精品解析：河南省南阳市2024-2025年高二下学期期中质量评估数学试题

河南省南阳市2024-2025年高二下学期期中质量评估数学试题 注意事项： 1．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效． 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 5．保持卷面清洁，不折叠、不破损． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列求导运算结果不正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 现有一组样本数据都在直线上，则该组样本数据的相关系数（ ） A. B. C. D. 1 3. 在等差数列中，已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲正弦函数，双曲余弦函数．若点在曲线上，为曲线在点处切线的倾斜角，则的范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知成等差数列，成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 2 6. 在数列中，，则（ ） A. B. C. 2025 D. 5050 7. 已知首项为，公比为q的等比数列，其前n项和为，则“”是“单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知公差不为零的等差数列的前项和为，满足，则（ ） A. B. C. 10 D. 20 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列命题正确的有（ ） A. 回归直线经过样本点的中心 B. 回归直线至少经过所有样本点中的一个 C. 两个变量相关性越强，则相关系数越接近1 D. 对于独立性检验，随机变量的值越大，判定“两个变量有关系”犯错误的概率就越小 10. 为满足人们对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示，则下列结论中正确的有（ ） A. 在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强 B. 在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强 C. 在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标 D. 甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强 11. 已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，最大 B. 使得成立的最小自然数 C. D. 中最小项为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知函数的导函数为，且满足，则___________． 13. 已知数列中，，且，则___________． 14. 牛顿法求函数零点的操作过程是：先在轴上找初始点，然后作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线，依次类推，直到求得满足精度的零点近似解为止．设函数，初始点为，若按上述过程操作，则所得前个三角形，的面积和为___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处的切线与直线垂直，求． 16. 2025年春节档一部国产动画电影《哪吒之魔童闹海》横空出世，迅速斩获各项票房冠军，截止3月20日，该电影已进入全球票房榜前五．经权威电影机构调查，得到其前5周的票房数据如下表： 周次 第1周 第2周 第3周 第4周 第5周 周次代码 1 2 3 4 5 票房总额亿元 40 35 25 37 7 （1）求关于的线性回归方程； （2）该机构随机调查了某电影院2月15日200位观影人的购票情况，其中购买《哪吒之魔童闹海》的男性有80人，女性有70人，购买其他电影的男性有30人，女性有20人，完成列联表，并判断是否有的把握认为是否购买《哪吒之魔童闹海》与性别有关． 购买《哪吒》 购买其他电影 合计 男性 女性 合计 附：①，在利用最小二乘法求得的线性回归方程中， ②，其中． 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 17. 已知是公差为的等差数列的前项和，且． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的的最小值； （3）求数列的前项的和． 18. 已知数列的前项和为，． （1）求的通项公式． （2）若数列满足，其前项和为． ①求； ②若对任意恒成立，求实数的取值范围． 19. 拉格朗日中值定理反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础．其定理陈述如下：如果函数在区间上连续，在区间内可导，则存在，使得．已知函数，数列满足，且． （1）求； （2）证明：数列为等比数列； （3）若数列，记为数列的前项和，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省南阳市2024-2025年高二下学期期中质量评估数学试题 注意事项： 1．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效． 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 5．保持卷面清洁，不折叠、不破损． 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列求导运算结果不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由基本初等函数的求导公式，可得答案. 【详解】对于A，，故A正确；对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确；对于D，，故D正确. 故选：B. 2. 现有一组样本数据都在直线上，则该组样本数据的相关系数（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合的斜率为负数，即可求得的值，得到答案. 【详解】由样本数据都在直线上，可得， 因为的斜率为负数，所以，所以． 故选：A. 3. 在等差数列中，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，得到成等差数列，代入已知条件，列式计算，即可求解. 【详解】根据等差数列前项和性质，可得成等差数列， 所以，即，解得． 故选：D. 4. 已知双曲正弦函数，双曲余弦函数．若点在曲线上，为曲线在点处切线的倾斜角，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导可得，结合基本不等式可得，即可得到倾斜角的取值范围. 【详解】设，则， 当且仅当时，即时，等号成立， 即，所以； 故选：C 5. 已知成等差数列，成等比数列，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列与等比数列的性质分别求解与即可得结论. 【详解】由等差数列的性质，， 由等比数列的性质，，解得， 又因为等比数列奇数项符号相同，所以， 所以． 故选：D. 6. 在数列中，，则（ ） A. B. C. 2025 D. 5050 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知递推公式得出相邻两项的比值关系，然后利用累乘法求出数列的通项公式，最后根据通项公式判断数列类型，进而求出前100项的和． 【详解】因为，所以， 当时，， 以上个式子左右两边分别相乘得， 即， 又，所以， 所以． 故选：D. 7. 已知首项为，公比为q的等比数列，其前n项和为，则“”是“单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由可判断充分性；取可判断必要性. 【详解】在等比数列中，，则， 当时，，所以单调递增，故充分性成立； 当单调递增时，时，单调递增，但是推不出，故必要性不成立. 故选：A. 8. 已知公差不为零的等差数列的前项和为，满足，则（ ） A. B. C. 10 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】利用公差不为零可以判断，，公差，再利用等差数列的通项公式，结合裂项相消法求数列的和即可求解. 【详解】若，则，不符合题意； 所以，则，所以公差， 且有，所以①， ②， 又③，上述三式联立解得，，， 所以． 故选：B. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列命题正确的有（ ） A. 回归直线经过样本点的中心 B. 回归直线至少经过所有样本点中的一个 C. 两个变量相关性越强，则相关系数越接近1 D. 对于独立性检验，随机变量的值越大，判定“两个变量有关系”犯错误的概率就越小 【答案】AD 【解析】 【分析】利用线性回归方程的性质，相关系数概念，独立性检验要求可判断各选项. 【详解】对于A：回归直线恒过样本点的中心，故A正确； 对于B：回归直线可以不过任一个样本点，故B错误； 对于C：两个变量的相关性越强，则相关系数r的绝对值就越接近1，故C错误； 对于D：对于独立性检验，随机变量的值越大，判定“两个变量有关系”犯错误的概率就越小，故D正确． 故选：AD. 10. 为满足人们对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量与时间的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱．已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示，则下列结论中正确的有（ ） A. 在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强 B. 在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强 C. 在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标 D. 甲企业在，，这三段时间中，在的污水治理能力最强 【答案】ABC 【解析】 【分析】结合甲乙企业污水排放量与时间关系图象，利用曲线在区间的变化率判断企业的治污能力，进而判断各选项的正误即可． 【详解】由题图可知甲企业的污水排放量在时刻高于乙企业， 而在时刻甲、乙两企业的污水排放量相同， 故在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强，故A正确； 由题图知在时刻，甲企业在该点的切线斜率的绝对值大于乙企业的，故B正确； 在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达标排放量，故都已达标，故C正确； 由题意可知，甲企业在，，这三段时间中，在时的污水治理能力明显低于时的，故D错误． 故选：ABC． 11. 已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，最大 B. 使得成立的最小自然数 C. D. 中最小项为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据，作差可得，，从而公差，即可判断A；对于B，根据等差数列的前n项和公式即可判断；对于C，根据，结合等差数列的性质即可判断；对于D，根据和的符号可得，当时，，进而根据和的单调性可得最小项. 【详解】因为，所以， 由，所以，所以， 所以． 所以，当时，最大，故A正确； 因为， ， 所以使得成立的最小自然数，故B正确； 由，且， 所以，即，故C错误； 因为当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以． 且， 所以中最小项为，故D正确． 故选：ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知函数的导函数为，且满足，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，令，即可求得的值，得到答案. 【详解】由函数，可得， 令，可得，解得． 故答案为：. 13. 已知数列中，，且，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】将两边取倒数，即可得到，从而求出的通项，即可得解. 【详解】由，可得，即， 又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，即，所以． 故答案为： 14. 牛顿法求函数零点的操作过程是：先在轴上找初始点，然后作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线，切线与轴交于点，再作在点处切线，依次类推，直到求得满足精度的零点近似解为止．设函数，初始点为，若按上述过程操作，则所得前个三角形，的面积和为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求在处切线方程，得到，再根据，求得，即可求面积和． 【详解】设，则，因为，所以， 则处切线为， 切线与轴相交得， ，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，又，所以得， 所以， 又， 所以 . 故答案为：． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在处的切线与直线垂直，求． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）求导，从而得到求解； （2）求得，再根据切线与直线垂直，由求解. 【小问1详解】 因为，得 所以， 所以切线方程为，即， 所以在处的切线方程为：． 【小问2详解】 因为， 所以， 由题意知，， 所以． 16. 2025年春节档一部国产动画电影《哪吒之魔童闹海》横空出世，迅速斩获各项票房冠军，截止3月20日，该电影已进入全球票房榜前五．经权威电影机构调查，得到其前5周的票房数据如下表： 周次 第1周 第2周 第3周 第4周 第5周 周次代码 1 2 3 4 5 票房总额亿元 40 35 25 37 7 （1）求关于的线性回归方程； （2）该机构随机调查了某电影院2月15日200位观影人的购票情况，其中购买《哪吒之魔童闹海》的男性有80人，女性有70人，购买其他电影的男性有30人，女性有20人，完成列联表，并判断是否有的把握认为是否购买《哪吒之魔童闹海》与性别有关． 购买《哪吒》 购买其他电影 合计 男性 女性 合计 附：①，在利用最小二乘法求得的线性回归方程中， ②，其中． 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】（1） （2）表格见解析，没有的把握认为购买《哪吒之魔童闹海》与性别有关 【解析】 【分析】（1）由前5周的票房数据，分别求得，，利用回归系数的公式和样本点的坐标，求得，以及，即可得到所求的线性回归方程； （2）根据题意，得出的列联表，利用公式求得，结合附表，即可得到结论. 【小问1详解】 解：由前5周的票房数据，可得， ， 所以，则， 故所求的线性回归方程为． 【小问2详解】 解：由题意，可得列联表如下． 购买《哪吒》 购买其他电影 男性 80 30 110 女性 70 20 90 合计 150 50 200 可得 ， 故没有的把握认为购买《哪吒之魔童闹海》与性别有关． 17. 已知是公差为的等差数列的前项和，且． （1）求数列的通项公式； （2）求使成立的的最小值； （3）求数列的前项的和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的求和与通项公式求出的值，结合等差数列的通项公式可求得； （2）求出的表达式，结合已知条件可得出关于的不等式，结合可得出的最小值； （3）对任意的，计算得出，然后利用等差数列的求和公式可求出. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为，即，即， 又，解得，所以． 【小问2详解】 由（1）可得， 由可得，即，解得或， 因为，故正整数的最小值为． 【小问3详解】 因为， 对任意的，， 故 . 18. 已知数列的前项和为，． （1）求的通项公式． （2）若数列满足，其前项和为． ①求； ②若对任意恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）由，可得，两式相减，可得是首项，公比为2的等比数列，即可求的通项公式； （2）①由（1）得，运用错位相减法即可求得其前项和为；②由，将和代入，化简得，令，通过判断的增减性，即可求得其最小值. 【小问1详解】 因为，所以， 两式相减得， 即， 当时，得， 所以是首项，公比为2的等比数列， 故的通项公式为． 【小问2详解】 ①由（1）得， 则， 可得， 所以， 所以． ②对任意恒成立， 即，整理得恒成立． 令，则， 当时，， 当时，， 当时，， 所以以，即的最小值为， 综上，，即实数的取值范围是. 19. 拉格朗日中值定理反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础．其定理陈述如下：如果函数在区间上连续，在区间内可导，则存在，使得．已知函数，数列满足，且． （1）求； （2）证明：数列为等比数列； （3）若数列，记为数列的前项和，证明：． 【答案】（1）． （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求得，根据题意，得到，化简得到，进而求得的值； （2）由（1）中，得到，结合等比数列的定义，即可得证；又由，所以数列为首项为3，公比为2的等比数列． （3）由（2）求得，得到，结合裂项法求和，求得，进而证得. 【小问1详解】 解：由函数，则， 则，可得， 即， 又由，所以； 【小问2详解】 解：由（1）知：，可得，即， 又由，所以数列为首项为3，公比为2的等比数列． 【小问3详解】 证明：由（2）可得，则， 所以， 则. 因为，可得，所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $