压轴题专项突破(3) 二次函数与几何综合题-【名师学案】2026年中考数学复习堂堂清

压轴题专项突破（三）二次函数与几何综合题 考情分析 二次函数的综合题是各地均考查的题型，此类题目综合性强、计算量大、难度较高.常见题 型有8类：(1)二次函数与线段问题；(2)二次函数与面积问题；(3)二次函数与特殊三角形问 题；(4)二次函数与特殊四边形问题；(5)二次函数与角度问题；(6)二次函数与相似三角形问 题；(7)二次函数与图形的平移、旋转问题；(8)二次函数与图形区域字母取值范围问题等.解题 时，需认真分析图象，运用数形结合思想，选择合适的方法解答： 类型一二次函数与线段问题 【方法指导】(1)将点A和，点B坐标代入抛物 ③解题策略 线的解析式得出方程组，解方程组，进而得 解决线段最值问题分两种类型：(1)解决平 出结果； 行于坐标轴的线段的最值问题，先构建线段长 (2)先求出直线BC的解析式，进而表示出 度关于某点横坐标x的函数关系式，再利用二 DE的长； 次函数的性质求最值；(2)解决不与坐标轴平行 (3)可求∠BOC=45°，根据DE∥y轴得 的线段的最值问题，多借助等角的三角函数或 ∠DEC=45°，再利用三角函数构建DF与 相似三角形转化，得到该线段与平行于坐标轴 点D横坐标t的二次函数关系式，然后利用 的线段的关系式构建新函数，然后利用二次函 二次函数的性质求DF的最大值. 数的性质求最值 【解答】解：(1)y=x2-x-2; 【例1】(2024·东营改编)如图，在平面直角 (2)设直线BC的函数解析式为：y=mx+n, 坐标系中，已知抛物线y=x2十bx十c与x =-2, n=-2, 轴交于A(一1,0)，B(2,0)两点，与y轴交于 2m十n=0. m=1. 点C,点D是抛物线上的一个动点 ∴.y=x-2.∴.E(t,t-2). (1)则抛物线的解析式是 D(t,t-t-2), (2)当点D在直线BC下方的抛物线上时， ∴.l=(t-2)-(t2-t-2)=-t2+2t(0<t<2); 过点D作y轴的平行线交BC于点E, (3)OC=OB=2,∴.△OBC是等腰直角三角 设点D的横坐标为t,DE的长为U,请写 形 出1关于t的函数解析式，并写出自变量 ,DE∥y轴，∴.∠DEC=∠OCB=45. t的取值范围； .DF⊥BC,由(2)知D(t,t2-t-2),l=-P+2t, (3)过点D作DF⊥BC于F,求DF的最大 D-号DE-=号+i=号-1+号 值及点D的坐标 ∠0 2 二当1=1时，DF有最大值 二，此时D点坐标为 (1,-2). 222 对点/训练 类型二二次函数与面积问题 ③解题策略 1.(2020·荆门)如图，抛物线L:y= 求三角形面积的关键是找出计算面积所需 4x一3与x轴正半轴交于点A,与y轴交 要的底和高，对于无法利用点的坐标确定三角 形的底边和高的长时，常用的解决办法有分割 于点B. 法、补形法、铅垂法.铅垂法：即过抛物线上的某 (1)直线AB的解析式是 一点作坐标轴的垂线，利用经过抛物线、直线上 抛物线顶点坐标是 的点来表示线段长度；割补法：即将所求图形通 (2)点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线 过分割或补形，使之成为一个规则图形，然后构 上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为 建其面积与某点横坐标的函数解析式. C,PC交AB于点D,求PD+BD的最大 【例2】(2023·荆州)已知：y关于x的函数 值，并求出此时点P的坐标 y=(a-2)x2+(a+1)x+b. (1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点， 且a=4b,则a的值是 (2)如图，若函数的图象为抛物线，与x轴有 两个公共点A(一2,0)，B(4,0),与y轴 交于点C,并与动直线l:x=m(0<m< 4)交于点P,连接PA,PB,PC,BC,其中 PA交y轴于点D,交BC于点E.设 △PBE的面积为S,△CDE的面积为S2. ①当点P为抛物线顶点时，求△PBC的 面积； ②探究直线L在运动过程中，S1一S2是 否存在最大值？若存在，求出这个最大 值；若不存在，说明理由 【方法指导】(1)y关于x的函数应分一次函 数与二次函数两种情况，其中二次函数应分 为①与x轴有两个交点且一个交点为原点； ②与x轴有一个交点，与y轴有一个交点两 种情况讨论； (2)①如图，设直线l与BC交于点F,待定 223 系数法求得抛物线的解析式为y=一x2十2x 此时y=一 9+x-16 3 十8，当x=0时，y=8,得到C(0,8),P(1, 9),求得直线BC的解析式为y=一2x十8， 当x=0时，y= 16 得到F(1,6),根据三角形的面积公式即可 与y轴的交点坐标为0，一， 得到结论； ②如图，设直线x=m交x轴于H,由①得， 当y=0时，一号+子x一。-0，解得= OB=4,AO=2,AB=6,OC=8,AH=2+ 1 m,P(m,-m2+2m+8),得到PH=-m2十 61 2m十8，根据相似三角形的性质得到OD=8 云与x轴的交点坐标为（合0 一2，根据二次函数的性质即可得到结论. 综上所述，若y关于x的函数y=(a-2)x2+(a 【解答】解：(1)①当a-2=0时，即a=2时， +1)x十b的图象与坐标轴有两个交点，则a可 y关于x的函数解析式为y=3x十2 取的值为2,0，一4 此时y=3x十号与x辅的交点坐标为(-号0 故答案为；2或0或 1 与y轴的交点坐标为(0,2)： (2)①设直线（与BC交于点F, 2a+b=10, a=1, ②当a一2≠0时，y关于x的函数为二次函数， 根据题意，得 解得 20a+b=28, b=8. ,二次函数图象抛物线与坐标轴有两个交点， ∴.抛物线的解析式为y=一x2+2x十8， .抛物线可能存在与x轴有两个交点，其中一 当x=0时，y=8,.C(0,8). 个交点为坐标原点或与x轴有一个交点与y轴 .y=-x2+2x+8=-(x-1)2+9, 一个交点两种情况， 点P为抛物线顶点，，P(1,9), 当抛物线与x轴有两个交点且一个为坐标原点 .B(4,0),C(0,8), 时， ∴.直线BC的解析式为y=-2x十8. 由题意，得b=0,此时a=0,抛物线为y=一2x .F(1,6),∴.PF=9-6=3. 十x, 1 当y=0时，一2x2+x=0,解得1=0，x2=2· ∴△PBC的面积=0B:PF=号×4X3=6: ②S1一S2存在最大值， :其图象与x轴的交点坐标为(0,0)，(20)， 理由：设直线x=m交x轴于H, 当抛物线与x轴有一个交点与y轴有一个交点 由①得，OB=4,AO=2,AB=6,OC=8,AH=2 时， 十m,P(m,-m2+2m+8), 由题意，得y=(a-2)x2+(a十1)x+b所对应的 ∴.PH=-m2+2m+8, 一元二次方程(a-2)x2+(a十1)x十b=0有两 .OD∥PH, 个相等实数根 .△AOD∽△AHP, ∴9-器g异nmn0m8 .2 OD ∴4=(a+102-4(a-2)xa=0. ,∴.OD=8-2m, 解得a=一子 :'S1=S△PAB一S△MD一S四边形m0B, 224 S2=S△0BC一S四边形D0B: .S1-S2=S△PAB 6(-m2+2m+8)_2(8-2m2_4X8=-3+ 2 2 2 8m=一3(m- 4)2+16 3 4 -3<0,0<m<4当m=3时，S-S,存在 类型三二次函数与特殊三角形问题 最大值，最大值为号 (一)直角三角形问题 对点训练 ③解题策略 2.(2024·硚口区模拟节选)如图，抛物线y 解决直角三角形问题有两种方法.方法一： =一x2一2x十3与x轴相交于A,B两点 若要求的点在直线上，一般利用两点之间的距 离公式，先求出两点间的距离，再利用勾股定理 (点A在点B的左侧)，与y轴相交于点 构建方程确定点的坐标.在这种解法中需要根 C,连接AC 据直角顶点的不同做分类讨论；方法二：“改斜 (1)直接写出直线AC的解析式； 归正”法，往往借助直角顶点构建一线三等角模 (2)如图，D在第二象限内抛物线C1上， 型形成相似三角形来解决（直角顶点在抛物线 BD交AC于点E,连接BC,若mE 上时应用较多、在直线上也可以运用)，在构建 S△CBE 一线三垂直时，往往是以直角顶点构造平行于x =求点D的坐标。 轴或平行于y轴的直线所构成的三角形相似解 决问题。 【例3】(2021·随州节选)在平面直角坐标 系中，抛物线y=ax2十bx十c与x轴交于点 A(一1,0)和点B,与y轴交于点C,顶点D 的坐标为(1，一4). (1)直接写出抛物线的解析式； (2)如图1，M是直线BC上一个动点，过点 M作MN⊥x轴交抛物线于点N,Q是 直线AC上一个动点，当△QMN为等腰 直角三角形时，直接写出此时点M及其 对应点Q的坐标. 图1 225 【方法指导】(1)根据顶点的坐标，设抛物线 3 的解析式为y=a(x-1)2一4，将点A(-1, 0)代入，求出a即可得出答案； M,(9学.Q(-号含 33 (2)利用待定系数法求出直线AC解析式为 ②当△QMN是以MQ为斜边的等腰直角三角 y=-3.x一3，直线BC解析式为y=x一3，再 形时，此时∠MNQ=90°，MN=NQ,如图3， 分以下三种情况：①当△QMN是以NQ为 Q/x轴，∴Q2,f-2-3 斜边的等腰直角三角形时，②当△QMN是 以MQ为斜边的等腰直角三角形时，③当 NQ=t-二+241=|+t, 3 3 △QMN是以MN为斜边的等腰直角三角 r-=号r+ 形时，分别画出图形结合图形进行计算即 解得t=0(舍)或t=5或t=2, 可. .M(5,2),Q3(-5,12); 【解答】解：(1)顶点D的坐标为(1，一4)， M(2,-1),Q(0,-3) .设抛物线的解析式为y=a(x一1)2一4， ③当△QMN是以MN为斜边的等腰直角三角 将点A(-1,0)代入，得0=a(-1-1)2-4, 形时，此时∠MQN=90°，MQ=NQ,如图4， 解得a=1, 过点Q作QH⊥MN于H,则MH=HN, .y=(x-1)2-4=x2-2x-3, ,06出，， ,∴.该抛物线的解析式为y=x2一2x一3； (2)设直线AC解析式为y=m1x十n1,直线BC QH=1t-二1=f+5, 6 解析式为y=2x十n2, .MQ=NQ,∴.MN=2QH, ,A(-1,0),C(0,-3), 厂%+=0, ar-3别=2x日r+5 11=-3, 解得 解得t=0(舍)或t=7或t=1. m1=-3, m1=-3. ∴.M(7,4),Qē(-7,18)； .直线AC解析式为y=一3x一3， M(1,-2),Q5(0,-3): B(3,0),C(0,-3), 综上所述，点M及其对应点Q的坐标为： 32十12=0，. 2=1, 解得 M号台.Q(音台M号 2=-3, 2=-3. ,.直线BC解析式为y=x一3， Q(-13.4 9,3):M(5,2),Q(-5,12): 设M(t,t3),则N(t,t2-2t-3), M(2,-1),Q4(0,-3);M(7,4),Q(-7,18); ∴.MN=|t2-2t-3-(t-3)=t-3t, M6(1,-2),Q6(0,-3). ①当△QMN是以NQ为斜边的等腰直角三角 形时，此时∠NMQ=90°，MN=MQ,如图2， MQ/x轴，Q(-,1-3 ÷r-3=-（-f-3=± 解得=0（合）或1=号或=号 5 图2 图3 图4 226 对点/训练 (二)等腰三角形问题 3.(2024·十堰模拟节选)已知抛物线y= ③解题策略 三边中有两两相等形成“两边相等”，即为 ar2+c6与x轴交于A,0).B(8,0 等腰三角形，常见解答方式有两种：一是题目中 两点，与y轴交于点C,直线y=kx一6经 已知一边，则可以通过“两圆一线”确定图形的 过点B,点P在抛物线上，设点P的横坐 具体位置，具体做法为：把这一边作腰长，以此 标为m. 线段的两端点分别为圆心，此线段长为半径画 (1)填空：a= ,k= ,t= 圆得出点的大致位置，或是以这一边为底作此 (2)如图，连接AC,AP,PC,若△APC是 线段的垂直平分线得出符合条件点的位置，构 以CP为斜边的直角三角形，求点P 建几种不同的等腰三角形，再结合图形的特殊 的坐标. 性解决问题.二是题目中要求在x轴（或y轴、 或抛物线的对称轴、或某条直线)上找一点使三 角形成为等腰三角形，此时最简单的方法是“两 条线段长相等，则这两条线段的平方相等”，步 骤是先设待求点的坐标，借助任意两点间的距 离公式AB=√(x1一x2)2十(y一y)尸，构建三 个方程即可求出点的坐标，这种方法简单易行， 但计算量较大（多适用于所求的点在直线上；当 点在抛物线上时可以消掉高次项，计算量太大 不提倡，往往从形的特征出发构建全等三角形 等方式解决). 【例4】(2023·随州节选)如图1，平面直角 坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx十c过点 A(-1,0),B(2,0)和C(0,2),连接BC,点 P(m,n)(m>0)为抛物线上一动点，过点P 作PN⊥x轴交直线BC于点M,交x轴于 点N (1)直接写出抛物线和直线BC的解析式； (2)如图2，连接OM,当△OCM为等腰三角 形时，求m的值. 图 图2 【方法指导】(1)由题得抛物线的解析式为y =a(x+1)(x一2)，将点C坐标代入求a,进 而得到抛物线的解析式；设直线BC的解析 227 式为y=kx十t,将B,C两点坐标代入求解 (1)如图，若A(0,√3)，抛物线的对称轴为 即可得到直线BC的解析式；(2)由题可得 直线x=3.求抛物线的解析式，并直接 M坐标，分别求出OC,OM,CM,对等腰三角 写出y≥√3时x的取值范围； 形OCM中相等的边进行分类讨论，进而列 (2)在(1)的条件下，若P为y轴上的点，C 方程求解 为x轴上方抛物线上的点，当△PBC 【解答】解：(1)：抛物线y=ax2十bx+c过点 为等边三角形时，求点P,C的坐标. A(-1,0),B(2,0), ∴.抛物线的解析式为y=a(x十1)(x-2) 将点C(0,2)代入，得2=-2a, a=-1. .抛物线的解析式为y=一(x+1)(x一2)，即y =-x2十x+2. 设直线BC的解析式为y=k.x十t, 将B(2,0),C(0,2)代人，得 2k+t=0,,k=-1, 解得 t=2, t=2. .直线BC的解析式为y=一x+2: (2),点M在直线BC上，且P(m,n), ∴.点M的坐标为(m,一m十2)， C(0,2),.OC=2. .CMP=(m-0)2+(-m+2-2)2=2m2,OM =m2+(-m+2)2=2n2-4m十4， 当△OCM为等腰三角形时， ①若CM=OM,则CMP=OMP, 即2n2=2m2-4m十4，解得m=1； ②若CM=OC,则CMP=OC, 即2m=4,解得m=√2或m=一√2（舍去）. ③若OM=OC,则OP=OC, 即2m2-4m+4=4, 解得m=2或m=0(舍去). 综上所述，m=1或m=√2或m=2. 对点/训练 4.(2023·恩施州节选)在平面直角坐标系 xOy中，O为坐标原点，已知抛物线y= 号r十b:十c与y轴交于点A,抛物线 的对称轴与x轴交于点B. 228 ∴.A(-2,0),B(4,0),C(0,-8)； Bx (2).F是直线x=t与抛物线 C1的交点， ∴.F(t,t-2t-8). ①如图，若△BED1∽△CEF1 时， 则∠BCF1=∠CBO,.CF1∥OB. .C(0,-8),.t-2t-8=-8. 解得t=0(舍去)或t=2. ②如图，若△BE,D,∽△F,E2C时. 过F2作FzT⊥y轴于点T ,∠BCF2=∠BD2E2=90°， ,∴.∠CBO+∠BCO=90°，∠F,CT+∠BCO= 90°.∴.∠F,CT=∠OBC 又∠CTF2=∠BOC,∴.△BCO∽△CF,T. 类型四相似三角形问题 ..FT_CT ”COBO 【例5】(2023·武汉节选)抛物线y=x2 2x一8交x轴于A,B两点(A在B的左边)， .B(4,0),C(0,-8),.OB=4,OC=8. .F2T=t,CT=-8-(t2-2t-8)=2t-t, 交y轴于点C. (1)直接写出A,B,C三点的坐标； “- 42.·2r-31=0. (2)如图，作直线x=t(0<t<4),分别交x 解得1=0（合去）度一是 轴，线段BC,抛物线C,于D,E,F三点， 连接CF,若△BDE与△CEF相似，求t 综上，符合题意的1的值为2或号 的值. 【方法指导】(1)分别令x,y为0，解方程即可 对点/训练 求得点A,B,C的坐标； 5.(2024·宜昌模拟节选)已知抛物线y (2)分两种情况：①若△BED1C∽△CEF a.x2+bx+c(a≠0)过A(-1,0),B(3,0), 时，可得∠BCF=∠CBO,由平行线的判定 C(0,3)三点. 可得CF1∥OB,即CF1∥x轴，点F与C的 (1)求抛物线的解析式； 纵坐标相同，建立方程求解即可；②若 (2)如图，在BC上方的抛物线上有一点 △BE2D2n△F2EC时，过F2作F2T⊥y轴 P,连接OP交BC于点Q,当得的值 于点T,可证得△BCOn△CP工， 最大时，求点P的坐标. 品后21，解方程即可求得答案。 8 【解答】解：(1)当y=0时，x2一2x-8=0, 解得x1=一2，x2=4, 当x=0时，y=一8， 229 【解答】解：1)：抛物线y=一是：+6：十c经 过点B(4,0),C(0,2) 厂8+6+c=0, b= 3 解得 2 c=2. c=2. ∴抛物线解析式为：y= 22+3 1 x+2. :抛物线y=一之x+bx十c与x轴交于A, B(4,0)两点， 90时，-+号+8=80 1 解得x1=一1，x2=4. 类型五二次函数与角度问题 ∴A(-1,0)..OB=4,OC=2, ③解题策略 在R△C0B中，tm∠ABC-%-是-号 (1)等角问题通常转化为相似三角形问题 或利用等角的三角函数相等解决；(2)解决角度 故容案为：号2，(-1,0，号 的倍分关系，通常构造倍角，构造时注意根据题 (2)过点C作CD∥x轴，交BP于点D,过点P 目中角的边的位置与角所在的三角形的边易求 作PE∥a轴，交y轴于点E, 程度，选择是在已知角处构造倍角还是在未知 角处构造倍角.一般用三角函数解决较为快捷， :A0-1.c-2.0B=4∴m∠0CA-8号 也可利用相似三角形构建方程. 由(1)可得，tan∠ABC=2,即an∠OCA= 【例6】(2023·黄孝咸节选)已知抛物线y tan∠ABC,∴.∠OCA=∠ABC 2x+bx十c与x轴交于A,B(4,0)两 .∠PCB=2∠OCA,∴.∠PCB=2∠ABC. CD∥x轴，EP∥x轴， 点，与y轴交于点C(0,2).点P为第一象限 ∴.∠ABC=∠DCB,∠EPC=∠PCD. 抛物线上的点，连接CA,CB,PB,PC ∴.∠EPC=∠ABC 又∠PEC=∠BOC=90°， △P器-哭 设点P坐标为，-f+号+2，则EP=, 3 (1)直接写出结果：b= EC=- 2十 2+2-2=-1+3 2 ,点A的坐标为 1 3 2 tan∠ABC= 2 (2)如图，当∠PCB=2∠OCA时，求点P的 解得t=0(舍)，t=2, 坐标. ∴点P坐标为(2,3) 230 类型六，特殊四边形（平行四边形）问题 线C的对称轴上是否存在点E,使以A, ○解题策略 C,D,E为顶点的四边形是平行四边形？ 平行四边形的存在性问题的解决方法分两 若存在，求点E的坐标；若不存在，请说 类：一是平移法；二是中点法 明理由. 平移法：是借助于“一组对边平行且相等的 四边形是平行四边形”以及平移的性质确定平 行四边形的方法，它适用于大部分的四边形存 在性问题，但必须知道两个点的坐标十另外两 点的大致位置十未知两点中的一个点半个坐标 【方法指导】(1)由根与系数的关系可得xA十 (俗称两个半点)，使四边形为平行四边形，可以 xB=一2，再由xB一xA=4,分别求出A(一3， 借助“平移的性质”，对应两点向左向右平移（平 0),B(1,0),将B,点代入y=ax2+2ax+3, 移到特定的位置时，如：平移到对称轴或是y 即可得函数的解析式； 轴)的距离相等求横坐标，再代入抛物线的解析 (2)设D(d,-d-2d+3),E(-1,e),根据 式求纵坐标.平移法必须要画出存在的平行四 边形的各种情况才能较好地解决，容易漏解， 平行四边形的对角线性质，分两种情况讨论 中点法：是借助于“对角线互相平分且相等 即可求解. 的四边形是平行四边形”，比如：已知若以AC, 【解答】解：(1)当y=0时，a.x2+2a.x+3=0, BD为对角线时，利用对角线互相平分且相等即 .+IB=-2.AB=4,.B-A=4. 对角线的交点即为对角线的中点，由中点的公 .xg=1,xA=-3. 式：已知A(x1,y1),B(x2,y2),则中点坐标为 .A(-3,0),B(1,0) (白2，””)，若以四点作平行四边形，则 将B点代入y=a.x2+2ax+3, 2 ∴.a+2a十3=0.解得a=-1. 对角线的交点必是两条线段的中点，利用四个 ∴.抛物线的解析式为y=一x2一2x十3； 点的坐标可以描述中点坐标，进一步可以推出 (2)存在，理由如下： 工A十xe=r十0'已知共中的三个点的横坐 y=-x2-2x十3=-(x+1)2+4, yA十yc=yB十yD, ∴.抛物线的对称轴为直线x=一1. 标或纵坐标时总可以求出另一个点的横坐标或 设D(d,-d-2d+3),E(-1,e), 纵坐标，再代入特定的条件（在抛物线上，或在 ①当AC是对角线时，x十xe=xD十xE,yA+yC 直线上)从而可以求出需要点的坐标，一般分三 种情况讨论，即以AC,BD为对角线，或以AB, =yb十yE, .∴.-3+0=d+(-1),0+3=-d2-2d+3+e. CD为对角线，或以AD,BC为对角线三种情况 讨论，通过方程实现求解可得要求的点的坐标， 解得d=-2,e=0.,∴，E(-1,0) 简单高效。 ②当AD是对角线时，xA十xD=xC十xE,y十yD =ye十yE, 【例7】(2024·武汉模拟)如图，抛物线C:y ∴.-3+d=0+(-1),0+(-d-2d+3)=3+e. =ax2+2ax+3交x轴于A,B两点，交y轴 解得d=2,e=-8..E(-1,-8): 于C点，且AB=4. 综上所述，点E的坐标为(-1,0)或(1，一8). (1)直接写出抛物线C的解析式； (2)D在第二、四象限的抛物线C上，在抛物 231 对点/训练 类型七与图形变换有关的问题 【例8】(2021·黄孝咸节选)已知抛物线y= 6.(2022·随州节选)如图，平面直角坐标系 ax2十bx一3与x轴相交于A(-1,0), xOy中，抛物线y=ax2+bx十c(a<0)与 B(3,0)两点，与y轴交于点C,点N(n,0)是 x轴分别交于点A和点B(1,0),与y轴 x轴上的动点. 交于点C,对称轴为直线x=一1，且OA= (1)求抛物线的解析式； OC,P为抛物线上一动点. (2)如图，将直线BC绕点B顺时针旋转，它 (1)此抛物线的解析式为 恰好经过线段OC的中点，然后将它向上 (2)设M为抛物线对称轴上一动点，当P, M运动时，在坐标轴上是否存在点N, 平移号个单位长度，得到直线OB. 使四边形PMCN为矩形？若存在，直 ①tan∠BOB1= 接写出点P及其对应点N的坐标；若 ②当点N关于直线OB1的对称点V1落 不存在，请说明理由. 在抛物线上时，求点N的坐标 【解答】解：(1)设抛物线 的解析式为y=a(x x1)(x-x2), 则y=a(x-3)(x+1) ax?-2ax-3a, 故-3a=-3,解得a=1, 故抛物线的解析式为y=x2-2x一3； (2)D设0C的中点为R0,一多 由B,R的坐标得，直线BR的解析式为 1 3 y=2x-2' 则将它向上平移三个单位长度，得到直线OB, 此时函数的解析式为y= 1 x,(i) 故tan∠BOB,=2,故答案为： ②设线段NN1交OB,于点H,则OB,是NN 的中垂线， :1an∠BOB,=则an∠N,NB=2, ,直线NN1过点N(n,0) 故直线NN1的解析式为y=-2(x-n),(i) 417 5 联立(i)(iⅱ)并解得 2n 51 232 故点H的坐标为（智号· (2)求k1,k2的值（用含n的代数式表示）： (3)当一4≤n≤4时，探究k1与k2的大小 点H是NN1的中点， 关系 由巾点坐标公式，得点N的坐标为(，智。 【解答】解：(1)，y=-(x十 将点N1的坐标代入抛物线解析式，得 4)(x-n), 智-(-2×-3 令M=0,-(x+4)(x-n)=0, ..x1=一4，x2=n. 解得n=25±1013 ∴.A(-4,0): 9 (2)y1=-(x+4)(x-n)=-x2+(n-4)x+4= 故点N的坐标为(5+10 9 ,0)或 (”'++2m+4, 25-10√/13 9 ,0). 56=7+2m十 .y=-(x+2m)2-n2+2n+9, ,∴.k2=-n2+21+9: 类型八二次函数与图形区域字母取值 范围 84--w-5 (一)二次函数中限定自变量的取值范围及 ①当-5>0时，可得m>2或K-2, 函数值的范围，求所给范围中的待定字母的 即当-4≤n<-2或2<n≤4时，k1>k2: 值或待定字母的取值范围问题 ②当2-5<0时，可得-2<1<2， ○解题策略 即当一2<1<2时，1<k2; 解题时，可以分两步解决：(1)判断顶点的 横坐标是否在自变量的取值范围内；若顶点在 ③当2-5=0，可得n=2或n=-2, 自变量的取值范围内时，要考虑左端点与右端 即当n=2或n=一2时，k1=k2 点与对称轴的远近问题，距对称轴越近越容易 有最大值或最小值，然后把对应值代入函数解 析式求值.【特别要注意当两点纵坐标相等时， 根据“（左端点横坐标十右端点横坐标）=对 称轴”】；(2)若对称轴不在取值范围内时，则需 要分别在对称轴的左右两边，利用增减性的不 对点/训练 同，得出不同的对应x,y值代入解析式求解. 7.(2022·湖北联考节选)如图，在平面直角 【例9】(2021·宜昌节选)在平面直角坐标 坐标系中，已知抛物线y=x2一2x一3的 系中，抛物线y=一(x十4)(x一n)与x轴 顶点为A,与y轴交于点C,线段CB∥x 交于点A和点B(n,0)(n≥一4)，顶点坐标 轴，交该抛物线于另一点B. 记为(h1,k1).抛物线y2=-(x十2n)2-n2十 (1)则点B的坐标是 ,直线 2m十9的顶点坐标记为(h2,k2). AC的解析式是 (1)写出A点坐标； (2)当二次函数y=x2一2x一3的自变量x 233 满足m≤x≤m十2时，此函数的最大 (1)则点B的坐标是 ,直线AC的 值为力，最小值为q,且p一q=2,求m 解析式是 的值. (2)平移抛物线y=x2一2x一3，使其顶点始 终在直线AC上移动，当平移后的抛物线 与射线BA只有一个公共点时，设此时 抛物线的顶点的横坐标为n,请直接写出 n的取值范围， 【解答】解：(1)，y=x2- 2.x3 =(x-1)2-4, 顶点A(1,-4). 令x=0,则y=一3， ∴.C(0,3).CB∥x轴，.B(2,-3) 设直线AC的解析式为y=k,x+b, :+6=-4, k=一1 解得 b=-3, b=-3, .y=-x-3; (2)①如图1，当抛物线向左平移h个单位，则向 上平移h个单位， ,∴.平移后的抛物线解析式为 y=(x-1+h)2-4+h. 设直线BA的解析式为y=k'x+ b', 2k'+6=-3, k'+b=-4, k'=1, 解得 16=-5, (二)抛物线与几何图形的交点问题 .y=x-5. y=x-5 ○解题策略 联立方程组 y=(x-1+h)2-4+h, 抛物线与线段的交点问题：(1)选择极端值 整理得x2-(3-2h)x+h2-h+2=0. 代入，得出特殊值，比较对应位置的特点确定x 当△=0时，(3-2h)2-4(h2-h+2)=0, 的取值范围；(2)注意特殊位置时，对应的函数 1 与对应方程的联系，特别注意交点的个数与△ 解得h= 的关系. 此时抛物线的顶点为（令一》：此时平移后的 【例10】(2022·湖北联考节选)如图，在平 面直角坐标系中，已知抛物线y=x2一2x一3 抛物线与射线BA只有一个公共点，n=: 的顶点为A,与y轴交于点C,线段CB∥x ②如图2，当抛物线向右平移k个单位，则向下 轴，交该抛物线于另一点B. 平移k个单位， 234 ∴.平移后的抛物线解析式为 y=(x-1-k)2-4-k. 当抛物线经过点B时， (2-1-k)2-4-k=-3, 解得k=0(舍)或k=3, 此时抛物线的顶点坐标为(4， 图2 一7)，此时平移后的抛物线与射线BA只有一个 公共点， 当抛物线经过点A时， (1-1-k)2-4-k=-4, 解得k=0(舍)或k=1, 当抛物线的顶点为(2，一5)时，平移后的抛物线 与射线BA有一个公共点， ∴综上所述：1<≤1或m-名 @走进中考 8.(2024·临夏州)在平面直角坐标系中，抛 物线y=x2+bx+c与x轴交于 A(一1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C, 作直线BC. (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是线段BC上方的抛物 线上一动点，过点P作PQ⊥BC,垂足 为Q,请问线段PQ是否存在最大值？ 若存在，请求出最大值及此时点P的 坐标；若不存在请说明理由； (3)如图2，点M是直线BC上一动点，过 点M作线段MN∥OC(点N在直线 BC下方)，已知MN=2,若线段MN 与抛物线有交点，请直接写出点M的 横坐标xM的取值范围， 图1 图2 235 9.(2024·湖北)在平面直角坐标系中，抛物 线y=一x2十bx十3与x轴交于点 A(一1,0)和点B,与y轴交于点C (1)求b的值； (2)如图，M是第一象限抛物线上的点， ∠MAB=∠ACO,求点M的横坐标； (3)将此抛物线沿水平方向平移，得到的 新抛物线记为L,L与y轴交于点N, 设L的顶点横坐标为n,NC的长为d. ①求d关于n的函数解析式； ②L与x轴围成的区域记为U,U与 △ABC内部重合的区域（不含边界）记 为W,当d随n的增大而增大，且W 内恰好有两个横、纵坐标均为整数的 点时，直接写出n的取值范围. 一 236—.BE+DF=√2OC;拓展延伸：解：过点O作OG ⊥AB于点G,OH⊥BC于点H.如图3.由(2)可 知四边形OGBH是正方形，.BG=BH,OG= OH..BM=BN,.GM=HN../OGM= ∠OHN=90°，∴.△OGM≌△OHN(SAS). .S△GM=S△mN,∠GOM=∠NOH.'∠MON =60,∠c0M=号×(90°-60)=15由1)可 知OG=2,S正方形sH=4,.tan∠GOM=tan15°= =2-.∴GM=2×(2-5)=4-25. OG ∴.S△oM= 20G·GM=7×2×(4-25)= 4一2√5.∴.重叠部分的面积=S四边形OwBN= S正方形0cBH一2S△0GM=4一2X(4-2V3)=4√5-4. 压轴题专项突破（三）二次函数与几何综合题 对点训练 1.y=-3(层2解(2)点A (4,0),点B(0,-3)..OA=4,OB=3.∴.AB= 0m+0B=16+9=5.设点P(x,7x- 子-3（号<<40.则点Dx,是-3）BD -√z-0)+(÷-3+30-,PD=(是 5 BD=-- +2x+景=x)+ :<<4,3<0当x时，PD+BD 有最大值为此时，点P华.》。 2. 解：(1)对于y=-x2-2x+3, 当x=0时，y=3,令y=-x2一2x+3=0,则x =一3或1，则点A,B,C的坐标分别为：（一3， 0),(1,0),(0,3).设直线AC的解析式为：y=x +3,将点A的坐标代入上式.得0=一3k十3.解 得=1.则直线AC的解析式为：y=x+3;(2) 过D点作DM∥y轴交AC于点M,过B点作 BN∥y轴交AC延长线于点N,∴.△DME △BNE器-器则=-器-兴 号由AC:y=x+3设Mm,m+3,Dm,一m -2m+3),则DM=-m2-3m,.B(1,0),N(1, 4),BN=4,二m3m=,解得m=-1, m2=一2..D点坐标为(-1,4)或（一2,3）. 3.(①)-3解：(2)作PMLx轴交于 点M.:P点横坐标为mP(m,-子m2+m -6.PM=m-m十6，AM=m-3.在 Rt△COA和Rt△AMP中，：∠OAC+∠PAM =90°，∠APM+∠PAM=90°，∴.∠OAC= ∠ArM△COAAAMP.∴8-折即 0A·AM=0C.MP,3(m-3)=6(m2-n 4 +6).解得m=3(会)或m=10.P(10,-号)： 解：(1)，抛物线过点A(0, √3)，∴.C=√3.，抛物线的对称轴为x=3, b =3..b=3..抛物线的解析式 2×(-】 为y=一 2+3x+5.当≥5时，x的取值 1 范围是：0≤x≤6；(2)连接AB,在对称轴上截 取BD=AB,由已知，可得OA=√3，OB=3,在 Rt△AOB中，tan∠OAB=V3,∴.∠OAB=60°. ∴.∠PAB=180°-∠OAB=120°..△BCP是 等边三角形，∠BCP=60.∠PAB+∠BCP =180°.∴.A,B,C,P四点共圆..∠BAC ∠BPC=60°.BD=AB,∴.△ABD是等边三 角形..∠BAD=60°.∴.点D在AC上.BD= AB=√OA+OB=2V5,∴.D(3,2√5).设AD 的解析式为y=k.x十b,则有 3k十b=2W5,解得 b=√5， k= ③ ：AC的解析式为：y=x+5.由 b=√5. +3=- 3 x2+3x十5，得4=0,0 25+6,当x=-2+6时y=35-号， 3 3 C(-2+635-号)设P(0.则有y +3=(-号5+6)°+(3万-号-y.解得： / y=3E-专P(0,3E-等).当C与A重合 时，：∠OAB=60°，∴点P与点A关于x轴对 称，符合题意，此时，P(0,-3),C(0√3)；∴C (-2+635-号)，P(0.3-号)或P(0 3 -√3)，C(0W3).5.解：(1)由题意，得y=a(x +1)·(x-3)=a(x2-2x-3),将C(0,3)代入， 则一3a=3,则a=一1，则抛物线的解析式为： y=一x2+2x+3;(2)由点B,C的坐标，得直线 BC的解析式为：y=-x十3，过点P作PH∥y 轴交BC于点H,设点P(x,一x2+2x十3)，则点 H(x,-x+3),则PH=-x2+2x+3+x-3= -x2+3x.:PH∥y轴，则△PQH∽△OQC,则 器盟-号PH-+=(女昌》 +子“-3<0当x= 时，8的值最大， 此时点P的坐标（号，）.6(1Dy=一-2z +3解：(2)存在，理由如下：如图1中，当点 N在y轴上时，四边形PMCN是矩形，此时 P(-1,4),N(0,4); R 1 P 图1 图2 如图2中，当四边形PMCN是矩形时，设 M(-1,n),P(t,-t2-2t+3),则N(t+1,0),由 (n-(-t-2t+3)=3, 题意，得13 消去n,得3t+ 3-nt+1' 5t-10=0,解得t=二5±匝.：P 6 (t压，西)N(+压.o或 6 18 P(i-而，v(1-而.o) 6 综上所述，满足条件的点P(一1,4)，V(0,4)或P (5+压，二原，N(+压0)或 6 18 6 P(5压儒-(1严 6 7.(1)(2,-3)y=-x-3解：(2)，抛物线y =x2一2x一3的对称轴为直线x=1,①当m>1 时，x=m时，q=m2-2m-3,x=m+2时，p= (m+2)2-2(m十2)-3，.p-q=(m+2)2-2 4 (m+2)-3-m2+2m+3=2,解得m=0.5 (舍)：②当m+2<1,即m<一1，x=m时，p= m2-2m-3,x=m+2时，q=(m+2)2-2(m十 2)-3,∴.p-q=m2-2m-3-（m+2)2+2(m十 2)十3=2，解得m=-0.5(舍)；③当m≤1≤m 十1，即0≤m≤1，x=1时，q=-4,x=m十2时， p=(m+2)2-2(m+2)-3,∴.p-q=(m+2) -2(m十2)-3+4=2.解得m=√2-1或m=- √2-1（舍）；④当m+1<1≤m+2,即-1≤m< 0.x=1时，9=-4，x=m时，p=m2-2m-3.∴. p-q=m2-2m-3+4=2.解得m=1十√2（舍） 或m=1一√2.综上所述：m的值为√2一1或1一 √2】 走进中考 8.解：(1)，抛物线y=一x2十bx十c与x轴交于 A(1,0),B(3,0)两点，÷369解得 b=?:抛物线的解析式为y=一x2十2x十3： c=3. (2)过点P作PN⊥AB于点N,交BC于点M. B(3,0),C(0,3),∴.直线BC的解析式为y -x+3..OB=OC,∠BOC=90°，∴.∠CBO= 45°.：∠MNB=90°，∴.∠PMQ=∠NMB= 45°.：PQ⊥BC,.△PQM是等腰直角三角形 .PM=√2PQ.∴.PM的值最大时，PQ的值最 大，设P(m,-m2+2m+3),则M(m,一m十3)， .PM=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m =-(m一多)》+是”-1<0当m=号时， PM的值最大，PM的最大值是.∴PQ的最大值 号PM-,此时P(受，)：8)设Ma, 2 -a+3),则N(a,-a+1),当点N在抛物线上 时，-a十1=-a2十2a+3,.a2-3a-2=0,解 得a,=3厘，a,=3+,亚.：线段MN与抛 2 2 物线有交点，.满足条件的点M的横坐标的取 值范围为3亚≤w≤0或3<w≤3士厘 2 2 解：(1).二次函数y=一x2十 bx十3与x轴交于A(-1,0),∴.0=-1-b+3, 解得b=2;(2).b=2,.二次函数解析式为y -x2+2.x十3=-(x-1)2+4.令y=0,解得x= -1或x=3,令x=0,得y=3,.A(一1,0)， B(3,0),C(0,3).设M(m,-m2+2m+3),作 MH⊥x轴于点H,如图，，∠MAB=∠ACO, n∠AB=m∠AC0,即指-82 二m十3-子解得m一号或m=一1（舍 m+1 去).M的横坐标为骨：(3)①：将二次函数沿 水平方向平移，纵坐标不变为4.∴.图象L的 解析式为y=一(x一n)2十4=一x2十2n.x-n2十 4..N(0,-n2+4).∴.d=CN=-n2+4-3 =1-r+1.∴d=71n21或D@ 1-n2+1(-1<n<1). 南D释d伊皮出大致 图象如下， B x ,d随着n增加而增加，∴.一1≤n≤0或n≥1. △ABC中含(0,1)，(0,2)，(1,1)三个整点（不含 边界)，当U内恰有2个整数点(0,1)，(0,2)时， 当x=0时，>2，当x=1时，y1≤1， {-1-)2千4s1.-E<n<2,n≥1+5 1-n2+4>2, 或n≤1-√5..-√2<n<1-3.-1≤n<0 或n≥1，∴.-1≤n≤1一√3；当U内恰有2个整 数点(0,1)，(1,1)时，当x=0时，1<.≤2，当x -1时>1-5 ≤-√2或2≤n<5,1-V3<n<1+V3..2 ≤n<√3.，-1≤n<0或n≥1，∴√2≤n<√3； 当U内恰有2个整数点(0,2)，(1,1)时，此种情 况不存在，舍去，综上所述，n的取值范围为一1 ≤n≤1一√3或√2≤n<√3. 新中考专项突破（一）全国中考新动向 1.m<且m≠02.OB=OD(答案不唯-) 3.y=-(答案不唯-)4.1)32(2)(3， 1) 536.125xem27.号 新中考专项突破（二）以项目式学习为 推手的中考“综合与实践” 1.解：(1)它们在同一条直线上，设y=kx+b( 0.则陕十合收解得么这条 直线所对应的函数解析式为y=5x十33；(2)当y 4 =213mm时，213=5.x+33,解得x=36.答：当 凳面宽度为213mm时，以对称轴为基准向两边 各取相同的长度是36mm.2.解：任务1：y= 号+9：任务2：根据题意，得“雅“服装每天 获利为：x[100-2(x-10)],∴.=2y·24十（70 -x-y)×48+x[100-2(x-10)],整理，得 =48y+3360-48x-48y-2x2+120x,∴.0= -2x2+72x+3360(x≥10)；任务3：由任务2得 =-2x2+72x+3360=-2(x-18)2+4008, “当x=18时，获得最大利润，y=一号×18十 号-号x≠18.：开口向下取x=17或 70_52 =19,当=17时，y-,不符合盟意：当=19 时=号=17，符合题意：∴安排加工“正“服装 的人数为70一x一y=34(人).答：安排19名工 人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名 工人加工“正”服装，即可获得最大利润.3.(1) 9076解：(2)过点A1作A1D⊥BC于点D 在R△CAA,中，AA:-号，∠CAA,=76 CA,=AA,·tan76°≈E 2 ×4.00=2√2 (km).在Rt△CA1D中，∠CA1D=90°-45° 45.AD=CA,·sin45°=2V2×g 2 =2.0 (km).答：点A,到道路BC的距离是2.0km (3)连接CA8并延长交BM于点E,延长A1A。 交BE于点G,过点A8作A8F⊥BC于点F., 正八边形的外角均为45°，∴.在Rt△A,AG中， AG=AA,·im45-号×号-子FB 2 A,G=2.又：AF=A,D=CD=2,DF=A1A CB-CD+DF+FB-5 2 ∠CFA8=∠B,∠FCA8=∠BCE,∴.△CAFO △ca“需带 + 2 5+W② B:2≈ 2 1.41,∴.EB=2.4(km).答：小李离点B不超过 2.4km,才能确保观察雕塑不会受到游乐城的 影响