精品解析：广东江门市第一中学2025-2026学年第二学期第一次学段考试高一数学试题

江门一中2025-2026学年度第二学期第一次学段考试 高一年级数学试卷 命题人：谢慧娟 审题人：余伟光､郑秀芹 第一部分（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设为虚数单位，若，则在复平面内对应的点位于第（ ）象限. A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 2. 已知在中，是线段上靠近的四等分点，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，角的对边分别为，且，，，则 A. B. C. 或 D. 或 4. 已知，则以下计算正确的个数（ ） ①，②，③，④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 已知单位向量满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 6. 如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，则原四边形的周长为（ ） A. B. C. 12 D. 7. 如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（ ） A. 点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为 B. 点第一次到达最高点需要20秒 C. 当水轮转动155秒时，点距离水面1米 D. 当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米 8. 如图，在正方形中，，E为的中点，点P是以为直径的圆弧上任一点．则的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 能作为一组基底 B. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为 C. 平行四边形中，若，则四边形是矩形 D. 已知，为虚数单位，若复数为纯虚数，则 10. 在中，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则是等腰三角形 D. 若，是锐角，，则为锐角三角形 11. 函数的部分图象如图所示，，是的2个零点，则（   ） A. 的图象关于点对称 B. 的最小值为 C. 当取最小值时，的最大值为 D. 若在区间上至少有10个零点，则的最小值为 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为________． 13. 计算：__________. 14. 如图为某公园的绿化示意图，准备在道路的一侧进行绿化，线段长为，，设.为了方便游人散步，现要搭建一条栈道，栈道由线段，和组成，若，栈道的总长为，则的最大值=__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，. （1）若与共线，求实数的值； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 16. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点 （1）求； （2）若，，求. 17. 已知函数. （1）求的单调递减区间和最小正周期； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若对任意的，使得恒成立，求实数的取值范围. 18. 在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且. （1）求角A的大小； （2）若，，求a； （3）若，求的取值范围. 19. 已知在任意一个三角形的三边上分别向外作出一个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成等边三角形，我们称由这三个中心构成的三角形为外拿破仑三角形.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，以的边，，分别向外作的三个等边三角形的中心分别记为，，，记为的外接圆半径. （1）若，求的值； （2）若的面积为，且，求面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江门一中2025-2026学年度第二学期第一次学段考试 高一年级数学试卷 命题人：谢慧娟 审题人：余伟光､郑秀芹 第一部分（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设为虚数单位，若，则在复平面内对应的点位于第（ ）象限. A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，求得，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由复数，可得复数在复平面内对应的点为，位于第二象限. 2. 已知在中，是线段上靠近的四等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意可知. 3. 在中，角的对边分别为，且，，，则 A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理，求得的值，由此求得的大小，从而得出正确选项. 【详解】由正弦定理得，即，解得，故或，所以选D. 【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查特殊角的三角函数值，属于基础题. 4. 已知，则以下计算正确的个数（ ） ①，②，③，④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意利用诱导公式，两角和的正切公式，以及正切的倍角公式，结合齐次式的计算，逐个求解，即可得到答案. 【详解】对于①：由，所以①不正确； 对于②：由，所以②正确； 对于③：由，所以③不正确； 对于④：由，所以④正确. 5. 已知单位向量满足，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直的条件结合向量数量积的运算律求出，然后再利用模长公式即可求解. 【详解】由题意可知， 所以. 6. 如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，则原四边形的周长为（ ） A. B. C. 12 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，结合斜二测画法将直观图还原为原图，进而求解. 【详解】由题意知，， 将直观图还原为原图，如图， 则， 所以， 所以原四边形的周长为12. 故选：C 7. 如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（ ） A. 点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为 B. 点第一次到达最高点需要20秒 C. 当水轮转动155秒时，点距离水面1米 D. 当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求出点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，结合选项依次判断即可. 【详解】设点距离水面的高度为（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，， 由题意，， 所以，解得， 因为，所以， 则， 当时，，所以，则， 又，则， 综上，，故A正确； 令，则， 令，得秒，故B正确； 当秒时，米，故C错误； 当秒时，米，故D正确. 故选：C. 8. 如图，在正方形中，，E为的中点，点P是以为直径的圆弧上任一点．则的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 建立如图所示的平面直角坐标系，将向量的数量积转化为向量的坐标运算，即，即可得到答案； 【详解】则，， 设， ， ，其中， ， 故选：D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的有（ ） A. 能作为一组基底 B. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为 C. 平行四边形中，若，则四边形是矩形 D. 已知，为虚数单位，若复数为纯虚数，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据，可判定A错误；根据投影向量的计算公式，可判定B正确，根据向量的运算法则，求得，可判定C正确；根据复数的定义，列出方程组，可判定D错误. 【详解】对于A，由向量，可得，所以共线， 所以向量不能作为一组基底，所以A错误； 对于B，由向量，，可得 则向量在向量上的投影向量为，所以B正确； 对于C，由，可得， 则，可得， 可得，所以，可得， 又因为四边形为平行四边形，所以四边形是矩形，所以C正确； 对于D，由复数为纯虚数，可得，解得，所以D错误. 10. 在中，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则是等腰三角形 D. 若，是锐角，，则为锐角三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正弦定理，可得，可判定A正确；求得或，可判定B错误；由正弦定理和三角形的内角和定理，求得，可判定C正确；由，结合正弦函数的单调性，求得，可判定D正确. 【详解】对于A，因为，由正弦定理，可得，则，所以A正确； 对于B，由，可得或， 所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，所以B错误； 对于C，因为，由正弦定理得， 又因为，可得， 所以， 即，可得， 因为为三角形的内角，所以，可得， 所以为等腰三角形，所以C正确； 对于D，由，可得， 因为，可得， 又因为在上为单调递增函数，可得，所以， 因为，所以为锐角，所以为锐角三角形，所以D正确. 11. 函数的部分图象如图所示，，是的2个零点，则（   ） A. 的图象关于点对称 B. 的最小值为 C. 当取最小值时，的最大值为 D. 若在区间上至少有10个零点，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据图象求出函数的解析式，对于选项A，把点待人解析式判断；对于选项B，解出零点，作差，求的最小值；对于选项C，由最小时求出，的值，代入通过三角函数恒等变换判断；对于选项D，将零点逐一写出求解. 【详解】根据图象得，， ∴，. 又，∴，又，∴， 所以，由， ∴，∴， ∵，∴，∴. 对于A选项，∵， ∴的图象关于点对称，故选项A错误； 对于B选项，令，得，∴， ∴或，. ∵，记，，∴，， ，，∴，， ∴， 当时，，故B选项正确； 对于选项C，取，则，. ， 当时，取最大值，故C选项正确； 对于选项D，在上的10个零点依次为，，，，，，，，，. ∵在上至少有10个零点，∴，故D选项正确. 故选：BCD. 【点睛】本题根据图象求出函数的解析式是解题的关键，根据最大值和最小值求出振幅A，根据周期求出. 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一个扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，则该扇形的面积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】设扇形所在圆的半径为，根据扇形的弧长公式，求得，结合扇形的面积公式，即可求解. 【详解】设扇形所在圆的半径为， 因为扇形的圆心角为，且所对应的弧长为，可得，解得， 所以扇形的面积为. 故答案为：. 13. 计算：__________. 【答案】4 【解析】 【详解】 14. 如图为某公园的绿化示意图，准备在道路的一侧进行绿化，线段长为，，设.为了方便游人散步，现要搭建一条栈道，栈道由线段，和组成，若，栈道的总长为，则的最大值=__________. 【答案】 【解析】 【分析】在和中，利用余弦定理，求得和，根据题意，得到，令，转化为，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】在中，因为，且， 由余弦定理得， 在中，因为，且， 由余弦定理得， 则， 令，则， 可得， 所以当时，即时，的最大值为. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，. （1）若与共线，求实数的值； （2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量坐标运算和向量平行的坐标表示求解可得； （2）根据且不同向列方程求解即可. 【小问1详解】 因为，，所以， ， 与共线，则，解得. 【小问2详解】 已知，， 若与的夹角为锐角，则且不同向， 由，解得， 由，解得，此时同向，不符合题意， 因此实数的取值范围为. 16. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点 （1）求； （2）若，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用三角函数的定义，求得，结合诱导公式，即可求解； （2）由，求得，结合两角差的余弦公式，即可求解. 【小问1详解】 因为角的终边过点，可得， 所以， 则. 【小问2详解】 因为，可得， 因为，可得， 所以 . 17. 已知函数. （1）求的单调递减区间和最小正周期； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若对任意的，使得恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1），最小正周期为 （2） 【解析】 【分析】（1）化简函数为，结合正弦型函数的性质，以及最小正周期的计算公式，即可求解； （2）根据三角函数的图象变换，求得，得到，结合题意，利用，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数 ， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 其最小正周期为. 【小问2详解】 解：将函数的图象向右平移个单位长度， 得到， 再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变， 得到函数， 当时，即时，取得最大值， 因为对任意的，使得恒成立， 即恒成立，所以， 所以实数的取值范围为. 18. 在中，内角A、B、C对应的边分别是a、b、c，且. （1）求角A的大小； （2）若，，求a； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1）. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用正弦定理将边转化为角，再利用三角形内角和定理与三角恒等变换公式化简，进而求出角A； （2）先利用三角形面积公式求出边c的长度，再用余弦定理求出边a； （3）用余弦定理得到b、c的式子，再用基本不等式来分析求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得，即， 因为在中，，所以， 又，所以. 【小问2详解】 因为，，，所以，解得. 由余弦定理得. 【小问3详解】 因为， 所以， 所以，所以，当且仅当时等号成立， 又，所以. 19. 已知在任意一个三角形的三边上分别向外作出一个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成等边三角形，我们称由这三个中心构成的三角形为外拿破仑三角形.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且，以的边，，分别向外作的三个等边三角形的中心分别记为，，，记为的外接圆半径. （1）若，求的值； （2）若的面积为，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，由正弦定理求得，得到，进而求得的值； （2）在和中，利用余弦定理，列出关系式，联立方程组，消去，求得，得到，结合，求得，进而得到面积的取值范围. 【小问1详解】 在中，因为，且外接圆的半径为， 由正弦定理，可得， 又因为为锐角三角形，所以， 因为分别是以为边的等边三角形的中心， 所以，可得. 【小问2详解】 如图： 由的面积为，因为为等边三角形，所以， 在中，由余弦定理得， 即 在中，由余弦定理得， 即， 联立方程组，消去，可得， 所以的面积为， 因为，所以，可得， 则，可得 所以面积的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $