广东江门市第一中学2025-2026学年高一下学期5月期中数学试题

**基本信息** 以水轮转动、公园绿化等真实情境为载体，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查复数、向量、解三角形等核心知识，培养数学建模与运算推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数象限、向量四等分点、解三角形多解问题|基础题占比高，如第3题考查正弦定理应用| |多选|3/18|向量基底判定、解三角形命题真假|第11题结合函数图像考查零点与对称性，体现几何直观| |填空|3/15|扇形面积、三角恒等变换、解三角形最值|第14题公园绿化情境，培养数学应用意识| |解答|5/77|向量共线与夹角、三角函数图像变换、外拿破仑三角形|19题以外拿破仑三角形为背景，融合解三角形与创新探究，发展推理能力|

江门一中2025-2026学年度第二学期第一次学段考试 高一年级 数学试卷 命题人：谢慧娟 审题人：余伟光、郑秀芹 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设为虚数单位，若，则在复平面内对应的点位于第（ ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 2．已知在中，是线段上靠近的四等分点，则（ ） A． B． C． D． 3．在中，角的对边分别为，若，则（ ） A． B． C．或 D．或 4．已知，则以下计算正确的个数（ ） ①，②，③，④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．已知单位向量满足，则（ ） A． B．2 C． D．1 6．如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测面法画出的直观图，其中，则原四边形的周长为（ ） A． B． C．12 D． 7．如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（ ） A．点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为 B．点第一次到达最高点需要20秒 C．当水轮转动155秒时，点距离水面1米 D．当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米 8．如图，在正方形中，，为的中点，是以为直径的圆弧上任一点，则的最大值为（ ） A． B．4 C．5 D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法中正确的有（ ） A．能作为一组基底 B．已知向量，则向量在向量上的投影向量为 C．平行四边形中，若，则四边形是矩形 D．已知，为虚数单位，若复数为纯虚数，则 10．在中，下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则是等腰三角形 D．若是锐角，，则为锐角三角形 11．函数的部分图象如图所示，是的2个零点，则（ ） A．的图象关于点对称 B．的最小值为 C．当取最小值时，的最大值为 D．若在区间上至少有10个零点，则的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知一个扇形的圆心角为，所对的弧长为，则该扇形的面积为__________． 13．化简__________． 14．如图为某公园的绿化示意图，准备在道路的一侧进行绿化，线段长为，，设．为了方便游人散步，现要搭建一条栈道，栈道由线段，和组成，若，栈道的总长为，则的最大值__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 15．（本小题13分）已知向量，，． （1）若与共线，求实数的值； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 16．（本小题15分）已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点． （1）求； （2）若，求． 17．（本小题15分）已知函数． （1）求的单调递减区间和最小正周期； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若对任意的，使得恒成立，求实数的取值范围． 18．（本小题17分）在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且 ． （1）求角的大小； （2）若，，求； （3）若，求的取值范围． 19．（本小题17分）已知在任意一个三角形的三边上分别向外作出一个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成等边三角形，我们称由这三个中心构成的三角形为外拿破仑三角形．在锐角中，角所对的边分别为，且，以的边分别向外作的三个等边三角形的中心分别记为，记为的外接圆半径． （1）若，求的值； （2）若的面积为，且，求面积的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 BADB ACCD BC ACD BCD 3π 4 43 15.【详解】(1)由a=(-1,1),=(2,1), 得a-26=(-5,-1),c=（-m+2,m+1) 因为c与3-26共线， 所以(-m+2)×(-1)-(-5)×(m+1)=0, 即6m+3=0,解得m=-克： (2)因为6与的夹角为锐角， 所以乃与两向量的数量积大于零且不共线， (2(-m+2)+1×(m+1)>0 即{2(m+1)-1×(-m+2)≠0，解得m<5且m≠0， 所以实数m的取值范围为(-∞，0)U(0,5) 16.【详解】(1)由角α的终边过点P(,-号)， 得sina= - =-，c0s= 是， 所以原式=nc=一寻】 sina (2)由0<B<晋及-<&<0得-晋<a+B<晋， 由sin(a+B)=是得cos(a+)=最， cosB=cos[(a+B)-a]=cos(a+B)cosa+sin(a+B)sina= 17.【详解】(1)f(x)=4 sinxcos(x+)+V5=4sinx(3cosx-号sinx)+5 =sin2x-3 (1-cos2x)+3=sin2x+3cos2x=2sin (2x+) 最小正周期T=受=元， 令号+2kπ≤2x+号≤受+2kπ(kEZ),得最+kπ≤x≤晋+kπ(kEZ), 所以单调递减区间为[是+kπ，晋+kπ](kEZ) (2)函数f(x)的图象向右平移受，所得解析式为 2sin[2(x-是)+号]=2sin(2x+), 又将横坐标变为原来的号（纵坐标不变），解析式为2sin(2·x+晋)=2sin(3x+吾)， 因此g(x)=2sin(3x+晋) 对任意xe[0,号]，g(x)+m≤0恒成立， 即m≤一g(x)恒成立，等价于m≤[-g(x)]min,也就是m≤-[g(x)]ms' 当xe[0,号]时，3x+晋e[晋石]，sin(3x+晋)e[-31], 所以g(x)=2sin(3x+音)∈[-1,2]，g(x)mx=2,因此m≤-2， 18.【详解】(1)因为bcosC+ccosB=2 acosA, 由正弦定理得sin B cosC+sin C cosB=2 sin A cosA,即sinB+C=2 sin AcosA, 因为在ABC中，sim(B+C)=sin4>0,所以cosA=2 1 又0<A<,所以4=背 (2)因为4-子b=2,Sc=35,所以csin4=5,解得c=6 由余弦定理得a=Vb2+c2-2 bccosA=,4+36-2×2×6×=2V7 (3)因为a2=b2+c2-2 becos4,a=V5,A=T 所以3=B+c2-2bc=b+cy-3bc≥6+c-36+cy=b+c, 所以(b+c)2≤12，所以b+c≤2v3,当且仅当b=c时等号成立， 又b+c>a=V3,所以V3<b+c≤2V3 19.【详解】(1)在ABC中，由正弦定理a=2R,得sin4= sinA 2 又ABC是锐角三角形，所以∠A= 6 而B,C,分别是以AC,AB为边的等边三角形的中心， 所以∠B4C=∠C4B=名从而∠84G-号 6 (2)由△AB,C,的面积为5知BC1=2, 在△B,AC,ABC中分别由余弦定理有 sc-+c-a4cw44号+号m引n BC2=AC2+AB2-2AC·AB.cosA→3=b2+c2-2 bccosA② 联立①②，消去b2+c2, 9 9 bc= 可得 2 cos4-cos+ cosA+3sinA. 所以48C面积S=besind: 9sinA 9 2 cos4+23sind2+2 tand 又R∈ 以9：g副m5 359(5- 从而得ABC面积的取值范围是 4,4