专题4.7 三角形常考几何模型专训（6大题型+15道拓展培优题）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

**基本信息** 聚焦三角形几何模型，以6大题型为框架，通过经典例题提炼辅助线构造、判定方法选择等解题策略，形成从基础关系到综合应用的递进式训练体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形三边关系的应用|1典例+3拓展题|分类讨论与不等式应用|从概念理解到实际问题解决| |与三角形高有关的计算|1典例+3拓展题|面积法与动态几何分析|高的性质到复杂图形面积转化| |全等三角形的性质|1典例+3拓展题|对应边/角关系应用|性质直接应用到动态几何综合| |灵活选用判定方法证明全等|1典例+3拓展题|SSS/SAS/ASA/AAS判定选择|判定方法辨析到条件组合应用| |全等三角形辅助线问题|1典例+3拓展题|延长中线/截长补短构造全等|辅助线技巧提炼到模型迁移| |全等三角形综合问题|1典例+3拓展题|多知识点整合与逻辑推理|性质、判定、辅助线综合应用|

专题4.7 三角形常考几何模型专训（6大题型+15道拓展培优题） 题型一 三角形三边关系的应用 题型二 与三角形高有关的计算 题型三 全等三角形的性质 题型四 灵活选用判定方法证明三角形全等 题型五 全等三角形辅助线问题 题型六 全等三角形综合问题 【经典例题一 三角形三边关系的应用】 【例1】（25-26七年级下·上海宝山·月考）一个等腰三角形的三边长分别为7、、，求x的值，并求这个等腰三角形三边的长． 【答案】，三边长为：7，7，4 【分析】在没有明确给出腰和底边时，要注意和已知条件联系起来分情况讨论进而求解．分三种情况讨论． 【详解】解：∵等腰三角形边长分别为7、、， ∴①当时，解得：， ∴等腰三角形的三边分别为，此时能组成三角形； ②当时，解得：， ∴等腰三角形的三边分别为，此时不能组成三角形； ③当时，解得：， 等腰三角形的三边分别为，此时不能组成三角形； 综上所述，，三角形三边长为7，7，4． 1．（25-26七年级下·山东德州·期末）某木材市场上木棒规格与价格如下表： 规格 价格（元/根） 10 15 20 25 30 35 40 小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用，现有两根长度分别为和的木棒，还需要到某木材市场上购买一根． (1)有几种规格木棒可供小明的爷爷选择？ (2)选择哪一种规格木棒最省钱？请说明理由． 【答案】(1)5种选择 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据三角形的三边关系可得，再解出不等式组可得x的取值范围，进而得到选择的木棒长度； （2）根据木棒价格可直接选出答案． 【详解】（1）解：设第三根木棒的长度为， 根据三角形的三边关系可得：， 解得， 结合题干信息可得：．共5种选择． （2）解：在符合条件的木棒规格中，的木棒价格最低， ∴选的木棒最省钱． 2．（25-26七年级下·江苏南京·月考） 如图，是四边形的对角线，且相交于点O．求证：； 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．在和中，利用三角形三边关系即可求证结论． 【详解】证明：在和中， ， ，即， ． 3．（25-26七年级下·云南昆明·期末）阅读下面的解题过程：已知，求，的值． 解：， ， ， ，． ，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知的三边长，，都是正整数，且满足．求周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了配方法的应用、非负数的性质以及三边构成三角形的判定，掌握通过配方将代数式转化为非负数的和，利用非负数的性质求解未知数是解题的关键． （1）将代数式拆分为两个完全平方项的和，利用非负数的性质求出与的值，再计算； （2）对含，的代数式进行配方，结合非负数的性质和三角形三边关系求出周长的最大值； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，，    ∵的三边长，，都是正整数， ∴， ∴的最大值为9， 则周长的最大值为； 【经典例题二 与三角形高有关的计算】 【例2】（24-25七年级下·四川成都·开学考试）如图，将四边形的四条边，，，分别延长两倍至点，，，，若四边形的面积为，则四边形的面积是多少？ 【答案】60 【分析】利用三角形的面积公式，找到三角形之间的关系，根据四边形的面积是5，只要求出，，和四个三角形的面积之和再减去四边形的面积，即可解决问题． 【详解】解：连接， ∵和的高相等，的底边是底边的2倍， ∴的面积是的面积的2倍， ∵和的高相等，的底边是底边的2倍， ∴的面积是面积的2倍， ∴的面积是面积的4倍， ∵和的高相等，的底边是底边的2倍， ∴的面积是面积的2倍， ∵和的高相等，的底边是底边的2倍， ∴的面积是面积的2倍，和底边的比是， ∴的面积是面积的3倍， ∵和的高相等，的底边是底边的2倍， ∴的面积是面积的2倍， ∴的面积是面积的6倍， ∴的面积是面积的9倍， 同理，得的面积是面积的4倍，的面积是面积的9倍， ∴， ∴． 1．（25-26七年级下·河南南阳·月考）综合探究 (1)如图1，在中，，则的长为_____． (2)如图2，在中，，，，为的高，试分析，的数量关系． (3)如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，垂足分别为．若，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)m 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． （1）利用面积法求出即可． （2）利用面积法求出高与的比即可． （3）利用面积法求出，可得结论． 【详解】（1）解：在中，， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：，，， ， ， 又， ， 即． 2．（2023七年级下·福建泉州）已知的三边长分别为5、12、13．动点在三角形内或边上，点到三边的距离分别为、、，设．请求出的最大值与最小值，并说明取最大值与最小值时，点的位置． 【答案】最大值，此时点与最小直角边对应的顶点重合，最小值为，此时点与斜边对应的顶点重合 【分析】本题考查了面积公式的正确运用，考查了面积法计算三角形的高． 首先连结；由三角形的面积公式知，可得 ；接下来由讨论当取最大值和最小值时，P的位置． 【详解】解：设在中，，P到的距离分别为．连结, 由三角形的面积公式知， 即， ∴， ∴， ∴最大值为， 即取最大值时，， ∴P与A重合； ∵最小值为， 即取最小值时，， ∴P与C重合． 3．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，，点是边的中点，，点从点出发，沿折线向终点运动，速度为每秒2个单位长度．连结．设点运动的时间为（）． (1)直接写出的面积为_______． (2)用含的代数式表示的长． (3)当时，求的值． (4)当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，三角形的面积，数形结合是解题的关键； （1）根据三角形的面积公式即可求解； （2）分在上，分别表示出的长，即可求解； （3）根据，则在上，代入（2）的式子，即可求解； （4）根据得出，进而分在上，分别列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 故答案为：． （2）∵，点是边的中点， ∴， ∵点速度为每秒2个单位长度， 当时，在上，， 当时，在上，， ∴； （3）解：∵， ∴，则在上， ∴， 解得：； （4）解：∵，点是边的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 当在上时，， 解得：， ∴， 当在上时，∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：. 【经典例题三 全等三角形的性质】 【例3】（25-26七年级下·甘肃武威·月考）如图，已知，点在上，与交于点，，，． (1)求的长度； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查全等三角形的性质； （1），由可得，即可求解； （2）由可得，再由为的外角，可得，即可求解. 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴. （2）解：∵， ∴， ∵为的外角， ∴， 即. 1．（25-26七年级下·河北衡水·月考）如图，在中，，，，点从点出发，沿线段以的速度连续做往返运动，同时点从点出发沿线段以的速度向终点运动，当点到达点时，两点同时停止运动，与交于点，设点的运动时间为（秒）． (1)分别写出当和时线段的长度（用含的代数式表示）； (2)当时，求的值； (3)若，求所有满足条件的值． 【答案】(1)当时，，当时， (2) (3)当或4时， 【分析】本题考查的是列代数式和全等三角形的性质的应用，根据题意求出代数式、掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． （1）根据点从点出发、点从点出发的速度、结合图形解答； （2）根据题意列出方程，解方程即可； （3）分点从点运动至点、从点返回两种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：当时，， 当时，； （2）解：由题意得，， 当时，有，即，此时无解； 当时，有，即， 解得； （3）解：当时，， 则，即， 解得， 当时，， 则，即， 解得， 综上所述：当或4时，． 2．（25-26七年级下·山西长治·期中）综合与探究 【问题情境】 如图①，在四边形中，，，，．动点从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，连接，．设运动时间为（单位；）． 【初步探究】 （1）如图①，若，求的值． 【拓展延伸】 （2）如图②，当点开始运动时，另一动点同时从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． ①在，运动的过程中，若与全等，请求出此时和的值． ②如图③，当点开始运动时，动点同时从点出发，以的速度沿方向向点运动，连接，交于点．连接，当时，，请直接写出此时的值． 【答案】（1）；（2）①，或，；②． 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质可知，所以，根据即可求出运动的时间； ①当与全等时，有两种情况，一种情况是，即；另一种情况是，即时．根据对应相等的线段的长度求出运动时间的值，再根据运动的时间和路程求出即可； ②根据三角形的面积公式，可得：，可以求出的长度，即点的运动路程，根据点的运动路程和速度求出运动时间，根据运动的时间和点运动的路程的长度求出值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）①解：若， ，， ， ， ， ， ， ， 若， ，， ， ， ， ； 综上所述：，或，； ②解：如下图所示，连接，过点作于，过点作于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ． 3．（25-26七年级下·浙江金华·月考）如图，在的方格纸中，的三个顶点都在格点上，请按以下要求画格点三角形． (1)在图1中，画出一个与全等（不包含）的； (2)在图2中，画出一个与不全等但面积相等的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，答案不唯一 【分析】本题考查了全等的性质，三角形面积问题．熟练掌握全等三角形对应边相等与三角形的面积公式是解题的关键． （1）根据全等三角形对应边相等作图即可； （2）根据三角形不全等但面积相等的性质画出同底等高三角形即可． 【详解】（1）解：如图，或 或为所求： （2）解：如图和底边相同，高相等，可知与和不全等但面积相等（答案不唯一）． 【经典例题四 灵活选用判定方法证明三角形全等】 【例4】（25-26七年级下·浙江湖州·月考）已知． (1)求证：； (2)，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用定理证明两三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴． 1．（25-26七年级下·上海·期中）如图，在中，，，，三点在同一直线上，， (1)求证：； (2)猜想线段，，之间的数量关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用可证； （2）根据全等三角形的性质可证，，根据可知． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中，， ； （2）解：， ，， ， ． 2．（25-26七年级下·河南·期中）【阅读材料】面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略． 【活动主题】根据以上材料，同学们在数学活动课上以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究． 【问题背景】如图，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且请探究线段，，之间的数量关系． (1)【特殊情形】任务：如图，当时，其他条件不变，请探究线段，，之间的数量关系． 下面是学习委员琳琳的解题过程，请将剩余内容补充完整． 解：如图，延长到点，使得，连接． 在和中， 所以，所以，． 所以． 因为，所以． …… (2)【一般性问题】任务：小梦同学发现在如图所示的四边形中，任务中的结论仍然是成立的，请你写出结论并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）证明得到，进而即可得出结论． （2）延长至点，使，连接，先证明得到，，再证明，得到，进而即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，延长到点，使得，连接． 在和中， 所以， 所以，． 所以． 因为， 所以． 在和中，， 所以． 所以． 因为， 所以． （2）解：，理由如下： 如图，延长至点，使，连接． 因为，， 所以． 在和中，， 所以． 所以，． 因为， 所以． 所以． 在和中，， 所以，所以． 因为， 所以． 3．（2026·七年级下 陕西西安）已知：如图所示，等腰直角三角形中，，点是边上一点，点在延长线上，，交的延长线于点，连接，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据证明，即可得出． 【详解】证明：∵等腰直角三角形中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【经典例题五 全等三角形辅助线问题】 【例5】（25-26七年级下·广东广州·期中）【探究】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为__________． A．    B． C． D． 【应用】 （2）提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 （3）根据以上经验，如图3，，，，连接、，E是的中点，证明：． 【答案】（1）B；（2）；（3）见解析 【分析】（1）先利用三角形的中线的意义得出，再根据对顶角的性质得出，从而可证明； （2）先证明，根据全等三角形的性质可得出，再利用三角形三边关系求解即可； （3）先证明，从而可得，，再证明，从而可得，于是可得． 【详解】（1）解：因为是的中线， 所以， 延长至点E， 所以， 又， 所以， 故选：B； （2）解：延长至点，使，连接，如图， 则， 在与中， ， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴的取值范围为； （3）证明：延长至，使，连接，如图： ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等的性质和综合（），倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)，确定第三边的取值范围，灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合）等知识点，解题关键是掌握上述知识点． 1．（25-26七年级下·山东济南·期中）和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． (3)如图3，点都在外部，连接，，，，与相交于点．若，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，，理由见解析 (3)18 【分析】此题是四边形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质． （1）根据等腰直角三角形的性质解答； （2）延长，分别交、于F、G，证明，根据全等三角形的性质、垂直的定义解答； （3）同理证明，得到，，再根据计算，求出四边形的面积． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴； （2）解：，，理由如下： 延长，分别交、于F、G， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即； （3）解：如图，与相交于点 ∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴． 2．（25-26七年级下·山东日照·月考）（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）50；（3） 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的对应边相等得到； （2）根据全等三角形的性质得到，，，，根据梯形和三角形的面积公式计算，得到答案； （3）过点作于，过点作交的延长线于，推导出， ，即可证明，得到，再根据全等三角形的性质推导出进而求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】证明：（1）证明：∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）中模型可知，，， ∴，，，， 则； （3）解：过点作于，过点作交的延长线于， 由（1）中模型可知，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）（1）如图1，在四边形中，分别是边、上的点，且．求证：； （2）如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，在四边形中，分别是边延长线上的点，且（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．    【答案】（1）见解析；（2）成立；（3）不成立，应当是，见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）延长到G，使，连接．利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）先证明，由全等三角形的性质得出．，由全等三角形的性质得出，即，则可得出结论； （3）在上截取，使连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论． 【详解】证明：延长到G，使，连接．    ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵ ∴． ∴． ∵． ∴ （2）（1）中的结论仍然成立． ， ， 在与中， ， ， ， ， 即 在与中 ， ， 即， ； （3）结论不成立，应当是． 证明：在上截取，使连接．    ∵， ∴． ∵ ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． 【经典例题六 全等三角形综合问题】 【例6】（24-25七年级下·宁夏银川·期末）某种产品的商标如图所示，是线段、的交点，并且，．小明认为该商标图中的两个三角形是全等的，他的证明如下： 在和中,   , ∴． 你认为小明的证明正确吗？如果正确，他用的是判定三角形全等的哪个条件？如果不正确，请你给出正确的证明． 【答案】小明的证明不正确，正确的证明见解析． 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，利用已知条件，发掘隐含条件，通过添加辅助线创造条件来判定三角形全等，切记一定要规避 “” 陷阱．因为, 不属于某个三角形的一条边，所以不能直接运用这个条件．连接，先利用证明，得到，再通过证出． 【详解】解：小明的证明不正确． 正确方法如下：如图，连接， 在和中， , ∴, ∴, 在和中， , ∴． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）综合与实践： (1)方法感悟： 一个班的同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端，的距离，设计了如下方案： 方案（Ⅰ）如图①，先在平地上取一个可直接到达，两点的点，连接，，并分别延长至点，至点，使，，最后测出的距离即为的长． 感悟解题方法，并完成下列填空： 解：如图①所示，在和中，，________________________（对顶角相等），，所以____________（填写判定理由），所以（全等三角形的对应边相等），即的距离即为的长； (2)方法迁移： 方案（Ⅱ）如图②，先过点作的垂线，再在上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为的距离．请你说明理由； (3)问题拓展： 方案（Ⅱ）中作，的目的是使__________________，若仅满足（不为），则方案（Ⅱ）的结论____________（填“成立”或“不成立”）． 【答案】(1)，，（）； (2)见解析； (3)，成立． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质是解题的关键； （1）根据题干思路完成过程； （2）根据题干思路写出解答过程； （3）说明方案Ⅱ中作垂直的目的以及一般情况下的结论即可． 【详解】（1）解：如图①所示，在和中， ，（对顶角相等），， 所以（填写判定理由）， 所以（全等三角形的对应边相等）， 即的距离即为的长； （2）解：∵，， ． 在和中， ， ∴； （3）解：方案（Ⅱ）中作，的目的是使； 若仅满足方案（Ⅱ）仍成立， ∵仍可根据其他条件来构造全等三角形确定AB的长度． 2．（25-26七年级下·河南新乡·期末）如图，已知，点在直线上，连接． (1)如图1，当点在的延长线上时． ①若，求证：； ②若，求证：； (2)如图2，点在边上，于点．若，直接写出的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)的长为4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）①根据，可得，再根据证明即可得出结论； ②分别过点、作于点，于点，证明，得到，，再证明，得，即可得出结论； （2）过点作交的延长线于点，证明，得，，再证明，得到，从而可得，，即可得出结论． 【详解】（1）证明：①， ， 在和中，， ， ． ②分别过点、作于点，于点，如图（1）所示： 则， 在和中，， ， ，， 在和中，， ， ， ，即； （2）证明：过点作交的延长线于点，如图（2）所示， 则， ， ， ， ， ，， ， 在和中，， ， ，， 在和中，， ， ， ， 即， ， 是的中点， ． 3．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）问题提出（1）如图1，已知：，，探究：和的数量关系并加以证明； 问题探究（2）如图2，在中，，过点C作射线，连结交边于点，点在边上，连接，若，探究和的数量关系并加以证明； 问题拓展（3）如图3，锐角中，，过点C作直线，点E为边上一点，连接并延长交直线于点，点在边上，若，直接写出和的数量关系．________________．    【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析；（3）或 【分析】（1）由“”可证，可得； （2）由“”可证，可得，可得结论； （3）由“”可证，可得，，分两种情况讨论，由角的数量关系可求解． 【详解】解：（1），理由如下：如图1，连接，   ，， ，， 又， ， ； （2），理由如下： 如图2，过点作，交于，   ，， ，， ，， ， 又，， ， ， ； （3）在上截取，连接，交于点，   ，，， ， ，， 又， ， ， ， 当时，则， ， 当不平行，则四边形是等腰梯形， ， ， ， 故答案为：相等或互补． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，截长补短，分类讨论． 1．（25-26七年级下·吉林长春·月考）如图，在长方形中，，，点以每秒3个单位长度的速度从点出发，沿运动，同时点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿运动，当、两点有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)用含的代数式表示的长； (2)点在上运动，当的中点落在上时，求的值； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的值（两个答案即可）； (4)作点关于点的中心对称点，当时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】本题主要考查长方形的性质、列代数式、一元一次方程等知识点，解答本题的关键是熟练掌握长方形的性质，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）分和根据路程=速度×时间可求出的长即可得出的长； （2）建立平面直角坐标系，得长方形顶点坐标，根据中点坐标公式可得结论； （3）分和列方程求解即可； （4）根据题意得，结合的情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：当时，点P在上，，则； 当时，点P在上，， 综上， （2）解：∵在长方形中，，， ∴设， ∵点在上运动，， ∴， ∴点的坐标为 ∵点在上运动，则， ∴， ∴， ∵， ∴的中点坐标为， ∴， 解得； （3）解：①时，当点P在上时，， 解得； ②当时，， 解得； 综上，可取或； （4）解：∵是点关于点的中心对称点， ∴点是的中点， ∴， 又 ， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 解得； 当时，点P在上，， ， ∴， 解得； 综上，t的值为或． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，AD为的中线，BE为的角平分线． (1)若，求的度数． (2)若的面积为60，，则点A到BC边的距离为多少？ 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）由角平分线的定义即可求解；（2）由是中线，可得的值，根据已知条件利用三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）解：为的角平分线，， ． （2）解：为的中线，， ． 设点到边的距离为，则， ， 故点到边的距离为12． 【点睛】本题考查了角平分线定义，中线定义，三角形面积公式，正确理解并运用角平分线和中线定义及面积公式是解本题的关键 3．（25-26七年级下·安徽合肥·月考）如图，在中,是射线上一点，过点P作，垂足分别为，过点B作，垂足为F，连接． (1)如图1，点P在边上，写出线段之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，点P在的延长线上．当时，求线段的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)6 【分析】本题考查了三角形的高及三角形面积公式的应用，解题的关键是通过分割（或拆分）三角形面积，结合三角形的高推导线段间的数量关系． （1）由题意得出，则有，再结合即可得出结论； （2）由题意得出，则有，再结合，得出，由三角形的面积求出的长，最后即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，即， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， 所以， 整理得：， 解得， ∴， 所以线段的长为6． 4．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的每一个顶点称为格点．，，均在格点上，则是格点三角形． (1)在图1中，画出与全等的格点（找到一个即可，且点不与重合）； (2)在图2中，画出与面积相等，但不与全等的格点； (3)在图3中，只用无刻度的直尺作出边上的高． 【答案】(1)见解析． (2)见解析． (3)见解析． 【分析】本题考查了格点三角形的全等、面积计算及三角形高的作法，解题关键是利用格点的边长与位置特征，结合全等三角形、面积公式及垂心的性质进行作图与分析． （1）利用格点边长，找与三边对应相等的格点，使与全等． （2）根据三角形面积公式（底高），保持底或高与一致，调整另一边长，确定格点． （3）借助格点找的高（如），交于垂心，延长交得高． 【详解】（1）如图1：即为所求（答案不唯一）； （2）如图2：为满足和面积相等的格点（答对一个即可）； （3）取格点、，连接交于，连接并延长交于，如图： 即为所求． 理由∶ 由图可知，是的高， 是的垂心， 是的高． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，若，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和，正确作出辅助线是解题的关键． 根据证，根据全等得出，，根据周角为结合可求出和，通过三角形内角和为，求出和，由此可求出的度数，即为的度数． 【详解】解：如图，连接． 在和中， ， ，． ， ， ， ． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，已知，，，B，D，E三点共线．试说明：． 【答案】说明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 先通过证明，可得，，通过三角形内角和为结合邻补角的性质可得，即可证明． 【详解】证明：在和中， ， ，． ，， ． 7．（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图1，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且．试探究与的数量关系． (1)猜想：与的数量关系是 ； (2)请证明上述猜想； (3)如图2，若点在的延长线上，点在的延长线上，其他条件不变．请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【分析】（1）根据题意可猜想 （2）延长到点，使，连结．根据SAS证明，则可得 ，，．再根据SSS证明，则可得 ．由，可得 ，进而可得． （3）在延长线上取一点，使得，连结．根据SAS证明，则可得，，．再根据SSS证明，则可得．由，可得，进而可得． 【详解】（1）解：猜想． （2）证明：如图，延长到点，使，连结， ，， ， 在和中， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ． ， ， ， ． （3）结论：．理由如下： 如图，在延长线上取一点，使得，连结， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即， ． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 8．（25-26七年级下·辽宁抚顺·期末）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中， ，；中，，）， 并提出了相应的问题． 【发现】（1）如图，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， 易证， 若，，则 ； 【类比】（2）如图，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上，且顶点在线段上时，过点作， 垂足为点，猜想线段，，的之间的数量关系，并说明理由； 【拓展】（3）如图，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段 上时，若，连接， 求的面积． 【答案】（1）9；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点的应用及作辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （）由得，进而得出结果； （）由“”可证，从而得出，，进一步得出结论； （）同（）得，利用面积公式进而求得的面积； 【详解】（）∵， ∴，， ∴， 故答案为：； （），理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （）如图，过点作，交延长线于点， 同（）得：， ∴， ∴． 9．（25-26七年级下·四川泸州·月考）如图，已知，， 相交于点M，，． (1)试说明：． (2)探究线段的位置关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质． （1）利用说明，进而可得结论； （2）利用全等三角形的性质说明，再利用对顶角相等得，因此得到，进而可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在与中，， ∴， ∴； （2）解：,理由如下： 如图，设交于O， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 10．（23-24七年级下·陕西西安·期中）在四边形中，，，是上一点，是延长线上一点，且． (1)试说明：； (2)在图中，若，，在上且，试猜想、、之间的数量关系并证明所归纳结论； (3)若，，G在上，满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果不要求证明）． 【答案】(1)见讲解； (2)； (3)． 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，同角的补角相等，平角的定义，熟练掌握以上知识点，找到条件证明三角形全等是解题的关键． （1）由同角的补角相等，结合题目给出的边相等，证明，由全等三角形的对应边相等，得证； （2）结合（1），证明； （3）结合（1），证明． 【详解】（1）， ， （2）猜想： 由（1）可知， ，， ， 得证； （3）当成立 由（1）可知， ，， ， 得证． 11．（25-26七年级下·甘肃陇南·期末）综合与实践 【问题情境】 补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 例：如图①，在四边形中，，是的中点，平分，试判断，，之间的等量关系． 小颖的方法：如图②，延长，相交于点，构造和等腰三角形即可判断． 【问题解决】 （1）按照小颖的方法，判断，，之间的等量关系，并说明理由； 【自主探究】 （2）如图③，在中，是的中点，点在上，连接交于点，，试说明． 【答案】（1），见解析；（2）见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质． （1）延长、相交于点F，证明和全等得，再根据平分得，则，由此可得出，，之间的等量关系； （2）延长至点H，使，连接，证明和全等得，，再根据，得，进而得，由此即可得出结论； 【详解】解：（1），，之间的等量关系是：，理由如下： 如图，延长，相交于点， ， ，． 是的中点， ． 在和中，， ， ． 平分， ． ， ， ， ； （2）证明：如图，延长至点，使，连接， 是的中点， ， 在和中，， ， ，． ， ， ． （对顶角相等）， ． ， ． 12．（25-26七年级下·广东潮州·期末）某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端，的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 【甲】如图1，先在平地取一个可直接到达，的点，再连接，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为，的距离． 【乙】如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离． (1)以上两位同学所设计的方案，你认为两位同学的设计方案是否可行； (2)请你选择一种可行的方案，说说它可行的理由． 【答案】(1)甲：可行；乙：可行 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质： （1）根据全等三角形的判定方法，即可判断是否可行； （2）根据全等三角形的判定及性质即可求得答案． 【详解】（1）解：甲：可行； 乙：可行； （2）甲可行的理由如下： 在和中 所以． 所以． 乙可行的理由如下： 在和中 所以． 所以． 13．（25-26七年级下·重庆荣昌·期中）某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（如图1）中提炼出了两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“字”模型．请结合模型解决下列问题： (1)如图2，已知：在中，，，一直线过顶点，过，分别作其垂线，垂足分别为，．求证：； (2)如图3，若改变直线的位置，且，，其余条件与（1）相同，求的面积． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法和性质是关键． （1）根据题意可证，得，由此即可求解； （2）根据题意得到，得，结合题意，设，则，则，由此列式得到，由面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴． 14．（25-26七年级下·河南安阳·期中）（1）如图①，在中，是的中点，过点作直线，使，交的延长线于点，求证：．请结合图①写出完整的证明过程． （2）如图②，，，，连接、，是的中点，延长交于点，，，则的面积为________． 【答案】（1）见解析；（2）8 【分析】（1）证明，即可解答； （2）过点A作，交的延长线于点G，证明，可得，从而得到，，，再结合，可得到，可证明，可得，，从而得到，进而得到，然后三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过点A作，交的延长线于点G， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形的面积，利用倍长中线模型构造全等三角形转化线段关系是解题关键． 15．（25-26七年级下·山东威海·期末）（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 【答案】（1）；（2）．理由见解析． 【分析】（1）线段、、之间的数量关系是．如图，延长至，使，连接，利用全等三角形的性质解决问题即可． （2）结论：．如图中，在上截取，连接，证明，推出，，再证明，可得结论． 【详解】（1）解：线段、、之间的数量关系是． 如图，延长至，使，连接， ∵，，即：， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． （2）结论：． 理由：在上截取，连接， ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴，，则， ∴ ∵，， ∴， 在与中，， ∴， ∴， 即， 即， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.7 三角形常考几何模型专训（6大题型+15道拓展培优题） 题型一 三角形三边关系的应用 题型二 与三角形高有关的计算 题型三 全等三角形的性质 题型四 灵活选用判定方法证明三角形全等 题型五 全等三角形辅助线问题 题型六 全等三角形综合问题 【经典例题一 三角形三边关系的应用】 【例1】（25-26七年级下·上海宝山·月考）一个等腰三角形的三边长分别为7、、，求x的值，并求这个等腰三角形三边的长． 1．（25-26七年级下·山东德州·期末）某木材市场上木棒规格与价格如下表： 规格 价格（元/根） 10 15 20 25 30 35 40 小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用，现有两根长度分别为和的木棒，还需要到某木材市场上购买一根． (1)有几种规格木棒可供小明的爷爷选择？ (2)选择哪一种规格木棒最省钱？请说明理由． 2．（25-26七年级下·江苏南京·月考） 如图，是四边形的对角线，且相交于点O．求证：； 3．（25-26七年级下·云南昆明·期末）阅读下面的解题过程：已知，求，的值． 解：， ， ， ，． ，． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知的三边长，，都是正整数，且满足．求周长的最大值． 【经典例题二 与三角形高有关的计算】 【例2】（24-25七年级下·四川成都·开学考试）如图，将四边形的四条边，，，分别延长两倍至点，，，，若四边形的面积为，则四边形的面积是多少？ 1．（25-26七年级下·河南南阳·月考）综合探究 (1)如图1，在中，，则的长为_____． (2)如图2，在中，，，，为的高，试分析，的数量关系． (3)如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，垂足分别为．若，求的值（用含的代数式表示）． 2．（2023七年级下·福建泉州）已知的三边长分别为5、12、13．动点在三角形内或边上，点到三边的距离分别为、、，设．请求出的最大值与最小值，并说明取最大值与最小值时，点的位置． 3．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，，点是边的中点，，点从点出发，沿折线向终点运动，速度为每秒2个单位长度．连结．设点运动的时间为（）． (1)直接写出的面积为_______． (2)用含的代数式表示的长． (3)当时，求的值． (4)当时，求的值． 【经典例题三 全等三角形的性质】 【例3】（25-26七年级下·甘肃武威·月考）如图，已知，点在上，与交于点，，，． (1)求的长度； (2)求的度数． 1．（25-26七年级下·河北衡水·月考）如图，在中，，，，点从点出发，沿线段以的速度连续做往返运动，同时点从点出发沿线段以的速度向终点运动，当点到达点时，两点同时停止运动，与交于点，设点的运动时间为（秒）． (1)分别写出当和时线段的长度（用含的代数式表示）； (2)当时，求的值； (3)若，求所有满足条件的值． 2．（25-26七年级下·山西长治·期中）综合与探究 【问题情境】 如图①，在四边形中，，，，．动点从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，连接，．设运动时间为（单位；）． 【初步探究】 （1）如图①，若，求的值． 【拓展延伸】 （2）如图②，当点开始运动时，另一动点同时从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． ①在，运动的过程中，若与全等，请求出此时和的值． ②如图③，当点开始运动时，动点同时从点出发，以的速度沿方向向点运动，连接，交于点．连接，当时，，请直接写出此时的值． 3．（25-26七年级下·浙江金华·月考）如图，在的方格纸中，的三个顶点都在格点上，请按以下要求画格点三角形． (1)在图1中，画出一个与全等（不包含）的； (2)在图2中，画出一个与不全等但面积相等的． 【经典例题四 灵活选用判定方法证明三角形全等】 【例4】（25-26七年级下·浙江湖州·月考）已知． (1)求证：； (2)，求的度数． 1．（25-26七年级下·上海·期中）如图，在中，，，，三点在同一直线上，， (1)求证：； (2)猜想线段，，之间的数量关系并证明． 2．（25-26七年级下·河南·期中）【阅读材料】面对一般性的问题时，可以先考虑特殊情形，借助特殊情形下获得的结论或方法解决一般性的问题，这就是特殊化策略． 【活动主题】根据以上材料，同学们在数学活动课上以对角互补的四边形为活动主题，开展了如下探究． 【问题背景】如图，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且请探究线段，，之间的数量关系． (1)【特殊情形】任务：如图，当时，其他条件不变，请探究线段，，之间的数量关系． 下面是学习委员琳琳的解题过程，请将剩余内容补充完整． 解：如图，延长到点，使得，连接． 在和中， 所以，所以，． 所以． 因为，所以． …… (2)【一般性问题】任务：小梦同学发现在如图所示的四边形中，任务中的结论仍然是成立的，请你写出结论并说明理由． 3．（2026·七年级下 陕西西安）已知：如图所示，等腰直角三角形中，，点是边上一点，点在延长线上，，交的延长线于点，连接，求证：． 【经典例题五 全等三角形辅助线问题】 【例5】（25-26七年级下·广东广州·期中）【探究】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定两个三角形全等的依据为__________． A．    B． C． D． 【应用】 （2）提示：解题时，条件若出现“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形．把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．如图2，是的中线，若，，求出的取值范围． 【拓展】 （3）根据以上经验，如图3，，，，连接、，E是的中点，证明：． 1．（25-26七年级下·山东济南·期中）和都是等腰直角三角形，． (1)如图1，点在上，则满足怎样的数量关系？请说明理由． (2)如图2，点在内部，点在外部，连接，则满足怎样的数量关系和位置关系？请说明理由． (3)如图3，点都在外部，连接，，，，与相交于点．若，求四边形的面积． 2．（25-26七年级下·山东日照·月考）（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． 3．（23-24七年级下·江苏盐城·期中）（1）如图1，在四边形中，分别是边、上的点，且．求证：； （2）如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，在四边形中，分别是边延长线上的点，且（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．    【经典例题六 全等三角形综合问题】 【例6】（24-25七年级下·宁夏银川·期末）某种产品的商标如图所示，是线段、的交点，并且，．小明认为该商标图中的两个三角形是全等的，他的证明如下： 在和中,   , ∴． 你认为小明的证明正确吗？如果正确，他用的是判定三角形全等的哪个条件？如果不正确，请你给出正确的证明． 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）综合与实践： (1)方法感悟： 一个班的同学到野外上数学活动课，为测量池塘两端，的距离，设计了如下方案： 方案（Ⅰ）如图①，先在平地上取一个可直接到达，两点的点，连接，，并分别延长至点，至点，使，，最后测出的距离即为的长． 感悟解题方法，并完成下列填空： 解：如图①所示，在和中，，________________________（对顶角相等），，所以____________（填写判定理由），所以（全等三角形的对应边相等），即的距离即为的长； (2)方法迁移： 方案（Ⅱ）如图②，先过点作的垂线，再在上取，两点，使，接着过点作的垂线，交的延长线于点，则测出的长即为的距离．请你说明理由； (3)问题拓展： 方案（Ⅱ）中作，的目的是使__________________，若仅满足（不为），则方案（Ⅱ）的结论____________（填“成立”或“不成立”）． 2．（25-26七年级下·河南新乡·期末）如图，已知，点在直线上，连接． (1)如图1，当点在的延长线上时． ①若，求证：； ②若，求证：； (2)如图2，点在边上，于点．若，直接写出的长． 3．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）问题提出（1）如图1，已知：，，探究：和的数量关系并加以证明； 问题探究（2）如图2，在中，，过点C作射线，连结交边于点，点在边上，连接，若，探究和的数量关系并加以证明； 问题拓展（3）如图3，锐角中，，过点C作直线，点E为边上一点，连接并延长交直线于点，点在边上，若，直接写出和的数量关系．________________．    1．（25-26七年级下·吉林长春·月考）如图，在长方形中，，，点以每秒3个单位长度的速度从点出发，沿运动，同时点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿运动，当、两点有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)用含的代数式表示的长； (2)点在上运动，当的中点落在上时，求的值； (3)当是以为腰的等腰三角形时，求的值（两个答案即可）； (4)作点关于点的中心对称点，当时，直接写出的值． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，AD为的中线，BE为的角平分线． (1)若，求的度数． (2)若的面积为60，，则点A到BC边的距离为多少？ 3．（25-26七年级下·安徽合肥·月考）如图，在中,是射线上一点，过点P作，垂足分别为，过点B作，垂足为F，连接． (1)如图1，点P在边上，写出线段之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，点P在的延长线上．当时，求线段的长． 4．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的每一个顶点称为格点．，，均在格点上，则是格点三角形． (1)在图1中，画出与全等的格点（找到一个即可，且点不与重合）； (2)在图2中，画出与面积相等，但不与全等的格点； (3)在图3中，只用无刻度的直尺作出边上的高． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，若，，，，求的度数． 6．（24-25七年级下·全国·课后作业）如下图，已知，，，B，D，E三点共线．试说明：． 7．（25-26七年级下·福建泉州·期中）如图1，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且．试探究与的数量关系． (1)猜想：与的数量关系是 ； (2)请证明上述猜想； (3)如图2，若点在的延长线上，点在的延长线上，其他条件不变．请写出与的数量关系，并说明理由． 8．（25-26七年级下·辽宁抚顺·期末）【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板（在中， ，；中，，）， 并提出了相应的问题． 【发现】（1）如图，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， 易证， 若，，则 ； 【类比】（2）如图，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上，且顶点在线段上时，过点作， 垂足为点，猜想线段，，的之间的数量关系，并说明理由； 【拓展】（3）如图，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段 上时，若，连接， 求的面积． 9．（25-26七年级下·四川泸州·月考）如图，已知，， 相交于点M，，． (1)试说明：． (2)探究线段的位置关系，并证明你的猜想． 10．（23-24七年级下·陕西西安·期中）在四边形中，，，是上一点，是延长线上一点，且． (1)试说明：； (2)在图中，若，，在上且，试猜想、、之间的数量关系并证明所归纳结论； (3)若，，G在上，满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果不要求证明）． 11．（25-26七年级下·甘肃陇南·期末）综合与实践 【问题情境】 补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题． 例：如图①，在四边形中，，是的中点，平分，试判断，，之间的等量关系． 小颖的方法：如图②，延长，相交于点，构造和等腰三角形即可判断． 【问题解决】 （1）按照小颖的方法，判断，，之间的等量关系，并说明理由； 【自主探究】 （2）如图③，在中，是的中点，点在上，连接交于点，，试说明． 12．（25-26七年级下·广东潮州·期末）某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端，的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案： 【甲】如图1，先在平地取一个可直接到达，的点，再连接，并分别延长至，至，使，，最后测出的长即为，的距离． 【乙】如图2，过点作，再由点观测，在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为，的距离． (1)以上两位同学所设计的方案，你认为两位同学的设计方案是否可行； (2)请你选择一种可行的方案，说说它可行的理由． 13．（25-26七年级下·重庆荣昌·期中）某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（如图1）中提炼出了两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型和“字”模型．请结合模型解决下列问题： (1)如图2，已知：在中，，，一直线过顶点，过，分别作其垂线，垂足分别为，．求证：； (2)如图3，若改变直线的位置，且，，其余条件与（1）相同，求的面积． 14．（25-26七年级下·河南安阳·期中）（1）如图①，在中，是的中点，过点作直线，使，交的延长线于点，求证：．请结合图①写出完整的证明过程． （2）如图②，，，，连接、，是的中点，延长交于点，，，则的面积为________． 15．（25-26七年级下·山东威海·期末）（1）如图1，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，若，可求得、、之间的数量关系为________．（只思考解题思路，完成填空即可，不必书写证明过程） （2）如图2，在四边形中，，，E、F分别是边、延长线上的点，若，判断、、之间的数量关系还成立吗，若成立，请完成证明，若不成立，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $