精品解析：黑龙江哈尔滨市萧红中学校2025-2026学年九年级下学期中考一模数学试题

2026萧红校1模数学试题 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列各数中，倒数等于本身的是（　　） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查倒数，关键是掌握倒数的定义．乘积是1的两数互为倒数，由此即可判断． 【详解】A、的倒数是，故A不符合题意； B、的倒数是，故B符合题意； C、的倒数是2，故C不符合题意； D、2的倒数是，故D不符合题意． 故选：B． 2. 下列交通标志中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形可得答案． 【详解】解：A.是轴对称图形，故此选项符合题意； B.不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C. 不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D. 不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 3. 据年月日《天津日报》报道，今年“五一”小长假，全市跨区域人员流动量达到人次．将数据用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数． 【详解】解：将数据用科学记数法表示应为． 故选：B． 4. 如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，从正面看到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】正面看到的平面图形即为主视图． 【详解】立体图形的主视图为：D； 左视图为：C； 俯视图为：B 故选：D． 【点睛】本题考查三视图，考查的是空间想象能力，解题关键是在脑海中构建出立体图形． 5. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：x=9， 经检验：x=9是原分式方程的解， 故选：C． 【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解题的关键是解分式方程注意要检验，避免出现增根． 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式可得顶点坐标为即可得到结果． 【详解】∵二次函数解析式为 ， ∴顶点坐标为； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式的顶点坐标的求解，准确理解是解题的关键． 7. 用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（ ） A. 14 B. 20 C. 23 D. 26 【答案】B 【解析】 【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解. 【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈，； 第②个图案中有5个圆圈，； 第③个图案中有8个圆圈，； 第④个图案中有11个圆圈，； …， 所以第⑦个图案中圆圈的个数为； 故选：B. 【点睛】本题考查了图形类规律探究，根据前四个图案圆圈的个数找到第n个图案的规律为是解题的关键. 8. 如图，直线，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F．若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，利用平行线分线段成比例定理列出比例式解答即可． 【详解】解：， ， ∵， ∴ ， ， ． 故选：C． 9. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定的综合．先由作图得到为的角平分，利用平行线证明，从而得到，再利用平行四边形的性质得到，再证明，分别求出，，则各选项可以判定． 【详解】解：由作图可知，为的角平分， ∴，故A正确； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，故D错误； ∵， ∴，故C正确， 故选：D． 10. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t，APQ的面积为S，则S与t的函数关系图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题应分两段进行解答，①点P在AB上运动，点Q在BC上运动，②点P在AB上运动，点Q在CD上运动，依次得出S与t的关系式即可得出函数图象． 【详解】解：①点P在AB上运动，点Q在BC上运动，此时AP＝t，QB＝2t， 故可得S＝AP•QB＝t2，函数图象为抛物线； ②点P在AB上运动，点Q在CD上运动， 此时AP＝t，△APQ底边AP上的高保持不变，为正方形的边长4， 故可得S＝AP×4＝2t，函数图象为一次函数． 综上可得总过程的函数图象，先是一段抛物线，然后是一条线段． 故选：B． 【点睛】此题考查了动点问题的函数图象，解答本题关键是分段求出函数解析式，利用解析式判断图象． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意知：x-2≠0，解得x≠2； 故答案为x≠2． 12. 分解因式：___________. 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】． 故答案为：． 13. 一个不透明的口袋中有5个除颜色外完全相同的小球，其中2个红球，3个白球．随机摸出一个小球，摸出红球的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率的公式即可求出答案． 【详解】解：由题意得摸出红球的情况有两种，总共有5个球， 摸出红球的概率：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了概率的求法，解题的关键在于熟练掌握概率的简单计算公式：概率事件发生的可能情况事件总情况． 14. 不等式组的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组的解集，分别解出每个不等式的解集，再取公共部分的解集，即可作答． 【详解】解： 由得出 由得出 ∴不等式组的解集为 故答案为： 15. 如图，将绕点C顺时针旋转得到．已知，则线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】由于将△ABC绕点C旋转120°得到△A′B′C′，可见，阴影部分面积为扇形ACA′减扇形BCB′，分别计算两扇形面积，再计算其差即可． 【详解】解：如图：由旋转可得： ∠ACA′=∠BCB′=120°，又AC=3，BC=2， S扇形ACA′==， S扇形BCB′==， 则线段AB扫过的图形的面积为=， 故答案为： 【点睛】本题考查了扇形面积的计算和阴影部分的面积，将阴影部分面积转化为两扇形面积的查是解题的关键． 16. 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数，且当时，．当气球内的气体压强大于时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于________． 【答案】 【解析】 【分析】待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质进行求解即可． 【详解】解：设， ∵时，， ∴， ∴， ∵， ∴时，随着的增大而减小， 当时，， ∴当时，， 即：为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于； 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出反比例函数的解析式，利用反比例函数的性质，进行求解，是解题的关键． 17. 定义新运算：，则的运算结果是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查新定义的题型和整式的乘法运算，解决此题的关键是正确的计算；将 和 代入公式 进行计算． 【详解】解：由题意得，； 故答案为 ． 18. 中，厘米，，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当与全等时，v的值为______． 【答案】2或3 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，此题要分两种情况：①当时，，计算出的长，进而可得运动时间，然后再求v；②当时，，计算出的长，进而可得运动时间，然后再求v． 【详解】解：分以下两种情况： 当时，， ∵点D为的中点， ∴（厘米）， ∵， ∴（厘米）， ∵点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动， ∴运动时间是1秒， ∵， ∴（厘米）， ∴（厘米/秒）； 当时，， ∵（厘米），， ∴（厘米）， ∵（厘米）， ∴（厘米）， ∴运动时间为（秒）， ∴（厘米/秒）， 故答案为：2或3． 19. 如图，BD是⊙O的直径，BA是⊙O的弦，过点A的切线交BD延长线于点C，OE⊥AB于E，且AB=AC，若CD=2，则OE的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接OA，所以∠OAC＝90°，因为AB＝AC，所以∠B＝∠C，根据圆周角定理可知∠AOD＝2∠B＝2∠C，故可求出∠B和∠C的度数，在Rt△OAC中，求出OA的值，再在Rt△OAE中，求出OE的值，得到答案. 【详解】连接OA， 由题意可知∠OAC＝90°， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 根据圆周角定理可知∠AOD＝2∠B＝2∠C， ∵∠OAC＝90° ∴∠C＋∠AOD＝90°， ∴∠C＋2∠C＝90°， 故∠C＝30°＝∠B， ∴在Rt△OAC中，sin∠C＝＝， ∴OC＝2OA， ∵OA＝OD， ∴OD＋CD＝2OA， ∴CD＝OA＝2， ∵OB＝OA， ∴∠OAE＝∠B＝30°， ∴在Rt△OAE中，sin∠OAE＝＝， ∴OA＝2OE， ∴OE＝OA＝， 故答案为. 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，角的转换，以及在直角三角形中的三角函数的运用，解本题的要点在于求出OA的值，从而利用直角三角形的三角函数的运用求出答案. 20. 如图，中，和的角平分线交于点，经过点与交于点，以为边向两侧作等边和等边，分别和，交于点G，H，连接．若，，，．则下列结论中正确的有_____（填序号） ①； ②是等边三角形； ③与互相垂直平分； ④． 【答案】①② 【解析】 【分析】根据三角形的角平分线交于一点可得为的平分线，利用角平分线的定义和三角形的内角和定理，通过计算即可得出即可判断①正确；通过证明即可判断②正确；，为的角平分线，得到垂直平分，可证明，则不垂直平分，据此可判断③；根据角平分线的性质得到到的距离相等，设到的距离为，可求出，根据可判断④． 【详解】解：∵和的角平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵三角形的三条角平分线相交于一点， ∴为的角平分线， ∴， ∵以为边向两侧作等边和等边， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形，故②正确； ∵，为的角平分线， ∴垂直平分， ∵是等边三角形，， ∴，， ∵， ∴， ∴点G不在线段的垂直平分线上， ∴不垂直平分，故③错误； ∵，，，为的角平分线， ∴到的距离相等， 设到的距离为， ∵ ∴， ∴ ，故④错误； ∴正确的有①② 故答案为：①②． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的面积公式．利用相关定义、性质与公式对每个选项进行判定是解题的关键． 三、解答题（21，22题每题7分，23，24每题8分，25-27题每题10分，共60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值．先把原式括号里的式子通分，然后根据约分的方法和分式的性质进行化简，最后代入计算． 【详解】解： 原式. 22. 如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段和，其中点、、、、均在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画出等腰直角，点在小正方形的顶点上，且的面积为10； （2）仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．要求：作的角平分线，连接，并直接写出线段的长度． 【答案】（1）见解析 （2）作图见解析， 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． （1）由等腰直角，得出，然后再方格纸上取点即可； （2）先求出的值，取格点，使，再求出的值，取格点，使，利用等腰三角形三线合一的性质即可得是的角平分线．再由角平分线的性质和勾股定理即可求解线段的长度． 【小问1详解】 解：如图所示，点即为所求； 理由如下：设， ， ∵等腰直角， ∴， 即，解得， 当时，的面积为，符合题意． 【小问2详解】 解：如图所示，线段即为所求； 作法如下： ∵， ∴， 延长至格点，使，连接， 此时在的垂直平分线上． ∵， ∴取格点，使， 此时在的垂直平分线上． 连接并延长交于点， 由等腰三角形三线合一的性质即可得是的角平分线，连接． 作交于点， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 设， 则， 在中， 由勾股定理得，， 即，解得， ∴． 23. 2025年1月，人工智能成功出圈，使我国的技术在全球人工智能领域备受关注，对人类社会、经济、文化、科技等领域产生深远影响．某校为了提高学生的科技创新能力，开展“万物皆可”为主题的校园创客大赛，为了解学生“最喜爱的创客项目”的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查（规定每人必须选择且只能选一项），并将调查结果绘制成如下统计表和不完整的统计图． 组别 A B C D E 项目名称 创意设计 （） 动漫设计 （） 机器人 （） 手工创意 （） 创意程序设计 （） 根据以上信息，请回答下列问题： （1）本次抽样调查共随机抽取了多少名学生； （2）请通过计算，补全条形统计图； （3）若该校共有学生1200人，根据调查数据，估计该校学生最喜爱A组和D组学生共有多少名． 【答案】（1）20名 （2）见解析 （3）660名 【解析】 【分析】（1）用A组的人数除以其人数占比即可求出参与调查的人数； （2）求出D组的人数，再补全统计图即可； （3）用1200乘以样本中该校学生最喜爱A组和D组学生人数占比之和即可得到答案． 【小问1详解】 解：名， 答：本次抽样调查共随机抽取了20名学生； 【小问2详解】 解：由（1）得D组的人数为名， 补全统计图如下： 【小问3详解】 解：名， 答：估计该校学生最喜爱A组和D组学生共有660名． 24. 定义：在平行四边形中，取任意一边的中点，连接该中点与对边的两个端点所形成的三角形，叫作平行四边形的对边中点三角形．已知，在中，点E为边上一点，为的对边中点三角形． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，，对角线于点G，交于点F，交于点H，连接，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出所有面积是面积3倍的三角形． 【答案】（1） （2）、、、 【解析】 【分析】（1）根据对边中点三角形的定义得到点是的中点，结合平行四边形的性质得到，利用平行线的性质求出，从而求出的度数； （2）易证明四边形是菱形，根据证明、，进而得到、，设、，则、，进而求出、，据此求出，根据三角形面积与底、高的关系，找出面积是面积3倍的三角形即可． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形， 、、、， 为的对边中点三角形， 点是的中点， ， ， ， 、， ， 、， 、， 、， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：在中，， 四边形是菱形， 、， 由（1）知，、， ， ， ， ， 同理可证：， ， 设、，则、， 、， 、， 、， ， ， ， ， 点是的中点，， 中上的高为，中上的高为， ， ， 满足条件的三角形为、、、． 25. 某小区为了绿化环境，计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵．两次共花费940元（两次购进的A、B两种花草价格均分别相同）． （1）A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？ （2）若购买A、B两种花草共31棵，且B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 【答案】（1）20，5；（2）购进A种花草的数量为11株、B种20株，费用最省；最省费用是320元． 【解析】 【分析】（1）设A种花草每棵的价格x元，B种花草每棵的价格y元，根据第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费940元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵，两次共花费675元；列出方程组，即可解答．（2）设A种花草的数量为m株，则B种花草的数量为（31-m）株，根据B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，得出m的范围，设总费用为W元，根据总费用=两种花草的费用之和建立函数关系式，由一次函数的性质就可以求出结论． 【详解】（）设，两种花草每棵的价格分别为元和元． 由题意得， 解得：， 答：，两种花草价格分别为元和元． （）设购买种花草棵，则购买种花草为棵， 由题意得，且为整数， 解得：且为整数， 由（）可知，的价格为元/棵，的价格为元/棵， 设费用为， 则， 由一次函数的性质可得：随的增大而增大， ∴当取最小整数时，最小值为：， 答：费用最省的方案为购买种花草棵，购买种花草棵，花费最少为元． 26. 如图1，内接于圆O，过点A作于D，E为弧中点，连接交于点F． （1）求证：； （2）如图2，过点A作的垂线，交圆O于点G，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接与交于点H，连接并延长交于点N，连接，若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用垂径定理的推论，得到，根据平行线的判定证明即可； （2）延长，交于点Q，证明四边形是矩形，结合垂径定理，证明即可； （3）以点F为原点，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，得到，故，，利用待定系数法，解方程组求解即可． 【小问1详解】 证明：因为E为弧中点，连接交于点F， 所以，且， 因为， 所以； 【小问2详解】 证明：延长，交于点Q， 因为，，， 所以四边形是矩形， 所以， 所以， 所以， 故； 【小问3详解】 解：以点F为原点，以所在直线为x轴，建立平面直角坐标系如下， 设，则， ， 所以 所以， 因为， 所以， 所以， 故，， 因为，， 所以， 所以， 根据（2）的结论，得， 设， 根据勾股定理，得， 故， 整理，得， 解得（舍去）， 故，， 故，，， 设直线的表达式为， 将分别代入直线的表达式得： ， 解得， ∴直线的表达式为：． 设直线的表达式为， 将分别代入直线的表达式得： ， 解得， ∴直线的表达式为． 设直线的表达式为， 将分别代入直线的表达式得： ， 解得， ∴直线的表达式为：． 根据题意，得， 解得， 故， 设直线的表达式为， 将分别代入直线的表达式得： ， 解得， ∴直线的表达式为：． 根据题意，得， 解得， 故， 故． 27. 已知，平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线，交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，交轴于点，且． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图，在（）的条件下，，点为第四象限内抛物线上一点，连接，过点作的垂线，交第二象限内抛物线于点，连接交轴于点，连接并延长交抛物线于点，连接，，为上一点，连接，若，求直线解析式． 【答案】（1）抛物线的解析式为； （2）与的函数关系式为； （3）直线解析式为． 【解析】 【分析】（）先求出，，然后利用待定系数法即可求解； （）设点，求出直线解析式为，求得，则，所以，然后通过的面积即可求解； （）先求出，过分别作，，交直线于点，证明，所以，设点，，求出，，，，代入求出，同理可得：直线解析式为，当时，，从而求得，同上理可得直线解析式为，联立得，从而求得，通过，可求得，，然后通过距离公式得出，再证明，所以，再证明为中点，即，然后利用待定系数法即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线，交轴于点， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， 代入解析式得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由（）得抛物线的解析式为， 当时，， 解得：，， ∴， 设点， 设直线解析式为， ，解得：， ∴直线解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积， ∴与的函数关系式为； 【小问3详解】 解：由（）得，与的函数关系式为， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴轴， 如图，过分别作，，交直线于点， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：直线解析式为， 当时，， ∴， ∴同上理可得：直线解析式为：， 联立得， 解得：或， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴直线解析式为，直线解析式为， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴为中点， ∴，即， 设直线解析式为， ，解得：， ∴直线解析式为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026萧红校1模数学试题 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 下列各数中，倒数等于本身的是（　　） A. B. C. D. 2 2. 下列交通标志中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 据年月日《天津日报》报道，今年“五一”小长假，全市跨区域人员流动量达到人次．将数据用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，从正面看到的平面图形是（ ） A. B. C. D. 5. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（ ） A. 14 B. 20 C. 23 D. 26 8. 如图，直线，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F．若，，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 10 9. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交于点，交延长线于点．若，，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB向B点运动，同时动点Q从B点出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD方向运动，当P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动．设P点运动的时间为t，APQ的面积为S，则S与t的函数关系图象是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是____． 12. 分解因式：___________. 13. 一个不透明的口袋中有5个除颜色外完全相同的小球，其中2个红球，3个白球．随机摸出一个小球，摸出红球的概率是________． 14. 不等式组的解集为______． 15. 如图，将绕点C顺时针旋转得到．已知，则线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为__________________． 16. 某气球内充满了一定质量的气体，在温度不变的条件下，气球内气体的压强是气球体积的反比例函数，且当时，．当气球内的气体压强大于时，气球将爆炸，为确保气球不爆炸，气球的体积应不小于________． 17. 定义新运算：，则的运算结果是_____． 18. 中，厘米，，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v厘米/秒，则当与全等时，v的值为______． 19. 如图，BD是⊙O的直径，BA是⊙O的弦，过点A的切线交BD延长线于点C，OE⊥AB于E，且AB=AC，若CD=2，则OE的长为_____． 20. 如图，中，和的角平分线交于点，经过点与交于点，以为边向两侧作等边和等边，分别和，交于点G，H，连接．若，，，．则下列结论中正确的有_____（填序号） ①； ②是等边三角形； ③与互相垂直平分； ④． 三、解答题（21，22题每题7分，23，24每题8分，25-27题每题10分，共60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中有线段和，其中点、、、、均在小正方形的顶点上． （1）在方格纸中画出等腰直角，点在小正方形的顶点上，且的面积为10； （2）仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．要求：作的角平分线，连接，并直接写出线段的长度． 23. 2025年1月，人工智能成功出圈，使我国的技术在全球人工智能领域备受关注，对人类社会、经济、文化、科技等领域产生深远影响．某校为了提高学生的科技创新能力，开展“万物皆可”为主题的校园创客大赛，为了解学生“最喜爱的创客项目”的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查（规定每人必须选择且只能选一项），并将调查结果绘制成如下统计表和不完整的统计图． 组别 A B C D E 项目名称 创意设计 （） 动漫设计 （） 机器人 （） 手工创意 （） 创意程序设计 （） 根据以上信息，请回答下列问题： （1）本次抽样调查共随机抽取了多少名学生； （2）请通过计算，补全条形统计图； （3）若该校共有学生1200人，根据调查数据，估计该校学生最喜爱A组和D组学生共有多少名． 24. 定义：在平行四边形中，取任意一边的中点，连接该中点与对边的两个端点所形成的三角形，叫作平行四边形的对边中点三角形．已知，在中，点E为边上一点，为的对边中点三角形． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，，对角线于点G，交于点F，交于点H，连接，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出所有面积是面积3倍的三角形． 25. 某小区为了绿化环境，计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵．两次共花费940元（两次购进的A、B两种花草价格均分别相同）． （1）A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？ （2）若购买A、B两种花草共31棵，且B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用． 26. 如图1，内接于圆O，过点A作于D，E为弧中点，连接交于点F． （1）求证：； （2）如图2，过点A作的垂线，交圆O于点G，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，连接与交于点H，连接并延长交于点N，连接，若，，，求的长． 27. 已知，平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线，交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，交轴于点，且． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，点为第一象限内抛物线上一点，连接交轴于点，连接，设点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）如图，在（）的条件下，，点为第四象限内抛物线上一点，连接，过点作的垂线，交第二象限内抛物线于点，连接交轴于点，连接并延长交抛物线于点，连接，，为上一点，连接，若，求直线解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $