第四章 因式分解 单元练习 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

2025-2026学年山东省滕州市张汪中学第二学期单元练习题 八年级数学第四章：因式分解 一、单选题 1．下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．若，，则的值是（   ） A．2 B．1 C．3 D．4 3．分解因式：（   ）． A． B． C． D． 4．判断能被下列哪个数整除（    ） A．9 B．13 C．15 D．17 5．设为某一自然数，代入代数式计算其值时，四个学生算出了下列四个结果，只有一个同学计算正确，那么正确的结果应该是（   ） A．2514 B．2184 C．5241 D．6418 6．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为，则长方形的另一边长为（   ） A． B． C． D． 7．若将多项式因式分解得，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．已知a，b满足等式，，，则x，y的大小关系是（   ） A． B． C． D． 9．年“强基计划”报名工作于4月启动，山东大学新增“密码科学与技术”专业．在密码学中，有一种用“因式分解”法产生的密码：对多项式因式分解后，再对其中字母赋值，计算各因式结果，再将各因式的结果按不同顺序排列，即可得到密码．例如：对多项式因式分解，取，时，用上述方法产生的密码不可能是（） A． B． C． D． 10．已知，，，则多项式的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．因式分解______． 12．数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法，请利用如图所示的图形分解因式__________． 13．已知，则______． 14．已知，则的值为______． 15．已知a，b，c满足，，，则的值为__________． 16．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（，．即均为“和谐数”），在不超过的正整数中，所有的“和谐数”之和为______． 三、解答题 17．因式分解 (1)； (2) (3) (4) 18．已知，，分别求下列代数式的值． (1)； (2)． 19．阅读材料： 因式分解：． 解：将“”看成整体，令，则原式．再将“A”还原，可以得到：原式． 上述解题用到的是“整体思想”，整体思想是数学解题中常用的一种思想方法． 问题解决： (1)因式分解：； (2)因式分解：； 20．课本复习题有道题是“如果，那么或利用所学知识，尝试求解方程”“如果，那么或”在数学中通常称为零乘积性质．方程可化为根据零乘积性质，若，则或，因此或，解得或所以方程的解为或，请利用零乘积性质完成下列各题 (1)求解方程； (2)已知，当，求的值； (3)已知的三边满足，请判断的形状，并说明理由． 21．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆用，即．利用配方法可以解决代数式的最值等问题． 例如：求代数式的最小值． 解：∵， ∴当时，代数式的最小值是4． 按要求解答下列问题． (1)配方：______． (2)已知，求的值． (3)用配方法求代数式的最小值． 22．古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中通过矩形面积的分割与重组，从几何角度说明了平方差关系． (1)如图，在边长为的正方形的一角割去边长为的正方形，则图中阴影部分的面积可表示为___________，再将这阴影部分拼成如图的大长方形，图中大长方形的面积可以表示为___________，由阴影部分的面积相同，可以得到等式___________； (2)如图，在棱长为的正方体的一个角上挖去棱长为的正方体（），然后将其分成三个长方体，请按照以上思路利用体积关系分解因式． 23．【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． (1)【类比推理】已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：________； (2)【应用公式】因式分解：； (3)【拓展提升】如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，，．若，则： ①________； ②若该直角三角形的两条边长分别为和，且，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 试卷第4页，共5页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D D B D D D D C 11． 12． 13．8 14． 15．11 16． 17．（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 18．（1）解：，， ，， ； （2）解：，， ∴ ∴ ． 19． 1）解：令， ， 将“A”还原，可以得到：； （2）解：令， 则 ； 将“B”还原，可以得到： ． 20．（1）解：对方程左侧因式分解得 ， ∴或， 解得或； （2）解：代入得， 整理得， 因式分解得， ∴或， 解得 或； （3）解：是等腰三角形，理由如下： ∵ ， ∴ 对等式左侧因式分解得， 提取公因式得 ， ∵ 是的三边长， ∴ ，即， ∴可得，即， ∴ 是等腰三角形． 21．（1）解：． （2）解：由题意得，， 则，， 故． （3）解：， ， ， 即的最小值为1． 22．（1）解：由题意可得，阴影部分的面积可表示为，图中大长方形的面积可以表示为，由阴影部分的面积相同，可以得到等式， 故答案为：，，； （2）解：由体积关系得： ， ∴． 23．（1）解： ； （2）解： ； （3）解：观察图形可知，，， ， ， ， ； 原式 ， ，，， ，即， ， ，，，， ， ， 四边形是正方形， ，即， ，， 原式． 答案第2页，共5页 答案第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $