山东淄博第五中学2025-2026学年第二学期期中教学质量检测高二数学试题

**基本信息** 淄博五中高二下学期期中数学试题，聚焦概率统计、函数导数、数列等核心知识，通过零件检测、比赛概率等情境设计，考查数学思维与数据观念，体现知识综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|正态分布、导数切线、排列组合|基础概念辨析| |多选题|3/18|导数图像分析、排列组合应用|选项分层设错| |填空题|3/15|涂色计数、导数不等式|抽象问题转化| |解答题|5/77|分布列与条件概率（15题）、正态分布检测模型（19题）|多问递进，结合实际情境|

淄博五中2025—2026学年度第二学期期中教学质量检测 高二数学参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B C B C D D A A BC ACD ABD 1．B 【详解】，， .故选：B. 2．C 【详解】由题可知，且曲线在点处的切线方程为，即， 所以，所以 3．B 【详解】由题意原式中的系数；故选：B. 4．C 【详解】先排首位，共有5种方法；其它位数共有种排法，结合分步计数原理可得共有种方法.故选：C. 5．D 【详解】等差数列中，由，公差，得， 所以与的等比中项为. 故选：D 6．D 【详解】因，则， 所以， 所以. 故选：D 7.A 【详解】由甲获胜的概率为， 而甲获得冠军且比赛进行了三局，对应概率为， 所以在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为. 故选：A 8． A 解：函数，开口向下，对称轴为， 时，， ，， 令，解得， 则时，，单调递减， 时，，单调递增， ，又， 则时，， 对，，使成立， ， ，解得． 9．BC 【详解】由导函数图象可知当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 选项A：因为 在上单调递增，且，因此在 处取不到最大值，A错误， 选项B：左侧 ， 单调递增；右侧 ， 单调递减， 且，因此 时 取得极大值，B正确， 选项C：由 ，且 在 单调递增，可得 ，C正确， 选项D：在单调递增，因此 ，故不成立，D错误. 10．ACD 【详解】对于A，将5封信投入3个邮筒，每封信均有3种投法，故不同的投法共有种，故A 正确； 对于B，参观券相同，只需从5人中选出3人即可，方法数为种，故B错误； 对于C，从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女， 包含的类别有1男3女，2男2女，3男1女，即有种选法，故C正确； 对于D，先将丙、丁两人全排列有种，排好后有3个空位， 再将甲、乙两人安排到两人（丙、丁）的空位中有种， 由分步计数原理可得总的方法数为种，故D正确. 故选：ACD. 11．ABD 【详解】由题得，， 根据条件概率公式，得， ，故A，B正确. 对选项C，， 所以，故C错误. 对选项D，， ，故D正确. 故选：ABD 12．84 【详解】当A和C颜色相同， 第一步涂A：共4种颜色可选，所以有种选择； 第二步涂B：由于B与A不同色，只有剩下的种颜色可选，所以有种选择； 第三步涂C：由于C与A同色，只有种选择； 第四步涂D：此时D仅需与A（C）不同色，有种选择； 所以根据分步计数乘法原理可知此类方案数为：； 当A和C颜色不同， 第一步涂A：共4种颜色可选，所以有种选择； 第二步涂B：由于B与A不同色，只有剩下的种颜色可选，所以有种选择； 第三步涂C：由于C与A不同色，且与B不同，只有剩下的种颜色可选，所以有种选择； 第四步涂D：此时D既与A不同色，又与C不同色，由于A与C也不同色，故只有种选择； 所以根据分步计数乘法原理可知此类方案数为：； 利用分类计数加法原理，把这两类相加可得总方案数为：. 13． 【详解】构造，， ∴在上单调递增，又， 则不等式可转化为，即, 故，故解集为． 14． 解析：设比赛的局数为X，则X的可能取值为2，3， ，， 所以X的分布列为 X 2 3 P 所以，所以当时，取得最大值. 15．(1)分布列见详解；； (2) 【详解】（1）由题意可知：的可能取值为1，2，3，则有：，所以的分布列为 1 2 3 的期望为， 的方差为..................................7分 （2） 有放回的抽取1次，取到黑球的概率为，取到白球的概率为， 记“至少取得一个白球”为事件A，“取得两个白球”为事件B， 则，， 可得， 所以在至少取得一个白球的情况下，取得两个白球的概率为...................................13分 16．(1)；64 (2)1215 (3)，，， 【详解】（1）因为的二项展开式有7项，所以， 所以所有二项式系数之和为；.................................4分 （2）由（1）知，所以的二项展开式的通项为 ， 令，解得， 所以展开式中含项的系数为；.................................9分 （3）因为的二项展开式的通项为， 因为，且，所以能使为整数的， 所以展开式中的有理项分别为 ，， ，.................................15分 17．(1) (2) 【分析】（1）利用退位法可求的通项公式． （2）利用错位相减法可求. 【详解】（1）当时，，解得． 当时，，所以即， 而，故，故， ∴数列是以4为首项，为公比的等比数列， 所以..................................7分 （2）, 所以 故 所以 ， ..................................15分 18．2．(1)极大值为，无极小值 (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减 (3)1 【详解】（1）当时，，定义域为 则，令解得 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减 所以有极大值，无极小值..........................5分 （2） 若时，在上恒成立，此时在上单调递增； 若时，令，即，解得或（舍去）. 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.........................5分 （3）因为对任意，恒成立，所以在上恒成立， 即在上恒成立 设，则 设，，则在上单调递减， 因为，， 所以，使得，即，则. 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上的最大值 因为，所以. 故整数的最小值为1........................7分 19．(1) (2) 1 2 3 (3) 【详解】（1）因为，所以，， 所以从该批零件中随机抽取1个为优质品的概率， 所以从该批零件中随机抽取个， 恰好有个为优质品的概率为..................................5分 （2）设随机抽取的个零件中，优质品的个数为. 由题意得，， 所以， 因为， 当时，， 当时，， 所以. 由题意可得的所有可能取值为1，2，3， ，，， 所以的分布列为 1 2 3 ；.................................13分 （3）记第次检测到的零件质量指标大于为事件（），则. 要使，需满足下面三个条件： ①第6，7，8个零件的质量指标均大于50； ②第5个零件的质量指标不大于50； ③前4个零件不出现连续3个零件的质量指标大于50. 所以 .................................17分 答案第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淄博五中2025—2026学年度第二学期期中教学质量检测 高二数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1．已知随机变量服从正态分布，且，则等于（   ） A． B． C． D． 2．曲线在点处的切线方程为，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．的展开式中的系数是（     ） A．126 B．125 C．96 D．83 4．由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数的个数为（     ）． A．60 B．96 C．300 D．360 5．已知等差数列中，，公差，则与的等比中项是（     ） A． B． C． D． 6．已知数列满足，则（     ） A． B． C． D． 7．羽毛球单打实行”三局两胜”制（无平局）．甲乙两人争夺比赛的冠军．甲在每局比赛中获胜的概率均为，且每局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为（     ） A． B． C． D． 8．已知函数，，若对，，使成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，选错不得分． 9．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．时，取得最大值 B．时，取得极大值 C． D． 10．下列说法正确的是 （    ） A．将5封信投入3个邮筒，不同的投法共有种 B．有三张参观券，要在5人中确定3人去参观，不同方法的种数是60 C．从6男4女中选4人参加比赛，若4人中必须有男有女，则共有194种选法 D．甲、乙、丙、丁四人排成一排，则甲、乙两人不相邻共有12种排法 11．一个不透明的纸箱中放有大小、形状均相同的10个小球，其中白球6个、红球4个，现无放回分两次从纸箱中取球，第一次先从箱中随机取出1个球，第二次再从箱中随机取出2个球，分别用，表示事件“第一次取出白球”，“第一次取出红球”；分别用，表示事件“第二次取出的都为红球”，“第二次取出两球为一个红球一个白球”.则下列结论正确的是（    ）. A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．给如图所示的四个区域涂色，有4种不同的颜色可选，相邻区域颜色不能相同，则共有______种不同的涂色方案. 13．已知函数的导函数为，且对任意，，若，则不等式的解集为______． 14．假设两个队进行一系列比赛，一直到其中有一队赢了2局才结束.假设各局比赛胜负是相互独立的，并且A队获胜的概率为p，则当比赛的局数的期望最大时，__________. 4、 解答题：本题共5小题，共77分． 15.(13分)大小、质量相同的6个球，其中有4个黑球，2个白球. (1)若从袋中任取3 球，设3个球中黑球的个数为X，求X的分布列，期望和方差. (2)若从袋中有放回的抽取2次，每次取1球，求在至少取得一个白球的情况下，取得两个白球的概率. 16．（15分）已知的二项展开式有7项． (1)求，并求出所有二项式系数之和； (2)求展开式中含项的系数； (3)求展开式中的有理项． 17．（15分）记为数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 18．（17分）已知函数，． (1)当时，求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若对任意恒成立，求整数的最小值． 19.（17分）某零部件代加工基地为某科技公司生产了一批精密零件，其质量指标（单位：）服从正态分布，已知当时，.规定质量指标在内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立. (1)现从该批零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率； (2)从该批零件中随机抽取6个进行检测，记这6个零件中有个优质品的概率最大，当这6个零件中恰好有个优质品时把这6个零件视为一个样本，从这6个零件中不放回地任取3个进行二次精测，记取出的3个零件中优质品的个数为，求的分布列与期望； (3)现从该批零件中每次随机抽取1个零件进行检测，若连续3次都检测到零件的质量指标大于50，就停止检测，记为停止检测时已检测的零件数，求. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $