第四章 因式分解单元测试卷2025-2026学年 北师大版八年级数学下册

第4章 因式分解单元测试卷 答案及解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D B B B C D C D A B D A 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.【答案】D ...【解析】A．从左到右是整式乘法，结果是多项式和的形式，不是整式积，故不符合题意； ...B．等式右边为，不是整式积的形式，故不符合题意； ...C．从左到右是整式乘法，将整式积化为多项式，不是因式分解，故不符合题意； ...D．，左边是多项式，右边是整式的积，且等式左右相等，故符合题意． 2．【答案】B ....【解析】将多项式分解因式，应提取的公因式是． 3．【答案】B ....【解析】因为A选项是三项式，不符合平方差公式，不符合题意； .....因为，所以B选项符合题意； .....因为C选项中不是平方项，不符合平方差公式，不符合题意； .....因为D选项中两项符号相同，不符合平方差公式，不符合题意． 4．【答案】B ....【解析】对于①，符合平方差形式，故①可以按要求分解；； ......对于②， -不符合平方差形式，故②不可以按要求分解； ......对于③， ，符合平方差形式，故③可以按要求分解； ......对于④， ，符合平方差形式，故④可以按要求分解． .......综上可知，不能按要求分解因式的是①题． 5．【答案】C 【解析】∵ ， ∵对应我，对应爱，对应仙，对应河， ∴结果呈现的密码信息可能是：我爱仙河． 6．【答案】D 【解析】， 27 ∵， 28.∴， 29.等式两边同时消去，得， 30.∴． 7．【答案】C 【解析】∵，， ∴，， ∴ 3.75． 8．【答案】D 【解析】解：A、甲：，故此选项不符合题意； B、乙：，故此选项不符合题意； C、丙：，故此选项不符合题意； D、丁：，不能因式分解，故此选项符合题意． 9．【答案】A 【解析】解：由题意得： 大正方形的面积为：， ∴大正方形的边长为：． 10．【答案】B ..【解析】解：根据题意可得， ∴，． 11．【答案】D ..【解析】 ， ∵长方形一边长为， ∴长方形的另外一条边长为． 12．【答案】A ......【解析】设两个连续偶数分别为和（为整数，）， ∵ “正偶平方差数”可表示为两个连续偶数的平方差， ∴ 正偶平方差数 正偶平方差数是乘以奇数． 对选项逐一判断： A、，是奇数，且，符合“正偶平方差数”定义，选项正确； B、，是偶数，不符合“正偶平方差数”定义，选项错误； C、当时，得到最小正偶平方差数为，不是的倍数，选项错误； D、最小正偶平方差数为，选项错误． 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13．【答案】 ..【解析】． 14．【答案】m ..【解析】系数的最大公约数11， 相同字母的最低次幂：多项式中各项都含有的相同字母是m，m的最低次幂是，n仅在第二项出现，不纳入公因式， 因此，应提取的公因式是． 15．【答案】/ ..【解析】由可变形为， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 16．【答案】（答案不唯一） ..【解析】依题意， ∵， ∴， ∴对于多项式，取，时，用上述方法产生的六位数密码是（答案不唯一） 3、 解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10分） 【答案】(1) (2) 【解析】（1）．(5分) （2）．(10分) 18．（10分） 【答案】(1) (2) 【解析】（1）原式 ．(5分) （2）原式 ．(10分) 19．（10分） 【答案】(1)，-3 (2)，35 【解析】（1）原式． 当，，时， 原式．(5分) （2）原式 ． 当时，原式．(10分) 20．（8分） 【答案】见解析 【证明】 ．(6分) 为正整数，是2的倍数， ∴是16的倍数， ∴原式能被16整除．(8分) 21．（10分） 【答案】(1)4 (2)另一个因式为，b值为1 【解析】（1）由题意得，， ∴， ∴， ∴；(5分) （2）设另一个因式为， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴另一个因式为，b值为1．(10分) 22．（12分） 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由题知即为大矩形面积， 由图知还可用求面积， ． 故答案为：；(4分) （2）∵图中每块小长方形的面积为12，四个正方形的面积之和为80， ，， ，， ， ， ，， ， 图中所有裁剪线（虚线部分）长度之和为．(12分) 23．（12分） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【解析】（1）．(5分) （2）证明：设，、是连续的正整数，所以，所以， 所以．即一定是正数m的平方．(12分) 24．（12分） 【答案】(1) (2) (3)等腰三角形，见解析 【解析】（1） ；(4分) （2）设， ， ∴；(8分) （3）是等腰三角形．理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴是等腰三角形．(12分) 25．（14分） 【答案】(1) (2)21 (3)12 【解析】（1）观察图1，拼成的长方形长为， 宽为， 长方形面积为 ， ∵面积等于所有纸片面积和， ∴．(4分) （2）∵长为、宽为的长方形面积为：， A类卡片对应，故；B类对应，故；C类对应，故， ∴．(8分) （3）由完全平方公式可得： ， ∴，： ∴， ∵为正数， 故．(14分) 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 命题双向细目表 题号 题型 分值 知识点 学科核心素养 难度系数（预估） 试题来源 1 单选题 3分 因式分解的概念 数学抽象 0.95 原创 2 单选题 3分 公因式的概念 数学抽象 0.95 改编 3 单选题 3分 运用平方差公式因式分解 数学抽象、逻辑推理、运算能力 0.85 改编 4 单选题 3分 运用平方差公式因式分解 数学抽象、逻辑推理、运算能力 0.85 原创 5 单选题 3分 因式分解的综合应用 数学抽象、逻辑推理、运算能力 0.85 改编 6 单选题 3分 根据因式分解的结果求原多项式中的某一项 逻辑推理、运算能力 0.85 改编 7 单选题 3分 利用平方差公式因式分解求代数式的值 逻辑推理、数学运算 0.85 原创 8 单选题 3分 因式分解的应用 数学抽象、逻辑推理、数学运算 0.75 改编 9 单选题 3分 因式分解的应用 数学抽象、逻辑推理、数学运算 0.6 改编 10 单选题 3分 根据因式分解求参数的取值 逻辑推理、数学运算 0.65 改编 11 单选题 3分 因式分解的应用 几何直观、逻辑推理、数学运算 0.6 改编 12 单选题 3分 因式分解解决新定义问题 数学抽象、逻辑推理、数学运算 0.5 原创 13 填空题 4分 提公因式因式分解 数学抽象、数学运算 0.95 原创 14 填空题 4分 提公因式因式分解中的公因式概念 数学抽象 0.85 原创 15 填空题 4分 因式分解与三角形问题 空间想象、数学运算、逻辑推理、几何直观 0.85 改编 16 填空题 4分 因式分解在密码锁中的应用 数学运算、逻辑推理 0.6 改编 17 解答题 10分 将多项式进行因式分解 数学抽象、数学运算、逻辑推理 0.85 改编 18 解答题 10分 利用因式分解进行简便计算 逻辑推理、数学运算 0.85 改编 19 解答题 10分 利用因式分解化简代数式并求值 数学运算、逻辑推理 0.85 改编 20 解答题 8分 因式分解在整除问题中的应用 逻辑推理、数学运算 0.85 改编 21 解答题 12分 因式分解的综合应用 逻辑推理、数学运算 0.75 改编 22 解答题 10分 因式分解与几何面积问题 数学抽象、逻辑推理、数学运算 0.65 改编 23 解答题 12分 因式分解与数字问题 数学抽象、逻辑推理、数学运算 0.65 改编 24 解答题 12分 因式分解与整体思想方法结合 数学抽象、数学运算、逻辑推理 0.6 改编 25 解答题 14分 因式分解与数形结合 空间想象、数学运算、逻辑推理、几何直观 0.45 改编 26 $ 第四章 因式分解单元测试卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 姓名： 班级： 学号： 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．【原创】下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 2．将多项式分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 3．下列多项式，能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 4．【原创】随着AI科技的发展，多种渠道都在使用AI打助攻，教学也不例外，以下是张老师利用AI工具命制的四道题，序号分别为①②③④，4道题都能因式分解，期中，不能按要求分解因式的是（    ） 请利用平方差公式将下列各式因式分解： ①；②；③；④． A．①题 B．②题 C．③题 D．④题 5．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，，分别对应下列六个字：河、爱、我、仙、游、美，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．我爱美 B．仙河游 C．我爱仙河 D．美我仙河 6．若因式分解的结果为，则“”是（    ） A． B． C． D． 7．【原创】若，，则的值是（   ） A．2 B．1 C．3.75 D．2.4 8．数学活动课上，同学们一起玩卡片游戏，游戏规则是：从给出的三张卡片中任选两张进行加减运算，运算的结果能进行因式分解的同学进入下一轮游戏，否则将被淘汰．给出的三张卡片如图所示，则在第一轮游戏中被淘汰的是（   ） A．甲： B．乙： C．丙： D．丁： 9．如图，有三种规格的卡片共张，其中边长为的正方形卡片张，边长为的正方形卡片张，长，宽分别为，的长方形卡片张．现使用这张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（   ） A． B． C． D． 10．把关于的多项式分解因式，得，则，的值分别是（   ） A．2，3 B．， C．，3 D．2， 11．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为，则长方形的另一边长为（   ） A． B． C． D． 12．【原创】定义如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“正偶平方差数”．如，，，因此4、12、20都是“正偶平方差数”，有关“正偶平方差数”说法正确的是（　　） A．28是“正偶平方差数” B．32是“正偶平方差数” C．所有“正偶平方差数”都是6的倍数 D．最小的“正偶平方差数”是2 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。 13．【原创】因式分解：___________． 14．【原创】将多项式利用提公因式法进行因式分解，你会提取的公因式是__________． 15．已知的三边分别为a、b、c，若且，则的面积为________ 16．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项式，因式分解的结果是 ，若取，，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码．那么对于多项式，取，时，用上述方法产生的六位数密码是___（写出一个即可）． 3、 解答题：本题共9小题，共98分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10分）把下列各式因式分解： (1)； (2)． 18．（10分）用简便方法计算： (1)； (2)． 19．（10分）先分解因式，再求值： (1)，其中，，． (2)，其中． 20． （8分）已知为正整数，求证：能被16整除． 21．（10分）仔细阅读下面例题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：，．∴另一个因式为，． 类比上面方法解答： (1)若二次三项式可分解为，则______． (2)若二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及b的值． 22．（12分）如图： (1)将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为的大正方形，两块是边长都为的小正方形，五块是长为，宽为的全等小长方形，且，观察图形，用不同的方法表示这块长方形纸板的面积，可得等式为______． (2)若图中每块小长方形的面积为12，四个正方形的面积之和为80，则图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和为多少． 23．（12分）数学兴趣小组开展探究活动，发现：对于任意两个连续的正整数的乘积与较大数的和，一定为较大数的平方．例如4和5，有． (1)【证明结论】请将该结论的证明过程补充完整． 设m，n是连续的正整数，且，可得， ∴．（方框所填内容，需要在答题卷上书写具体推理过程） ∴一定是正数n的平方． (2) 【类比证明】该小组还发现：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差，一定为较小数的平方．请你完成证明． 24．（12分）阅读材料，解决问题： 【材料1】教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．例如：分解因式．原式． 【材料2】因式分解：． 解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： (1)根据材料1，利用配方法进行因式分解：； (2)根据材料2，利用“整体思想”进行因式分解：； (3)当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由． 25．（14分）“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律． 【实践操作】 如图，有若干个边长为a的小正方形纸片（A类）、宽为a长为b的长方形纸片（B类）以及边长为b的大正方形纸片（C类）．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． (1)用若干个A类、B类、C类纸片拼成图1中的长方形，根据图形多项式可以因式分解得_________． (2)现用x张A卡片、y张B卡片、z张C卡片拼出一个长为，宽为的长方形，试求出的值=________； 【知识迁移】 (3)根据图2：若，则的值=_____． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $