精品解析：河南省南阳市名校2025-2026学年高二下学期阶段性学情检测数学试题

2026年春季高二年级阶段性学情检测 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册第七章，选择性必修第二册第一章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列0，，，，…，则该数列的通项公式可以为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，，四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为-0.95，-0.82，0.86，0.93，则线性相关程度最弱的是（ ） A. 组 B. 组 C. 组 D. 组 3. 某网店的衣服从小到大有S，M，L，XL，XXL，XXXL，XXXXL，共7个尺码，其中L码最适合体重65kg的人，XXXXL码最适合体重95kg的人，且相邻两个尺码最适合的人的体重之差相等，则相邻两个尺码最适合的人的体重之差的绝对值为（ ） A. 7.5kg B. 6.5kg C. 7kg D. 6kg 4. 在等比数列中，，是方程的两个解，则（ ） A. B. C. 25 D. 5. 在数列中，，，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 6. 已知等比数列的前项和为，且，，则（ ） A. 80 B. 100 C. 105 D. 125 7. 设等差数列的前项和分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列是首项为3的正项数列，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 小张读完某本书共需要10个小时，若他在3月1日、3月2日均未读这本书，且在3月3日读了28分钟，从3月4日开始，每天读这本书的时间比前一天多4分钟，已知他在3月份只读这一本书，则（ ） A. 他在3月5日读了32分钟 B. 他在3月6日读了40分钟 C. 他在3月11日读了1个小时 D. 他在3月14日正好读完这本书 10. 已知相关系数，关于的线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，已知变量与变量的部分数据，建立由最小二乘法得到的两个回归模型：以为自变量，为因变量，得出的线性回归方程为；以为自变量，为因变量，得出的线性回归方程为，若两个模型的计算均无误，则下列判断正确的是（ ） A. 若已知变量的方差，则可得知变量的标准差 B. 若已知变量的方差，则不可得知变量的标准差 C. 若不给定其他信息，则也可得知变量与变量各自的平均值 D. 若不给定其他信息，则也可得知变量与变量的相关系数 11. 给定数列（且），若对任意的，都有，则称数列为指数型数列，则下列说法正确的是（ ） A. 若数列为指数型数列，且，则 B. “数列是指数型数列”是“数列是等比数列”的充要条件 C. 若数列满足，且是指数型数列，则 D. 若数列是指数型数列，且，则数列中存在不同的三项构成等差数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的前项和为，且，则_____________. 13. 在等比数列中，已知，，则____________. 14. 细胞A有两种状态：活跃和休眠.该细胞每秒的状态转移规律如下：若细胞A这一秒为活跃状态，下一秒仍保持活跃状态的概率为，转为休眠状态的概率为；若细胞A这一秒为休眠状态，下一秒转为活跃状态的概率为，保持休眠状态的概率为.已知细胞A第1秒为活跃状态，则第3秒为休眠状态的概率为____________，第秒为活跃状态的概率____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 河南省三门峡市被誉为“天鹅之城”.每年秋冬季节，成千上万的白天鹅如期飞临“天鹅之城”，拉开了三门峡“白天鹅旅游季”的精彩序幕，推动三门峡市冬季旅游市场热度持续攀升.为了了解游客对天鹅的喜爱程度与性别的关系，某机构随机调查了300名现场游客（男、女游客人数相等），绘制了不完整的列联表如下： 单位：人 性别 喜爱程度 总计 一般喜爱 非常喜爱 男 女 总计 300 已知男游客中非常喜爱天鹅的频率为0.6，女游客中一般喜爱天鹅的频率为0.2. （1）补全列联表； （2）是否有99%的把握判断游客对天鹅的喜爱程度与性别有关？ 附：，.当时，有99%的把握判断变量，有关联. 16. 已知数列的前项和为，且，. （1）求； （2）求的通项公式； （3）设数列的前项和为，证明：. 17. 在数列和中，，，. （1）证明：是递增数列. （2）证明：是等比数列，是等差数列. 18. 某产品当月的销售额（单位：千元）与当月的宣传费（单位：千元）有关，且与的成对数据如下表： 1 4 9 16 25 20 40 50 60 80 （1）判断与是正相关还是负相关； （2）由散点图发现可以用函数模型拟合与的关系，求关于的回归方程； （3）已知该产品每个月除宣传费外的其他成本（单位：千元）为，请你预测该产品月利润的最大值，并求当月的宣传费.（月利润=月销售额-月成本） 附：在线性回归方程中，，，其中，为样本平均值. 19. 在数列中，，若存在自然数，使得对于任意正整数n，数列是以为公差的等差数列，则称为“组差数列”． （1）若，判断是不是“组差数列”，并说明理由． （2）若是“组差数列，且为定值，证明：． （3）记的前n项和为，且为“组差数列”，证明：存在常数C，使得恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季高二年级阶段性学情检测 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册第七章，选择性必修第二册第一章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知数列0，，，，…，则该数列的通项公式可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，观察可得该数列的通项公式可以为 2. 已知，，，四组成对样本数据对应的线性相关系数分别为-0.95，-0.82，0.86，0.93，则线性相关程度最弱的是（ ） A. 组 B. 组 C. 组 D. 组 【答案】B 【解析】 【分析】由线性相关系数的性质判断即可得. 【详解】因为，所以线性相关程度最弱的是组. 3. 某网店的衣服从小到大有S，M，L，XL，XXL，XXXL，XXXXL，共7个尺码，其中L码最适合体重65kg的人，XXXXL码最适合体重95kg的人，且相邻两个尺码最适合的人的体重之差相等，则相邻两个尺码最适合的人的体重之差的绝对值为（ ） A. 7.5kg B. 6.5kg C. 7kg D. 6kg 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得7个尺码最适合的人的体重成等差数列，结合等差数列的定义即可求解. 【详解】设该网店的衣服7个尺码最适合的人的体重从小到大为数列，则为等差数列， ，，所以该数列的公差， 故相邻两个尺码最适合的人的体重之差的绝对值为7.5kg. 4. 在等比数列中，，是方程的两个解，则（ ） A. B. C. 25 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由韦达定理得，得，， 因为，所以. 由等比数列的性质得，得（正根舍去）. 5. 在数列中，，，则（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】因为，，，， 所以数列的周期为4，故． 6. 已知等比数列的前项和为，且，，则（ ） A. 80 B. 100 C. 105 D. 125 【答案】C 【解析】 【分析】结合等比数列前项和的性质求解. 【详解】易得的公比，则，，成等比数列， 所以，得. 7. 设等差数列的前项和分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等差数列的前n项和公式设，，，再利用关系即可求解. 【详解】因为等差数列的前项和分别为，且， 可设，，， 所以. 8. 已知数列是首项为3的正项数列，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】整理不等式可得，利用“累乘法”可得，进而证明必要性，再利用特殊值验证充分性. 【详解】， 由，，可得，得. 由，得， 又，所以， 故“”是“”的必要条件. 取（满足），（满足），（满足）， 此时对，原不等式要求：，但，原不等式不成立， 因此：推不出原不等式成立，不是充分条件， 综上，是原不等式成立的必要不充分条件. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 小张读完某本书共需要10个小时，若他在3月1日、3月2日均未读这本书，且在3月3日读了28分钟，从3月4日开始，每天读这本书的时间比前一天多4分钟，已知他在3月份只读这一本书，则（ ） A. 他在3月5日读了32分钟 B. 他在3月6日读了40分钟 C. 他在3月11日读了1个小时 D. 他在3月14日正好读完这本书 【答案】BCD 【解析】 【详解】设小张在3月3日、3月4日、3月5日……当天读这本书的时长分别为分钟、分钟、分钟……， 依题意可知数列成等差数列，且首项为28，公差为4，则，，， 所以他在3月5日读了36分钟，在3月6日读了40分钟，在3月11日读了1个小时． 因为，所以他在3月14日正好读完这本书． 10. 已知相关系数，关于的线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，已知变量与变量的部分数据，建立由最小二乘法得到的两个回归模型：以为自变量，为因变量，得出的线性回归方程为；以为自变量，为因变量，得出的线性回归方程为，若两个模型的计算均无误，则下列判断正确的是（ ） A. 若已知变量的方差，则可得知变量的标准差 B. 若已知变量的方差，则不可得知变量的标准差 C. 若不给定其他信息，则也可得知变量与变量各自的平均值 D. 若不给定其他信息，则也可得知变量与变量的相关系数 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据方差，标准差，相关系数和的定义和表达式，得到及其他关系式，结合数据，代入求值，得到答案 【详解】对于D，以为自变量，为因变量，得出的线性回归方程为， 故， 以为自变量，为因变量，得出的线性回归方程为， 故， 故， 且回归系数为负数，故相关系数，D正确. 对于A，设变量与变量的标准差分别为，， 则，，， 所以 即， 代入已知数据得，即， 若已知变量的方差，即可求得，进而代入上式求得，A正确. 对于B，若已知变量的方差，即可求得，进而代入求得，B错误. 对于C，线性回归直线经过样本中心点， 代入两个回归方程得与，联立解得，， 故不给定其他信息也可得知变量与变量各自的平均值，C正确. 11. 给定数列（且），若对任意的，都有，则称数列为指数型数列，则下列说法正确的是（ ） A. 若数列为指数型数列，且，则 B. “数列是指数型数列”是“数列是等比数列”的充要条件 C. 若数列满足，且是指数型数列，则 D. 若数列是指数型数列，且，则数列中存在不同的三项构成等差数列 【答案】AC 【解析】 【分析】根据指数型数列的定义结合等比数列的概念求出，即可判断A；根据A中部分结论结合指数型数列的定义和等比数列的概念即可判断B；根据既是等比数列又是指数型数列即可判断C；利用反证法结合等差数列的概念判断D. 【详解】令，则​，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以通项公式为， 又因为，，所以， 所以，故A正确； 由A可知，“数列是指数型数列”，则“数列是等比数列”； 若是等比数列，设公比为， 则，，，， 因为且，当时，显然，则不满足指数型数列的定义， 所以“指数型数列”是“等比数列”的充分不必要条件，故B错误； 因为，则， 所以是以2为公比的等比数列，则， 又是指数型数列，所以 又因为，所以，即故C正确； ​若数列是指数型数列，且，则， 假设存在不同的三项构成等差数列，则​， 即 ，化简得， 左边为偶数，右边为奇数，显然不成立， 即不存在不同的三项构成等差数列，故D错误； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知等差数列的前项和为，且，则_____________. 【答案】 【解析】 【详解】由，得. 13. 在等比数列中，已知，，则____________. 【答案】128 【解析】 【分析】使用等比数列的通项公式将条件转化为和的关系式，由此可求得，进而即可求得的值. 【详解】设等比数列的公比为，由，得， 因为，所以. 14. 细胞A有两种状态：活跃和休眠.该细胞每秒的状态转移规律如下：若细胞A这一秒为活跃状态，下一秒仍保持活跃状态的概率为，转为休眠状态的概率为；若细胞A这一秒为休眠状态，下一秒转为活跃状态的概率为，保持休眠状态的概率为.已知细胞A第1秒为活跃状态，则第3秒为休眠状态的概率为____________，第秒为活跃状态的概率____________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据独立事件同时发生及互斥事件和的概率求第3秒为休眠状态的概率；利用全概率公式及构造数列求第秒为活跃状态的概率. 【详解】因为细胞A第2秒为活跃状态，且第3秒为休眠状态的概率为，第2秒为休眠状态，且第3秒为休眠状态的概率为，所以细胞A第3秒为休眠状态的概率为. 设细胞A第秒为活跃状态的概率为，则第秒为休眠状态的概率为，第秒为活跃状态的概率为，得，得，又，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，故，即. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 河南省三门峡市被誉为“天鹅之城”.每年秋冬季节，成千上万的白天鹅如期飞临“天鹅之城”，拉开了三门峡“白天鹅旅游季”的精彩序幕，推动三门峡市冬季旅游市场热度持续攀升.为了了解游客对天鹅的喜爱程度与性别的关系，某机构随机调查了300名现场游客（男、女游客人数相等），绘制了不完整的列联表如下： 单位：人 性别 喜爱程度 总计 一般喜爱 非常喜爱 男 女 总计 300 已知男游客中非常喜爱天鹅的频率为0.6，女游客中一般喜爱天鹅的频率为0.2. （1）补全列联表； （2）是否有99%的把握判断游客对天鹅的喜爱程度与性别有关？ 附：，.当时，有99%的把握判断变量，有关联. 【答案】（1） 性别 喜爱程度 总计 一般喜爱 非常喜爱 男 60 90 150 女 30 120 150 总计 90 210 300 （2）有99%的把握判断游客对天鹅的喜爱程度与性别有关. 【解析】 【小问1详解】 由题意得男、女游客的人数均为150， 男游客中非常喜爱天鹅的频数为，一般喜爱天鹅的频数为， 女游客中一般喜爱天鹅的频数为，非常喜爱天鹅的频数为 列联表如下： 性别 喜爱程度 总计 一般喜爱 非常喜爱 男 60 90 150 女 30 120 150 总计 90 210 300 【小问2详解】， 因为，所以有99%的把握判断游客对天鹅的喜爱程度与性别有关. 16. 已知数列的前项和为，且，. （1）求； （2）求的通项公式； （3）设数列的前项和为，证明：. 【答案】（1）2 （2） （3） 设，则时，， 当时，， 所以， 故. 【解析】 【小问1详解】 方法一:由， 得； 方法二:由，得， 得； 【小问2详解】 因为，所以， 则，得， 又，所以， 所以； 【小问3详解】 略 17. 在数列和中，，，. （1）证明：是递增数列. （2）证明：是等比数列，是等差数列. 【答案】（1） ， 当为偶数时，， 当为奇数时，， 则，所以是递增数列； （2） 由题意得，， 由，得， 则， 两式相减得，得， 得， 因为，所以，得， 则， 有，， 则，， 所以是首项为，公比为4的等比数列， 是首项为，公差为2的等差数列. 【解析】 【分析】（1）由递增数列定义，利用作差法，分为偶数与为奇数进行讨论即可得证； （2）计算可得与的通项公式，再利用等比数列与等差数列定义即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 某产品当月的销售额（单位：千元）与当月的宣传费（单位：千元）有关，且与的成对数据如下表： 1 4 9 16 25 20 40 50 60 80 （1）判断与是正相关还是负相关； （2）由散点图发现可以用函数模型拟合与的关系，求关于的回归方程； （3）已知该产品每个月除宣传费外的其他成本（单位：千元）为，请你预测该产品月利润的最大值，并求当月的宣传费.（月利润=月销售额-月成本） 附：在线性回归方程中，，，其中，为样本平均值. 【答案】（1）与是正相关 （2） （3）最大值为24000元，当月的宣传费为16000元 【解析】 【分析】（1）根据正、负相关的概念求解； （2）利用线性回归方程的公式求解即可； （3）根据所求线性回归方程，利用函数单调性求最值即可. 【小问1详解】 当逐渐增大时，逐渐增大，所以与是正相关. 【小问2详解】 设，则， ， 则， 故关于的回归方程为， 【小问3详解】 由题意得该产品的月成本， 则月利润为， 当，即时，该产品的月利润最大，且最大值为， 故预测该产品月利润的最大值为24000元，当月的宣传费为16000元 19. 在数列中，，若存在自然数，使得对于任意正整数n，数列是以为公差的等差数列，则称为“组差数列”． （1）若，判断是不是“组差数列”，并说明理由． （2）若是“组差数列，且为定值，证明：． （3）记的前n项和为，且为“组差数列”，证明：存在常数C，使得恒成立． 【答案】（1）是，理由如下： 由，得， 当时，，则， 所以， 则数列是以2为公差的等差数列，且， 故是“组差数列”. （2）证明：因为是“组差数列， 所以数列是以18为公差的等差数列， 则， 又为定值，所以可设，则， 所以， 所以数列是等差数列，且公差为， 则， 设， 则， 两式相减得，， 所以，即. （3）证明：因为为“组差数列”， 所以数列是以为公差的等差数列， 则， 令，则， 对于任意正整数n，均存在非负整数和整数，使得， 此时， 设这项中的最小值为， 因为，所以， 从而， 则， 令，由对任意的实数均成立，则. 【解析】 【分析】（1）由可得，当时，可得，进而结合题设定义即可判断； （2）由题意可得，设，可得，进而得到，进而得到数列是等差数列，且公差为3，即可求出，再利用错位相减法求证即可； （3）令，由题意可得，即存在非负整数和整数，使得，此时，设这项中的最小值为，进而得到，进而求证即可. 【小问1详解】 是“组差数列”，理由略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $