2026年中考数学二轮复习图形的相似解答题专题训练

2026年中考数学二轮复习图形的相似解答题专题训练 L.在ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，连结AE,DE,EF,DE=DC 图1 图2 图3 (I)如图l,连结BD,如果EF∥BD,求证：△ECFOAADE; (2)已知anC=v5 连结F ①如图2，如果点D,E关于直线F对称，求 △Ae:S.4aD的值： CF ②如图3，如果AF=√5DF,∠AFE=∠EDC,求FD的值. 2.如1图，矩形O1BC的顶点4，C分别在×销和>y轴上，反比例函数y-(x>0)的图象 与矩形OABC的边AB,BC分别交于点D与点E. y C E 1图 2图 3图 3,9) (1)若点E坐标为 求该反比例函数的表达式； (2)如2图，在(1)的条件下，连接0B交反比例函数y=(x>0)的图象于点E,若 OB=3OF,求点D的坐标： (3)如3图，连接OB和OE,过点D作x轴的平行线交OB于点G,连接EG,若 ∠AOE=3∠AOB,猜想BG与OE的数量关系，并证明. 3.综合与探究 问题情境：如图，在口ABCD纸片中，AB>BC,点E在边AB上，沿DE折叠△ADE,得 到△A'DE. 试卷第1页，共3页 E B 图① 图② (备用图) (I)猜想证明：如图①，当DE L AB时，AD交BC于点F,连接A'C,BD.判断A'C与 BD的数量关系，并说明理由； (2)拓展延伸：如图②，连接AC交DE于点G. ①连接AG,当A'E∥AC时，判断四边形AEA'G的形状，并说明理由： ②连接BD,若BD⊥AD,AD=15,CD=25,当AD与口ABCD的一边垂直时，请直接 S△MDG 写出S△cG的值. 4.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，O是AB边上的点，且不与A,B重合.以O为圆 心，OA长为半径的圆交AB,BC,AC于点D,E,F,点E是劣弧DF的中点，连接 AE B 图1 图2 (I)【探索与发现】AE (填“是”或“不是”)∠BAC的角平分线： (2)【猜想与证明】BC是⊙O的切线： (3)【实践与应用】如图2，连接0F交4B于点G,已知1C AB,是否有在常数k,使 5 EG BD =k?若存在，求k的值：若不存在，请说明理由。 5.问题情境：如图，在△ABC中，AB=AC,D为射线BC上一点，连接AD,将AD绕 点A顺时针旋转得到AE,且∠DAE=∠BAC,连接BE. 初步探究： 试卷第2页，共3页 D BD E 图① 图② (I)如图①，猜想BE与CD的数量关系，并说明理由： (2)深入探究：如图②，当点D在BC的延长线上时，将CD绕点D逆时针旋转a得到DF, 且a=2∠ABC,连接EF,猜想四边形BEFD的形状，并说明理由： 3)连接DE,在旋转过程中，若 B=2N5,BC=4,CD=3 3请直接写出线段DE的长. 6.在△ABC中，AB=AC G 】 B C B D 图1 图2 图3 (I)如图1，D为BC上一点，AD=CD,AD=2,∠BAC=150°，求△ABD的面积： (2)如图2，D为BC上一点，AD=CD,F为DA延长线上一点，连接BF并延长至G,使 得BF=FG,连接AG,过C作CE∥AG交AD延长线于E,若∠E+∠ABC=∠BAD, 请猜想线段AG、CD、AF之间的数量关系，并证明你的猜想： (3)如图3，∠BAC=90°，AB=1,D为线段AC上一动点，将△ABD关于BD对称得到 △EBD,连接AE,将AE绕E顺时针旋转90°得到FE,连接CF,直接写出CF的最小值. 7.【问题情境】如图1，正方形4BCD 的对角线相交于点O,正方 AB,C,D与正方形 ABCD 的边长相等，在正方形 BCD绕点0转动过程中，B与O4交于点E,8C与 OC交于点F,记两个正方形重叠部分的面积为S. 试卷第3页，共3页 D O D E OD B B C 图1 图2 ABCD (I)【独立思考】“乘风”兴趣小组发现在正方形 绕点O转动过程中，两个正方形 重叠部分的面积S是一个定值.设两个正方形的边长为m,请你写出这个定值并证明 ②【间题解决】在图1中，若E=1,CF=3,求CF的长. (3)【深入探究】如图2，在正方形ABCD中，∠EPF的顶点P在对角线AC上，且 ∠EPF=90°，PC=3PA,将∠EPF绕点P旋转，旋转过程中，∠EPF的两边分别与AB和 BC交于点E,F.在∠EPF的旋转过程中，求PE与PF存在怎样的数量关系， 8.矩形ABCD中，AB=10,AD=17,E是线段BC上异于点B的一个动点，连接AE. 将△ABE沿直线AE折叠，使点B落在点P处， D B E 图1 图2 【初步感知】 (I)如图1，当E为BC的中点时，延长AP交CD于点F,求证：FP=FC. 【深入探究】 (2)如图2，点M在线段CD上，CM=3,在点E的移动过程中，当点P恰好落在线段AM 上时，求PM的长. 【拓展运用】 (3)如图2，点N在线段AD上，AN=4.在点E的移动过程中，当点P在矩形内部、且 △PDN是以DN为斜边的直角三角形时，求BE的长， 9,如图1，在矩形4BCD中(AB>AD) 点E是线段CD上的一动点，连接BE.作点C关 试卷第4页，共3页 于BE的对称点F.连接CF并延长，射线CF交矩形的边于点G,过点A作AH⊥CG,交 CG的延长线于点H, A 图1 图2 备用图 (I)若CF的延长线交AD于点G时，求证：∠BFH=∠BAH: (2)连接BD交CH于点L,且AB=4,AD=3. ①若CF的延长线交D于点G时，如图2，若CE=CD,求C的长 4 ②在E点的运动过程中，当GH:CG=1:8时，请直接写出△HCD的面积 10.定义：在平行四边形中，取任意一边的中点，连接该中点与对边的两个端点所形成的 三角形，叫作平行四边形的对边中点三角形.已知，在ABCD中，点E为CD边上一点， △ABE为口ABCD的对边中点三角形， D D B (I)如图1，若AB=2AD,求∠AEB的度数： (2)如图2，∠ADC=120°，对角线AC L BD于点G,AE交BD于点F,BE交AC于点H, 连接FH,在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出所有面积是△FGH面积3倍的三角 形. 1Ⅱ，点0为矩形48CD的边4D上一点，BC=VB4B-310.将矩形4BCD纷 绕点逆时针 旋转“角0°<r<180 得到矩形A'B'CD 试卷第5页，共3页 A D D' 图1 图2 备用图 (I)如图1，当点B落在BC边上时，a=」 CA 2)如图2，当点g、C、在同一直线上时，求OA的值： (3)当∠BAC=30°时，过O作OE⊥CA',垂足为E,过E、、B三点的圆与边BC的另 BF 一个交点为F,直接写出OA的值. 12.如图①，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，过点D作 DE∥BC交AC于点E. 图① 图② 图③ 图④ BD=2CE (1)求证： (2)在同一平面内，将△ADE绕公共顶点A逆时针旋转，连接BD,CE. ①如图②，当点D在△ABC内部时，判断(1)中的结论是否仍然成立？ ②如图③，当ED⊥BD时，设线段CE交BD于点F,连接AF,判断四边形AFDE的形状， 并说明理由： ③如图④，当点D在△ABC内部时，设射线BD与线段CE交于点G,且CG=2EG,若 BC=4,求线段CE的长 13.综合与探究 问题情境： 矩形ABCD中，AB=3,BC=4,∠BAC的平分线交BC于点E.将△ABE绕点E顺时针 试卷第6页，共3页 F G(G 旋转，得到 FGE点，B的对应点分别为点 点6与点B不重合）. 深入探究： A D G E 图1 图2 图3 (I)如图1，当点F在边AD上时，求证：∠AEF=2∠BAE; (2)如图2，当点G在线段AE上时，连接AF,CF,①求证：AC1EF;②求四边形 AECF的面积： (3)当点G在矩形ABCD的对角线上时，连接DF,直接写出DF的长. 试卷第7页，共3页 参考答案 1.(1)解：四边形ABCD是平行四边形， ,BC=AD,AD∥BC, .∠ADE=∠DEC .DE DC, .∠C=∠DEC ∴.∠C=∠ADE .BC=AD,∠C=∠ADE,CD=DE, ∴.△BCD≌△ADE ,EF∥BD, .△ECF∽△BCD .△ECF∽△ADE, (2)解：①作DH⊥BC,垂足为H.作FP⊥AD,交AD的延长线于P,延长PF交BC 于Q,延长AF交BC延长线于点G. 设HC=a,则HD=HC.tan C=V5a,DE=DC=√HD2+HC2=√6a. B H ,点D,E关于直线AF对称， AD=AE」 .∠ADE=∠AED .DE =DC, .∠DEC=∠DCE ,∠ADE=∠DEC, ∴.∠ADE=∠AED=∠DEC=∠DCE .△ADE∽△DEC .AD DE .DEEC· .DE=DC,DH⊥BC, 答案第1页，共2页 .EC=2HC=2a. AD√6a ∴.V6a2a. .AD=3a ∴.AD=AE=3a D,E关于直线AF对称， ∴.∠DAF=∠EAF. AD∥BC. .∠DAF=∠G .∠G=∠EAF」 ∴.AE=EG=3a. ..CG=a. :AD∥BC, ∴.△ADF∽△GCF,△DPF∽△CQF. DF=AD=3 DF PF FCCG=3,FCFD· .F0 PF 3 .Pg4. 1 SAD.PF,S=AD.PO S=2 SSARCD PO 8 ②过点F作FP⊥AD,交AD的延长线于点P. D B 设DP=m, 答案第2页，共2页 :AD∥BC, .∠PDF=∠C 6 ∴PF=DP.tan∠PDF=V5m,sin∠DFP= 6 ∴.DF=VDp2+PF2=√6m」 AF=5DF .AF =30m, .AP=AF2 DF2 =5m, 、AD=4m. PF AP .DP PF. ∴△DPF∽△FPA. .∠DFP=∠PAF. 设∠DFP=∠PAF=a. ∴.∠PDF=90°-a. .∠C=∠DEC=∠ADE=90°-a. .∠FAP+∠ADE=90° ∴.∠AOD=90° ∴.∠FOD=90° .OD=AD-sin∠PAF=4msin∠DFp=26m ,∠EDF=∠AFE,∠EDF+∠DFO=9O°， ∴.∠EFD=∠AFE+∠DFO=90° ∴.∠EFD=∠FOD 又∠ODE=∠FDE, .△DEF∽△FOD. DF DE .DODF· 答案第3页，共2页 DE-3V6m 2 CF-2 .0F6m2 2.()解：把EB,9)代入y= ,得 9= 3 解得：k=27, :y= 27 (2)解：过点F作FG∥AB交OA于G,如图， y不 B F D 0 G A 则△DGFAOAB. FG OG OF :.AB OA OB .OB=30F FG OG 1 ·ABOA3 :矩形OABC.E(3,9) ∴点B的纵坐标为9，即AB=9, .FG=3,即点F的纵坐标为3， 当，=3时，则3=22 .x=9 答案第4页，共2页 :F(9,3) ∴.0G=9 .0A=27, 当x=27时，则y=27 :D27) (3)解：BG=20E,证明如下： :反比例局数-（x>0)的图象与矩形O1C的边AB:BC分别交于点D与点E, 设 A(a,0)B(a,b)C(0,b) 则信. 设直线OB的解析式为y=mx, 把Ba,b)代入，得m= b ∴直线OB的解析式为y= a .DG∥x轴， k “点G的纵坐标与点D的纵坐标相同，即点G的纵坐标为a,∠BGD=∠AOB, k b k 把y。代入y=。得x= b· Gkk .(b'a .EG∥y轴， .EG∥AB .DGx轴， 答案第5页，共2页 .DG∥BC .∠HGD=∠AOB .矩形OABC .∠ABC=90° 四边形BEGD为矩形， 连接DE,如图， .BG=ED,BH=GH=HD=EH, ∴.∠HGD=∠HDG .∠EHG=∠HGD+∠HDG=2∠HGD=2∠AOB, :∠AOE=3∠AOB .∠BOE=2∠AOB. .∠BOE=∠EHG ÷oE=H-DE-ac, ..BG=20E 3.(I)解：A'C=BD,理由如下： :四边形ABCD为平行四边形 .AD=BC,AB∥CD,∠BCD=∠A, DE⊥AB, ∴.∠AED=90° 由折叠的性质得∠AED=∠AED=90°，AD=AD,∠DAB=∠A, ∴.BC=A'D,∠A'ED+∠AED=I80°，∠BCD=∠DA'B, A,E,A三点共线， .AA∥CD .∠DAB=∠ADC, .∠BCD=∠ADC, 答案第6页，共2页 ,在△BCD和△ADC中， CD=DC, ∠BCD=∠A'DC, BC=A'D, 'ABCD≌△A'DC(SAS) :A'C=BD (2)解：①四边形AEAG是菱形，理由如下： :AE∥AC, .∠A'EB=∠CAB 由折叠可得∠GA'E=∠GAB, ∠AEB=∠GAE AB∥GA, :AE∥AG, ∴.四边形AEAG是平行四边形， 由折叠得AE=A'E, 四边形AEAG是菱形： ②，四边形ABCD为平行四边形， ..AB=CD=25. BD⊥AD,AD=15 .BD=AB2-AD2=20 .AB CD .∠EAG=∠DCG. '∠AGE=∠CGD .∴.△AGE∽△CGD 分以下两种情况：()当AD1AB时，如图， 答案第7页，共2页 设AD与AB交于点H,由折叠的性质得AD=AD=I5, sin∠BAD= BD DH 4 AB AD 5 Cos∠BAD=AD=AH3 ABAD5· DH=12,AH=9, :A'H=A'D-DH=3. ∠A=∠DAH, .AE=A'E= AH=5, cos4' .'△AGE∽△CGD :4C=4E=1 CG CD 5 :△ADG与△CDG等高， :S0=4G-1 SACDG CG 5: (i)当AD⊥AD时，如图， D G A MB BD⊥AD ∴.此时AD与BD部分重合， 过点A作A'M⊥AB于点M, BD=20,D=AD=15, .'B=5, :sin∠ABD=4D=AM3 AB A'B5 cos∠ABD=BD=MB4 AB A'B 5 ∴A'M=3,MB=4, 答案第8页，共2页 设AE=x,则A'E=x,EM=AB-AE-BM=21-x, .在RtaA'EM中，A'E2=EM2+A'M2, 即x2=(21-x+32,解得x=号， ·AE= 7, AG AE 3 同理可得CGCD7' SAADC=AG=3 SACDG CG-7 S△ADG 13 综上所述， S△cpG的值为5或7. 4.(1)是 (2)见解析 k=6⑤ (3)存在， 11 【分析】(1)根据等弧所对圆周角相等即可判断： (2)连接DE,根据等边对等角结合(1)中结论即可证明； (3)过点E作EH上AB于点H,连接DF,OE,DE,设 AC=3x,AB=5x(x>0) 证明 EH=CE,利用勾股定理和解直角三角形求出BC=4x,AH=3x,BH=2x, EH=3 , BE=2x,OE=5、 9 BD=xAFE,证明。4FG0A0G,求地 8 4 EG=2AE=22x,即可解答 【详解】(I)解：：点E是劣弧DF的中点， .EF-DE 答案第9页，共2页 .∠CAE=∠BAE, .AE平分∠CAB,即AE是∠BAC的角平分线； (2)证明：连接DE, B 由(I)知∠CAE=∠BAE, OA=OE, .∠AEO=∠BAE, .∠AEO=∠CAE .ACll OE .∠C=∠OEB」 ∠C=90°， .∠OEB=90°， :OE是⊙0的半径， .BC是⊙O的切线： k-6v5 (3)解：存在， 11, 过点E作EH⊥AB于点H,连接DF,OE,DE, AC 3 设1C=3x,AB=5x(x>0) .∠C=90° BC=AB2-AC=4x 由(1)知AE是∠BAC的角平分线， 答案第10页，共2页 :AC⊥BC,EH⊥AB .EH=CE. AC=AE2-CE,AH =AE2-EH .AC=AH=3x, .BH=AB-AH=2x, :tan∠ABC=AC_3 =tan∠HBE=EH BC 4 BH' .EH-3x , .CEE 3 .BE=BC-CE=亏x, :∠C=∠OEB=90°， :tan∠ABC=4C=3_OE BC 4 BE' OE=1 8, :D=20E=15 x 4 i.BD-4B-AD-5x 4, :AD为⊙O的直径， .∠AFD=90°， Cos∠BAC=AC_3 AB 5 =CoS∠DAF=AF AD 9 :4F=4x, ..ACIlOE .∠AFO=∠FOE,∠FAE=∠AEO 答案第11页，共2页 ∴.△AFGAEOG, AG AF 6 :EG OE 5' 15 、云二AE于 2x, 15V5 EG 22 65 :.BD =k 5 11 5.(I)BE=CD,见解析 (2)四边形BEFD为平行四边形，见解析 2√852205 (3)线段DE的长为5或5 【分析】（I)根据旋转的性质得到4D=AE,证明△1BE≌aACD(SAS) 即可证明 BE=CD: (2)根据△ABE≌△ACD得到∠BAC=∠CBE,进而得到∠BAC=∠CBE,根据等边对等角 得到∠ABC=∠ACB,证明BE∥DF,由旋转的性质得到CD=DF,进而得到BE=DF, 即可得到四边形BEFD为平行四边形： (3)过点A作AM1BC于点M,根据等腰三角形三线合一得到CM=BC=2,根据勾股定 理求出AM=4,分当点D在BC的延长线上时，当点D在线段BC上时两种情况讨论即可. 【详解】(I)解：BE=CD,理由如下： 由旋转的性质，得AD=AE, ∠DAE=∠BAC, ∠BAE=∠CAD, 答案第12页，共2页 又：AB=AC, △ABE≌△ACD(SAS) .BE=CD: (2)解：四边形BEFD为平行四边形， 同理得：△ABE≌△ACD .∠ACD=∠ABE,CD=BE :∠ACD=∠BAC+∠ABC,∠ABE=∠ABC+∠CBE, ∴.∠BAC=∠CBE .AB=AC. .∠ABC=∠ACB, ,∠BAC+∠ABC+∠ACB=∠BAC+2∠ABC=180°，∠CDF=2∠ABC, .∠BAC+∠CDF=180°， .∠CBE+∠CDF=180°， BE∥DF, 由旋转的性质，得CD=DF, .CD=BE, .BE =DF, ∴.四边形BEFD为平行四边形 (3)解：如图，过点A作AM⊥BC于点M. E 则∠AMC=90°， AB=AC, ..CM-BC-2 AB=AC=25, 答案第13页，共2页 ·.AM=VAC2-CM2=V25)-22=4 ①当点D在BC的延长线上时，此时DM=CM+CD=5, :AD=AM2+DM2=41, AE=AD, .AB_AC AE AD 又：∠BAC=∠DAE, .△ABC∽△AED, .ACBC 254 AD ED,41 DE 解 DE=2V205 5 ②如图，当点D在线段BC上时，此时DM=CD-CM=l, E BDM C.AD=VAM2+DM2=√7， AC BC 同理①得ADED1 254 即V17DE E=285 解得 5 2√852W205 综上所述，线段DE的长为5或5. 6.()3+1 答案第14页，共2页 (2)AG=CD+2AF,见解析 8)2-1 【分析】(I)过A作AE⊥BD于E,利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得到 ∠C=∠DAC=∠ABC=15°，进而可得∠ADB=2∠C=30°，然后解直角三角形求解 AE=1 DE=3 ,再利用三角形的面积公式求解即可： (2)延长GA交BC于H,在射线AH上截取AW=AG,连接BW,根据三角形的中位线 性质得到4F=方BW,AF∥BW,进面推出∠BAH=ABH=∠4CD=∠D1C,从 ABH≌△ACD(ASA) 而证明 得到CD=BH,AH=AD,可推出B=H=2AF,进而 可得结果： (3)以AB为直角边作等腰三角形ABG,∠ABG=90°，BG=AB,证明四边形ABGC是 平行四边形得到CG=AB= ，证明△BAEn△GA 得到FG=V2BE=V ,由 CP≥FG-CG=2-1,当F、C、G共线时取等号，进而可得解. 【详解】(I)解：如图1，过A作AE⊥BC于E, A B E D 图1 .AB=AC,∠BAC=150°， .∠C=∠ABC=15°， AD CD .∠C=∠DAC=15°， .∠ADB=2∠C=30°， 答案第15页，共2页 DE=VADP-AE=3 :C=V3+2 AB=AC,AE⊥BC, :.BE=EC=5+2 :8D=2V5+2 ABD的面积为D:AE=5+1, (2)解：AG=CD+2AF 理由：如图2，延长GA交BC于H,在射线AH上截取AW=AG,连接BW, G D 图2 .BF=FG AF-BW.AFW/BW .∠WBH=∠ADH, .CEIl AG ∠E=∠HAD, :∠E+∠ABC=∠BAD ∴.∠HAD+∠ABC=∠BAD :∠BAH+∠HAD=∠BAD, ∴∠BAH=∠ABC, :BH=AH AB=AC,AD=CD, .∠ABH=∠ACB=∠DAC, .∠BAH=∠ABH=∠ACD=∠DAC, 答案第16页，共2页 .△ABH≌△ACD(ASA) .CD=BH,AH=AD, ∴.AH=CD,∠AHD=∠ADH, .∠WBH=∠AHD=∠WHB, ∴.WB=WH=2AF, AW AH+WH CD+2AF, :.AG=CD+2AF: (3)解：如图3，以AB为直角边作等腰三角形ABG,∠ABG=90°，BG=AB, E B G AB 图3 .∠BAG=45°AG2 AB=AC∠BAC=90° ∴.BG=AC,AC∥BG ∴.四边形ABGC是平行四边形， ..CG=AB=1, 由旋转和折叠性质得AE=EF,∠AEF=90°，BE=AB=1, AE .∠EAF=45°，AF2, ABAE .∠BAG=∠EAF，AGAF, .∠BAE=∠GAF, ·△BAE一△GAF, 答案第17页，共2页 BEAE FG AF 2, :.FG=√2BE=√2 CF2FG-cG=5-l,当F、C、0 共线时取等号， ∴.CF 2-1 的最小值为 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性 质、三角形的中位线性质、平行四边形的判定与性质、折叠与旋转性质、三角形的三边关 系等知识，综合性强，有一定的难度，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线，构 造相似三角形是解答的关键。 1 7.()定值为4m,见解析 24V5 PE 1 (3)PF3: 【分析】(1)在△OEB和△OFC中，利用正方形的性质和已知可证出 OEB≌AOFC(ASA) 再利用全等三角形的面积相等即可得结论： (2)根据全等三角形的性质得到BE=CF=3,由此得到正方形边长为4，过点O作 OH LBC于H,得OH=BH=CH=2,求出FH=I,利用勾股定理求出 0F=V5 即可 得到 F=4-5 (3)过点P作PM⊥AB于点M,PN⊥BC于点N,利用相似三角形的性质证明即可. 【详翔】（山定值为，拜由如下 证明：在正方形MBCD ABCD 和正方形 中， 1 AC=BD:OB=BD,OC=AC 2 答案第18页，共2页 ∠AB0=∠BC0=45°∠BOC=∠AOC=90° ∠BOC-∠BOF=∠A,OC-∠BOF ∴.∠EOB=∠FOC, 在aOEB和△OFC中， ∠ABO=∠BCO,BO=CO,∠EOB=∠FOC, △OEB≌aOFC(ASA) .S.OE=S.OFC 1 S.0E8+S.omF=S.oFc+S.OBF=S.onc= 1 两个正方形重叠部分的面积S是定值4m OEB≌AOFC(ASA) (2)解：由(1)知 .BE=CF=3. .BC=AB=1+3=4, ,正方形ABCD的对角线相交于点O, .OB=OC,∠B0C=90° 过点O作OH⊥BC于H, ..OH=BH=CH=2, .FH=3-2=1, :.oF-VoH+F-4+1-5 :GF=4-5 答案第19页，共2页 A E OD) B FH B PE 1 (3)解： PF3,理由如下： 过点P作PM⊥AB于点M,PN⊥BC于点N :四边形ABCD是正方形， .∠BAC=∠BCA=45°， PM⊥AB,PN⊥CB, :AAMP,△PNC是等腰直角三角形， .△AMP∽△PNC, AP:PC=1:3, .PM CN=PM PN=1:3 ∠PMB=∠B=∠PNB=90°， .∠MPN=∠EPF=90°， ∠MPE=∠NPF, ∠PME=∠PNF=90°、 :△PMEP△PNF, PE PM 1 PF PN 3 D M BL NF 8.(1)见解析 (213v2-10 答案第20页，共2页 (3)5 【分析】(I)连接EF,证明RtEPFS≌RtAECF,即可求证； (2)对Rt△ADM运用勾股定理求解AM即可； (3)过点P作PH⊥AD于H,交BC于点G,证明△PHN∽aDHP，可得HP2=HNHD, 设HN=x,HD=13-x,根据勾股定理得到关于x的方程，可得到HP=6,AH=8 HG=AB=10,PG=4,BG=AH=8.设BE=m,则PE=m,GE=8-m.在 Rt△PGE中，根据勾股定理求出m=5,即可求解. 即BE的长为5， 【详解】(I)证明：连接EF, D E C 四边形ABCD为矩形， ∠B=∠C=90° 由折叠可得∠APE=∠B=90°，PE=BE. ∴.∠EPF=90° :E为BC的中点，BE=EC, .PE=EC 在Rt△EPF与RtAECF中， ..EP=EC,EF=EF, ,Rt△EPF≌RtAECF(HL) .FP=FC: (2)解：如图， 答案第21页，共2页 A N P M B E 图2 由折叠可得，AP=AB=10, :矩形ABCD中，AB=CD=10,AD=BC=17,∠D=90° 又CM=3 .DM=CD-CM=7 AM =VAD+DM=13 :.PM-AM-4P=13-10 (3)解：过点P作PH⊥AD于H,交BC于点G, ∴.∠1+∠3=90° H D 3 12 .∠NPD=90°， ∠1+∠2=90°， .∠3=∠2 :∠PHN=∠DHP, .△PHN∽aDHP, HP HN :HD HP' .HP2 HN-HD, AN=4,AD=17, .DW=13 答案第22页，共2页 设HN=x,HD=13-x, .AH=x+4.HP2=x(13-x) .AB=10 .AP=AB=10 .HP2=AP2-AH2, HP2=102-(x+4)2 :03-=102-(x+42 解得x=4 ∴.HP=6,AH=8.HG=AB=10,PG=10-6=4,BG=AH=8 设BE=m,则PE=m,GE=8-m. 在Rt△PGE中，PE2=EG+PG, m2=(8-m)2+42 解得，m=5, 即BE的长为5. 9.(1)见解析 1210 27 (2)①13；②3或4 【分析】(1)根据轴对称可得∠BCF=∠BFC,根据矩形的性质和四边形的内角和定理即 可解答： (2)①如图2，设BE,CF交于点O,证明△BCE∽△CDG,△BIC∽aDIG,列比例式 即可解答： 分两种情况：若点在线段D上，如图3，过点”作HQ1AD G 于点Q,证明 △QHG∽aDCG 求出○的长，再根据三角形的面积公式求解即可：若点C在线段B上， OG 答案第23页，共2页 如图4，过点H作H⊥AB于点Q,证明△H0 GPACBG求出QH的长，再根据三角形的面 积公式求解即可. 【详解】(I)证明：，四边形ABCD为矩形， .∠ABC=90°， 点C关于BE的对称点为F, .'BC=BF, .∠BCF=∠BFC, AH⊥CG, .∠H=90°， .∠BCF+∠BAH=360°-∠ABC-∠H=180°， .∠BFC+∠BFH=180°， .∠BAH=∠BFH: (2)解：①如图2，设BE,CF交于点O, E 图2 ,四边形ABCD为矩形， .∠BCE=∠CDG=90°，BC∥DG,CD=AB=4,BC=AD=3, 由轴对称的性质可得BE⊥CF, .∠CBO+∠BCO=90°， .∠BCO+∠OCE=90°. .∠CBO=∠OCE, ∴.△BCE∽△CDG, CE BC DG CD' CE=CD 4 CE=1, 答案第24页，共2页 13 :.DG 4' :DG=4 3, BC∥DG. ∴.△BICr△DIG 4 :G-Dc-3_4 CI BC 3 9 在R△CDG中，由勾股定理得CG=VCD+DG=4+ 3 .C7=9cG=之×4V10=12W10 9+4 13313: ②若点G在线段AD上，如图3，过点H作HQ⊥AD于点Q, 图3 ,四边形ABCD为矩形， .AD⊥CD, OH∥CD, .△HGADCG QG GH DG CG .GH:CG=1:8, .G-1 ∴DG8, :.QG-1DG-I 8 61 答案第25页，共2页 ·D0=DG+QG=3 2 A5an3c0-D0=3x4×}-3, 1 2 2 2 若点G在线段AB上，如图4，过点H作HQ1AB于点Q, H E 图4 同理可证明QH∥BC, .△HQG∽aCBG HO GH .BC CG' .GH:CG=1:8, HO 1 .BC8’ .OH =3 8 ∴点H到CD的距离为3+ 3_27 88, 1 SAHCD= 27_27 -×4× 845 27 综上所述，AHCD的面积为3或4· 10.(1)90° (2)△AFG、△BGH、ADEF、△CEH 【分析】(1)根据对边中点三角形的定义得到点E是CD的中点，结合平行四边形的性质 得到AD=DE=CE=BC,利用平行线的性质求出∠BAE+∠ABE=90°，从而求出∠AEB 的度数： (2)易证明四边形ABCD是菱形，根据AB∥CD证明△EDF∽△ABF、△CEH∽△ABH, 答案第26页，共2页 DF 1 EH 1 进而得到BF=2、BH2,设DF=2k、CH=2m,则FB=4k、HA=4m,进而求出 DG=GB=3k、AG=GC=3m,据此求出S.m=2m,根据三角形面积与底、高的关系， 找出面积是△FGH面积3倍的三角形即可. 【详解】(I)解：~四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD、AD=BC、AB∥CD、AD∥BC, :△ABE为口ABCD的对边中点三角形， 点E是CD的中点， DE-CD48 AB=2AD, .AD DE CE BC. ∴.∠DAE=∠DEA、∠CEB=∠CBE, :AB‖CD ∴.∠DEA=∠BAE、∠CEB=∠ABE, .∠DAE=∠BAE、∠CBE=∠ABE, ∴.∠DAB=2∠BAE、∠CBA=2∠ABE, :ADI‖BC .∠DAB+∠CBA=180° ∴.2∠BAE+2∠ABE=2(∠BAE+∠ABE)=180° ∴.∠BAE+∠ABE=90° ∴.∠AEB=180°-（∠BAE+∠ABE)=180°-90°=90° (2)解：在ABCD中，AC⊥BD, ·四边形ABCD是菱形， AG-CG-TAC DG-8G-RD 由()知，DE=CE=2AB、4B∥CD ∴.∠EDF=∠ABF, 答案第27页，共2页 ∠DFE=∠BFA, .△EDF∽△ABF, DF=DE1 BFAB2· 同理可证：△CEH∽△ABH, 器 设DF=2k、CH=2m,则FB=4k、HA=4m, .BD=DF+FB=6k AC=CH+HA=6m, .DG=GB=3k、AG=GC=3m, ∴.FG=DG-DF=k、GH=GC-CH=m, AC⊥BD .5wFG.Gl vGGmkm-35.ron, 2 Sa号80GH号m-m=35m, 2 2 点E是CD的中点，DG⊥CG, aDEF中DF上的高为CG=m 1 ,AcEm中CH上的高为50G, S)DE1cG2逃多m=3m=3Sm 2 2 2 ∴满足条件的三角形为△AFG、△BGH、△DEF、△CEH, 11.(1)60° R6 14 (3)2或3 【分析】(1)过点O作OG⊥BB于点G,连接OB,OB,设AO=x,则 答案第28页，共2页 8C=3B=Vx,由勾股定理得O8=2”,由旋转的性质可得OB=OB=2,证明四边 形ABGO是矩形，得到BG=OA=x,则可证明OB'=OB=BB,进而证明△BOB是等边三 角形，据此可得答案： (2)设10=x,则BC=3,4B=V5x, ；由矩形的性质可得 ∠A=∠D=90,CD=AB=N53xMD=BC=3x,则OD=D-A0=2r, 利用勾股定理 求oC=v7x,则C=v0C2-o=6x 据此可得答案； (3)分图3-1和图3-2两种情况，求出CE,A'C的长，证明三角形相似，利用相似三角形 的性质推出CF的长，进而求出BF的长即可得到答案. 【详解】(1)解：如图所示，过点O作OG⊥BB于点G,连接OB,OB, D' 设A0=x, BC=3AB=340 BC-3x.4B=x ； 四边形ABCD是矩形， ∴.∠A=∠ABC=90°， 在Ra4OB中，由勾股定理得OB=VO+AB=2x 由旋转的性质可得OB'=OB=2x, OG⊥BB, .BB'=2BG,∠OGB=90°， 答案第29页，共2页 ∴.四边形ABGO是矩形， :.BG=OA=x, .'BB'=2BG=2x, .OB'=OB BB', .△BOB是等边三角形， ∴.∠BOB'=60° .a=60°： (2)解：如图所示，连接OC, B D D' 图2 设AO=x, ·BC=V5AB=3AO BC-3B=x 四边形ABCD是矩形， :∠A=∠D=903,CD=AB=V3x,AD=BC=3x ..OD=AD-AO=2x, 在RtCOD中，由勾股定理得OC=VCD+OD=V7x 由旋转的性质可得A'O=AO=x,∠A=∠A=90°， 在Rt△4OC中，由勾股定理得CA'=VOC-40=V6x, CA'16x=6 .'.OA x 答案第30页，共2页 (3)解：如图3-1所示，连接OC,EF, C D' 图3-1 设AO=x, BC=34B-340 BC-3 AB=x ,四边形ABCD是矩形， 片∠A=90,CD=AB=V3w4D=BC=3x ..OD=AD-AO=2x, 在RtaC0D中，由勾股定理得OC=VCD'+OD=V7x: 由旋转的性质可得AO=AO=x,∠BAD'=∠A=90°， .OE⊥CA, .∠OEC=∠OEA=90°， ∠BA'C=30°， .∠DA'C=∠B'D'-∠B'AC=60°， .∠A'OE=30°， 2, OE-o-E .CE=V0C2-0E2- 2, .CA'=CE+A'E=3x: 答案第31页，共2页 由题意得，A八E、F、B这四点共圆， .∠CAB+∠BFE=180°， :∠CFE+∠BFE=180°， .∠CAB=∠CFE, 又.∠A'CB=∠FCE, .△A'CB∽△FCE, 3x 3x 4C_BC ,即CF CF CE 2t, 1 .'BF BC-CF= -Y 2 1 OA X-2 如图3-2所示，连接OC,A'E, C' 图3-2 设AO=x, BC-34B-340 BC-3 AB=3x ,四边形ABCD是矩形， Z4=90 CD=AB=x.AD=BC=3x 答案第32页，共2页 .OD=AD-AO=2x, 在RtCOD中，由勾股定理得OC=VCD+OD=V7x, 由旋转的性质可得AO=AO=x,∠B'AD'=∠A=90°， .OE⊥CA', .∠0EC=90°， .∠BA'C=30°， .∠0AE=180°-90°-30°=60°， ∴∠A'OE=30°， E-0-, 1 、OE=VAo2-AE= 2+ .CE=JOC2-08 2, .CA'=CE-A'E =2x; 由题意得，A八E、FB这四点共圆， .∠CEB+∠AFB=180°， .∠CFA'+∠AFB=180°， .∠CEB=∠CFA, 又：∠A'CF=∠BCE, .△ACF∽△BCE, 2x CF 4C_CF 即3x BC CE 2，， 4 .'BF BC-CF= 3, 4 BF=3 4 0Ax=3 答案第33页，共2页 BF 4 综上所述，OA的值为2或3· 12.(1)见解析 6W5 (2)①(1)中的结论仍然成立；②四边形AFDE是正方形，理由见解析：③5 AC-BC=AB=a 【分析】(I)先证明AE=DE,设AB=2a,求 2 AD=BD=a, 4E=DE=2 2 a CE=AC-AE- 2“,即可证明： (2)①由旋转的性质易证LCAE=∠BAD,根据△AED,△ABC都是等腰直角三角形，得到 AE_AC2 DAB2,即可证明ACEA8D,推出CEC2 ，即可得出结论；②四边 形AFDE是正方形，设CE,AD交点G,同理①得△ACE∽aABD,证明CE⊥DA,△DEF 是等腰直角三角形，易证四边形AFDE是平行四边形，再根据∠EDF=90°，AE=DE, 即可得出结论；③同理①得△ACE∽△ABD,设EG=x,CG=2x,易证A,B,C,G四点共 圆，取AB中点为O,则OO为四边形ABCG的外接圆，连接AG,在BD上取点H,使得 BH=2DH OH AC,BG H AB,AD AB ，连接，设 交点为，过点“分别作 的垂线，交于点 N,交AD延长线于点M,连接OD交AH于点K,则∠AGB=90°，求出 4C=Bc=4B=2BC=4N5,4D-4B=25,4B=DE= -AD=2 2 OA=OB=22 ,根据4CE0,证用4 4GEAHD AIG 是等腰直角三角形， .am=m,易证H平分D10,即D1H=∠01H.再证明 求出 答案第34页，共2页 △D1H≌a01H(SAS),得到∠BH0=90°，利用勾股定理即可求解。 【详解】(1)证明：等腰直角△ABC中，∠ACB=90°， .∠A=∠B=45°， DE∥BC, ∴.∠AED=∠ACB=90°， .∠ADE=45°， .AE DE, 设AB=2a, ,4C=BC=24B=2a 2 点D是AB的中点， .AD=BD=a, E-DE- 2, :CE=AC-AB=2 a 2 BD a .CE -=√2 2 ,即 D=2CE (2)解：①(1)中的结论仍然成立， :∠EAD=∠CAB=45°， ∴.∠EAC+∠CAD=∠CAD+∠BAD=45°， .∠EAC=∠BAD, :△AED,△ABC都是等腰直角三角形， AE AC .AD AB 2, ∴.△ACEr△ABD, 答案第35页，共2页 BD AB :CE AC =2 BD=2CE ②四边形AFDE是正方形，理由如下： 设CE,AD交点G, A 同理①得△ACE∽△ABD」 .∠ACE=∠ABD, ED⊥BD,即∠EDB=90° ∠EDB+∠AED=180°， .BDII AE. .∠ABD+∠EAB=180°， :∠CAB=∠EAD=45°， .∠ABD+∠CAD=90°， .∠ACE+∠CAD=90°，即∠AGC=180°-∠CAD-∠ACE=90°， .CE⊥DA, ,△ADE是等腰直角三角形， ∴.∠DEG=∠AEG=45°， ·BD‖AE ∴.∠DFE=∠AEG=45° :∠EDF=90°」 ∴.△DEF是等腰直角三角形， .DE DF, .AE =DF, .DF AE. ∴.四边形AFDE是平行四边形， 答案第36页，共2页 ∠EDF=90°， 四边形AFDE是矩形， AE =DE, ∴.四边形AFDE是正方形， ③同理①得△ACE∽△ABD, CE AC :.BDAB=2,∠ABD=∠ACE, 设EG=x, .CG=2EG, ..CG=2x, .CE=3x, .BD=3V2x :'∠ABD=∠ACE, :A,B,C,G四点共圆， ACB=90°， ∴.AB为四边形ABCG外接圆的直径，取AB中点为O,则⊙O为四边形ABCG的外接圆， 连接AG,在BD上取点H,使得BH=2DH,连接OH,设AC,BG交点为P,过点H分 别作AB,AD的垂线，交AB于点N,交AD延长线于点M,连接OD交AH于点K,则 ∠AGB=90° :BC=4,△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°， 4C=BC-4.4B-BC=4 答案第37页，共2页 :40-号4B=22 片E=DE=2 AD=2 :点O为AB的中点， .OA=0B=2N2 .BH =2DH, .BH=2√2x,DH=V2x ,∠AGB=∠ACB=90°，∠CQG=∠AQB .∠CG0=∠CAB=45° .∠AGF=180°-∠CGQ-∠AGB=45° ,'△ACEAABD ∴.∠AEC=∠ADB EGxV2AE√2 DH2AD2 .△AGE△AHD .∠AHD=∠AGE=45°， ∴.∠GAH=90°-∠AHD=45°， “△AHG是等腰直角三角形， BH =2DH, .S.AM=2S.AMD 点O为AB的中点， .S.ABH=2S.40m SOH =S.AHD 答案第38页，共2页 AD=0A=2V2 .HM =HN, :IHN⊥AB,HM⊥AM, ∴.AH平分∠DAO,即∠DAH=∠OAH, AD=0A=22,AH AH △DAH≌AOAH(SAS) .DH=OH=V2x∠AHO=∠AHD=45° .∠DHO=∠AHD+∠AHO=90°， .∠BH0=90°， ∴o8=BH+0H,即(2=(2x+(22x, .10x2=8, :36 5(负值舍去)， CE=3x=6 5. 13.(1)见解析 20果料新：②6 Bo5的K为成n 【分析】(I)先根据旋转的性质可得AE=EF,根据等腰三角形的性质可得 ∠EAF=∠AFE,再根据三角形的内角和定理可得∠AEF=180°-2∠EAF,然后根据矩形 的性质可得∠EAF=90°-∠BAE,由此即可得证； (2)①设AC交EF于点O,先证出△ABE≌△AOE,根据全等三角形的性质可得 OE=BE,∠AOE=∠B=90°，则AC⊥EF: 答案第39页，共2页 ②先证出△EOC∽△ABC,根据相似三角形的性质可得OE的长，然后利用勾股定理求出 BF的长，最后根据四边形BCF 的面积等 S+ScF求解即可得： (3)分两种情况：①若点G在对角线AC上时，过点D作DH⊥AC于H,先证出点A, G,C,F在同一条直线上，再求出AF,DH,AH的长，从而可得FH的长，然后利用勾 股定理求解即可得：②若点G在对角线BD上时，过点F作FM⊥BD于M,过点E作 EN⊥BD于N,先根据等腰三角形的性质、勾股定理求出BG,GN,EN的长，再证出 △FGM∽aGEV,根据相似三角形的性质可得GM,FM的长，从而可得DM的长，然后 利用勾股定理求解即可得。 【详解】(I)证明：：△ABE绕点E旋转得到△FGE, :∴.△ABE≌△FGE, :AE=EF, ∴.∠EAF=∠AFE, ∠AEF=180°-∠EAF-∠AFE=180°-2∠EAF, 在矩形ABCD中，∠BAD=90°， .∠BAE+∠EAF=90° ∴.∠EAF=90°-∠BAE. ∴.∠AEF=180°-2∠EAF=180°-2(90°-∠BAE)=2∠BAE (2)①证明：如图2，设AC交EF于点O, 四边形 是矩形， 图2 ABCD AB=3 BC=4 .∠B=90°， 在直角三角形1BC中，由勾股定理得： AC=VAB2+BC=5 △ABE≌△FGE, ·∠AEB=∠AEO,EF=AE, :AE平分∠BAC, 答案第40页，共2页 .∠BAE=∠OAE, 在△ABE和△AOE中， ∠AEB=∠AEO AE=AE ∠BAE=∠OAE' ∴，△ABE≌△AOE(ASA) ∴.OE=BE,∠AOE=∠B=90°， .AC⊥EF; ②解：·AC⊥EF .∠EOC=∠B=90°， 在△EOC和△ABC中， ∠EOC=∠B=90 ∠ECO=∠ACB, :.△EOCn△ABC, OE EC BC-BE BC-OE OE 4-OE AB AC AC AC，即3=5， oe, BE=3 Γ2， 在宜角三角形G中，由勾股定理得；BF=E=B+BE-5, :四边形AECF的面积为： S.AEF+S.CEF 0F0CEF 2 (04+0C)-F 1 2 答案第41页，共2页 =55 4 (3)解：DF的长为s成而.由下： 点G在矩形ABCD的对角线上时，分两种情况讨论： ① 3 AC DDH⊥AC-H 如图，若点在对角线上时，过点作 于 y G 平分 B E 图3 AE ∠BAC ∴点E到AC的距离等于BE的长度， 由旋转的性质得：BE=GE,GF=AB=3,∠EGF=∠ABC=90°， ∴.GE⊥AC, ∠AGE=90°， ∠AGE+∠EGF=180°， ∴点A,G,C,F在同一条直线上， 在Rt△ABE和RtAAGE中， AE=AE BE=GE, ∴.Rt△ABE≌Rt△AGE(HL) :AG=AB=3, ..AF=AG+GF=6. 在矩形ABCD中，AB=3,BC=4, AD=BC=4,CD=AB=3,∠ADC=90°， 由勾股定理得：4C=V32+4=5 Sm号4D-CD=4CDH, 答案第42页，共2页 :DH=AD-CD 12 AC 5, 由勾股定理得：AH=VAD2-DH=16 , HF=AF-AH=6-16_14 55, 由勾股定现得：oF-+0F-号s, ② E,EN⊥BDN 如图4，若点C在对角线BD上时，过点F作FM1BD于M,过点P作9 G BD 于 于 图4 在矩形ABCD中，AB=3,BC=4, AD=BC=4,CD=AB=3,∠BCD=90°， 由勾股定理得：BD=V32+4=5 3 由(1)②得：BE=EG= 2 :BN=GN=)BG(等腰三角形的三线合一) 在RIABCD中，cos∠CBD=BC-4 BD 5 :.在RtBEN中，BN=BE·cOs∠CBD= 5 aGv-g.Bc号 EN=BE2-BN=9 5, 10, 由旋转的性质得：FG=AB=3,∠EGF=∠ABE=90°， ∴.∠NGE+∠FGM=90° FM⊥BD,EN⊥BD」 .∠ENG=∠GMF=90°， 答案第43页，共2页 ∴.∠NGE+∠GEN=90°， ∴∠FGM=∠GEN, 在△FGM和△GEN中， 「∠FGM=∠GEN ∠GMF=∠ENG=90°， :.△FGM∽△GEN, FM-GM_FG GN EN GE· GM=FG.EN 3x9 10=9 GE 3 FM=FG.GN 3x5 _12 , GE 3 5, 2 2 DM=BD-BG-GM=5-12_9-4 555, 由勾股定理得：DF=VFM2+DM-0, 综上所达，DP的张为子5发而， 答案第44页，共2页