精品解析：陕西渭南市华州区咸林中学2025-2026学年第二学期高一年级期中考试数学试题

咸林中学2025-2026学年第二学期高一年级期中考试 数 学 试 题 总分：150分 考试时长：120分钟 一、选择题（共58分） （一）单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据商数关系和平方关系直接求出正弦即可． 【详解】因为，故是第一象限角，且， 故，又， ， 解得：，（舍去）， 故选：A． 2. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，由题中条件，可直接得出结果. 【详解】因为，， 所以． 故选：B． 3. 已知平面向量，则（ ） A. B. C. 10 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量坐标化线性运算和向量数量积的坐标运算即可得到答案. 【详解】，， 则. 故选：B. 4. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】展开原式得 ，移项整理得. 根据余弦定理，代入得， 因为是三角形内角，范围为，故满足的角为. 5. 已知向量，满足，且，则向量，的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由已知 ， ， ． 设向量与的夹角为，． 对 两边同时平方可得： ， 将 ， 代入上式：   ， 化简得 ，解得． 根据向量点积的定义 ，代入已知值： ， 解得，结合，可得． 6. 在中，是边上靠近点的三等分点，是的中点，若，则（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】选一组基底，利用平面向量基本定理即可求解. 【详解】 因为是边上靠近点的三等分点，是的中点， 所以， 所以， 因为，不共线，所以. 故选：C. 7. 在中，若，则为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理及倍角公式得到，结合，解得或，得到答案. 【详解】由正弦定理得， 即，故， 因为，且属于三角形内角，所以，所以或， 解得或， 所以为等腰或直角三角形. 故选：C 8. 已知，均为锐角，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用两角差的余弦公式计算求解得出，进而应用同角三角函数关系计算求解正切. 【详解】因为，均为锐角，，， 所以，所以，， 所以， 所以 则 故选：A. （二）多选题（共3小题，每小题6分，共18分.多选或错选得0分，部分选对得部分分，全部选对得6分） 9. 下列各式化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】选项A： ，故A正确； 选项B： ，故B正确； 选项C： 原式整理为，故C正确； 选项D： 原式展开得 ， 和题干给出的结果不符，故D错误. 10. （多选）已知，则下列选项中正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据同角三角函数的平方式，结合题意可得角的取值范围，建立方程组可得正弦值与余弦值，由同角三角函数的商式关系，逐项检验，可得答案. 【详解】将两边同时平方，整理得， 所以．故D正确． 又，所以， 所以由解得故C正确， 所以，故A，B错误． 故选：CD. 11. 已知向量，，，其中，均为正数，且，则下列说法正确的是（ ） A. 与的夹角为钝角 B. 向量在上的投影数量为 C. D. 的最大值为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】本题综合考查平面向量的数量积运算、投影的定义、向量共线的坐标表示以及基本不等式求最值，结合已知条件逐一分析选项即可. 【详解】选项A，计算两向量的数量积 ，且两向量不共线， 说明与的夹角为锐角，不是钝角，A错误； 选项B，向量在上的投影数量公式为，代入得，B正确； 选项C，先计算 ，由， 结合向量共线的坐标性质可得 ，整理得，C正确； 选项D：已知且，根据基本不等式， 代入得，化简得，当且仅当， 即时取等号，故的最大值为2，D正确。 二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据条件，结合向量数量积的有关运算，求出，再求向量的模. 【详解】设，则： ， 则. 所以：. 故答案为： 13. 在中，角的对边分别为，已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】明智同角公式及正弦定理求解即得. 【详解】在中，由，得， 由正弦定理，得. 故答案为： 14. 已知A，B都是锐角，且tan A＝，sin B＝，则A＋B＝____. 【答案】 【解析】 【分析】求得的值，由此求得的值. 【详解】∵B为锐角，. ∴， 由于，所以. 故答案为： 三、解答题（共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，为第三象限角，求： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分子、分母同除以，并代入的值可得； （2）（3）利用，构造关于的齐次分式，分子、分母同除以，再代入的值可得. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 . 16. 已知向量=（3，4），=（1，2），=（－2，－2）． （1）求||，||的值； （2）若=m+n，求实数m，n的值； （3）若（+）∥ （－+ k），求实数k的值． 【答案】（1）||=5；； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用向量的模长的坐标公式即得； （2）利用向量的线性坐标表示即得； （3）利用向量平行的坐标表示即求. 【小问1详解】 ∵向量=（3，4），=（1，2）， ∴||=5，； 【小问2详解】 ∵=（3，4），=（1，2），=（－2，－2），=m+n， ∴（3，4）=m（1，2）+n（－2，－2） =（m－2n，2m －2n）， 所以， 得； 【小问3详解】 ∵（+）∥(－+ k)， 又－+k=(－1－2k，－2－2k )，+=（4，6）， ∴6 (－1－2k)=4 (－2－2k), 解得， 故实数k的值为. 17. 已知． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用同角公式及差角的正弦公式求解. （2）利用同角公式及差角的正弦公式求出即可. 【小问1详解】 由，得， 所以. 【小问2详解】 由，得，由， 得，则 ， 所以. 18. 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由平行向量的坐标公式代入化简结合正弦定理即可得出答案； （2）由余弦定理求出，进而结合三角形的面积公式可得出答案. 【小问1详解】 因为，，且， 则.， 由正弦定理得， 因为，所以， 可得，即. 且，所以. 【小问2详解】 在中，由余弦定理可得， 即， 整理可得，解得，或（舍）， 所以的面积. 19. 已知向量，且． （1）证明：向量； （2）求与夹角的大小； （3）求的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）根据垂直的坐标运算即可求解， （2）根据模长公式，以及夹角公式即可求解， （3）根据模长公式，结合二次函数的性质即可求解. 【小问1详解】 因为向量， 由，得． 解得，则． 因此． 【小问2详解】 由（1）知，则． 又，则． 设与夹角为，因此． 又，则，所以与夹角为． 【小问3详解】 由（2）知，，则， 因此， 当且仅当时取等号． 所以最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 咸林中学2025-2026学年第二学期高一年级期中考试 数 学 试 题 总分：150分 考试时长：120分钟 一、选择题（共58分） （一）单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，则（ ） A. B. C. 10 D. 15 4. 在中，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，满足，且，则向量，的夹角是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，是边上靠近点的三等分点，是的中点，若，则（ ） A. 0 B. C. D. 1 7. 在中，若，则为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰或直角三角形 D. 等腰直角三角形 8. 已知，均为锐角，且，，则（ ） A. B. C. D. （二）多选题（共3小题，每小题6分，共18分.多选或错选得0分，部分选对得部分分，全部选对得6分） 9. 下列各式化简正确的是（ ） A. B. C. D. 10. （多选）已知，则下列选项中正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 已知向量，，，其中，均为正数，且，则下列说法正确的是（ ） A. 与的夹角为钝角 B. 向量在上的投影数量为 C. D. 的最大值为2 二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，则________. 13. 在中，角的对边分别为，已知，则__________. 14. 已知A，B都是锐角，且tan A＝，sin B＝，则A＋B＝____. 三、解答题（共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，为第三象限角，求： （1）； （2）； （3）. 16. 已知向量=（3，4），=（1，2），=（－2，－2）． （1）求||，||的值； （2）若=m+n，求实数m，n的值； （3）若（+）∥ （－+ k），求实数k的值． 17. 已知． （1）求的值； （2）若，求的值． 18. 已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积． 19. 已知向量，且． （1）证明：向量； （2）求与夹角的大小； （3）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $