4.4平行四边形的判定定理 自主学习同步练习题 2025-2026学年浙教版八年级数学下册

2025-2026学年浙教版八年级数学下册《4.4平行四边形的判定定理》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有（   ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，已知，添加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，将两张对边平行的纸片随意交叉叠放在一起，转动其中一张，使重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，是的中点，过点，分别作，．若，，则四边形的面积为（    ） A．15 B．30 C．45 D．60 5．如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到．连接，与线段交于点F．若，则一定等于（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知的面积为18，点D在线段上，点F在线段的延长线上，且，四边形是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 7．如图，在四边形中，，，平分，则下列结论．①；②；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 8．在四边形中，，，那么_________. 9．已知中，，，则中线的取值范围是______． 10．如图，已知，，E，F是上两点，且，若，，则______．    11．在平面直角坐标系中，已知点、、，在坐标平面内找一点D，使得以A，B，C，D四点组成的四边形为平行四边形，请写出D点坐标_________． 12．如图，在中，点是斜边的中点，过点作于点，连接，过点作的平行线，交的延长线于点．若，则的长为______．    13．如图，垂直平分，交于，，，垂足为A，，，则的长为______．    14．如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②四边形是平行四边形；③；④．正确的是______（填序号）． 三、解答题 15．如图，在平行四边形中，点E是边的中点，的延长线与的延长线相交于点F，求证：四边形是平行四边形． 16．如图，已知平行四边形，点E，F分别在，上，连接，． (1)请选择下面的条件①或条件②，求证：四边形是平行四边形． 条件①：E，F分别是，的中点； 条件②：． (2)若平分，且，求平行四边形的周长． 17．如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，，． (1)求证：； (2)若，求证：． 18．如图，在中，点E、F分别在边、上，且，连结，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连结，若平分，，，，求的长． 19．如图，在等边中，点P为内一点，连接，，，以P为顶点作，且，连接，． (1)如图1，用等式表示与的数量关系，并证明； (2)如图2，当时， ①直接写出的度数为 ； ②若D为的中点，连接，请用等式表示与的数量关系，并证明． 20．综合与实践 折纸操作简单，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究．“乐学小组”以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片中，为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为． (1)【感知】如图①，若点恰好落在边上，求证：四边形是平行四边形； (2)【探究】如图②，若点，，在同一条直线上，求证：； (3)【应用】如图③，若，连接并延长，交于点．若平行四边形纸片的面积为20，，求线段的长． 参考答案 1．解：如图所示， 用两块全等的含角的三角尺拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形有3个． 故选：C． 2．A 【分析】此题考查了平行四边形的判定、平行线的性质，由平行四边形的判定即可得出结论．熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】解：A． ，能使四边形成为平行四边形，故A选项正确，符合题意； B．， 不能使四边形成为平行四边形，故B选项错误，不符合题意； C．，，不能使四边形成为平行四边形，故C选项错误，不符合题意； D．，，不能使四边形成为平行四边形，故D选项错误，不符合题意； 故选：A． 3．C 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定方法和其性质是解答本题的关键．根据题意易证四边形是平行四边形，再逐项判断即可． 【详解】解：根据题意可知，， ∴四边形是平行四边形． ∴，， ∴A、B、D正确，不符合题意； ∴不一定等于，与两张纸片的宽度有关，故C符合题意； 故选：C． 4．B 【分析】本题考查三角形中线的性质，平行四边形的判定及性质．先根据三角形的面积公式求出的面积，再根据三角形中线的性质得到的面积，判定四边形是平行四边形，即可得到． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 故选：B 5．D 【分析】本题主要考查旋转的性质、平行四边形的性质与判定及等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质、平行四边形的性质与判定及等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得，根据旋转的性质可知：，然后可得四边形是平行四边形，进而根据平行四边形的性质及三角形外角的性质可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：D． 6．C 【分析】连接，过A作交的延长线于M，求出平行四边形，根据等底等高的三角形面积相等得出的面积和的面积相等，的面积和的面积相等，推出阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，求出的值即可．本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积的应用，主要考查学生的推理能力和转化能力，题目比较好，但是有一定的难度． 【详解】解：连接，过A作交的延长线于M， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵边上的高和的边上的高相同， ∴的面积和的面积相等， 同理的面积和的面积相等， 即阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，是 ∵， ∴， ∵的面积是18， ∴ ∴， ∴阴影部分的面积是． 故选：C． 7．C 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，根据平行线性质求出，得出平行四边形，即可推出可判断①正确；根据等腰三角形性质求出，即可推出，故②正确；由三角形内角和定理易得，结合，可证明，故③错误．过点E作，则，根据平行线的性质即可判断④正确． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，，故①正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴，又， ∴， ∴，故②正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故③错误； 如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴，故④正确． 综上所述，正确的结论有①②④，共3个． 故选：C． 8． 【分析】先证四边形是平行四边形，即可由平行四边形邻角互补得到的性质得，即可得出结论． 【详解】如图，    ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 9． 【分析】延长至点，使，可证得四边形为平行四边形，根据三角形三边关系即可得到的取值范围． 【详解】如图所示，延长至点，使．    根据题意可知， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∴，即． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质、三角形的三边关系，根据题意构建辅助线是解题的关键． 10．/70度 【分析】根据，得到四边形是平行四边形，即可得到，从而得到，结合得到，即可得到，最后根据三角形内外角关系即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定与性质，三角形全等判定与性质，三角形内外角关系，解题的关键是得到． 11．，， 【分析】需要分类讨论：以为边的平行四边形和以为对角线的平行四边形． 【详解】解：①当为边且为邻边时：如图    因为点、， 所以点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点， 相应的点先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点， ， ； ②当为边且为邻边时：如图    因为点、， 所以点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点， 相应的点先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点， ， ； ③当为对角线时：如图    因为点、， 所以点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点， 相应的点先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点， ， ； 故答案为：，， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及点的平移问题，解题关键是准确作出对应图形，利用数形结合思想解决． 12．7 【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再由平行四边形的判定与性质可得，即可得到答案． 【详解】解：在中，点是斜边的中点，， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 13． 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，证明，进而得到四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得到，，根据勾股定理列出方程，解方程得到的长，进一步利用勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】解：垂直平分， ，， ，， ，即， ， ， ∴， ，垂直平分，， ∴，， 四边形为平行四边形， ，， 设，则， 在中，， 在中，， ，即， 解得：， ∴， ， 故的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识，掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 14．①②③④ 【分析】由，得出，故①正确；再由证得，得，同理得，则四边形是平行四边形，故②正确；然后由平行四边形的性质得，则③正确；最后求出，故④正确；即可得出答案． 【详解】解：，，，， ， 是直角三角形，， ，故①正确； ，都是等边三角形， ，， ， 和都是等边三角形， ，，， ， 在与中， ， ， ， ∴， 同理可证：， ∴四边形是平行四边形， 故②正确； ， 故③正确； 过A作于G，如图所示： 则， ∵四边形是平行四边形， ， ， ∴， 故④正确； ∴正确的是①②③④， 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明是解题的关键． 15．见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，熟练掌握相关的判定和性质是解题的关键．根据平行四边形的性质可得，再根据中点定义可得，然后证明，得出，即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 即， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 16．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质可得，选①可得，选②可得，由平行四边形的判定可得结论； （2）由平行四边形的性质和角平分线的定义可求，即可求解． 【详解】（1）选择条件①． 证法一：∵四边形是平行四边形， ∴, ∵E，F分别是的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 证法二：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵E，F分别是，的中点， ∴，， ∴． 在和中， ∵， ∴， ． 又， ∴四边形是平行四边形． 选择条件②． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴平行四边形的周长． 17．(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质： （1）根据两组对边分别平行证明四边形是平行四边形，由此得到结论； （2）由平行四边形的性质得到，，再证明，得到，即可得到． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合四边形是平行四边形，得，，又因为，故，即可证明四边形是平行四边形； （2）由（1）得四边形是平行四边形，结合平分，得，则，把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：由（1）得四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， 设， ， ， ， ， ． 19．(1)，证明见解析 (2)①；②，理由见解析 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，利用倍长中线构造平行四边形是解题的关键． （1）利用证明，即可得出答案； （2）①由三角形内角和定理知，再利用角度之间的转化对进行转化，，从而解决问题； ②延长到N，使，连接，，得出四边形为平行四边形，则且，再利用证明，得． 【详解】（1）解：， 理由：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵将线段绕点A顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：①当时， 则， ∵， ∴， ∴ ， 故答案为：60°； ②， 理由：延长到N，使，连接，， ∵D为的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，且， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵为正三角形， ∴， ∴． 20．(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到，推出，即可证明四边形是平行四边形； （2）由折叠的性质结合平行四边形的性质证明是等腰三角形，即可得出结论； （3）延长交于点H，由折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，易证是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由折叠的性质可得：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）证明：由折叠的性质可得：， 四边形是平行四边形， ， ， ， 点在同一条直线上 是等腰三角形， ； （3）解：如图，延长交于点H， 由折叠的性质可得：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $