9.2.1 向量的加减法（第1课时 向量的加法）-分层同步练习 2025-2026学年高中数学苏教版必修第二册

9.2.1　向量的加减法 第1课时　向量的加法 A层 基础达标练 1.如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则=(　　) A. B. C. D. 2.已知四边形ABCD是菱形,则下列等式中成立的是(　　) A. B. C. D. 3.如图所示,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,则=(　　) A. B. C. D. 4.(多选题)下列结论中错误的是(　　) A.两个向量的和仍是一个向量 B.向量a与b的和是以a的始点为始点,以b的终点为终点的向量 C.a+0=a D.向量a与b都是单位向量,则|a+b|=2 5.如图,在四边形ABCD中,DA=DB=DC,且,则∠ABC=　　　　.  6.如图所示,在△ABC中,O为重心,D,E,F分别是BC,AC,AB的中点,化简下列各式: (1); (2); (3). B层 能力提升练 7.若在△ABC中,AB=AC=1,||=,则△ABC的形状是(　　) A.等边三角形 B.非等腰锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 8.(多选题)如图,在平行四边形ABCD中,下列计算正确的是(　　) A. B. C. D.=0 9.(多选题)下列说法错误的有(　　) A.若|a|=5,|b|=3,|c|=4,则|a+b+c|的最大值为10 B.若向量a∥b,且|a|>|b|>0,则向量a+b的方向与向量a的方向相同 C.若=0,则A,B,C一定为一个三角形的三个顶点 D.若a,b均为非零向量,则|a+b|=|a|+|b| 10.(多选题)已知点D,E,F分别是△ABC各边的中点,则下列等式中正确的有(　　) A. B.=0 C. D. 11. 如图所示,O为线段A0A201外一点,若A0,A1,A2,A3,…,A201中任意相邻两点间的距离相等,=a,=b,则用a,b表示+…+,其结果为　.  12.在△ABC中,若||=||,则△ABC的形状为　　　　　　　　.  13.河中水流自西向东每小时10 km,小船自南岸A点出发,想要沿直线驶向正北岸的B点,并使它的实际速度达到每小时10 km,该小船行驶的方向为　　　　,静水速度为　　　　.  14.如图,已知D,E,F分别为△ABC的三边BC,AC,AB的中点,求证:=0. 15.如图,O为正六边形ABCDEF的中心,根据图示计算: (1); (2); (3). C层 拓展探究练 16.一架救援直升机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达B地,再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地,此时直升机对A地的相对位置为 　.  17.在四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O且||=||=1,=0,cos∠DAB=.求||与||. 参考答案 1.C　设a=,以OP,OQ为邻边作平行四边形,则夹在OP,OQ之间的对角线对应的向量a=,由a和长度相等,方向相同,∴a=,故选C. 2.C　因为,所以A选项不成立;因为,所以B选项不成立;因为,所以C选项成立;因为,所以D选项不成立,故选C. 3.B　由题意,得故选B. 4.BD　根据向量加法的意义,可得两个向量相加仍是一个向量,故A正确;若向量a与b共起点,则向量a与b相加则需根据平行四边形法则计算,故B错误;a+0=a,故C正确;若a与b为相反的单位向量,|a+b|=0,故D错误.故选BD. 5.120°　因为,所以由向量的加法的几何意义可知四边形ABCD是平行四边形, 又因为DA=DB=DC,所以四边形ABCD是菱形, 且∠DAB=60°,所以∠ABC=120°. 故答案为120°. 6.解 (1) (2)=()+ (3)因为D,E,F分别是BC,AC,AB的中点, 所以, 所以 7.D　设线段BC的中点为O,由平行四边形法则和平行四边形对角线互相平分可知||=2||=,故||=,所以BO=CO=,所以△ABO和△ACO都是等腰直角三角形,所以△ABC是等腰直角三角形.故选D. 8.AD　由向量加法的平行四边形法则可知,故A正确;,故B不正确;,故C不正确;=0,故D正确.故选AD. 9.ACD　A错误,当a,b,c的方向相同时,|a+b+c|取得最大值12;B正确,若a和b方向相同,则它们的和的方向应该与a的方向相同,若它们的方向相反,而a的模大于b的模,则它们的和的方向与a的方向相同;C错误,当A,B,C三点共线时,也满足=0;D错误,|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当a,b方向相同时,|a+b|=|a|+|b|.故选ACD. 10.ABC　由题意,根据向量的加法运算法则,可得,故A正确;由=0,故B正确;根据平行四边形法则,可得,故C正确,D不正确.故选ABC. 11.101(a+b)　设A0A201的中点为A,则A也是A1A200,…,A100A101的中点,可得=2=a+b, 同理可得,=…==a+b, 故+…+=101×2=101(a+b).故答案为101(a+b). 12.直角三角形　以BA,BC为邻边作平行四边形ABCD(图略),则, 又由||=||,则平行四边形ABCD为矩形, 所以∠ABC=90°,故△ABC为直角三角形. 故答案为直角三角形. 13.北偏西30°　20 km/h　如图,设水流速度为,小船静水速度为,实际速度为,则四边形ACBD是平行四边形,∠BAC=90°,AB=10,AC=BD=10,∴tan∠BAD=, ∴∠BAD=30°,AD==20. ∴小船行驶方向为北偏西30°,速度为20 km/h. 14.证明 由题意知 ∴ =()+()+() =()+() =()+0 ==0. 15.解 (1)因为四边形OABC是以OA,OC为邻边的平行四边形,OB为其对角线,所以 (2)因为方向相同且长度相等, 所以是相等向量, 故方向相同,长度为长度的2倍, 因此可用表示,所以 (3)因为是一对相反向量,所以=0. 16.位于A地北偏东30°方向,且距离A地40 km 处 如图所示,设分别是直升机的位移,则表示两次位移的合位移,即 在Rt△ADB中,||=40 km,∠BAD=90°-60°=30°, 所以||=20 km,||=20 km. 在Rt△ADC中,||=20 km,||=||+||=60(km), 所以||==40(km),∠CAD=60°,所以此时直升机位于A地北偏东30°方向,且距离A地40 km 处. 17.解 =0, ∴四边形ABCD是平行四边形. 又||=||=1,∴四边形ABCD为菱形. 又cos∠DAB=,∠DAB∈(0,180°),∴∠DAB=60°. ∴△ABD为正三角形.∴||= ∴||=||=||=2,||=||=||=1. 7 学科网（北京）股份有限公司 $