （4）解： ∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线的对称轴为：直线， 如图：将线段向右平移单位得到, ∴四边形是平行四边形， ∴,即, 作关于对称轴的点,则 ∴, ∵， ∴的最小值为． 故答案为． 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，正方形的边长为或 【来源】2025年四川省资阳市中考数学试题 【知识点】面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作轴，垂足为点，设，则：，，根据与的面积相等，推出，列出方程进行求解即可； （3）存在点，使四边形为正方形，如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，设，设直线解析式为，与二次函数解析式联立，消去得到关于的一元二次方程，利用根与系数关系表示出，由为等腰直角三角形，得到，若四边形为正方形，得到，求出的值，进而确定出的长，即为正方形边长． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，得：， ∴， ∴； （2）当时，解得：， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 作轴，垂足为点，设，则：， ∴， ∵与的面积相等， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； ∴； （3）存在点，使四边形为正方形， 如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，， 由（2）可知，直线的解析式为， 设，直线解析式为， 联立得：， 消去得：， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ∵四边形为正方形， ∴， ， 整理得：， 解得：或， 正方形边长为， 或．即正方形的边长为或． 【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理以及一次函数与二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 17．已知抛物线与轴交于点，．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，抛物线与轴交于点，点为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设面积为，面积为，求的值； (3)如图，点是抛物线对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，，过抛物线顶点作直线轴，点是直线上一动点．求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【来源】2024年四川省南充市中考数学试题 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、利用二次函数对称性求最短路径、求一次函数解析式、面积问题(二次函数综合) 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）设，直线为，求出，直线为，求出，联立方程组得，，再根据，即可求解； （）设直线为，由得，得，设，，联立直线与抛物，得，根据根与系数的关系可得：，，作点关于直线的对称点，连接，则有，过点作于F，则，则，，根据勾股定理得，根据二次函数的性质，即可求出最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ，               解得， ∴抛物线的解析式为； （2）设，直线为，据题意得， ，解得， ∴， 联立得， 解得或， ∴， 设，直线为，据题意得， ，解得， ∴， 联立得， 解得或， ∴，                   ，    ， ∴； （3）设直线为，由得， ∴， ∴，             设，， 联立直线与抛物线， 得， ， 根据根与系数的关系可得：，， 作点关于直线的对称点，连接，    由题意得直线，则， ∴， 过点作于F，则． 则，，              在中， ，                                               即当时，，此时， 此时直线为，符合不与对称轴重合， 故的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，根的判别式，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 18．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为．    (1)求此抛物线的函数解析式． (2)点是直线上方抛物线上一个动点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作轴的垂线，垂足为点，请探究是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此时点的坐标；若没有最大值，请说明理由． (3)点为该抛物线上的点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为，点的坐标为 (3)点的坐标为或 【来源】2024年四川省广安市中考数学试题 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）直接利用抛物线的交点式可得抛物线的解析式； （2）先求解，及直线为，设，可得，再建立二次函数求解即可； （3）如图，以为对角线作正方形，可得，与抛物线的另一个交点即为，如图，过作轴的平行线交轴于，过作于，则，设，则，求解，进一步求解直线为：，直线为，再求解函数的交点坐标即可. 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． ∴； （2）解：当时，， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 设， ∴， ∴ ； 当时，有最大值； 此时； （3）解：如图，以为对角线作正方形， ∴， ∴与抛物线的另一个交点即为， 如图，过作轴的平行线交轴于，过作于，则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设，则， ∴, ∴， 由可得： ∴， 解得：， ∴， 设为：， ∴，解得：， ∴直线为：， ∴， 解得：或， ∴， ∵，，，正方形， ∴， 同理可得：直线为， ∴， 解得：或， ∴， 综上：点的坐标为或. 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线的性质，正方形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 19．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求的函数值的取值范围； (3)将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，点为抛物线的对称轴上一动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)的最小值为： 【来源】2024年四川省德阳市中考数学试题 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）直接利用待定系数法求解二次函数的解析式即可； （2）求解的对称轴为直线，而，再利用二次函数的性质可得答案； （3）求解，，可得，求解直线为，及，证明在直线上，如图，过作于，连接，过作于，可得，，证明，可得，可得，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵的对称轴为直线，而， ∴函数最小值为：， 当时，， 当时，， ∴函数值的范围为：； （3）解：∵， 当时，， ∴， 当时， 解得：，， ∴， ∴， 设直线为， ∴， ∴， ∴直线为， ∵拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点，而顶点为， ∴， ∴在直线上， 如图，过作于，连接，过作于， ∵，， ∴，， ∵对称轴与轴平行， ∴， ∴， ∴， 由抛物线的对称性可得：，， ∴， 当三点共线时取等号， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为：． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，利用轴对称的性质求解线段和的最小值，锐角三角函数的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键． 20．已知抛物线（m，n为常数）过点． (1)若该抛物线与y轴交于点． ①求该抛物线的解析式； ②已知在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围； (2)若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于两点，求的长． 【答案】(1)①抛物线的解析式为；②或； (2) 【来源】 2025年山东省德州市中考数学真题 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查二次函数综合运用，熟练掌握函数与方程和不等式的关系，是解决本题的关键． （1）①代入点坐标，利用待定系数法求解析式； ②根据解析式，计算出对称点，利用函数图象增减性，找到横坐标关系，列出不等式，计算即可求解； （2）把代入解析式，找到和的关系，根据对于任意实数，都有，得出对任意实数都成立，根据函数恒成立问题结合题意得出，求出的值，再计算出交点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：①∵抛物线过点和， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； ②抛物线的对称轴为， ∴关于对称轴的对称点， ∵对于，都有， ∴或， 解得或； （2）解：∵抛物线过点， ， 则， ∵对于任意实数，都有， ∴对任意实数都成立， ， ∴， ， ∴抛物线解析式为， 联立抛物线与直线， 得， 解得， ∴交点的横坐标分别为和， ． 21．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方． (1)求抛物线的解析式； (2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标； (3)如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或（3，4） (3)存在， 【来源】 2022年福建省中考数学真题 【知识点】面积问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）待定系数法求得直线AB的解析式为，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N．过点B作BE⊥PM，垂足为E．可得 ，设，则．由，解方程求得的值，进而即可求解； （3）由已知条件可得，进而可得 ，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点，可得，设，，则，根据可得，根据 ，根据二次函数的性质即可求的最大值． 【详解】（1）解：（1）将A（4，0），B（1，4）代入， 得， 解得． 所以抛物线的解析式为． （2）设直线AB的解析式为， 将A（4，0），B（1，4）代入， 得， 解得． 所以直线AB的解析式为． 过点P作PM⊥x轴，垂足为M，PM交AB于点N． 过点B作BE⊥PM，垂足为E． 所以 ． 因为A（4，0），B（1，4），所以． 因为△OAB的面积是△PAB面积的2倍， 所以，． 设，则． 所以， 即， 解得，． 所以点P的坐标为或（3，4）． （3） 记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．则 如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别，交于点，过作的平行线，交于点 ， ， 设 直线AB的解析式为． 设，则 整理得 时，取得最大值，最大值为 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，相似三角形的性质与判定，第三问中转化为线段的比是解题的关键． 22．如图1，抛物线交x轴于O，两点，顶点为．点C为的中点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点C作，垂足为H，交抛物线于点E．求线段的长． (3)点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形． ①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标； ②如图3，连接，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)①② 【来源】2024年甘肃省武威市中考数学试题 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊四边形(二次函数综合)、线段问题(轴对称综合题) 【分析】（1）根据顶点为．设抛物线，把代入解析式，计算求解即可； （2）根据顶点为．点C为的中点，得到，当时，，得到．结合，垂足为H，得到的长． （3）①根据题意，得，结合四边形是平行四边形，设，结合点F落在抛物线上，得到，解得即可； ②过点B作轴于点N，作点D关于直线的对称点G，过点G作轴于点H，连接，，，利用平行四边形的判定和性质，勾股定理，矩形判定和性质，计算解答即可． 【详解】（1）∵抛物线的顶点坐标为． 设抛物线， 把代入解析式，得， 解得， ∴． （2）∵顶点为．点C为的中点， ∴， ∵， ∴轴， ∴E的横坐标为1， 设， 当时，， ∴． ∴． （3）①根据题意，得， ∵四边形是平行四边形， ∴点C，点F的纵坐标相同， 设， ∵点F落在抛物线上， ∴， 解得，(舍去)； 故． ②过点B作轴于点N，作点D关于直线的对称点G，过点G作轴于点H，连接，，， 则四边形是矩形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， 故当三点共线时，取得最小值， ∵， ∴的最小值，就是的最小值，且最小值就是， 延长交y轴于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故的最小值是． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，中点坐标公式，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，利用轴对称的性质求线段和的最小值，熟练掌握平行四边形的性质，轴对称的性质是解题的关键． 23．在平面直角坐标系中，抛物线经过点，顶点为；抛物线，顶点为． (1)求抛物线的表达式及顶点的坐标； (2)如图1，连接，点是拋物线对称轴右侧图象上一点，点是拋物线上一点，若四边形是面积为12的平行四边形，求的值； (3)如图2，连接，点是抛物线对称轴左侧图像上的动点（不与点重合），过点作 交轴于点，连接，求面积的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【来源】2024年山东省济南市中考数学试卷 【知识点】面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移 【分析】（1）利用待定系数法求解出抛物线的解析式，再转化为顶点式，即可得到顶点坐标； （2）连接，过点作 轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，设点的横坐标为．设直线的表达式为，解方程组得到直线的表达式为，则，求得，求得于是得到，解方程得到，根据平移的性质得到，将代入，解方程即可； （3）过作轴，垂足为，过点作 轴，过点作 轴，与交于点，设且，求得抛物线的顶点，得到，推出，解方程得到当时，，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：抛物线过点 得 解得 抛物线的表达式为 顶点； （2）解：如图，连接，过点作 轴，交延长线于点，过点作，垂足为，与轴交于，设点的横坐标为． 设直线的表达式为 由题意知 解得 直线的表达式为 的面积为12 ， ， 解得（舍） 点先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点 将代入 得 解得． （3）解：如图，过作轴，垂足为，过点作 轴，过点作 轴，与交于点，设且 抛物线的顶点 ， 易得 当时， 点横坐标最小值为，此时点到直线距离最近，的面积最小 最近距离即边上的高，高为： 面积的最小值为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，平移的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确地找出辅助线是解题的关键． 24．已知二次函数的图像经过，两点，其中a，b，c为常数，且． (1)求a，c的值； (2)若该二次函数的最小值是，且它的图像与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． ①求该二次函数的解析式，并直接写出点A，B的坐标； ②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P，过点P作x轴的垂线，垂足为D，与直线交于点E，连接，，．是否存在点P，使？若存在，求此时点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①该二次函数的解析式为：；， ②存在，P点横坐标为：或或 【来源】2024年山东省济宁市中考数学试题 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、求一次函数解析式 【分析】（1）先求得，则可得和关于对称轴对称，由此可得，进而可求得； （2）①根据抛物线顶点坐标公式得，由此可求得，进而可得抛物线的表达式为，进而可得，； ②分两种情况进行讨论：当点P在点A右侧时，当点P在点A左侧时，分别画出图形，求出点P的坐标即可． 【详解】（1）解：∵的图像经过， ∴， ∴和关于对称轴对称， ∴， ， ， ∴，． （2）解：①∵，， ∴， ∵， ∵解得， ∵，且， ∴， ∴， ∴该二次函数的解析式为：， 当时，， 解得，， ∴， ． ②设直线的表达式为：， 则， 解得， ∴直线的表达式为：， 当点P在点A右侧时，作于F，如图所示： 设，则，， 则， , ， ∵，，， ∴ ， ∵， ， 解得：，， ∴点P横坐标为或； 当点P在点A左侧时，作于F，如图所示： 设，则，， 则， , ， ∵，，， ∴ ， ∵， ， 解得：，（舍去）， ∴点P横坐标为， 综上所述，P点横坐标为：或或． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，二次函数与几何综合，利用待定系数法求二次函数和一次函数的表达式．熟练掌握“三角形面积水平宽铅锤高”是解题的关键． 25．抛物线与直线交于两点（在的左边）． (1)求两点的坐标． (2)如图1，若是直线下方抛物线上的点．过点作轴的平行线交抛物线于点，过点作轴的平行线交线段于点，满足，求点的横坐标． (3)如图2，经过原点的直线交抛物线于两点（点在第二象限），连接分别交轴于两点．若，求直线的解析式． 【答案】(1) (2)2或 (3) 【来源】2025年湖北省武汉市初中毕业生学业水平考试数学试卷 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合)、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的交点问题，二次函数综合，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）联立两函数解析式，并求出对应的解即可得到答案； （2）设，则，，可得，，根据，可得，解方程即可得到答案； （3）设，设直线解析式为，利用待定系数法可得，进而可得；求出直线解析式为，得到，同理可得，进一步可得，则，根据，可得，据此可得，，，即直线解析式为． 【详解】（1）解：联立，解得或， ∴； （2）解：设， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为y轴， ∵轴，轴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 解得或（舍去）或或（舍去）， ∴点P的横坐标为2或； （3）解：设， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（此时的面积相等，不符合题意）， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴， ∴直线解析式为． 26．如图1，抛物线分别与x轴，y轴交于A，两点，M为的中点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，过点M作的垂线，交于点C，交抛物线于点D，连接，求的面积； (3)点E为线段上一动点（点A除外），将线段绕点O顺时针旋转得到． ①当时，请在图2中画出线段后，求点F的坐标，并判断点F是否在抛物线上，说明理由； ②如图3，点P是第四象限的一动点，，连接，当点E运动时，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)①，在抛物线上② 【来源】2025年甘肃省武威市/嘉峪关市/临夏州中考真题数学试题 【知识点】面积问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点的坐标，进而得到点的坐标，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，求出点的坐标，根据的面积进行求解即可； （3）①根据要求作图即可，连接，作于点，证明，得到，，进而得到为等腰直角三角形，求出点坐标，将点的横坐标代入抛物线的解析式，判断点是否在抛物线上即可； ②连接并延长，交轴于点，连接，作于点，斜边上的中线得到，根据，得到当三点共线时，最小，同①可知，，得到点在射线上运动，进而得到当时，即与点重合时，最小，此时最小为，易得为等腰直角三角形，求出的长，进而求出的长，易得为等腰直角三角形，求出的长，根据最小为，计算即可． 【详解】（1）解：把，代入，得： ， 解得：， ∴； （2）当时，则：， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴， ∵点M作的垂线，交于点C，交抛物线于点D， ∴，， ∴， ∴的面积； （3）①由题意，作图如下： 连接，作于点， 由（2）可知：， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 对于，当时，， ∴点在抛物线上； ②连接并延长，交轴于点，连接，作于点，如图， ∵，为的中点， ∴， ∵， ∴当三点共线时，最小， 同①可得，， ∴点在射线上运动， ∴当时，即与点重合时，最小，此时最小为， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行解题，确定动点的位置，是解题的关键． 27．如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图2，连接，过点C作与抛物线相交于另一点D． ①求点D的坐标； ②如图3，点E，F为线段上两个动点（点E在点F的右侧），且，连接，．求的最小值． 【答案】(1) (2)①，②5 【来源】2025年四川省德阳市中考数学试题 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】（1）利用两点式求解抛物线解析式； （2）①延长与x轴相交于点G，证明是等腰直角三角形，从而得到点坐标，求出直线的解析式，联立抛物线解析式求解即可；②过点O作，且，连接，，设交轴为点，然后证明四边形是平行四边形，根据，得出时，最小，进一步求出即可． 【详解】（1）解：在二次函数的图象上，设该二次函数为， ， ． （2）解：①把代入， 得， 如图，延长与x轴相交于点G． ， ． ， ． ， ． ， ， ． 设直线的解析式为：，把代入， 得解得， 直线的解析式为：， 点D是直线与二次函数的交点， 联立解析式， 解得或， ． ②如图，过点O作，且，连接，，设交轴为点． ，且， 四边形是平行四边形， ． ， ． 为等腰直角三角形， ， ，， ， ． ， 当时，最小． ， ． 此时D、E、H三点共线且轴， 点F的坐标为与点C重合，满足在线段上． 的最小值为5． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，二次函数与一次函数交点问题，二次函数与特殊四边形问题，两点之间线段最短，勾股定理，解题的关键是添加适当的辅助线，通过数形结合的思想求解； 28．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交x轴于点，B两点，交y轴于点C．    (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点D，过点P作y轴的平行线交直线于点E，求周长的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)周长的最大值，此时点 (3)以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形时或或 【来源】2023年重庆市中考数学真题（A卷） 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）把、代入计算即可； （2）延长交轴于，可得，进而得到，，求出的最大值即可； （3）先求出平移后的解析式，再设出M，N的坐标，最后根据菱形的性质和判定计算即可． 【详解】（1）把、代入得，， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）延长交轴于，    ∵过点P作于点D，过点P作y轴的平行线交直线于点E， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时周长的最大 ∵抛物线的表达式为， ∴， ∴直线解析式为， 设，则 ∴， ∴当时最大，此时 ∵周长为， ∴周长的最大值为，此时， 即周长的最大值，此时点； （3）∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，可以看成是向右平移2个单位长度再向下平移一个单位长度， ∴平移后的解析式为，此抛物线对称轴为直线， ∴设， ∵， ∴，，， 当为对角线时，此时以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形 ∴与互相平分，且 ∴，解得 ∵中点坐标为，中点坐标为， ∴，解得， 此时； 当为边长且和是对角线时，此时以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形 ∴与互相平分，且 ∴，解得 ∵中点坐标为，中点坐标为， ∴，解得， 此时或； 同理，当为边长且和是对角线时，此时以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形 ∴和互相平分，且 ，此方程无解； 综上所述，以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形时或或； 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，相似三角形的性质与判定，菱形的性质及应用，中点坐标公式等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度． 29．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，．； (2)． (3)能，边上的顶点的坐标为，或． 【来源】2025年四川省绵阳市 中考 数学真题试卷 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）求得点A，C坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；利用抛物线的解析式令，解方程即可求得点B在横坐标；利用配方法即可求得点D的坐标； （2）利用勾股定理及其逆定理得到，延长至点，使，连接，交直线于点P，利用轴对称的性质可得，B关于直线对称，此时的周长最小，过点作轴于点E，利用三角形的中位线定理得到点坐标，利用待定系数法求得直线的解析式为，再与直线联立即可求得点P坐标； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①设与交于点K，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得其面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可；②顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得据的面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可． 【详解】（1）解：中， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∵抛物线经过A，B，C三点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． 令，则， ∴，或， ∴． ∵ ∴顶点； （2）∵，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 延长至点，使，连接，交直线于点P，如图， 则，B关于直线对称，此时的周长最小， 过点作轴于点E， ∵轴，轴， ∴ ， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴． （3）在内部能截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． ①如图，顶点E，F，G，H在各边上，设与交于点K， 设， ∵四边形为矩形，， ∴四边形，为矩形，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形EFGH的面积取得最大值为． ∴， ∵， ∴H为的中点， ∴． 同理，点G为的中点， ∴． ②如图，顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合， 设， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形的面积取得最大值为． ∴， ∴点G为的中点， ∵， ∴为的中位线， ∴ ∴， ∴． 综上，在内部能截出面积最大的矩形(顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，配方法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，轴对称的性质，分类讨论的思想方法，矩形的性质，直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 30．如图，一条抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)问在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)将射线绕点逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点，再将抛物线沿直线平移，得到一条新的抛物线（其顶点为）．设这两条抛物线的交点为． ①求旋转角度的正切值； ②当时，求原抛物线平移的距离． 【答案】(1) (2)或 (3)①3；②抛物线的平移距离为 【来源】2025年山东省淄博市中考数学试题 【知识点】解直角三角形的相关计算、角度问题(二次函数综合)、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）求出点坐标，作的中垂线交轴于点，连接，则：，得到，设，则：，勾股定理求出的值，进而得到点坐标，求出直线的解析式，作，得到，求出直线的解析式，联立直线和抛物线的解析式求出点坐标，再根据对称性，求出满足题意的另一个点的坐标即可； （3）①求出直线的解析式，根据题意，得到旋转角为，作，交轴于点，作于点，则：，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，等积法求出的长，勾股定理求出的长，再利用正切的定义进行求解即可； ②设抛物线沿着水平方向和竖直方向均移动个单位，根据平移规则求出新的抛物线的解析式，求出点的坐标，联立两个抛物线的解析式求出点坐标，作轴，交的延长线于点，证明，列出比例式求出的值，进而求出平移距离即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴相交于，两点，将两点坐标代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的表达式， （2）∵， ∴当时，， ∴， 作的中垂线交轴于点，连接，则：， ∴， ∴， ∵， ∴，， 设，则：， 在中，由勾股定理，得， 解得， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴， 过点作，交轴于点，交抛物线于点，则：， 设直线的解析式为，把代入，得，解得， ∴， 联立， 解得或， ∴； ∵， ∴当时，， ∴， 作点关于轴的对称点，连接，则：，， ∴直线与抛物线的交点也满足题意， 同法可得：直线的解析式为， 联立，解得或， ∴； 综上：或； （3）①∵， ∴， ∵， 同法可得直线的解析式为， 由题意，即为旋转角，作，交轴于点，作于点，则：， ∴， 同法可得直线的解析式为， ∴当时，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②将抛物线沿直线平移，等同于将抛物线沿直线平移， ∵， ∴抛物线在水平方向和竖直方向上的移动距离相等， 设将抛物线向右和向上分别平移个单位，得到新的抛物线，则新抛物线的解析式为， ∴， 联立， 解得：， ∴， 作轴，交的延长线于点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）或（舍去）； ∴抛物线在水平方向和竖直方向的平移距离均为， ∴抛物线的平移距离为； 当抛物线沿直线向下移动时，同理可得抛物线的平移距离为； 综上：抛物线的平移距离为． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解直角三角形，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数图象的平移等知识点，综合性强，难度大，属于中考压轴题，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 31．抛物线与x轴交于，B两点，N是抛物线顶点． (1)求抛物线的解析式及点B的坐标． (2)如图1，抛物线上两点，，若，求m的值． (3)如图2，点，如果不垂直于y轴的直线l与抛物线交于点G，H，满足．探究直线l是否过定点？若直线l过定点，求定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在定点 【来源】2025年四川省南充市中考真题数学试题 【知识点】解直角三角形的相关计算、待定系数法求二次函数解析式、角度问题(二次函数综合)、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】（1）把代入，求出抛物线的解析式，令，即可求解； （2）设直线为，设点，，可得且，即可求解； （3）设直线解析式，直线与抛物线相交于点，，与抛物线解析式联立可得，，．作，，，，，．根据，可得，从而得到，进而得到，继而得到，再由直线不垂直于轴，可得，从而得到直线解析式，即可求解． 【详解】（1）解：把代入， ． 抛物线的解析式为， 令，则， 解得，， ； （2）解：∵，N是抛物线顶点， ∴， 设直线的解析式为， ，， ∴，解得：， 直线的解析式为， ， 可设直线为， 设点，， 且． 解得：． （3）解：存在定点满足条件． 设直线解析式，直线与抛物线相交于点，， ， ． ，，． 作，，，，，． ， ． 即， ， ， ． ． ． ， 直线不垂直于轴， ， ， ， 直线解析式， 无论为何值，，， ∴过定点，故存在定点． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、一次函数和二次函数交点问题等知识．利用数形结合思想解答是解题的关键． 32．已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且，． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记，的面积分别为，，求的最大值； (3)如图2，连接，点E为线段的中点，过点E作交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【来源】2024年四川省资阳市中考数学试题 【知识点】面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）先求点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出的解析式，设，则：，将转化为二次函数求最值即可； （3）易得垂直平分，设，勾股定理求出点坐标，三线合一结合同角的余角相等，推出，分别作点关于轴和直线的对称点，直线，与抛物线的交点即为所求，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 把，，代入函数解析式得： ∴，解得：； ∴； （2）∵，， ∴设直线的解析式为：，把，代入，得：， ∴， 设，则：， ∴，，， ∴， ∴ ， ∴当时，的最大值为； （3）存在： 令， 解得：， ∴， ∵，点为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ①取点关于轴的对称点，连接，交抛物线与点，则：，， 设的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：（舍去）或， ∴； ②取关于的对称点，连接交于点，连接交抛物线于点， 则：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点作轴，则：，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：（舍去）或， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，中垂线的判定和性质，等积法求线段的长，坐标与轴对称，勾股定理，解直角三角形，等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于中考压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 33．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线．    (1)直接写出点的坐标； (2)在对称轴上找一点，使的值最小．求点的坐标和的最小值； (3)第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．依题意补全图形，当的值最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点，的最小值为 (3) 【来源】2023年宁夏回族自治区中考数学真题 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）根据抛物线的对称性，进行求解即可； （2）根据抛物线的对称性，得到，得到当三点共线时，的值最小，为的长，求出直线的解析式，解析式与对称轴的交点即为点的坐标，两点间的距离公式求出的长，即为的最小值； （3）根据题意，补全图形，设，得到，，将的最大值转化为二次函数求最值，即可得解． 【详解】（1）解：∵点关于对称轴的对称点为点，对称轴为直线， ∴点为； （2）当时，， ∴， 连接，      ∵， ∴， ∵点关于对称轴的对称点为点， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，为的长， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， ∵点在抛物线的对称轴上， ∴； ∴点，的最小值为； （3）过点作轴，垂足为，连接交于点，如图所示，      ∵， 设抛物线的解析式为：， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 由（2）知：直线：， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，此时． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用抛物线的对称性以及数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 34．在平面直角坐标系中，正方形的顶点，在轴上，，．抛物线与轴交于点和点．    (1)如图1，若抛物线过点，求抛物线的表达式和点的坐标； (2)如图2，在（1）的条件下，连接，作直线，平移线段，使点的对应点落在直线上，点的对应点落在抛物线上，求点的坐标； (3)若抛物线与正方形恰有两个交点，求的取值范围． 【答案】(1)，； (2)； (3)或 【来源】2023年山东省济南市中考数学真题 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(二次函数综合)、求不等式组的解集、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）将点，代入抛物线，利用待定系数法求出抛物线的表达式，再令，求出值，即可得到点的坐标； （2）设直线的表达式为，将点，代入解析式，利用待定系数法求出直线的表达式为：，设点，根据平移的性质，得到点，将点P代入，求出的值，即可得到点的坐标； （3）根据正方形和点C的坐标，得出，，，将代入，求得，进而得到顶点坐标，分两种情况讨论：①当抛物线顶点在正方形内部时，②当抛物线与直线交点在点上方，且与直线交点在点下方时，分别列出不等式组求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线过点， ，解得：， 抛物线表达式为， 当时，， 解得：（舍去），， ； （2）解：设直线的表达式为， 直线过点，， ，解得：， 直线的表达式为：， 点在抛物线上， 设点， ，，且由平移得到， 点向左平移2个单位，向上平移3个单位得到点，   点在直线上， 将代入， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， 当时， 点坐标为； （3）解：四边形是正方形，， ，， ， 点A和点D的横坐标为，点B和点C的横坐标为2， 将代入，得：， ， 顶点坐标为， ①如图，当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点，    ，解得：； ②如图，当抛物线与直线交点在点上方，且与直线交点在点下方时，与正方形有两个交点，   ，解得：， 综上所述，的取值范围为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，平移的性质，函数图像上点的坐标特征，抛物线与直线交点问题，解一元二次方程，解一元一次不等式组等知识，利用分类讨论的思想，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 35．抛物线交轴于两点（在的左边），交轴于点．    (1)直接写出三点的坐标； (2)如图（1），作直线，分别交轴，线段，抛物线于三点，连接．若与相似，求的值； (3)如图（2），将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点．直线与抛物线交于两点，过的中点作直线（异于直线）交抛物线于两点，直线与直线交于点．问点是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)的值为2或 (3)点在定直线上 【来源】2023年湖北省武汉市数学真题 【知识点】利用相似三角形的性质求解、相似三角形问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象的平移 【分析】（1）令，解一元二次方程求出值可得、两点的坐标，令求出值可得点坐标，即可得答案； （2）分和两种情况，利用相似三角形的性质分别列方程求出值即可得答案； （3）根据平移的性质可得解析式，联立直线与解析式可得点坐标，即可得出中点的坐标，设，利用待定系数法可得直线的解析式为，同理得出直线的解析式为，联立两直线解析式可得，设点在直线上，把点代入，整理比较系数即可得出、的值即可得答案，也可根据点的纵坐标变形得出横坐标与纵坐标的关系，得出答案． 【详解】（1）∵抛物线解析式为， ∴当时，， 解得：，， 当时，， ∴，，． （2）解：是直线与抛物线的交点， ， ①如图，若时， ， ∴ ， ∴， 解得，（舍去）或． ②如图，若时．过作轴于点． ， ∴， ∴， ， ， ∴ ， ∴，， ， ∴， 解得，（舍去）或．    综上，符合题意的的值为2或． （3）解：∵将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点， ∴， ∵直线的解析式为， ∴联立直线与解析式得：， 解得：（舍去），， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 设，直线的解析式为， 则， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵直线经过点， ∴ 同理，直线的解析式为；直线的解析式为． 联立，得， 解得：． ∵直线与相交于点， ． 设点在直线上，则，① 整理得，， 比较系数得：， 解得：， ∴当时，无论为何值时，等式①恒成立． ∴点在定直线上． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数综合、二次函数图象的平移及相似三角形的性质，正确作出辅助线，熟练掌握待定系数法求函数解析式及相似三角形的性质是解题关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数压轴题-考前必刷35题 1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B(6,0)两点，与y轴 交于点C,抛物线的对称轴是直线X= 5 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是射线BC下方抛物线上的一动点，连接OP与射线BC交于点Q,点D,E为抛物线 对称轴上的动点（点E在点D的下方），且DE=4,连接BD,PE.当P巴取得最大值时， o0 求点P的坐标及BD+PE的最小值： ③)准(2)中P巴取得最大值的条件下，将抛物线y=X+bx+c沿射线BC方向平移22个 00 单位长度得到抛物线y,点M为点P的对应点，点N为抛物线y上的一动点.若 ∠NAB=∠OPM-45°，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐 标的其中一种情况的过程. 试卷第1页，共3页 2.已知抛物线y=x2-ax+5(a为常数)经过点1,0. (I)求a的值 (2)过点A0,t与x轴平行的直线交抛物线于B,C两点，且点B为线段AC的中点，求t的 值. (3)设m<3<n 抛物线的一段 段y=X-aX+5(m≤X≤n夹在两条均与x轴平行的直线，l 之间.若直线l1,l2之间的距离为16，求n-m的最大值. 试卷第2页，共3页 3.如图，在平面直角坐标系中，抛物 y=aX2+bx+4a≠0经过点-1,6”与y轴交于 点C,与x轴交于A,B两点(A在B的左侧)，连接AC,BC,tan∠CBA=4. B 备用图 ()求抛物线的表达式： (2)点P是射线CA上方抛物线上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为E,交AC于点D 点M是线段DE上一动点，MN⊥y轴，垂足为N,点F为线段BC的中点，连接 AM,NF.当线段PD长度取得最大值时，求AM+MN+NF的最小值： (3)将该抛物线沿射线CA方向平移，使得新抛物线经过(2)中线段PD长度取得最大值时 的点D,且与直线AC相交于另一点K.点Q为新抛物线上的一个动点，当 ∠QDK=∠ACB时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标. 试卷第3页，共3页 4.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx过点-1,3，且对称轴为直线 X=1,直线y=x-k与抛物线交于A,B两点，与x轴交于点C. 备用图 (1)求抛物线的函数表达式： 2当k=1时，直线AB与y轴交于点D,与直线x=2交于点E.若抛物线y=(X-h}-1与 线段DE有公共点，求h的取值范围： (3)过点C与AB垂直的直线交抛物线于P,Q两点，M,N分别是AB,PQ的中点.试探究： 当k变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点T,使得TC总是平分∠MTN？若存在，求 出点T的坐标；若不存在，请说明理由. 试卷第4页，共3页 5.已知抛物 y=ax2+bx+ca,b,c为常数，a>0的顶点为p:且2a+b=0对 称轴与x轴相交于点D,点Mm,1在抛物线上，m>1,O为坐标原点. (1)当a=1,C=-1时，求该抛物线顶点P的坐标： ②当OM=OP=时，求a的值： 2 (3)若N是抛物线上的点，且点N在第四象限，∠MDN=90°，DM=DN,点E在线段 MN上，点F在线段DN上，NE+NF=V2DM,当DE+MF取得最小值为V15时，求a 的值. 试卷第5页，共3页 6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A-1,0,B两点，交y 轴于点C,抛物线的对称轴是直线x .5 0 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是直线BC下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PDx轴交抛物线于点D,作 PE⊥BC于点E,求PD+5 PE的最大值及此时点P的坐标： B将抛物线沿射线BC方向平移5个单位，在PD+5PE取得最大值的条件下，点F为 2 点P平移后的对应点，连接AF交y轴于点M,点N为平移后的抛物线上一点，若 ∠NMF-∠ABC=45°，请直接写出所有符合条件的点N的坐标. 试卷第6页，共3页 7.如图，在平面直角坐标 x0y中，抛物线L:y=aX-2ax-3aa>0与x轴交于A,B 两点（点A在点B的左侧），其顶点为C,D是抛物线第四象限上一点， 备用图 (1)求线段AB的长： (2)当a=1时，若△ACD的面积与△ABD的面积相等，求tan∠ABD的值： (3)延长CD交x轴于点E,当AD=DE时，将△ADB沿DE方向平移得到△AEB.将抛 物线L平移得到抛物线L,使得点A,B都落在抛物线L上.试判断抛物线L与L是否交于 某个定点，若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由 试卷第7页，共3页 8.如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A,B两点（点A在点B左侧），与y轴交于 点C,OA=2,OB=6,D是直线BC上方抛物线上一动点，作DF⊥AB交BC于点E,垂 足为点F,连接CD Y 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)设点D的横坐标为t, ①用含有t的代数式表示线段DE的长度： ②是否存在点D,使△CDE是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标： 若不存在，请说明理由： (3)连接OE,将线段OE绕点O按顺时针方向旋转90°得到线段OG,连接AG,请直接写出 线段AG长度的最小值， 试卷第8页，共3页 9.如图，在平面直角坐标系中，二次函 y=ax2+bx+ca0的图像经过原点和点 A4,0.经过点A的直线与该二次函数图象交于点B1,3,与y轴交于点C. B 4 (I)求二次函数的解析式及点C的坐标： (2)点P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时，过点P作PE⊥x轴于点E, 与直线AB交于点D,设点P的横坐标为m, ①m为何值时线段PD的长度最大，并求出最大值： ②是否存在点P,使得△BPD与△AOC相似.若存在，请求出点P坐标：若不存在，请 说明理由. 试卷第9页，共3页 10.在平面直角坐标系 0y中，点p2,-3在二次函数y=aX+bx-31a>0的图像上. 记该二次函数图像的对称轴为直线x=m. (1)求m的值； (2)若点Qm,-4在y=ax2+bx-3的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度， 得到新的二次函数的图像.当0≤x≤4时，求新的二次函数的最大值与最小值的和： y=aX+x-3的图像与x轴交点为x1,0X,0X1<x,若4<X,X1<6求。的 (3) 取值范围。 试卷第10页，共3页 11.如图，在平面直角坐标系xOy中，己知抛物线y=ax2+bx+3经过点A3,0,与y轴 交于点B,且关于直线X=1对称. (1)求该抛物线的解析式： (2)当-1≤x≤t时，y的取值范围是0≤y≤2t-1,求t的值： (3)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D,在y 轴上是否存在点E,使得以B,C,D,E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的 边长；若不存在，说明理由 试卷第11页，共3页 12.如图1，抛物线y=ax2+kx-3与x轴交于点A-3,0和点B1,0,与y轴交于点C. 点D是抛物线的顶点， B M D D 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图2，连接AC,DC,直线AC交抛物线的对称轴于点M,若点P是直线AC上方抛物 线上一点，且SAPMC=2S△DMC,求点P的坐标： (3)若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N,A,C为顶点的三 角形是等腰三角形，若存在，请直接写出满足条件的点N的坐标：若不存在，请说明理由 试卷第12页，共3页 13.抛物线y=号X+2X-5交X轴于A,B两点(A在B的右边)，交y轴于点C. 2 P (1) (2) (1)直接写出点A,B,C的坐标； (2)如图(1)，连接AC,BC,过第三象限的抛物线上的点P作直线PQ‖AC,交y轴于 点Q.若BC平分线段PQ,求点P的坐标： (3)如图(2)，点D与原点O关于点C对称，过原点的直线EF交抛物线于E,F两点（点E 在X轴下方)，线段DE交抛物线于另一点G,连接FG.若∠EGF=90°，求直线DE的解 析式 试卷第13页，共3页 14.如图，抛物线y=ax2-2x+3与x轴负半轴交于点A,与y轴交于点B,顶点C的横坐 标为-1. YA 图1 图2 (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线AB沿y轴向上平移mm>0个单位长度，当它与抛物线有交点时，求m 的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线AB于点D,交x轴于点E,连接AC.抛物线上是否存在 点P(不与点C重合)，使得SAAD=SACAD.若存在，直接写出点P的横坐标：若不存在， 说明理由. 试卷第14页，共3页 15.综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，己知直线y=X-2与x轴交于点A,与y 轴交于点C,过A,C两点的抛物 y=ax2+bx+ca0与x轴的另一个交点为点 B(-1,0),点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行 线，分别交直线AC于点E,点F B\C 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)点D是x轴上的任意一点，若△ACD是以AC为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐 标； (3)当EF=AC时，求点P的坐标： (4)在(3)的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足 为M,连接NA,MP,则NA+MP的最小值为· 试卷第15页，共3页 16.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与X轴相交于A,B两点（点A在点B的左边），与 y轴相交于点C0,-3,且抛物线的顶点坐标为1，-4. B B 备用图 (1)求抛物线的表达式： 2)p是抛物线上位于第四象限的一点，点D0,-1?连接BC,DP相交于点E'连接PB 若△CDE与△PBE的面积相等，求点P的坐标： )M,N是抛物线上的两个动点，分别过点M,N作直线BC的垂线段，垂足分别为G,H 是否存在点M,N,使得以M,N,G,H为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的 边长；若不存在，说明理由 试卷第16页，共3页 17.已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A-1,0,B3,0. G E A 0 B 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，抛物线与y轴交于点C,点P为线段OC上一点（不与端点重合），直线PA, PB分别交抛物线于点E'D设△PAD面积为S,'△PBE面积为S,:求S的值： S2 (3)如图2，点K是抛物线对称轴与x轴的交点，过点K的直线（不与对称轴重合）与抛物线 交于点M,N,过抛物线顶点G作直线x轴，点Q是直线上一动点.求QM+QN的最小 值 试卷第17页，共3页 18.如图，抛物线y=-乙X+bx+c与X轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点A坐标为 3 （-1,0),点B坐标为(3,0). B (1)求此抛物线的函数解析式. (2)点P是直线BC上方抛物线上一个动点，过点P作X轴的垂线交直线BC于点D,过点P作 y轴的垂线，垂足为点E,请探究2PD+PE是否有最大值？若有最大值，求出最大值及此 时P点的坐标：若没有最大值，请说明理由. (3)点M为该抛物线上的点，当∠MCB=45时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标. 试卷第18页，共3页 19.如图，抛物线y=x2-x+c与x轴交于点A-1,0和点B,与y轴交于点C. B (1)求抛物线的解析式； (2)当0<x≤2时，求y=x2-X+c的函数值的取值范围： ③)将抛物线的顶点向下平移3个单位长度得到点M,点P为抛物线的对称轴上一动点，求 PA+5 5 M的最小值. 试卷第19页，共3页 20.已知抛物 y=x2+2m+3x+n(m,n为常数)过点1,5” (1)若该抛物线与y轴交于点0，-1. ①求该抛物线的解析式； ②已知AX,y,B2,y,在该抛物线上，若对于3t-1<X<3t+2都有y>y2求，的 取值范围： (2)若对于任意实数x都有x2+2m+3X+n≥3X+2此时抛物线y =x2+2m+3x+n 与直线y=4交于M,N两点，求MN的长. 试卷第20页，共3页 21.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx经过A(4,0),B(1,4)两点. P是抛物线上一点，且在直线AB的上方. y个 B D 0外 1 (1)求抛物线的解析式： (2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标： (3)如图，OP交AB于点C,PD‖BO交AB于点D.记△CDP,△CPB,△CBO的面积分 别为5，'S,S,判断S+是否存在最大值。若存在，求出最大值：若不存在，请说明 S2 S3 理由. 试卷第21页，共3页 22.如图1，抛物线y=ax-2+k交x轴于0，A4,0两点，顶点为B2,23点C为 OB的中点. B 图1 图2 图3 (1)求抛物 y=a(x-h)P+k的表达式： (2)过点C作CH⊥OA,垂足为H,交抛物线于点E.求线段CE的长， (3)点D为线段OA上一动点(O点除外)，在OC右侧作平行四边形OCFD, ①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标； ②如图3，连接BD,BF,求BD+BF的最小值. 试卷第22页，共3页 23.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1y=X2+bx+c经过点A0,2,B2,2顶点为D: 抛物线C2:y=X2-2mx+m2-m+2m≠1顶点为Q 图1 图2 (1)求抛物线C1的表达式及顶点D的坐标： (2)如图1，连接AD,点E是抛物线C1对称轴右侧图象上一点，点F是抛物线C2上一点， 若四边形ADFE是面积为12的平行四边形，求m的值 (3)如图2，连接BD,DQ,点M是抛物线C1对称轴左侧图像上的动点（不与点A重合）， 过点M作MN‖DQ交轴于点N,连接BN,DN,求△BDN面积的最小值. 试卷第23页，共3页 24.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过0，-3，-b,c两点，其中a,b,c为常数， 且ab>0. YA 备用图 (I)求a,c的值： (2)若该二次函数的最小值是-4，且它的图像与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧)， 与y轴交于点C. ①求该二次函数的解析式，并直接写出点A,B的坐标： ②如图，在y轴左侧该二次函数的图像上有一动点P,过点P作x轴的垂线，垂足为D,与 直线AC交于点E,连接PC'CB'BE是否存在点P使S△PCE=?若存在，求此时点 SACBE 8 P的横坐标；若不存在，请说明理由 试卷第24页，共3页 25.抛物线y=X-3与直线y=X交于A,B两点(A在B的左边). 4 (1) (2) (1)求A,B两点的坐标. (2)如图1，若P是直线AB下方抛物线上的点.过点P作x轴的平行线交抛物线于点M,过 点P作y轴的平行线交线段AB于点N,满足PM=PN,求点P的横坐标. (3)如图2，经过原点O的直线CD交抛物线于C,D两点（点C在第二象限），连接 AC,BD分别交X轴于E,F两点.若SA DOF= SAoE,求直线CD的解析式， 4 试卷第25页，共3页 26如图1推物线y-ax+引X-4a≠0分别与：镇y前交于小B0,-4两应，M 为OA的中点. B 图1 图2 图3 (1)求抛物线的表达式； (2)连接AB,过点M作OA的垂线，交AB于点C,交抛物线于点D,连接BD,求△BCD 的面积： (3)点E为线段AB上一动点（点A除外），将线段OE绕点O顺时针旋转90°得到OF ①当AE=V2时，请在图2中画出线段OF后，求点F的坐标，并判断点F是否在抛物线上， 说明理由： ②如图3，点P是第四象限的一动点，∠OPA=90°，连接PF,当点E运动时，求PF的 最小值. 试卷第26页，共3页 27.如图1，在平面直角坐标系中，己知二次函数y=-x+bx+c的图象与x轴交于点 A-1,0,B3,0,与y轴交于点C. A B B 图1 图2 图3 (I)求抛物线的函数解析式： (2)如图2，连接BC,过点C作CD⊥BC与抛物线相交于另一点D. ①求点D的坐标： ②如图3，点E,F为线段BC上两个动点（点E在点F的右侧），且EF=2,连接OF, DE.求OF+DE的最小值. 试卷第27页，共3页 28.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2过点1,3，且交x轴于点 A-1,0,B两点，交y轴于点C. (I)求抛物线的表达式： (2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D,过点P作y轴的平 行线交直线BC于点E,求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标： (3)在(2)中△PDE周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB方向平移V5个单位 长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点.在平面内确定一点N,使得以点A,P, M,N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标 的其中一种情况的过程. 试卷第28页，共3页 29.如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+2与x轴交于点A,与y轴交于点C,点B在 y轴右侧的x轴上，抛物线y=aX2+ x+c(a0)经过A,B,C三点，顶点为D. (备用图) (I)求抛物线的解析式及点B,D的坐标： (2)点P在直线AC上运动，当△BDP的周长最小时，求点P的坐标： (3)探究在△ABC内部能否截出面积最大的矩形EFGH(顶点E,F,G,H在△ABC各边 上)？若能，求出此时矩形在AB边上的顶点的坐标若不能，请说明理由. 试卷第29页，共3页 30.如图，一条抛物线y=aX2+bx+与x轴相交于A-1,0,B15,0两点，与y轴相交于 点C D (1)求抛物线对应的函数表达式： 2)向在抛物线上是否存在点P,使得∠ABC=号∠PAB?若存在，求出点P的坐标；若不 存在，说明理由： (3)将射线CB绕点C逆时针旋转一定角度，使其恰好经过抛物线的顶点D,再将抛物线沿直 线CD平移，得到一条新的抛物线（其顶点为M).设这两条抛物线的交点为Q ①求旋转角度的正切值； ②当∠CQM=90°时，求原抛物线平移的距离. 试卷第30页，共3页 31.抛物线y=aX2+2ax-15a≠0与x轴交于A3,0,B两点，N是抛物线顶点. 4 M (图1) (图2) (1)求抛物线的解析式及点B的坐标. 2如图1，抛物线上两点pm,y,'Qm+2,y,若PQBN:求m的值. (3)如图2，点M-1,-5,如果不垂直于y轴的直线1与抛物线交于点G,H,满足 ∠GMN=∠HMN.探究直线1是否过定点？若直线l过定点，求定点坐标：若不过定点， 请说明理由 试卷第31页，共3页 32.已知平面直角坐标系中，0为坐标原点，抛物线y=-x2+bx+c5x轴交于A,B两 2 点，与y轴的正半轴交于C点，且B4,0,BC=42. A A 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接PB,PC,过点P作PD⊥x轴于点 D,交BC于点K.记△PBC,△BDK的面积分别为S1,S2,求S1-S2的最大值： (3)如图2，连接AC,点E为线段AC的中点，过点E作EF⊥AC交x轴于点F.抛物线上 是否存在点Q,使∠QFE=2∠OCA？若存在，求出点Q的坐标：若不存在，说明理由. 试卷第32页，共3页 33.如图，抛物线 y=aX2+bx+3(a≠0)卢x轴交于A'B两点，与y轴交于点C:已知点 A的坐标是-1,0，抛物线的对称轴是直线x=1. B 备用图 (1)直接写出点B的坐标： (2)在对称轴上找一点P,使PA+PC的值最小.求点P的坐标和PA+PC的最小值： (3)第一象限内的抛物线上有一动点M,过点M作MN⊥X轴，垂足为N,连接BC交MN 于点Q.依题意补全图形，当MQ+V2CQ的值最大时，求点M的坐标 试卷第33页，共3页 34.在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A,B在x轴上，C(2,3,D-1,3. 抛物 y=aX2-2ax+ca<0与x轴交于点E-20和点F B B (1)如图1，若抛物线过点C,求抛物线的表达式和点F的坐标： (2)如图2，在(1)的条件下，连接CF,作直线CE,平移线段CF,使点C的对应点P落 在直线CE上，点F的对应点Q落在抛物线上，求点Q的坐标： (3)若抛物 y=aX2-2ax+ca<0与正方形ABCD恰有两个交点，求。的取值范围. 试卷第34页，共3页 35.抛物线C1y=X2-2X-8交x轴于A,B两点（A在B的左边)，交y轴于点C° M G H 衣 (1) (2) (1)直接写出A,B,C三点的坐标： (2)如图(1)，作直线x=t(0<t<4,分别交x轴，线段BC,抛物线C1于D,E,F三点， 连接CF.若△BDE与△CEF相似，求t的值： (3)如图(2)，将抛物线C1平移得到抛物线C2,其顶点为原点.直线y=2x与抛物线C2交 于O,G两点，过OG的中点H作直线MN(异于直线OG)交抛物线C2于M,N两点，直线 MO与直线GN交于点P.问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式：若不是， 请说明理由. 试卷第35页，共3页