精品解析：陕西宝鸡市陈仓区虢镇中学2025-2026学年高一年级第二学期期中考试数学试题

虢镇中学2025－2026学年度第二学期期中考试 高一年级数学试题 （命题人：郭小宁） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．） 1. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】根据零向量的定义，可判断A项正确；根据共线向量和相等向量的定义，可判断B，C，D项均错. 【详解】模为零的向量是零向量，所以A项正确； 时，只说明向的长度相等，无法确定方向， 所以B，C均错； 时，只说明方向相同或相反，没有长度关系， 不能确定相等，所以D错. 故选：A. 【点睛】本题考查有关向量的基本概念的辨析，属于基础题. 2. 是虚数单位，，，则是为纯虚数的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 【答案】B 【解析】 【分析】复数是纯虚数，则，利用直接法进行判断即可得解. 【详解】复数是纯虚数，则， “”是“复数是纯虚数”的必要不充分条件． 故选：B. 3. 已知点、、在所在平面内，且，，，则点、、依次是的（ ） A. 重心、外心、垂心 B. 重心、外心、内心 C. 外心、重心、垂心 D. 外心、重心、内心 【答案】C 【解析】 【分析】根据到三角形三个顶点的距离相等，得到为外心；根据中线的性质，可得为重心；根据向量垂直，即得到是垂心. 【详解】 因为，所以到定点的距离相等， 所以为的外心； 由，则， 取的中点，则， 所以，即为靠近的三等分点， 所以是的重心； 由，得，即， 所以，同理，，所以点为的垂心. 4. 在中，，则边的长为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先求出角，再利用正弦定理即可求得结论. 【详解】因，则， 由正弦定理，，则. 故选：B. 5. 已知，且满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据进行求解，得到答案. 【详解】因为，， 所以在上的投影向量为. 故选：D 6. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的几何意义得到，结合复数的运算法则，即可求解. 【详解】由题意，复平面内，复数对应的点的坐标是， 可得，所以. 故答案为：A. 7. 已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理化简已知的等式，再根据二倍角的正弦函数公式变形后，得到，由和都为三角形的内角，可得或，从而得到三角形为等腰三角形或直角三角形． 【详解】解：由正弦定理化简已知的等式得：， ， ，又和都为三角形的内角， 或，即或， 则为等腰或直角三角形． 故选：D． 8. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．则正八面体（八个面均为正三角形）的总曲率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正八面体的面积和减去六个顶点的曲率和可得结果. 【详解】正八面体每个面均为等边三角形，且每个面的面角和为，该正面体共个顶点， 因此，该正八面体的总曲率为. 故选：B. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列命题中不正确的是（ ） A. 四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面 B. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 C. 以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成几何体叫圆锥 D. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据棱柱、棱锥、棱台及圆锥的定义即可判断. 【详解】对于A，四面体为三棱锥，每个面都是三角形，所以每个面可以作为底面， 故A正确； 对于B，用不平行于棱锥底面的平面去截棱锥， 截面与底面的部分组成的几何体不叫棱台，故B错误； 对于C，若以直角三角形的斜边为旋转轴， 其余两边旋转形成的曲面所围成几何体不叫圆锥. 故C错误； 对于D，如图所示，是由两个相同形状的三棱柱 叠放在一起形成的几何体，这个几何体就不是棱柱. 故D错误； 故选：BCD. 10. 已知复数，下列命题正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 若，则为实数 【答案】AC 【解析】 【分析】根据复数的模长公式、共轭复数的定义以及复数的乘方，结合举反例，可得答案. 【详解】对于A，设， 则 ，故A正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，设，，，，故C正确； 对于D，设，，， 当或时，，故D错误. 故选：AC. 11. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，向量与向量的夹角为锐角 C. 存在，使得 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【详解】选项A，∵ 当时，， ∴ ， ∴ ，故A错误. 选项B，若向量与的夹角为锐角，需满足且两向量不共线同向. ∵ ，令，解得. 当与共线时，，解得，此时，两向量同向，夹角为，不满足锐角条件，故且时夹角为锐角，B错误. 选项C，由上述共线条件可知，当时，且，故存在使得，C正确. 选项D，若，则，即，解得，D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知复数满足，则____. 【答案】 【解析】 【详解】因为， 所以. 13. 如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中 ，则原四边形的周长为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据斜二测画法将直观图还原为原图，结合勾股定理，即可得答案. 【详解】根据题意，直观图中，，所以，在等腰直角中由勾股定理得， 将直观图还原为原图，如图所示， 则，，， 所以在中由勾股定理得：， 因为且， 所以四边形为平行四边形， 所以原四边形的周长为 . 14. 一条河宽为800 m，一船从A处出发垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为________ min. 【答案】3 【解析】 【分析】由题得v实际＝v1＋v2，求出|v实际|=16,即得解. 【详解】∵v实际＝v船＋v水＝v1＋v2， |v1|＝20 km/h，|v2|＝12 km/h， ∴|v实际|＝＝＝16(km/h). ∴所需时间t＝＝0.05(h)＝3(min). ∴该船到达B处所需的时间为3 min. 故答案为：3 【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于求出|v实际|. 四、解答题（本大题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知向量与的夹角为，且，. （1）求； （2）若，求值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）将平方得，利用平面向量数量积的运算律和定义计算出 ，再取算术平方根得出答案； （2）将转化为，利用平面向量数量积的运算律和定义求出的值． 【详解】（1） ， 因此，； （2），，即， 即，解得． 【点睛】本题考查平面向量数量积的应用，考查平面向量模的计算以及平面向量垂直，在计算向量模长时，常将模进行平方结合平面向量数量积的运算律求解，在处理平面向量垂直时，则将问题转化为两个向量数量积为零来处理，考查转化与化归数学思想，考查计算能力，属于中等题． 16. 已知复数满足，. （1）求； （2）若复数满足，求. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据复数的模长公式即可求解. （2）根据复数相等的充要条件，即可列方程组求解. 【小问1详解】 由题意得， 所以或（舍去）， 故 【小问2详解】 设， 则， 所以解得或 所以或 17. 在中，． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周长. 【小问1详解】 解：因为，则，由已知可得， 可得，因此，. 【小问2详解】 解：由三角形的面积公式可得，解得. 由余弦定理可得，， 所以，的周长为. 18. 已知在中，为中点，，，． （1）用和表示； （2）若，求； （3）设和的夹角为，若，求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合点的分点比例，利用向量线性运算法则将转化为与的线性组合. （2）利用向量模长与数量积的关系，结合已知夹角及模长条件计算. （3）将用、表示，通过证明推导垂直关系. 【小问1详解】 ∵ ， ∴ ， 整理得， ∴ . 【小问2详解】 ∵ ，，， ∴ . ∵ ， 代入数值计算得： ， ∴ . 【小问3详解】 ∵ 为中点， ∴ ， ∴ . ∵ 与的夹角为，， ∴ . 计算得： ， ∴ ，即. 19. 在中，内角的对边分别为，已知， （1）求角的大小； （2）若，的面积为，为线段上的一点，且． ①求的值； ②求的最小值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和性质将转化为，展开后结合已知等式消去同类项，即可求得角. （2）①通过平面直角坐标系表示向量坐标，计算数量积得到的值，再结合直角三角形面积公式求得.②将向量表达式转化为点坐标，结合点在线段上的约束条件，利用基本不等式求目标式的最小值. 【小问1详解】 ∵ 在中，， ∴ . 已知， ∴ ，化简得. ∵ ，∴ ， ∴ . 又，∴ . 【小问2详解】 由（1）知，为直角三角形，直角边. 设为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向， 则，， ∴ . 已知，∴ . ∵ ，∴ . 又的面积，代入得， 解得. ② 由①得， ∴ ， ∴ . ∵ 在线段上， ∴， ∴， ∴， ∴ . 由基本不等式得，当且仅当时等号成立. 将代入，解得，满足. ∴ 的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 虢镇中学2025－2026学年度第二学期期中考试 高一年级数学试题 （命题人：郭小宁） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．） 1. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 2. 是虚数单位，，，则是为纯虚数的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要 3. 已知点、、在所在平面内，且，，，则点、、依次是的（ ） A. 重心、外心、垂心 B. 重心、外心、内心 C. 外心、重心、垂心 D. 外心、重心、内心 4. 在中，，则边的长为（ ） A. B. C. D. 1 5. 已知，且满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则△ABC的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰或直角三角形 8. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．则正八面体（八个面均为正三角形）的总曲率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列命题中不正确的是（ ） A. 四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面 B. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 C. 以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成几何体叫圆锥 D. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 10. 已知复数，下列命题正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 若，则为实数 11. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，向量与向量的夹角为锐角 C. 存在，使得 D. 若，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知复数满足，则____. 13. 如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中 ，则原四边形的周长为_________. 14. 一条河宽为800 m，一船从A处出发垂直到达河正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为________ min. 四、解答题（本大题共5小题，15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知向量与的夹角为，且，. （1）求； （2）若，求值. 16. 已知复数满足，. （1）求； （2）若复数满足，求. 17. 在中，． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 18. 已知在中，为中点，，，． （1）用和表示； （2）若，求； （3）设和的夹角为，若，求证：． 19. 在中，内角的对边分别为，已知， （1）求角的大小； （2）若，的面积为，为线段上的一点，且． ①求的值； ②求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $