专题4.3 探索三角形全等的条件（4大知识点+8大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2025-2026学年北师大版七年级数学下学期

本讲义聚焦初中数学“探索三角形全等的条件”核心知识点，系统梳理SSS、SAS、ASA、AAS四种判定定理及AAA、SSA不能判定的情况，通过判定方法对比表和书写规范搭建学习支架，从基础定理到易错点形成完整知识脉络。 资料以分层题型设计为亮点，涵盖基础必考、培优高频、压轴素养题，结合生活情境（如测量河宽）和尺规作图，培养几何直观与推理能力。课中助力教师分层教学，课后通过变式题与巩固练习帮助学生查漏补缺，提升应用意识。

专题4.3 探索三角形全等的条件 知识点1：三角形全等的4种判定定理（核心） 1. SSS（边边边）：三边分别相等的两个三角形全等。 2. SAS（边角边）：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。 3. ASA（角边角）：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。 4. AAS（角角边）：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。 知识点2：不能判定全等的两种情况 1. AAA（三角相等）：仅形状相同，大小不一定相同，不能判定全等。 2. SSA（两边及一边对角）：无法固定形状，不能判定全等。 知识点3：判定方法对比表 判定方法 条件组合 关键特征 易错提醒 SSS 三边相等 无角，纯边 公共边、等边加减等边 SAS 两边+夹角 角必须是两边夹角 非夹角（SSA）不成立 ASA 两角+夹边 边是两角之间的边 找公共边、对顶角 AAS 两角+对边 边是其中一角的对边 由ASA推导而来 知识点4：全等证明书写规范 1.先指明在哪两个三角形中； 2.按判定顺序罗列条件（已知/已证）； 3.写出全等结论并标注判定依据。 【基础必考题型】 【题型1】SSS直接判定三角形全等 1.核心知识点 SSS判定定理；公共边、中点、等边条件 2.解题方法技巧 找三组对应边；优先用公共边、中点转化等边 【例题1】.（2026·云南昆明·一模）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据得出，根据“”即可证明． 【详解】证明：， ， ． 在与中 ， ． 【变式题1-1】.（2026·云南保山·二模）如图，是线段的中点，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据中点的性质得到，再由证明三角形全等． 【详解】证明：是线段的中点， ． 在和中， ，                         ． 【变式题1-2】.（2026·浙江绍兴·一模）对于题目“如图1，已知相交于，，，证明：．”小明的解答过程如图2．请指出小明证明过程中错误步骤的序号，并写出正确证明过程． 【答案】②，证明见解析 【分析】利用“边边边”证明，即可． 【详解】解：错误步骤的序号为②． 正确证明如下： 由正确步骤①知， 所以， 因为，． 所以， 在和中， 因为， 所以． 【变式题1-3】.（2026·宁夏银川·一模）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线．这种方法是通过判定得到，其中判定的依据是_____________． 【答案】三边分别相等的两个三角形全等（或）． 【分析】根据题意得出，，结合公共边，利用全等三角形的判定定理即可求解． 【详解】解：由题意可知．因为角尺两边相同的刻度分别与点，重合， 所以． 在和中， 所以． 判定依据是三边分别相等的两个三角形全等． 【题型2】SAS直接判定三角形全等 1.核心知识点 SAS判定定理；两边及其夹角 2.解题方法技巧 锁定夹角；角平分线、垂直、平行线得角等 【例题2】.（2026·云南临沧·二模）如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由可得，进而可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】由得到，根据即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中 ， ∴． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·北京·期末）如图，点A，E，B，F在同一直线上，与相交于点G，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定，关键是根据证明解答． 根据等式的性质得出，进而利用证明解答． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·吉林长春·开学考试）如图，已知，点和点在线段上，与交于点，．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定，先根据，得，结合已知用进行证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 则， ∵， ∴． 【题型3】ASA与AAS直接判定三角形全等 1.核心知识点 ASA、AAS判定定理；两角一边 2.解题方法技巧 ASA找夹边，AAS找对边；公共角、对顶角优先用 【例题3】.（2026·内蒙古乌海·二模）如图，为了测量点到河正对面点之间的距离，小明在与点同侧的河岸上选择点和点，测得，（，，三点共线），过点作，使得点，，在同一直线上，得到，测得的长就是，两点之间的距离，这里判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂线的定义得到，利用对顶角的性质得到，根据“”的判定方法证明． 【详解】解：， ， ， 由题可得，， ． 【变式题3-1】.（2026·云南文山·一模）如图，点，都在线段上，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据角边角的证明方法证明即可． 【详解】证明：∵， ∴，即． 在和中， ∵， ∴． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·全国·单元复习）如图，在四边形中，，为对角线上一点，，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）由补角的性质得到，由平行得，由即可证明三角形全等； （2）由全等三角形得，，进而求得，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴． ∴． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·广西南宁·月考）调皮的小明不小心把一块三角形玻璃打碎成如图所示的三部分，认识到错误的他想去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么应带下列选项中哪片碎玻璃（    ） A．① B．①② C．③ D．①②或者③都可以 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定方法“角边角”可以判定应当带③去． 【详解】解：①只保留了一个角及部分边，不能配成和原来一样的三角形玻璃； ①②只保留了一个角及部分边，不能配成和原来一样的三角形玻璃； ③不但保留了一个完整的边还保留了两个角，根据全等三角形判定“角边角”可以配出一块和原来一样的三角形玻璃，所以应该带去③． 【培优高频题型】 【题型4】添加条件使三角形全等 1.核心知识点 四种判定定理综合；补全边/角条件 2.解题方法技巧 先标已有条件→对照判定→缺啥补啥 【例题4】.（25-26八年级上·广西崇左·月考）如图，已知，，如果添加一个条件用“”使，则添加的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了用证明三角形全等，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．根据得出，再根据，结合逐项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 当时，不能用可证，故A不符合要求； 当时，不能用可证，故B不符合要求； 当时，由可证，故C符合要求； 当，无法使，故D不符合要求． 故选：C． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，平分，D、E、F分别是射线、射线、射线上的点，D、E、F与O点都不重合，连接、．若添加下列条件中的某一个，就能使．你认为要添加的那个条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，由平分，得，由公共边，可知添加条件，即可根据得，可得答案． 【详解】解：∵平分， ∴， 又， 若添加条件，则根据可得，故选项D符合题意， 而添加条件不能得到，故选项A不符合题意， 添加条件不能得到，故选项B不符合题意， 添加条件不能得到，故选项C不符合题意， 故选：D． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，添加一个条件，根据判定，添加的条件是______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．先得出，再根据定理即可得． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵与的夹边为，与的夹边为， ∴根据判定，添加的条件是， 故答案为：． 【变式题4-3】.（24-25八年级上·湖南娄底·期末）如图，在与中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，依据“”证明，需再添加一个条件是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了三角形全等的判定方法，由于，加上为公共边，所以当添加时，依据“”可判断， 【详解】解：∵，， ∴当添加时，． 也可添加，则可证明，得到， 故答案为：（答案不唯一）． 【题型5】全等判定与性质综合计算 1.核心知识点 先判定全等→再用性质求边、角、周长、面积 2.解题方法技巧 一判全等、二代换、三计算 【例题5】.（25-26七年级下·广东佛山·阶段检测）如图，，，． (1)证明． (2)若，，求． 【答案】(1)证明见详解 (2)2 【分析】（1）根据已知条件利用线段和差关系得出，进而利用“”证明； （2）由（1）的结论得到，结合已知条件即可求得结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·山东济南·月考）如图，已知，，，点，分别是，边上的动点，满足，连接，，则取得最小值时，线段的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图：过点A作且，连接交于，证明可得，从而将转化为，根据两点之间线段最短，当F、D、C三点共线时，取得最小值．易证，再利用全等三角形的性质以及线段的运算即可解答． 【详解】解：如图：过点A作且（点F在下方），连接交于， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，当F、D、C三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在和中， ， ∴， ∴， ∴取得最小值时，线段的长为． 【变式题5-2】.（2026·江苏常州·一模）如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接、； (1)求证：． (2)若点、分别为线段、的中点，连接、，则______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，利用“边角边”即可证明； （2）证明，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∵，，， ∴； （2）解：如图， ∵， ∴，， ∵点、分别为线段、的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 【变式题5-3】.（25-26八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，，，，垂足分别是，，，． (1)请说明和的数量关系，并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）根据条件可以得出，进而得出，即可解答； （2）利用（1）中结论，根据全等三角形的性质即可解决问题； 【详解】（1）解：，理由如下； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中 ∴ ∴； （2）解：由（1）得：， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 【题型6】尺规作图与全等判定结合 1.核心知识点 已知三边/两边夹角/两角夹边作三角形；作图依据 2.解题方法技巧 作图痕迹对应判定定理；弧长对应边长 【例题6】.（25-26九年级上·山西太原·月考）已知：已知线段a，c和（如图（1）所示）． 求作：，使，，． 小明的作法如下：①作；②在线段，上分别截取，；③连接，即为所求作的三角形（如图（2）所示）． 在上述作法的三个步骤中有一步是错误的，是第 _____ 步（填序号）． 【答案】② 【分析】本题考查的是尺规作图－按要求作一个三角形，根据作一个角等于已知角和作一条线段等于已知线段的要求完成填空即可． 【详解】解：①作； ②在线段，上分别截取，； ③连接，即为所求作的三角形． 错误的是②， 故答案为：②． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·河南南阳·期中）我们曾这样“做一做”：如图1，已知、和线段，试作，使，，．我们用尺规作图得到如图2所示的，又发现我们所作的三角形和其他同学所作的三角形能够完全重合，于是得到判定三角形全等的方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作三角形，全等三角形的判定，解题的关键是理解作图过程中产生的相等元素，据此得出全等的判定方法． 【详解】解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即ASA． 故选C． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，给定一个，用直尺和圆规作 ，有人的作法是： ①作上方作；②以点为圆心，以 长为半径作弧，交 于点； ③以点为圆心，以 长为半径作弧，交 于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定 的依据是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，尺规作图-作三角形，根据作图方法可得，据此根据全等三角形的判定定理即可得到答案． 【详解】解：由作图方法可得， ， 故答案为：． 【变式题6-3】.（2026·黑龙江哈尔滨·一模）综合实践课上，楠楠先画出了，又利用尺规作图画出了，使．图1～图3是其作图过程． （1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点． （2）以点N为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点P，作射线． （3）以点A为圆心，分别以长为半径画弧，与边交于点D，与射线交于点E，连接． 在楠楠的作法中，可直接判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得到，，，进而证明出即可． 【详解】解：由作图可得， ， ∴， ∴在楠楠的作法中，可直接判定的依据是 【压轴素养题型】 【题型7】网格/坐标系中的全等判定 1.核心知识点 格点算边长；勾股定理；直观判定 2.解题方法技巧 数格子定边长→用SSS/SAS快速判定 【例题7】.（25-26八年级上·北京延庆·期末）如图所示的网格是正方形网格，是网格交点，则的度数为___________． 【答案】 【分析】本题考查用判定三角形全等，从而将与转移到同一个三角形中求得． 【详解】解：如图，在和中： ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·湖南益阳·期末）（1）已知的直角边和斜边分别等于如图所示的线段a、c的长，请用直尺和圆规作出．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在下面的网格图中的顶点都在格点上，请在网格图中找出所有符合条件的点D，使得． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定，尺规作三角形， （1）作直线l，在直线l上取点C，以点C为圆心，a为半径画弧，交l于点B，D，然后作出的垂直平分线，以点B为圆心，以c为半径画弧，交的垂直平分线于点A，连接即可； （2）根据全等三角形的判定求解即可． 【详解】解：（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，点D即为所求． 【变式题7-2】.（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图所示的网格是的正方形网格，点，，，均落在格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形全等的性质和判定及直角三角形各角的关系，是网格型问题，本题构建全等三角形是关键． 证明≌，得，根据同角的余角相等和三角形的内角和可得结论． 【详解】解：记与的交点为点F，如图， 在和中， ， ≌， ， ， ， ∴， ． 故选：B． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图是的正方形网格，的顶点都在网格线的交点上，像这样的三角形叫格点三角形，画与仅有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定，以为公共边可以画3个三角形，以为公共边可以画2个三角形，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，均与全等且仅有一条公共边， 故选：B． 【题型8】二次全等证明（连环全等） 1.核心知识点 第一次全等得条件→第二次证目标全等 2.解题方法技巧 搭“全等桥梁”；用等边/等角传递 【例题8】.（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，，． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等的性质和综合（），全等的性质和综合（）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）利用证明； （2）利用证明，再得出． 【详解】（1）证明：在与中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图是嘉嘉爸爸制作的风筝，风筝的一角（）缺失，为修补该风筝，嘉嘉测得，，． (1)淇淇说：“测得的长就是的长．”请你判断淇淇的说法是否正确，并说明理由； (2)若用纸面积为30，求的用纸面积． 【答案】(1)正确，理由见解析 (2)30 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质，线段和差问题，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理和性质； （1）由得，利用证明，得； （2）先利用证明，得，由（1）知，进而得，利用证明，根据用纸面积为30，求的用纸面积． 【详解】（1）解：正确； 理由：，，， ， 在与中， ， ， ，即测得的长就是的长； （2）（2）由（1）可知， ，， 在与中， ， ， ， ，， ， 在与中， ， ， ． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·山东威海·期末）如图，，连接交于点．试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】，证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． 先证明得到，再证明可得结论． 【详解】解：．理由如下： ∵，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·四川成都·期中）在中，，，点为直线上方一点，且．    (1)如图1，过点作， ①求证：； ②若，，求的长． (2)如图2，延长交于点，若恰好平分，且，请求出的面积． 【答案】(1)①见解析；②11 (2)32 【分析】（1）①利用即可证明； ②由全等三角形的性质求得，，再利用线段的和与差计算即可求解； （2）作交的延长线于点，证明，求得，同理证明，求得，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）①证明：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②解：∵， ∴，， ∴； （2）解：作交的延长线于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积． 易错点 1、SAS误用：把“两边及一边对角”（SSA）当成SAS判定。 2、对应关系找错：公共边、公共角、对顶角未优先识别。 3、AAA/SSA误判：认为三个角相等或两边一对角能证全等。 4、书写不规范：未按“在△…与△…中”格式书写，缺判定依据。 5、动点漏分类：只考虑一种对应情况，忽略多解。 重点 1、SSS、SAS、ASA、AAS四种判定定理的理解与记忆。 2、快速找对应边、对应角（公共边、公共角、对顶角）。 3、判定与性质综合：先证全等，再用性质求边、角、周长、面积。 4、规范证明书写，培养逻辑推理能力。 难点 1、SAS中“夹角”识别与SSA反例理解。 2、复杂图形中二次全等的桥梁构造。 3、动点问题中对应关系的分类讨论与方程建模。 4、生活/传统文化情境抽象为几何全等模型。 【对应练习题】 一、单选题 1．油纸伞是中国传统手工艺品，也是国家级非物质文化遗产，其制作工艺精巧，伞骨结构蕴含着丰富的几何智慧．如图是某款油纸伞撑开后倒置在地面上的示意图，已知，则的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴． 2．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的五块（即图中标有1，2，3，4，5的五块），现要到玻璃店配一块与原来一样大小的三角形玻璃，你认为应该带去的一块是（   ） A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 【答案】B 【详解】解：1、3、4、5这几块玻璃不同时具备包括一个完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第2块有完整的两角及夹边，符合ASA，满足题目要求的条件，是符合题意的． 3．如图，，，垂足分别为B，E，，相交于点F，且．若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质和判定； 由垂直得，求出，证明，得到，，然后利用线段的和差求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 二、填空题 4．如图，下面是“作一个，使得”的尺规作图方法． （1）作一条线段； （2）以为圆心，长为半径画弧，以为圆心，长为半径画弧，两弧在线段上方交于点； （3）连接，，则． 上述判定的依据是________． 【答案】三边分别相等的两个三角形全等（） 【分析】根据尺规作图的步骤，可得，，，根据“三边分别相等的两个三角形全等”，可判定． 【详解】解：根据题意可知，，， 在和中， ， ． 5．如图，，，垂足分别为，，，，，点为边上一动点，当________时，形成的与全等． 【答案】2 【分析】根据题意首先要找出与对应的边，结合已知条件可知与相等时，由可判定，据此即可求出的值． 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∴只有、时，与全等， ∵，， ∴，此时， 在与中， ， ∴， ∴当时，形成的与全等． 6．如图，，，，，垂足分别为D、E，若，，则______cm． 【答案】2 【分析】求出，证明，利用全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴． 三、解答题 7．如图，为的中点，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由可得，由中点的定义可得，进而可证明，因此． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 8．如图，在和中，，，点在的延长线上，，请你添加一个条件，使得，并写出证明过程． 【答案】添加，证明见解析 【分析】先证明，再结合添加条件与证明即可． 【详解】解：添加，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 9．如图，，，，点在边上． (1)求证：； (2)判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）利用证明两个三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质，即可得证. 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：，理由如下： 由（1）知：， ∴. 10．为巩固数学知识、提升实践操作与解决实际问题的能力，小明按如下方式测量旗杆高度：将旗杆顶部处的绳子拉直至地面点，使，两点间距离等于小明直立时眼睛的离地高度；在处放置直角三角板，让直角顶点与点重合，边与绳子重合．随后小明后退，当看到点共线时（即共线），停在点． (1)小明认为的长等于旗杆高度，你认同他的观点吗？请说明理由． (2)若米，米，求旗杆高度． 【答案】(1)认同，理由见解析 (2)米 【分析】（1）利用全等三角形判定定理证明和全等，进而判断线段相等． （2）因为已知、的长度，且，可求的长度，且由第（1）问的结论可知，即可得解． 【详解】（1）认同小明的观点，理由如下： 由题意可知： ，，，， ，，， ． 在和中， ， ， ， 因此认同小明的观点． （2）∵， ∴米， 又∵米， 米， 由（1）已证， 米． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3 探索三角形全等的条件 知识点1：三角形全等的4种判定定理（核心） 1. SSS（边边边）：三边分别相等的两个三角形全等。 2. SAS（边角边）：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。 3. ASA（角边角）：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。 4. AAS（角角边）：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。 知识点2：不能判定全等的两种情况 1. AAA（三角相等）：仅形状相同，大小不一定相同，不能判定全等。 2. SSA（两边及一边对角）：无法固定形状，不能判定全等。 知识点3：判定方法对比表 判定方法 条件组合 关键特征 易错提醒 SSS 三边相等 无角，纯边 公共边、等边加减等边 SAS 两边+夹角 角必须是两边夹角 非夹角（SSA）不成立 ASA 两角+夹边 边是两角之间的边 找公共边、对顶角 AAS 两角+对边 边是其中一角的对边 由ASA推导而来 知识点4：全等证明书写规范 1.先指明在哪两个三角形中； 2.按判定顺序罗列条件（已知/已证）； 3.写出全等结论并标注判定依据。 【基础必考题型】 【题型1】SSS直接判定三角形全等 1.核心知识点 SSS判定定理；公共边、中点、等边条件 2.解题方法技巧 找三组对应边；优先用公共边、中点转化等边 【例题1】.（2026·云南昆明·一模）如图，点，，，在同一直线上，，，．求证：． 【变式题1-1】.（2026·云南保山·二模）如图，是线段的中点，，．求证：． 【变式题1-2】.（2026·浙江绍兴·一模）对于题目“如图1，已知相交于，，，证明：．”小明的解答过程如图2．请指出小明证明过程中错误步骤的序号，并写出正确证明过程． 【变式题1-3】.（2026·宁夏银川·一模）工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，过角尺顶点的射线便是的平分线．这种方法是通过判定得到，其中判定的依据是_____________． 【题型2】SAS直接判定三角形全等 1.核心知识点 SAS判定定理；两边及其夹角 2.解题方法技巧 锁定夹角；角平分线、垂直、平行线得角等 【例题2】.（2026·云南临沧·二模）如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：． 【变式题2-1】.（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，，，．求证：． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·北京·期末）如图，点A，E，B，F在同一直线上，与相交于点G，．求证：． 【变式题2-3】.（25-26八年级下·吉林长春·开学考试）如图，已知，点和点在线段上，与交于点，．求证：． 【题型3】ASA与AAS直接判定三角形全等 1.核心知识点 ASA、AAS判定定理；两角一边 2.解题方法技巧 ASA找夹边，AAS找对边；公共角、对顶角优先用 【例题3】.（2026·内蒙古乌海·二模）如图，为了测量点到河正对面点之间的距离，小明在与点同侧的河岸上选择点和点，测得，（，，三点共线），过点作，使得点，，在同一直线上，得到，测得的长就是，两点之间的距离，这里判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（2026·云南文山·一模）如图，点，都在线段上，，，．求证：． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·全国·单元复习）如图，在四边形中，，为对角线上一点，，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·广西南宁·月考）调皮的小明不小心把一块三角形玻璃打碎成如图所示的三部分，认识到错误的他想去配制一块与原来相同的三角形玻璃，那么应带下列选项中哪片碎玻璃（    ） A．① B．①② C．③ D．①②或者③都可以 【培优高频题型】 【题型4】添加条件使三角形全等 1.核心知识点 四种判定定理综合；补全边/角条件 2.解题方法技巧 先标已有条件→对照判定→缺啥补啥 【例题4】.（25-26八年级上·广西崇左·月考）如图，已知，，如果添加一个条件用“”使，则添加的条件是（　　） A． B． C． D． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，平分，D、E、F分别是射线、射线、射线上的点，D、E、F与O点都不重合，连接、．若添加下列条件中的某一个，就能使．你认为要添加的那个条件是（　　） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，添加一个条件，根据判定，添加的条件是______． 【变式题4-3】.（24-25八年级上·湖南娄底·期末）如图，在与中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，依据“”证明，需再添加一个条件是______． 【题型5】全等判定与性质综合计算 1.核心知识点 先判定全等→再用性质求边、角、周长、面积 2.解题方法技巧 一判全等、二代换、三计算 【例题5】.（25-26七年级下·广东佛山·阶段检测）如图，，，． (1)证明． (2)若，，求． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·山东济南·月考）如图，已知，，，点，分别是，边上的动点，满足，连接，，则取得最小值时，线段的长为（    ）． A． B． C． D． 【变式题5-2】.（2026·江苏常州·一模）如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接、； (1)求证：． (2)若点、分别为线段、的中点，连接、，则______． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，，，，垂足分别是，，，． (1)请说明和的数量关系，并说明理由； (2)求的长． 【题型6】尺规作图与全等判定结合 1.核心知识点 已知三边/两边夹角/两角夹边作三角形；作图依据 2.解题方法技巧 作图痕迹对应判定定理；弧长对应边长 【例题6】.（25-26九年级上·山西太原·月考）已知：已知线段a，c和（如图（1）所示）． 求作：，使，，． 小明的作法如下：①作；②在线段，上分别截取，；③连接，即为所求作的三角形（如图（2）所示）． 在上述作法的三个步骤中有一步是错误的，是第 _____ 步（填序号）． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·河南南阳·期中）我们曾这样“做一做”：如图1，已知、和线段，试作，使，，．我们用尺规作图得到如图2所示的，又发现我们所作的三角形和其他同学所作的三角形能够完全重合，于是得到判定三角形全等的方法是（    ） A． B． C． D． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，给定一个，用直尺和圆规作 ，有人的作法是： ①作上方作；②以点为圆心，以 长为半径作弧，交 于点； ③以点为圆心，以 长为半径作弧，交 于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定 的依据是__________． 【变式题6-3】.（2026·黑龙江哈尔滨·一模）综合实践课上，楠楠先画出了，又利用尺规作图画出了，使．图1～图3是其作图过程． （1）以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点． （2）以点N为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点P，作射线． （3）以点A为圆心，分别以长为半径画弧，与边交于点D，与射线交于点E，连接． 在楠楠的作法中，可直接判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【压轴素养题型】 【题型7】网格/坐标系中的全等判定 1.核心知识点 格点算边长；勾股定理；直观判定 2.解题方法技巧 数格子定边长→用SSS/SAS快速判定 【例题7】.（25-26八年级上·北京延庆·期末）如图所示的网格是正方形网格，是网格交点，则的度数为___________． 【变式题7-1】.（25-26八年级下·湖南益阳·期末）（1）已知的直角边和斜边分别等于如图所示的线段a、c的长，请用直尺和圆规作出．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在下面的网格图中的顶点都在格点上，请在网格图中找出所有符合条件的点D，使得． 【变式题7-2】.（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图所示的网格是的正方形网格，点，，，均落在格点上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图是的正方形网格，的顶点都在网格线的交点上，像这样的三角形叫格点三角形，画与仅有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三角形最多可以画（　　）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【题型8】二次全等证明（连环全等） 1.核心知识点 第一次全等得条件→第二次证目标全等 2.解题方法技巧 搭“全等桥梁”；用等边/等角传递 【例题8】.（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，，． (1)求证：． (2)求证：． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·河北张家口·期末）如图是嘉嘉爸爸制作的风筝，风筝的一角（）缺失，为修补该风筝，嘉嘉测得，，． (1)淇淇说：“测得的长就是的长．”请你判断淇淇的说法是否正确，并说明理由； (2)若用纸面积为30，求的用纸面积． 【变式题8-2】.（25-26七年级上·山东威海·期末）如图，，连接交于点．试猜想与的数量关系，并说明理由． 【变式题8-3】.（25-26七年级下·四川成都·期中）在中，，，点为直线上方一点，且．    (1)如图1，过点作， ①求证：； ②若，，求的长． (2)如图2，延长交于点，若恰好平分，且，请求出的面积． 易错点 1、SAS误用：把“两边及一边对角”（SSA）当成SAS判定。 2、对应关系找错：公共边、公共角、对顶角未优先识别。 3、AAA/SSA误判：认为三个角相等或两边一对角能证全等。 4、书写不规范：未按“在△…与△…中”格式书写，缺判定依据。 5、动点漏分类：只考虑一种对应情况，忽略多解。 重点 1、SSS、SAS、ASA、AAS四种判定定理的理解与记忆。 2、快速找对应边、对应角（公共边、公共角、对顶角）。 3、判定与性质综合：先证全等，再用性质求边、角、周长、面积。 4、规范证明书写，培养逻辑推理能力。 难点 1、SAS中“夹角”识别与SSA反例理解。 2、复杂图形中二次全等的桥梁构造。 3、动点问题中对应关系的分类讨论与方程建模。 4、生活/传统文化情境抽象为几何全等模型。 【对应练习题】 一、单选题 1．油纸伞是中国传统手工艺品，也是国家级非物质文化遗产，其制作工艺精巧，伞骨结构蕴含着丰富的几何智慧．如图是某款油纸伞撑开后倒置在地面上的示意图，已知，则的依据是（    ） A． B． C． D． 2．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的五块（即图中标有1，2，3，4，5的五块），现要到玻璃店配一块与原来一样大小的三角形玻璃，你认为应该带去的一块是（   ） A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 3．如图，，，垂足分别为B，E，，相交于点F，且．若，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 4．如图，下面是“作一个，使得”的尺规作图方法． （1）作一条线段； （2）以为圆心，长为半径画弧，以为圆心，长为半径画弧，两弧在线段上方交于点； （3）连接，，则． 上述判定的依据是________． 5．如图，，，垂足分别为，，，，，点为边上一动点，当________时，形成的与全等． 6．如图，，，，，垂足分别为D、E，若，，则______cm． 三、解答题 7．如图，为的中点，，，求证：． 8．如图，在和中，，，点在的延长线上，，请你添加一个条件，使得，并写出证明过程． 9．如图，，，，点在边上． (1)求证：； (2)判断与的数量关系，并说明理由． 10．为巩固数学知识、提升实践操作与解决实际问题的能力，小明按如下方式测量旗杆高度：将旗杆顶部处的绳子拉直至地面点，使，两点间距离等于小明直立时眼睛的离地高度；在处放置直角三角板，让直角顶点与点重合，边与绳子重合．随后小明后退，当看到点共线时（即共线），停在点． (1)小明认为的长等于旗杆高度，你认同他的观点吗？请说明理由． (2)若米，米，求旗杆高度． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $