2026年中考数学专题复习-面积问题（二次函数综合）解答题专题突破训练

**基本信息** 聚焦二次函数与面积综合问题，以铅垂高法、二次函数性质为核心，构建"求解析式-表面积-探最值-证存在"的递进式方法体系，强化数学思维与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |面积计算与最值|8道|铅垂高法、平移法、二次函数顶点性质|从待定系数法求解析式（基础），到用坐标表示线段长（桥梁），再到面积公式转化为二次函数求最值（应用）| |存在性与综合应用|5道|相似三角形性质、勾股定理、分类讨论|结合几何图形性质（等腰/直角三角形），通过代数推理验证存在性，体现数学语言表达现实问题的严谨性|

2026年九年级数学中考专题复习-面积问题（二次函数综合）解答题专题突破训练 1．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，点是线段上的动点（与点B，C不重合），连接并延长交抛物线于点，连接，，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)当的面积等于3时，求的值； (3)在点运动过程中，是否存在值使得的面积最大？若存在，求出值；若不存在，请说理由． 2．如图，抛物线（）经过点，，与轴交于点，是第四象限抛物线上的一个动点，连接交轴于点，过点作直线交抛物线于另一点．过点作平行于轴的直线交轴于点，过点作平行于轴的直线交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)求证：； (3)设点的横坐标为，点的横坐标为． ①当时，求出此时点的坐标； ②连接，在点的运动过程中，的面积是否存在最大值？若存在，求出取最大值时，的值；若不存在，请说明理由． 3．如图，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为抛物线的顶点，求的面积； (3)在第一象限的抛物线上是否存在点N，使点N到的距离最大，若存在，求出点N的坐标． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． 　 (1)试求抛物线的解析式； (2)直线与轴交于点，与抛物线在第一象限交于点，与直线交于点，记，试求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，取最大值时，点是轴上的一个动点，点是坐标平面内的一点，是否存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形？请直接写出满足条件的点的坐标． 5．如图，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为抛物线的顶点，求的面积； (3)抛物线上是否存在点P，使是以为底的等腰三角形，若存在求出P点坐标，若不存在说明理由： (4)在第一象限的抛物线上是否存在点N，使点N到的距离最大，若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由． 6．已知抛物线经过、、三点，直线经过点与抛物线交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图1，点是在直线上方二次函数图象（含、两点）上的一个动点，试探究点的坐标是多少时，的面积最大，并求出最大面积； (3)如图2，若是线段上的一个动点，连接，交直线于点，延长，交抛物线于点，试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 7．如图，已知抛物线与x轴交于两点（A在B的左侧），与y轴交于C点． (1)求抛物线的表达式． (2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（不与B、C重合），过D作轴于F，交直线于E，连，直线把的面积分为两部分，若，求D点坐标． 8．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点是该抛物线上一动点，求面积的最大值； (3)若函数的最大值与最小值的差为，求出的值； (4)若点是坐标平面内一动点，请直接写出的最小值及此时点的坐标． 9．如图，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点； (1)用配方法将二次函数化为的形式； (2)观察图象，当时，直接写出的取值范围； (3)点P为二次函数的图象第四象限的点，设点P的横坐标为m，当的面积最大时，求的最大面积，并写出此时点P的坐标． 10．已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为，与y轴交于点C，点在抛物线上． (1)求抛物线解析式； (2)若抛物线上有一动点P，使三角形的面积为8，求点P的坐标． 11．已知关于的二次函数的图象如图所示． (1)方程的两个根为______； (2)观察图象，当时，的取值范围为______； (3)将该二次函数图象向上平移个单位长度后恰好经过点，记此时二次函数图象与轴的交点为，(点在点左侧)，顶点为，请写出的值，并求的面积． 12．如图，已知抛物线与轴交于两点，过点的直线与抛物线交于点．其中点，点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线的上方的抛物线上一个动点，求面积的最大值以及此时点的坐标． (3)将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线，在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，直接写出所有符合条件的点坐标；如果不存在，请说明理由． 13．如图，已知二次函数与轴交于、两点，与轴交于点，、两点坐标为、． (1)求二次函数的表达式； (2)点在直线下方的抛物线上，连结、，求的最大面积； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使、、为顶点的三角形是直角三角形，若存在直接写出点的坐标，若不存在请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)，点的坐标为 (2)或3 (3)存在， 【分析】（1）将点和点代入中，求出b和c的值即可得抛物线的解析式，进而可得C点的坐标． （2）先利用待定系数法求出的解析式为，过Q点作轴于D点，交于E点，则可得，，，根据即可求出m的值． （3）由（2）知，根据二次函数的性质可知，当时，有最大值，最大值为4． 【详解】（1）解：将点和点代入中， 得， 解得，， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为． （2）解：设直线的解析式为， 把和代入可得， 解得， ∴直线的解析式为， 过Q点作轴于D点，交于E点， ∵Q点在抛物线上，且的横坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵的面积等于3， ∴， ∴， 解得，． （3）解：由（2）知， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为4． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数，以及二次函数与三角形综合，三角形面积求法，待定系数法．在直角坐标系中“三角形的面积=水平宽铅垂高”是常用的方法． 2．(1) (2)见解析 (3)①点的坐标为；②存在，， 【分析】（1）将已知的两点坐标代入抛物线的一般式，通过解二元一次方程组求出系数、，从而确定表达式； （2）先利用平行线和垂直关系，证明与两角对应相等，判定它们相似，再根据相似三角形的对应边成比例，交叉相乘得到结论； （3）①先求出点的坐标和直线的解析式，再通过分析为等腰直角三角形，得到也是等腰直角三角形，最后列方程求解点的横坐标；②用参数表示点、直线上的点，再结合（2）中的相似关系，推导出与的关系，写出面积关于的二次函数表达式，最后利用二次函数的顶点性质求最大值及对应的、． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， 将、两点坐标分别代入中， 可得， 解得， 抛物线的表达式为． （2）证明：轴， 轴，， ， ， ， ， ， 轴， 轴， ， ， ， ， ． （3）①解：点的横坐标，轴于点， ，将代入中， 得， 点的坐标为，即， 设直线的表达式为（）， 将点，分别代入， 可得， 解得， 直线的表达式为， 则点的坐标为，即， ， 是等腰直角三角形， ， 由（2）可知，， ， ， 点的横坐标为， ，， ，解得（舍去），， 点的坐标为； ②解：存在，理由如下： 由题意可知，点坐标为，点坐标为， 设直线的解析式为， 将代入可得， 将代入， 可得， 即， 解得， 则直线的解析式为， 当， ， 点的坐标为， ， 由（2）可知，， ， ，， ，化简得 ， ， ， ， ， ， 当时，，此时取得最大值， 故存在最大值，此时，． 3．(1) (2)3 (3) 【分析】（1）将点代入关系式得出方程组，求出解即可； （2）先求出点，再根据待定系数法求出直线的解析式，然后求出抛物线的顶点坐标，接着作轴交直线于点E，并求出，最后根据得出答案； （3）先表示出直线向上平移后的关系式为，再将两个关系式联立，根据有一个交点可知，然后求出，即可得出平移后的关系式，最后求出交点即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴二次函数关系式为； （2）解：在中，当，则， ∴点， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． ∵， ∴． 过点D作轴交直线于点E， ∴点， ∴， ∴； （3）解：∵直线的解析式为， 将直线向上平移a的单位长度，使其与抛物线只有一个交点， 则平移后的关系式为， 当直线与抛物线有一个交点时，此时直线与抛物线的交点为点N，两平行线间得距离最大，即点N到直线的距离最大． 将两个关系式联立，得， 整理，得， ∴， 解得， 所以平移后的直线关系式为，则， 解得， ∴， ∴点． 4．(1) (2)取得最大值，此时点的坐标为 (3)存在，满足条件的的坐标为或 【分析】（1）根据已知条件求得点的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）过点作轴交直线于，连接，先求得直线的解析式，设，则，可得，再由，根据相似三角形的性质及等高三角形的面积比等于底的比可得，利用二次函数的性质解决问题即可； （3）存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形，分是矩形的边和是矩形的对角线两种情况求点的坐标． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 抛物线经过点，，， ， 解得：， 该抛物线的解析式为； （2）解：如图1，过点作轴交直线于，连接， 设直线的解析式为， ，， ， 解得：， 直线的解析式为， 设，则， ， 直线与轴交于点， ， ， 轴，即， ， ， ， ， ， 当时，取得最大值，此时点的坐标为； （3）解：存在这样的点、，使得以、、、四点组成的四边形是矩形． ①当是矩形的边时，有两种情形， a、如图2﹣1中，四边形是矩形时， 由（2）可知，代入中，得到， 直线的解析式为，可得，， 由可得， , ， ， ． 根据矩形的性质，将点向右平移个单位，向下平移1个单位得到点， ，即， b、如图2﹣2中，四边形是矩形时， 直线的解析式为，， 直线的解析式为， ， 根据矩形的性质可知，将点D向右平移6个单位，向下平移4个单位得到点N， ，即． ②当是对角线时，设， 则，，， 是直角顶点， ， ， 整理得，方程无解，此种情形不存在， 综上所述，满足条件的的坐标为或． 5．(1) (2)3 (3)或 (4) 【分析】（1）运用待定系数法将，代入，即可求解； （2）先求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，运用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得顶点坐标，过点作轴交直线于点，求得，利用，即可求得答案； （3）由（2）得，当以为底的等腰三角形，得出，则点在上，联立抛物线解析式解方程组即可求解． （4）将直线向上平移个单位，使其与抛物线只有一个交点，则平移后解析式为，联立和得：，令，求出，再解方程求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， ，解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：在中，令，则：， ， 设直线的解析式为， ， ， 解得：， 直线的解析式为， ， ， 过点D 作轴交直线于点E ， ， ， ． （3）解：， ， 则是等腰直角三角形， ∴当是以为底的等腰三角形，则， ∴在的角平分线上，即上， 联立得， 解得： 或， 或． （4）解：∵直线的解析式为， 将直线向上平移个单位，使其与抛物线只有一个交点， 则平移后解析式为， 联立和得：， 整理得：， ∴， 解得：， 则平移后解析式为，， ∴， ∴． 6．(1) (2)， (3)存在，最大值9 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）求出点坐标，可知轴，当点在上方，即时，；当点在下方，即时，；分别求出比较即可； （3）过点作轴交于点，可得，当的值最大值时，的值也最大，设，则，则，当时，有最大值9，即得的最大值． 【详解】（1）解：将、、代入得， ， 解得， ∴． （2）解：联立方程组， 解得或， ∴， ∵， ∴轴，， 设， ∵点是在直线上方二次函数图象（含、两点）上， ∴， 过点作于点， 当点在上方，即时，， ∴， ∴当时，的面积最大值为； 当点在下方，即时，， ∴， ∴当时，的面积最大值为； ∵， ∴当时，的面积取最大值， ∴当时，， ∴点的坐标是时，的面积最大值为． （3）解：存在最大值． 如图，过点作轴交于点， ∵轴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当的值最大时，的值也最大， 设， ∵点在直线上， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值9， ∴的最大值为9． 7．(1) (2) 【分析】（1）将代入求解即可； （2）先求出直线解析式为，设点，则点，表示出和，由三角形的面积关系列出方程求解即可． 【详解】（1）解：将点A，点B的坐标代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线与y轴交于点C，令，则y=5， ∴， 设直线解析式为，把点B、点C的坐标代入得： 解得， ∴直线解析式为， 设点，则点， ∴，， ∵， ∴，即， 解得或5， ∵点D是第一象限内抛物线上的一个动点（不与B、C重合）， ∴，则， ∴点． 8．(1) (2) (3)或 (4)的最小值为，此时点的坐标为 【分析】（1）将点，代入抛物线表达式，解方程即可； （2）过点作轴的平行线，交于点，用的代数式表示出点和点的坐标，进而表示出．利用割补法将的面积分为竖直的两个小三角形，得到关于的关系式，结合二次函数的性质求出最大值即可； （3）分为区间在对称轴左侧、右侧和经过对称轴三类情况，由二次函数的增减性判断最大值和最小值，构造方程并求解．对于区间经过对称轴的情况，还需细分为处取最大值和处取最大值，解方程可知这两种情况下无解； （4）由点的横纵坐标关系，消去参数后，发现点在直线上，此时符合“将军饮马”模型，作点关于直线的对称点，当、、三点共线时，取得最小值，即，使用勾股定理计算出，点的坐标可通过联立直线和直线求得． 【详解】（1）解：将点，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：如图，过点作轴的平行线，交于点， 设直线的函数表达式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为， ∵点是该抛物线上一动点， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴， ∴点的坐标为， ∵， ∴点在下方， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ∴当时，取得最大值； （3）解：在抛物线中，图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ①当区间在对称轴左侧，即时， ∵， ∴， 在上，随的增大而减小， ∴当时，取得最大值， 当时，取得最小值， ∴， 解得； ②当区间在对称轴右侧，即时， ∴ 在上，随的增大而增大， ∴当时，取得最小值， 当时，取得最大值， ∴， 解得； ③当区间包含对称轴，即时， ∴， 此时二次函数在顶点处取得最小值，即的最小值为， ∵抛物线开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， 当时， ∵， ∴在处，取得最大值， ∴， 化简，得， 解得，两根均不在的范围内，故舍去； 当时， 同理，在处，取得最大值， ∴， 化简，得， 解得，两根均不在的范围内，故舍去； 综上所述，或． （4）解：∵， ∴，， 两式相加得，即， ∴点在直线上， 如图，作直线，交轴于点，交轴于点，作点关于直线的对称点，连接、、， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 将代入，得， ， 解得，， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴，， ∵点与点关于对称， ∴，，， ∴，即， ∴点的坐标为， ∵， 又∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值，即， 在直角中，， ∴的最小值为， 设直线的函数表达式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为， 联立直线与直线，得， ， 解得， ∴点的坐标为； 综上所述，的最小值为，此时点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查三角形面积最值问题，二次函数区间上的最值问题，线段和最值问题，解第二问的关键是将面积最值转化为线段最值，第三问需要根据对称轴和区间相对位置分类讨论，第四问则使用“将军饮马”模型来解． 9．(1) (2) (3),此时 【分析】（1）加减一次项系数一半的平方，配方解答即可； （2）根据抛物线的对称轴，开口方向，确定时，二次函数的最大值与最小值，再确定范围即可． （3）过点P作轴于点F，交直线于点Q，设直线的解析式为， 设，则， 则，表示三角形的面积，建立方程解答即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵， ∴抛物线开口向上，当时，函数有最小值， 且抛物线上的点与对称轴的距离越大，函数值越大， ∵， ∴在这个范围内， ∴二次函数的最小值为， ∵， ∴当时，取得最大值，且最大值为， 故的取值范围为． （3）解：由得， 解方程得，得， 点是抛物线上的一动点，且在第四象限，点P的横坐标为m， 故 过点P作轴于点F，交直线于点Q， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为：． 设，则， 则， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， ∴当，的面积最大，且最大值为，此时． 10．(1) (2)或或． 【分析】本题考查求二次函数解析式，二次函数与几何综合，解题关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，掌握函数与方程的关系． （1）将，代入二次函数中求解，即可解题； （2）利用抛物线解析式求出点B坐标，进而得到，设点P坐标为，结合的面积为8，建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：因为二次函数的图象经过，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设点P坐标为， 令，则， 解得或1， ∴点B坐标， ∴． ∵的面积为8， ∴， ∴或， 解得或， ∴点P坐标为或或． 11．(1)， (2) (3)，的面积为 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的平移变换，关键是利用二次函数的顶点式和图象对称性来求解． （1）根据二次函数图象与轴交点的横坐标即为对应一元二次方程的根，利用图象的对称性找到两个交点的横坐标； （2）先求出二次函数的解析式，再分别计算区间端点和顶点处的函数值，确定的取值范围； （3）根据平移规律得到平移后的函数解析式，代入已知点求出的值，再求出新函数与轴的交点和顶点坐标，最后计算三角形面积． 【详解】（1）解：由二次函数图象可知，对称轴为，与轴的一个交点为， 根据对称性，另一个交点为， 因此方程的两个根为，； 故答案为：，； （2）解：设二次函数的顶点式为， 将点代入得，解得， ∴函数解析式为． 当时，；当时，；当时，．∴当时，的取值范围为； 故答案为：； （3）解：将二次函数图象向上平移个单位后，解析式为． 将点代入得，解得． 此时解析式为． 令，则，解得，， ∴，，． ∵顶点的坐标为， ∴的面积为． 12．(1) (2)面积的最大值为8，此时点的坐标为 (3)存在，符合条件的点坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）过点M作轴，交于点N，求出直线的解析式为，设点M的坐标为，则点N的坐标为，可得，，再根据三角形的面积公式以及二次函数的性质解答即可； （3）根据平移的性质可得平移后的抛物线的解析式为，设点P的坐标为，再由勾股定理可得或，可得到关于t的方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交点，点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图，过点M作轴，交于点N， 设直线的解析式为， 把点，点代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点M的坐标为，则点N的坐标为， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值为8，此时点的坐标为． （3）解：存在， ∵，将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线， ∴， 设点P的坐标为， ∵点，点， ∴，，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴或， 当时， ∴， 解得：或5， 此时点P的坐标为或； 当时， ， 解得：或， 此时点P的坐标为或； 综上所述，符合条件的点P的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质、二次函数综合题、二次函数图象的平移、二次函数与几何的综合等知识点，掌握二次函数的相关性质是解题的关键． 13．(1) (2) (3)存在，点的坐标为、、或 【分析】（1）代入两点坐标求解二次函数表达式； （2）通过设点坐标，结合直线方程表示线段长度，利用二次函数配方法求面积最大值； （3）分，，三种情况讨论，当，时，结合全等三角形与设直线方程求解；，时，利用等腰直角三角形的判定与性质求解． 【详解】（1）解：将、代入，得 ，解得， 故二次函数表达式为； （2）解：设直线的解析式为． 将，代入， 得，解得， ∴直线的解析式为． 设点的坐标为，过作轴的垂线，交直线于点，则的横坐标为，则， ∴， ∴的面积． ∵， ∴函数图象开口向下， ∴当时，取得最大值． （3）解：①如图，当，点在直线上方时，对称轴与轴交点为，在轴上截取，过点作轴垂线交于点，设，则， ∵， ∴． 又∵，且， ∴． 在和中： ∴， ∴，． ∴． ∵， ∴设直线的函数解析式为， 将、代入得： 对两个方程进行整理： 由方程②，得，将其代入方程①： 展开并整理得到：， ∴(舍去负值)． ②如图，当，点在直线下方时，对称轴与轴交点为，在轴上截取，过点作轴垂线交于点，设，则， 同理，． ∴． 设直线的函数解析式为， 将、代入得：， 由方程②，得，将其代入方程①： 展开并整理得到：， ∴(舍去正值)． ③如图，当时，对称轴与轴交点为， ∵，且， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∴． ④如图，当时，过点作轴，易得． ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 综上，点的坐标为、、或． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数表达式、二次函数与几何图形的面积问题以及特殊三角形存在性问题，涵盖代数运算、函数性质、几何图形判定与计算三大模块．第（1）小题很好解决，第（2）小题中需要用铅垂高法求的最大面积，第（3）小题需要分三种情况结合几何图形性质求解． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $